O documento descreve as características de três curvas cônicas: elipse, hipérbole e parábola. A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. A hipérbole é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias aos focos é constante. A parábola é obtida ao seccionar um cone circular reto obliquamente.

1. Cônicas
Elipse – Hipérbole – Parábola

2.  Considerando, num plano , dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real
maior que a distância entre F1 e F2, chamamos
de elipse o conjunto dos pontos do plano tais
que a soma das distâncias desses pontos a F1 e
F2 seja sempre igual a 2a.
 Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos
de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

4. Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos
os seguintes elementos:

5.  Focos : os pontos F1 e F2
 Centro: o ponto O, é o ponto médio de
 Semi-eixo maior: a
 Semi-eixo menor: b
 Semi- distância focal: c
 Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
 Eixo maior: A1A2 = 2a
 Eixo menor: B1B2 = 2b
 Distância focal: F1F2 = 2c

6.  Relação fundamental
aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo
OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a
seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2

7.  Excentricidade
 Chamamos de excentricidade o número
real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a,
então c < a e, conseqüentemente,
0 < e < 1.
Observação: Quando os focos são
muito próximos, ou seja, c é muito
pequeno, a elipse se aproxima de
uma circunferência

8.  Elipse com centro na origem e eixo maior
horizontal
 Sendo c a semi-distância focal, os focos
da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

9.  Elipse com centro na origem e eixo maior
vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:

10.  Considerando dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real menor que a
distância entre F1 e F2 ,
chamamos de hipérbole o
conjunto dos pontos do plano
tais que o módulo da diferença
das distâncias desses pontos a
F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
 Por exemplo, sendo P, Q, R, S,
F1 e F2 pontos de um mesmo
plano e F1F2 = 2c, temos:

12.  A figura obtida é uma
hipérbole.
Observação:Os dois
ramos da hipérbole
são determinados por
um plano paralelo ao
eixo de simetria de
dois cones circulares
retos e opostos pelo
vértice:

13.  Elementos
 Focos: os pontos F1 e F2
 Vértices: os pontos A1 e
A2
 Centro da hipérbole: O
ponto O, que é o ponto
médio de
 Semi-eixo real: a
 Semi-eixo imaginário: b
 Semi-distância focal: c

14. •distância focal:
•eixo real:
•eixo imaginário:

15.  Excentricidade
 Chamamos de excentricidade o
número real e tal que:
Como c > a, temos
e > 1.

16.  hipérbole com
centro na origem
e focos no eixo
Ox

17.  hipérbole com centro
na origem e focos no
eixo Oy

18.  Uma hipérbole é
chamada equilátera
quando as medidas dos
semi-eixos real e
imaginário são iguais:
 a = b

19.  Assíntotas são retas
que contêm as
diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
 Quando o eixo real é
horizontal, o
coeficiente angular
dessas retas é
 Quando é vertical, o
coeficiente é
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ;quando é vertical, o coeficiente é .

20.  Eixo real horizontal e C(0, 0)
 As assíntotas passam pela
origem e têm coeficiente
angular ; logo,
suas
 equações são da forma:
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:

21.  eixo vertical e C(0, 0)
 As assíntotas passam pela
origem e têm coeficiente
angular
 equações são da forma:
eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:

23.  Assim, sendo, por
exemplo, F, P, Q e
R pontos de um
plano e d uma reta
desse mesmo
plano, de modo
que nenhum ponto
pertença a d.

24.  A parábola é obtida seccionando-se
obliquamente um cone circular reto:

25. Elementos
Observe a parábola representada a seguir, nela, temos os seguintes
elementos:
Foco: o ponto F
Diretriz: a reta d
Vértice: o pontoV
Parâmetro: p
O vértice V e o foco F
ficam numa mesma reta, o
eixo de simetria e.
Assim, sempre temos

26. •DF = p
•V é o ponto médio
de

27.  parábola com vértice na origem, concavidade
para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem
equação e na
parábola temos:
y2 = 2px

28.  parábola com vértice na origem,
concavidade para a esquerda e eixo de
simetria horizontal
y2 = -2px

29.  parábola com vértice na origem,
concavidade para cima e eixo de simetria
vertical
x2=2py

30.  parábola com vértice na origem,
concavidade para baixo e eixo de simetria
vertical
x2= - 2py

31. Jamais subestimem
o gigante intelectual
adormecido dentro
de cada um de nós.