Geometria espacial BY GLEDSON

7,144 views

Published on

RESUMO DOS PRINCIPAIS ASSUNTOS DE ESPACIAL ABORDADOS EM VESTIBULARES E ENEM...APROVEITEM

Published in: Technology, Travel
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,144
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
225
Actions
Shares
0
Downloads
241
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Geometria espacial BY GLEDSON

  1. 1. GEOMETRIA ESPACIAL •POLIEDROS PRISMAS – BLOCOS RETANGULARES - CUBOS PIRÂMIDES •CORPOS REDONDOS CILINDROS CONES ESFERAS •TRONCOS
  2. 2. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
  3. 3. Ângulo poliédrico       Sejam  n              semi-retas de  mesma origem tais que nunca fiquem três  num mesmo semiplano. Essas semi-retas  determinam n ângulos em que o plano de  cada um deixa as outras semi-retas em  um mesmo semi-espaço. A figura  formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
  4. 4. Poliedros       Chamamos de poliedro o sólido limitado por  quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a  planos diferentes e que têm dois a dois somente  uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: • Os polígonos são as faces do poliedro; os lados  e os vértices dos polígonos são as arestas e os  vértices do poliedro.                                                                             
  5. 5. Poliedros convexos e côncavos       Observando os poliedros acima,  podemos notar que, considerando qualquer  uma de suas faces, os poliedros encontram- se inteiramente no mesmo semi-espaço que  essa face determina. Assim, esses poliedros  são denominados convexos.
  6. 6. Isso não acontece no poliedro abaixo, pois  em relação a duas de suas faces, ele não  está contido apenas em um semi-espaço.  Portanto, ele é denominado côncavo.                                                             
  7. 7. Classificação       Os poliedros convexos possuem nomes  especiais de acordo com o número de  faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces  pentaedro: cinco faces  hexaedro: seis faces  heptaedro: sete faces  octaedro: oito faces  icosaedro: vinte faces 
  8. 8. Poliedros regulares  • Um poliedro convexo é chamado de regular se  suas faces são polígonos regulares  • Existem cinco poliedros regulares • Tetraedro                 Hexaedro           
  9. 9. Poliedros regulares Octaedro          Dodecaedro        Icosaedro   
  10. 10. Relação de Euler       Em todo poliedro convexo é válida a relação  seguinte:            V - A + F = 2        em que V é o número de vértices, A é o  número de arestas e F, o número de faces.            V=8   A=12    F=6                                         V = 12  A = 18   F = 8    12 - 18 + 8 = 2              8 - 12 + 6 = 2  
  11. 11. prismas • Elementos do prisma Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos: 
  12. 12. prismas • Classificação  • reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos  planos das bases;  • oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos  planos das bases. 
  13. 13. prismas •   Chamamos de prisma regular todo  prisma  reto cujas bases são polígonos regulares:  Observação: As faces de um prisma regular são retângulos  congruentes. 
  14. 14. prismas • Secção: Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma  determina nele uma região chamada secção do prisma.   Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do  prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1).  Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).                                                                                                  
  15. 15. Prismas - áreas • Áreas  Num prisma, distinguimos dois  tipos de superfície:as faces e as bases.                                                          
  16. 16. Prismas - áreas
  17. 17. Paralelepípedo ou bloco retangular • Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o  nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:  • Oblíquo                                             Reto                                  
  18. 18. Paralelepípedo retângulo  • Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c  da figura:  Temos quatro  arestas de medida  a, quatro arestas  de medida b e  quatro arestas de  medida c; as  arestas indicadas  pela mesma letra  são paralelas. 
  19. 19. Diagonais da base e do paralelepípedo • db = diagonal da base • dp = diagonal do paralelepípedo
  20. 20. Diagonais da base e do paralelepípedo • Na base ABFE, temos: •
  21. 21. Diagonal do paralelepípedo • No triângulo AFD, temos:
  22. 22. Áreas no paralelepípedo • Área lateral : Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: • AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
  23. 23. Área total do paralelepípedo • Área total : Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas. AT= 2( ab + ac + bc)
  24. 24. Volume do paralelepípedo • Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: • V = a.b.c
  25. 25. Cubo ou Hexaedro • Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) dc=diagonal do cubo db = diagonal da base
  26. 26. Cubo ou Hexaedro • Na base ABCD, temos:
  27. 27. Cubo ou Hexaedro • No triângulo ACE, temos:
  28. 28. Cubo – área lateral • A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a: AL=4a2
  29. 29. Cubo – área total • A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a: AT=6a2
  30. 30. Volume do cubo • De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a . a . a = a3
  31. 31. Generalização do volume de um prisma • Vamos usar o Princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
  32. 32. Princípio de Cavalieri • Este principio diz que se sólidos têm mesmas áreas de secções transversais então os seus volumesvolumes são iguais.
  33. 33. Volume de um Prisma •Vprisma = AB . h , onde AB = área da base e H = ALTURA
  34. 34. pirâmides • Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
  35. 35. pirâmides • Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos: base: o polígono convexo R arestas da base: os lados do polígono arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano
  36. 36. Pirâmides Classificação • Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular
  37. 37. Pirâmides Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
  38. 38. Pirâmides • Secção paralela à base de uma pirâmide
  39. 39. Pirâmides • Relações entre os elementos de uma pirâmide regular • Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a
  40. 40. Pirâmides • A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
  41. 41. Pirâmides • A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
  42. 42. Pirâmides • Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
  43. 43. Pirâmides - áreas • Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: • a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais • b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) • c) área total (AT): união da área lateral com a área da base • AT = AL +AB • Para uma pirâmide regular, temos:
  44. 44. Pirâmides
  45. 45. Pirâmides • O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
  46. 46. Pirâmides
  47. 47. CORPOSCORPOS REDONDOSREDONDOS
  48. 48. CORPOSCORPOS REDONDOSREDONDOS• Os Corpos Redondos estãoOs Corpos Redondos estão classificados principalmente emclassificados principalmente em: • CILINDROSCILINDROS • CONESCONES • ESFERASESFERAS
  49. 49. CILINDROSCILINDROS • Na figuraNa figura abaixo, temosabaixo, temos dois planosdois planos paralelos eparalelos e distintos,distintos, αα ee ββ , um círculo, um círculo R contido emR contido em αα e uma reta re uma reta r que interceptaque intercepta αα ee ββ , mas não, mas não
  50. 50. CILINDROSCILINDROS • Para cadaPara cada ponto C daponto C da região R,região R, vamosvamos considerar oconsiderar o segmentosegmento CCCC ´´ ,, paralelo àparalelo à reta rreta r (C´(C´ ЄЄ ββ)) :
  51. 51. CILINDROSCILINDROS • Chamamos deChamamos de cilindrocilindro, ou, ou cilindrocilindro circularcircular,, oo conjunto deconjunto de todos ostodos os segmentos CC´segmentos CC´ congruentes econgruentes e paralelos a r.paralelos a r.
  52. 52. Classificação doClassificação do CilindroCilindro • circular oblíquocircular oblíquo: quando as geratrizes são: quando as geratrizes são oblíquas às bases;oblíquas às bases; • circular retocircular reto: quando as geratrizes são: quando as geratrizes são perpendiculares às basesperpendiculares às bases
  53. 53. Secção doSecção do CilindroCilindro • SecçãoSecção transversaltransversal é aé a regiãoregião determinadadeterminada pela intersecçãopela intersecção do cilindro comdo cilindro com um planoum plano paralelo àsparalelo às bases. Todas asbases. Todas as secçõessecções transversais sãotransversais são
  54. 54. Secção doSecção do CilindroCilindro • Secção meridianaSecção meridiana é a regiãoé a região determinada pela intersecção dodeterminada pela intersecção do cilindro com um plano que contém ocilindro com um plano que contém o eixo.eixo.
  55. 55. Área do CilindroÁrea do Cilindro • Podemos observar a área lateralPodemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a suade um cilindro fazendo a sua planificaçãoplanificação
  56. 56. Área do CilindroÁrea do Cilindro
  57. 57. VolumeVolume • V = AV = Abasebase x hx h h = alturah = altura • AAbase =base = ππ . r. r22
  58. 58. CONESCONES • ElementosElementos • altura: distância doaltura: distância do vértice ao planovértice ao plano • geratriz (g):geratriz (g): segmento com umasegmento com uma extremidade noextremidade no vértice e outra numvértice e outra num ponto daponto da circunferênciacircunferência • raio da base: raio Rraio da base: raio R do círculodo círculo
  59. 59. CONESCONES • Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
  60. 60. CONESCONES • Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: • gg22 = h= h22 + R+ R22
  61. 61. Secção meridianaSecção meridiana • A secçãoA secção determinada,determinada, num cone denum cone de revolução, porrevolução, por um plano queum plano que contém o eixocontém o eixo de rotação éde rotação é chamadachamada secçãosecção meridiana.meridiana.
  62. 62. Secção meridianaSecção meridiana • Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero: • g = 2.R • h = R.√3
  63. 63. ÁreasÁreas • área total (AT):soma da área lateral com a área da base •
  64. 64. Volume do CONEVolume do CONE
  65. 65. ESFERASESFERAS
  66. 66. ESFERASESFERAS • Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
  67. 67. Volume daVolume da ESFERAESFERA • O volume da esfera de raio R  é dadoO volume da esfera de raio R  é dado por:por:
  68. 68. Superfície daSuperfície da ESFERAESFERA • A área da superfície esférica é dadaA área da superfície esférica é dada por:por:
  69. 69. Zona EsféricaZona Esférica • A área da zona esférica é dadaA área da zona esférica é dada porpor:
  70. 70. Calota Esférica • A área da calota esférica é dada por:A área da calota esférica é dada por:
  71. 71. CUNHA ESFÉRICACUNHA ESFÉRICA • Parte da esfera que se obtém ao girarParte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixoum semicírculo em torno de seu eixo de um ângulode um ângulo
  72. 72. CUNHA ESFÉRICACUNHA ESFÉRICA

×