Modelli matematici rischio credito

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Modelli matematici rischio credito

  1. 1. Modelli Matematici per la Misurazione del Rischio di Credito Giovanni Della Lunga Università degli Studi di Siena Polyhedron Computational Finance s.r.l.
  2. 2. Testi di riferimento  S. Benninga   U. Cherubini, G. Della Lunga   McGraw-Hill, Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001 F. Saita   Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel 2002 A. Resti (a cura di)   Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001 U. Cherubini, G. Della Lunga   Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001 Il risk management in banca EGEA, 2000 A. Sironi, M. Marsella (a cura di)  La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998
  3. 3. Una definizione classica…   Secondo la definizione tipicamente prevalente il rischio di credito è identificato con la possibilità che alcune delle controparti affidate da un intermediario non siano in grado di ripagare in tutto o in parte i crediti ricevuti. In base a tale definizione il rischio di credito si manifesta quindi mediante il verificarsi di un certo numero di eventi di insolvenza all’interno delle controparti affidate.
  4. 4. Una migliore definizione  Il rischio di credito rappresenta il rischio che una variazione inattesa del merito creditizio di una controparte nei confronti della quale esiste una esposizione generi una corrispondente variazione inattesa del valore della posizione creditoria.
  5. 5. Il rischio di credito: un problema di definizione    Il rischio di credito non è confinato alla sola possibilità dell’insolvenza di una controparte: anche il semplice deterioramento del merito creditizio di quest’ultima deve considerarsi una manifestazione del rischio di credito. Affinché si possa realmente parlare di rischio occorre che la variazione del merito creditizio della controparte sia inattesa. Questo porta alla definizione di due concetti   Perdita attesa Perdita inattesa
  6. 6. Perdita attesa e inattesa  Data una certa esposizione nei confronti di una controparte, la perdita attesa può essere considerata come il prodotto fra la probabilità di insolvenza della controparte e la quota di credito che si ritiene non sarebbe recuperato in caso di insolvenza.  A livello di portafoglio è comunque più conveniente definire il rischio di credito come il rischio che le perdite riscontrate si discostino dalle perdite attese da parte della banca.
  7. 7. Perdita Attesa e Inattesa  Il concetto di perdita attesa è tuttavia di importanza fondamentale.   La quantificazione della perdita attesa è infatti condizione necessaria per la definizione di una corretta politica di accantonamenti per la copertura del rischio di credito. Come vedremo rappresenta il punto di partenza nei processi di stima della componente inattesa.
  8. 8. Il rischio di credito: una classificazione   Rischio di Insolvenza Rischio di Migrazione   Rischio di Recupero   E’ legato alla possibilità che il tasso di recupero connesso alle esposizioni nei confronti delle controparti divenute insolventi si riveli inferiore a quanto originariamente stimato dalla banca. Rischio di Esposizione   In generale il peggioramento del merito creditizio di una controparte non dà luogo ad una perdita economica immediata per la banca a meno che l’esposizione creditizia non derivi da un’attività negoziata in un mercato secondario liquido come nel caso di un corporate bond. Rappresenta il rischio che la dimensione dell’esposizione nei confronti di una controparte aumenti in modo inaspettato in corrispondenza del periodo appena antecedente il verificarsi dell’insolvenza. Rischio di Spread
  9. 9. Alcune Conseguenze   La definizione data ha alcune implicazioni prima fra tutte la necessità di considerare non solo le esposizioni attuali ma anche quelle potenziali nella valutazione del rischio. Per l’insorgere del rischio di credito, quindi, non occorre necessariamente che esista un’esposizione creditizia corrente, ma è sufficiente che esistano le condizioni per cui essa può generarsi: ciò si può verificare, ad esempio nel caso di conclusione di contratti over the counter in cui l’aumento del valore di mercato della posizione per uno dei due contraenti determina automaticamente l’insorgere di una posizione creditoria nei confronti della controparte.
  10. 10. La determinazione della perdita attesa  La perdita attesa risulta data dal prodotto di tre componenti    L’esposizione assunta nei confronti della controparte (ad esempio, nel caso semplice di un mutuo considerato al momento dell’emissione, l’importo del prestito concesso); La probabilità attesa di insolvenza della controparte (pins); La percentuale attesa di perdita nel caso di insolvenza ( loss given default, LGD), esprimibile anche come il complemento ad uno del recovery rate (RR) registrato sul credito nei confronti del creditore insolvente.
  11. 11. La determinazione della perdita attesa  In formule PA = E A pins E ( LGD ) = E A pins [1 − E ( RR)] E’ utile notare che tutti e tre gli elementi sono incerti: ciò è intuitivo per quanto concerne la probabilità di insolvenza e la percentuale di perdita in caso di insolvenza ma vale anche con riferimento all’esposizione  Operazioni che concedono alla clientela discrezionalità circa l’entità del finanziamento da ricevere (es. scoperto in cc);  Operazioni in derivati OTC;
  12. 12. La determinazione della perdita attesa  Esempio   Supponiamo di avere un prestito per 10 milioni di Euro con probabilità di insolvenza stimata pari al 2% e recovery rate atteso pari al 40%, la perdita attesa sarà pari a 1.2 milioni di Euro.
  13. 13. La determinazione della perdita attesa  Nel caso più semplice in cui l’esposizione attesa sia nota la stima della perdita attesa si può ricondurre alla stima di   probabilità di insolvenza Recovery rate atteso
  14. 14. La determinazione della perdita attesa  Ci sono due principali approcci   Si può dapprima procedere ad una classificazione in base a valutazioni soggettive delle operazioni o delle controparti in classi di rischio omogenee e, successivamente, tentare di quantificare il rischio di perdita attesa associato ad ogni operazione o controparte; Si può procedere direttamente ad attribuire una perdita attesa alla singola controparte sulla base di modelli di tipo quantitativo basati sui dati economico-finanziari della singola impresa; 1. 1. Individuazione del livello di Individuazione del livello di rischiosità della singola rischiosità della singola operazione oodel singolo operazione del singolo affidato; affidato; 2. 2. Quantificazione delle Quantificazione delle perdite attese associate aa perdite attese associate tale scala tale scala 1. 1. Stima della probabilità di Stima della probabilità di insolvenza; insolvenza; 2. 2. Stima ooassunzioni sul Stima assunzioni sul recovery rate recovery rate
  15. 15. La determinazione della perdita attesa – 1o approccio Assegnazione del rating da parte dell’analista    Consente di discriminare le operazioni, all’interno di quelle accettate, in funzione del rischio associato ad ognuna di esse; Associazione della perdita attesa alla classe di merito creditizio dell’operazione o del soggetto affidato 1. 2. 3. 4. Valutazione soggettiva Valutazione “storica” sull’esperienza della banca o del sistema bancario Valutazione basata sui tassi di default cumulati registrati da titoli obbligazionari con lo stesso rischio Valutazione basata su tassi di perdita attesa desunti dagli spread dei titoli obbligazionari con lo stesso rischio
  16. 16. La determinazione della perdita attesa – 1o approccio   AAA AA A BAA BA B CAA Dati ricavabili dall’analisi storica dei bond soggetti a rating Marginal Mortality Rate Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa Marginale Cumulativa 1 anno 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.18% 0.18% 0.31% 0.31% 1.37% 1.37% 17.65% 17.65% 2 anni 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.48% 0.48% 0.00% 0.18% 1.05% 1.36% 3.78% 5.10% 9.09% 25.14% 3 anni 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.48% 0.00% 0.18% 1.05% 2.39% 5.93% 10.73% 25.00% 43.85% MMR = 4 anni 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.48% 0.00% 0.18% 2.47% 4.80% 2.08% 12.58% 0.00% 43.85% 5 anni 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.48% 0.00% 0.18% 9.38% 13.73% 4.35% 16.39% 0.00% 43.85% Tassi di mortalità per numero di emittenti su un campione di prestiti sindacati (1990-1996) – fonte: Altman, Suggitt (1997) numero di emittenti divenuti insolventi nell' anno t numero di emittenti non insolventi all' inizio dell' anno t L’analisi dei tassi di mortalità marginali e comulati permette di ricostruire non il tasso di perdita attesa ma la probabilità attesa di insolvenza. Per giungere ad una stima della perdita attesa è quindi necessario combinare tale dato con un’ipotesi circa il recovery rate anch’esso tipicamente determinato sulla base dei dati storici.
  17. 17. La determinazione della perdita attesa – 2o approccio  L’altra strada consiste nel ricorrere a tecniche quantitative che consentano di stimare direttamente la probabilità di insolvenza  Credit Scoring Questi modelli, normalmente, non hanno come risultato la formulazione di una probabilità di default ma possono essere utilizzati per la determinazione di tale probabilità    Analisi discriminante (esempio tratto da Resti (2000)) Reti Neurali Option Theory  Modello di Merton
  18. 18. La determinazione della perdita attesa Stima del recovery rate  Per ottenere una valutazione della possibile perdita occorre aggiungere un ulteriore elemento che è rappresentato dalla stima della perdita in caso di insolvenza ( loss given default) o, alternativamente, dal tasso di recupero del credito in caso di insolvenza (recovery rate) che rappresenta il complemento a 1 della perdita in caso di insolvenza
  19. 19. La determinazione della perdita attesa Stima del recovery rate  La stima del recovery rate pone due difficoltà principali   Nella stima della perdita attesa (che è il nostro argomento di analisi in questa parte) si presenta il problema di scegliere su quale base (caratteristiche dell’impresa, della singola operazione, di entrambe) costruire una base dati per determinare una stima realistica del tasso di recupero medio atteso; Nella stima della variabilità della perdita attesa (e quindi nella stima della perdita inattesa) si pone la necessità di valutare da un lato la volatilità del recovery rate e dall’altro la correlazione fra recovery rate e probabilità di insolvenza.
  20. 20. La determinazione della perdita inattesa   Come abbiamo più volte sottolineato la perdita attesa non rappresenta in senso stretto il rischio a cui un portafoglio di esposizioni creditizie è esposto; Idealmente se le perdite ex post non si discostassero mai dalle perdite attese ex ante e fossero rispettate le due condizioni relative al pricing e alla costituzione degli accantonamenti il rischio per la banca potrebbe essere considerato pressoché nullo.
  21. 21. La determinazione della perdita inattesa   In una logica di Value-at-Risk possiamo identificare il rischio assunto dalla banca a partire dalla distribuzione dei tassi di perdita come la massima variazione sfavorevole a cui la banca stessa può essere esposta. Considerando per ognuna della variabili che determinano la perdita attesa il valore più sfavorevole che esse possono assumere nello scenario peggiore e ipotizzando una perfetta correlazione fra le tre variabili, potremmo identificare la perdita massima entro un dato intervallo di probabilità come: Pwcs = Ewcs pins , wcs LGDwcs
  22. 22. La determinazione della perdita inattesa    Non tutta la perdita nel worst case scenario può essere identificata come misura del rischio dell’esposizione; Parte di tale perdita è infatti rappresentata dalla perdita attesa; La perdita inattesa è rappresentata dalla differenza fra il tasso di perdita nello scenario più sfavorevole e il tasso di perdita attesa: pi = pwcs − pa
  23. 23. La determinazione della perdita inattesa  La misurazione del rischio di credito rappresenta un compito assai più arduo di quanto non accada nel caso dei rischi di mercato. Ciò è dovuto in particolare a tre problemi chiave    La non normalità della distribuzione sia dei rendimenti delle posizioni che dei tassi di perdita; La complessità nella determinazione dell’effetto delle correlazioni fra posizioni diverse nel calcolo del VaR di portafoglio; La disomogeneità e la scarsità, sia in senso assoluto che per frequenza di rilevazione, dei dati disponibili per la stima del rischio di credito
  24. 24. La determinazione della perdita inattesa Non Normalità  Nel caso dei tassi di perdita è evidente che la distribuzione è marcatamente asimmetrica: a fronte di una perdita minima pari a zero (che costituisce il miglior risultato possibile per il detentore dell’esposizione), e di una elevata probabilità di ottenere perdite contenute, vi è una probabilità non nulla di ottenere perdite estremamente elevate.
  25. 25. La determinazione della perdita inattesa Il problema della Non Normalità 1  La distribuzione dei tassi di perdita risulta dunque limitata ad un estremo e caratterizzata da un’unica coda lunga all’altro estremo mostrando una swewness consistente 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.00 1.00 Densità 2.00 3.00 Dist. Cumulata 4.00 5.00 6.00
  26. 26. La determinazione della perdita inattesa Il problema della  Correlazione L’analisi dell’impatto delle correlazioni fra le varie posizioni ai fini della determinazione del VaR di portafoglio risulta molto più complesso;    Non normalità dei tassi di perdita Determinanti della diversificazione (individuazione dei risk factors) Disomogeneità e scarsità dei dati a disposizione
  27. 27. Che cosa è il Value-at-Risk  Il VaR misura la massima perdita attesa in un dato intervallo di tempo ad un dato livello di confidenza in condizioni normali di mercato
  28. 28. Che cosa è il Value-at-Risk Dalla serie storica ... … alla distribuzione di probabilità
  29. 29. Che cosa è il Value-at-Risk     E’ una tecnica di gestione del rischio diffusa nell’area finanziaria degli istituti di credito. Il Value-at-Risk (VaR) è una misura della perdita potenziale di capitale che può insorgere a causa di movimenti avversi nelle variabili finanziarie rilevanti. Un portafoglio con un VaR con un livello di confidenza del 95% non dovrebbe subire perdite superiori a quelle stimate in 95 casi su 100. Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi : • • • •  misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa; calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio; valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione; determinazione del livello di probabilità (o intervallo di confidenza). Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione delle quattro componenti sopra riportate.
  30. 30. Che cosa è il Value-at-Risk  Con riferimento alla distribuzione riportata, vediamo che esiste una probabilità del 5 % che il rendimento divenga minore di –1.7 % nell’arco di un mese. Quindi se ipotizziamo di avere un patrimonio iniziale di 100 milioni di lire, il VAR è pari a 1.7 milioni con un livello di confidenza del 95%.
  31. 31. La determinazione del Value-at-Risk per il rischio di credito  Come abbiamo già visto il rischio complessivo associato ad un’esposizione creditizia dipende fondamentalmente dai seguenti fattori:     Volatilità dell’esposizione attesa Volatilità della probabilità attesa di insolvenza Volatilità della perdita in caso di insolvenza ( recovery rate volatility) Correlazioni fra esposizione, probabilità di insolvenza e recovery rate
  32. 32. La determinazione del Value-at-Risk per il rischio di credito  Occorre introdurre qualche semplificazione!     Sulla tipologia di rischio considerata (solo rischio di insolvenza o anche il rischio di deterioramento della qualità dell’affidato) Sui fattori determinanti la probabilità di migrazione o di insolvenza (classi di rating, settori, paese, etc…) Sulla classificazione (per classi discrete oppure nel continuo) del livello di rischio della singola controparte Sull’approccio metodologico utilizzato per la determinazione della probabilità di insolvenza e del tasso di perdita (attuariale, macroeconomico, a la Merton, etc…)
  33. 33. La determinazione del Value-at-Risk per il rischio di credito  Principali modelli attualmente disponibili Modelli basati su una valutazione a valori di mercato  CreditMetrics Modelli di tipo attuariale  CreditRisk+ Modelli basati sull’approccio “alla Merton”  KMV Modelli basati sull’evoluzione di fattori macroeconomici  CreditPortfolioView (McKinsey)
  34. 34. CreditMetrics TM
  35. 35. CreditMetrics    TM Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™ Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del merito creditizio della controparte E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato    Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei flussi futuri scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito dell’operazione Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le variazioni del valore di mercato della posizione connesse alla variazione del tasso di attualizzazione dei flussi futuri Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte del mercato di un tasso di attualizzazione più elevato
  36. 36. CreditMetrics  Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating    TM Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola esposizione La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la probabilità che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi in ciascuna delle diverse possibili classi di rating al tempo t + 1 I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di rating, la curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul quale si intende misurare il rischio (tipicamente un anno)
  37. 37. CreditMetrics  La matrice di transizione rappresenta la probabilità di una controparte caratterizzata da un certo rating al tempo t … Rating iniziale AAA AA A BBB BB B CCC AAA 90.81% 0.70% 0.09% 0.02% 0.03% 0.00% 0.22% AA 8.33% 90.65% 2.27% 0.33% 0.14% 0.11% 0.00% TM … di trovarsi in una delle diverse possibili classi di rating al tempo t+1 (tipicamente dopo un anno) …  Matrice di transizione ad un anno Rating a fine anno A BBB BB 0.68% 0.06% 0.12% 7.79% 0.64% 0.06% 91.05% 5.52% 0.74% 5.95% 86.93% 5.30% 0.67% 7.73% 80.53% 0.24% 0.43% 6.48% 0.22% 1.30% 2.38% … oppure di cadere in stato di insolvenza  B 0.00% 0.14% 0.26% 1.17% 8.84% 83.46% 11.24% CCC 0.00% 0.02% 0.01% 0.12% 1.00% 4.07% 64.86% Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di rimanere nella medesima classe di partenza Default 0.00% 0.00% 0.06% 0.18% 1.06% 5.20% 19.79%
  38. 38. CreditMetrics   Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad ogni stato; CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di un anno dal momento della valutazione    TM Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad ogni scadenza per ogni classe di rating In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term structure dei tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è possibile calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in corrispondenza ad ogni possibile classe di rating alla data di un anno da quella di valutazione (esempio).
  39. 39. CreditMetrics   TM Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore di mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello di rating. Ciò che invece non può essere calcolato con questo procedimento è il valore del credito in caso di default In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una percentuale del valore nominale del prestito che rappresenta la Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale) Tassi di recupero per classe di senioritysi presume di recuperare (recovery rate) stima dell’ammontare che (% del valore nominale) Deviazione Deviazione  Classe di seniority Mediasi possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di In particolare Classe di seniority Media standard standard recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di Senior Secured 53.80% 26.86% Senior Securedseniority53.80% in base alla graduazione dei privilegi nel rimborso 26.86% (ovvero Senior Unsecured 51.13% 25.45% Senior Unsecured crediti) 51.13% 25.45% dei Senior Subordinated 38.52% 23.81% Senior Subordinated 38.52% 23.81% Subordinated 32.74% 20.18% Subordinated 32.74% 20.18% Junior Subordinated 10.90% Junior Subordinated 17.09% 17.09% 10.90% 
  40. 40. CreditMetrics  TM A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating disponiamo   Della matrice di transizione Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e all’evento di default E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo alla data di un anno a partire da oggi!
  41. 41. CreditMetrics  TM Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste producendo in output la seguente tabella Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe con Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore 109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 Probabilità 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18% Variazione valore prestito 1.82 1.64 1.11 0.00 -5.52 -9.45 -23.91 -56.40 BBB Durata : 5 Calcola
  42. 42. CreditMetrics  TM Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile anche la distribuzione delle perdite ad esso associate  Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare attenzione alla determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In questo caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle probabilità che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si verifichino dei guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi di rating migliori. Perdite 0.00 5.52 9.45 23.91 56.40 Probabilità 93.23% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18%
  43. 43. CreditMetrics TM Distribuzione valore del Prestito Distribuzione delle perdite 10.00% 10.00% 9.00% 9.00% 8.00% 8.00% 7.00% 7.00% 6.00% 6.00% 5.00% 5.00% 4.00% 4.00% 3.00% 3.00% 2.00% 2.00% 1.00% 1.00% 0.00% 0.00% 109.35   109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 0.00 5.52 9.45 23.91 56.40 Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che normale; Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a quelle derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;
  44. 44. CreditMetrics  TM I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale media varianza Dev. Standard 1o perc. Normale 1o perc. Effettivo VaR Effettivo = 14.79 VaR Normale = 6.97 107.07 8.94 2.99 100.10 92.28 Il Value-at-Risk effettivo è più del doppio di quello stimato con l’ipotesi di normalità !!!
  45. 45. CreditMetrics  TM Il rischio di Portafoglio   Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con più prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari prenditori; Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio;      La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso settore industriale; Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico; Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni fra i rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti azionari; Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente dal capitale azionario; Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei rendimenti dei prenditori;
  46. 46. CreditMetrics    TM Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto da Merton (1974), il default di un’azienda si verifica quando il valore delle sue attività scende al di sotto di un certo livello; Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali si distribuisca secondo una normale e consideriamo la distribuzione standardizzata; Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i è pari a pi allora il valore soglia di default è dato da Φ −1 ( pi ) −1 Dove Φ (.) è l’inversa della funzione di densità cumulata di una distribuzione normale standard.
  47. 47. CreditMetrics  TM Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB troviamo Distribuzione normale standard di un prenditore BBB Distribuzione normale standard McGraw-Hill 2001) BBB di un prenditore (fonte: Benninga S. Modelli Finanziari (fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001) 0.45 0.45 Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.02% 100.00% 109.17 0.33% 99.98% 108.64 5.95% 99.65% 107.53 86.93% 93.70% 102.01 5.30% 6.77% 98.09 1.17% 1.47% 83.63 0.12% 0.30% 51.13 0.18% 0.18% Soglia 3.54 2.70 1.53 -1.49 -2.18 -2.75 -2.91 0.4 0.4 0.35 0.35 0.3 0.3 0.25 0.25 Probabilità Probabilità Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 Default CCC B BB L'azienda rimane BBB A AA AAA Default 0,12% CCC B BB L'azienda rimane BBB 5,95% A AA AAA 0,18% 1,17% 5,30% 86,93% 0,33% 0,02% 0,18% 0,12% 1,17% 5,30% 86,93% 5,95% 0,33% 0,02% ZDef ZCCC ZBB ZBBB ZA ZAA ZB Z Z Z Z Z Z Z -2,91Def -2,75CCC -2,18 B -1,49BB 1,53BBB 2,70 A 3,54 AA -2,91 -2,75 1,53 2,70 3,54 -2,18 -1,49 Rendimento attività Rendimento attività
  48. 48. CreditMetrics    TM A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due prenditori caratterizzati da una determinata misura di correlazione; Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i coefficienti di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei prenditori (o di gruppi di prenditori sulla base dell’area geografica e del settore di appartenenza); Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano secondo una distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei rendimenti relativi alle varie classi di rating ri ed rj e del coefficiente di correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali ρ :   1 2 2 f (ri , rj , ρ ) = exp − ri + rj − 2 ρri rj  2 2 2π 1 − ρ  2 1− ρ  1 ( ( ) )
  49. 49. CreditMetrics  TM Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale  Determinazione delle soglie Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.02% 100.00% 109.17 0.33% 99.98% 108.64 5.95% 99.65% 107.53 86.93% 93.70% 102.01 5.30% 6.77% 98.09 1.17% 1.47% 83.63 0.12% 0.30% 51.13 0.18% 0.18% Soglia Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.09% 100.00% 109.17 2.27% 99.91% 108.64 91.05% 97.64% 107.53 5.52% 6.59% 102.01 0.74% 1.07% 98.09 0.26% 0.33% 83.63 0.01% 0.07% 51.13 0.06% 0.06% Soglia 3.54 2.70 1.53 -1.49 -2.18 -2.75 -2.91 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 − 1.49 ≤ ri ≤ 1.53 − 1.51 ≤ rj ≤ 1.98
  50. 50. CreditMetrics  TM Calcolo dell’integrale doppio P (−1.49 ≤ rBBB ≤ 1.53;−1.51 ≤ r∫A ≤ 1.98 = ∫ 1.53 1.98 −1.49 −1.51 1.53 1.98 ∫ ∫ −1.49 −1.51  1 exp − ri 2 + rj2 − 2 ρri rj 2 2 1− ρ 2 2π 1 − ρ  1 ( ( ) Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica )   dri drj 
  51. 51. CreditMetrics  TM Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei due prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di migrazione congiunte Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori Correlazione Correlazione Nr. Parti Nr. Parti Prend. 1 Prend. 1 Soglia Soglia AAA AAA AA AA A A BBB BBB BB BB B B CCC CCC Default Default 0.2 0.2 100 100 Soglia Soglia 4.00 4.00 3.54 3.54 2.70 2.70 1.53 1.53 -1.49 -1.49 -2.18 -2.18 -2.75 -2.75 -2.91 -2.91 -4.00 -4.00 Totale Totale AAA AAA 3.12 3.12 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02% 0.02% 0.07% 0.07% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.09% 0.09% AA AA 1.98 1.98 0.00% 0.00% 0.02% 0.02% 0.29% 0.29% 1.91% 1.91% 0.04% 0.04% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2.28% 2.28% Prenditore 2 Prenditore 2 A BBB A BBB -1.51 -2.30 -1.51 -2.30 0.02% 0.00% 0.02% 0.00% 0.30% 0.00% 0.30% 0.00% 5.56% 0.15% 5.56% 0.15% 79.74% 4.71% 79.74% 4.71% 4.67% 0.52% 4.67% 0.52% 1.00% 0.14% 1.00% 0.14% 0.10% 0.02% 0.10% 0.02% 0.15% 0.03% 0.15% 0.03% 91.53% 5.55% 91.53% 5.55% BB BB -2.72 -2.72 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.61% 0.61% 0.08% 0.08% 0.02% 0.02% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.74% 0.74% B B -3.19 -3.19 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.21% 0.21% 0.03% 0.03% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.26% 0.26% CCC CCC -3.24 -3.24 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% Default Default -4.00 Totale -4.00 Totale 0.00% 0.02% 0.00% 0.02% 0.00% 0.33% 0.00% 0.33% 0.00% 6.03% 0.00% 6.03% 0.04% 87.31% 0.04% 87.31% 0.01% 5.36% 0.01% 5.36% 0.00% 1.18% 0.00% 1.18% 0.00% 0.12% 0.00% 0.12% 0.00% 0.18% 0.00% 0.18% 0.06% 100.53% 0.06% 100.53% In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2
  52. 52. CreditMetrics  TM Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle attività dei due prenditori. Il calcolo è analogo a quello visto precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i flussi futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio ipotizzando due strutture di prestito del tipo   Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5 anni Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3 anni Otteniamo Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore 1 109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 Valore 2 106.59 106.49 106.30 105.64 103.15 101.39 88.71 51.13
  53. 53. CreditMetrics      TM Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media, varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso otteniamo Media = 213.26 Varianza = 10.97 St. Deviation = 3.31 VaR = ?
  54. 54. CreditMetrics   TM Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli diventano ovviamente più complessi; CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi    Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati del mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che possono verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di riferimento (1 anno) Valutazione del portafoglio in ogni scenario Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle statistiche di rischio del portafoglio
  55. 55. CreditMetrics  TM Generazione degli scenari  Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito Prestito 1 Prestito 2 Prestito 3 $4mil., BBB rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 6%, scadenza 5 anni $2mil., A rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 5%, scadenza 3 anni $1mil., CCC rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 10%, scadenza 2 anni
  56. 56. CreditMetrics  TM Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo Rating Rating AAA AAA AA AA A A BBB BBB BB BB B B CCC CCC Default Default Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo Azienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC) Azienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC) pi zi pi zi pi zi cumul cumul cumul pi zi pi zi pi zi cumul cumul cumul 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85
  57. 57. CreditMetrics   TM Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola azienda si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due aziende secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo una normale multivariata; Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi azionari delle società in portafoglio. Matrice di correlazione Matrice di correlazione Azienda 11 Azienda 22 Azienda 33 Azienda Azienda Azienda Azienda 11 1.0 0.3 0.1 Azienda 1.0 0.3 0.1 Azienda 22 1.0 0.3 0.2 Azienda 1.0 0.3 0.2 Azienda 33 1.0 0.1 0.2 Azienda 1.0 0.1 0.2
  58. 58. CreditMetrics  TM Per la determinazione della correlazione si può procedere nel modo seguente   Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una componente specifica; Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore, determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due controparti da utilizzare ai fini della simulazione
  59. 59. CreditMetrics  TM Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento azionario può essere scomposto come ′ rA = w1, A I1 + w2, A I 2 + w3, A rA ′ rB = w1, B I 3 + w2, B rB  I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di rischio specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi attribuiti a ciascuna controparte.
  60. 60. CreditMetrics   TM E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i rendimenti di A e B sulla base della correlazione fra i diversi fattori; Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0 ρ A, B = w1, A w1, B ρ I1 , I 2 + w2, A w1, B ρ I 2 , I 3
  61. 61. CreditMetrics   TM Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali distribuiti secondo una normale standard ma con correlazione assegnata pari alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di mercato Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di Cholescky
  62. 62. CreditMetrics  TM Cholescky Decomposition   Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n × n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata Σ. Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone Y = AX  Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n× n tale che AA = Σ t
  63. 63. CreditMetrics  TM Cholescky Decomposition   La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato Σ. Se la matrice Σ è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky. Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,  A11   A21 A=   A  n1       Ann   0  A22    An 2 0 0 
  64. 64. CreditMetrics  TM Cholescky Decomposition  Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative i −1 2 aii = σ ii − ∑ aik k =1  i −1 1   a ji =  σ ij − ∑ aik a jk  aii  k =1  Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo 0  σ1   A= σ ρ σ 1 − ρ 2  2  2 
  65. 65. CreditMetrics  TM Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri casuali correlati in 4 stadi    Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali standard non correlati; Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di rating in quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento dei valori soglia;   E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo emittente confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del singolo soggetto per ogni giro della simulazione. Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività finanziarie per ogni classe di rating.
  66. 66. CreditMetrics  TM Valorizzazione dell’esposizione   Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di ogni esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto forward; L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di default che si considera pari ad una percentuale di recupero sul valore nominale dell’esposizione  Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si distribuisca secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1 ed è caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione della media e della deviazione standard della distribuzione stessa µ (µ − µ 2 − σ 2 ) α= σ2 (1 − µ ) µ 2 − µσ 2 (1 − µ ) 2 σ β= µ
  67. 67. CreditMetrics  TM Conclusioni    Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk (VaR) relativo al rischio di credito delle attività finanziarie (obbligazioni, prestiti bancari, etc…); In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in base ad un certo intervallo di confidenza; Questo modello richiede molti input di base tra cui     Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in classi di rischio Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di transizione da una classe di rating ad un’altra I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority
  68. 68. CreditMetrics   TM L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come riferimento metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di adeguatezza del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio di credito. Limiti del modello CreditMetrics    1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di Merton è necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del rischio  2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione tra i valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza di leverage" 
  69. 69. CreditRisk+ TM
  70. 70. CreditRisk+   Sviluppata da Credit Suisse Financial Products ( www.csfb.com/creditrisk); Si basa su un approccio di tipo attuariale;  Fa perno su metodologie già utilizzate nella determinazione delle riserve patrimoniali necessarie a fronte di un portafoglio di polizze assicurative;
  71. 71. CreditRisk+      A) E’ una metodologia per la stima della distribuzione delle perdite future; B) Considera il rischio di controparte mentre dedica meno attenzione ai rischi di esposizione e di recupero; C) Adotta una distribuzione binomiale degli eventi creditizi; D) Postula che le diverse controparti siano indipendenti fra loro per ogni dato scenario macroeconomico; E) Richiede dati di input in parte diversi da quelli necessari per implementare altri modelli di credit risk management.
  72. 72. CreditRisk+  A  CreditRisk+ concentra la propria attenzione sulla stima delle perdite future.   In alternativa, come sappiamo, sarebbe possibile guardare alle variazioni nel valore attuale dei crediti (o nel loro valore di mercato se si tratta di crediti quotati su un mercato secondario) come accade, ad esempio, in CreditMetrics™ Lavorando sulla distribuzione delle perdite e non dei valori attuali, CreditRisk+ perviene quindi ad una stima del rischio di credito che è svincolata rispetto ad eventuali shock negli spread di mercato   Questo appare sostanzialmente corretto per tutte quelle situazioni in cui i crediti non hanno accesso ad un mercato secondario e sono destinati ad essere conservati nel bilancio della banca fino alla loro scadenza naturale; Qualora tuttavia la diffusione di strumenti di titolarizzazione e cessione del rischio di credito (ad esempio attraverso strumenti derivati) dovesse assumere le caratteristiche di un mercato di massa, diverrebbe più corretto incorporare nel valore del portafoglio crediti anche l’effetto dei possibili cambiamenti negli spread.
  73. 73. CreditRisk+  B  CreditRisk+ si concentra solo sulla probabilità di insolvenza mentre l’importo prestato e la severity sono considerati noti a priori;   E’ possibile quindi che l’utilizzo di questo modello sottostimi in qualche modo la reale portata del rischio; E’ comunque possibile, anche se non estremamente semplice, porre rimedio utilizzando la struttura logica del modello e facendo ricorso a tecniche di simulazione Monte Carlo.
  74. 74. CreditRisk+  C     In CreditRisk+ si suppone che un credito evolva in modo binomiale: questo significa che al termine di un determinato arco temporale il prestito può essere ancora attivo oppure aver dato luogo ad una perdita. Tutti i possibili “stati del mondo” si riducono così al binomio “sopravvivenza/insolvenza”; Non esistono situazioni intermedie; Tutti i crediti insolventi sono considerati uguali.
  75. 75. CreditRisk+  D    CreditRisk+ ipotizza l’indipendenza condizionale dei singoli crediti; In pratica si assume che, per ogni possibile stato del mondo, i crediti presenti nel portafoglio di una banca siano non correlati cioè che il fallimento di un debitore non dipenda, in nessun modo, da quello degli altri; Questa ipotesi di indipendenza vale tuttavia solo per le distribuzioni condizionali (cioè conseguenti ad un determinato stato del mondo); se si allarga il quadro fino a ricomprendere tutti i possibili stati del mondo futuri, allora la distribuzione complessiva (non condizionale) delle perdite mostra un certo grado di correlazione.
  76. 76. CreditRisk+  E  Come abbiamo visto uno dei principali Obiettivi del modello è quello di minimizzare gli input informativi richiesti con lo scopo di ridurre il rischio connesso ad una stima erronea dei parametri     Entità dell’esposizione Probabilità attesa di insolvenza della controparte o di una classe di controparti; Volatilità del tasso di perdita medio; Recovery rate
  77. 77. CreditRisk+  E   Non richiede la stima di curve dei tassi ad hoc per controparti di diversa qualità; Non richiede all’utente di specificare in modo esplicito la matrice delle correlazioni fra i diversi debitori;
  78. 78. CreditRisk+  Dato questo obiettivo preciso, il problema può essere ricondotto alla stima dell’impatto di un evento dannoso incerto in cui gli elementi chiave da considerare sono:   La probabilità che l’evento negativo si manifesti e quindi la distribuzione della probabilità di insolvenza; La severità delle perdite nel caso in cui l’evento negativo si manifesti.
  79. 79. CreditRisk+ La distribuzione del tasso La distribuzione del tasso di insolvenza di insolvenza
  80. 80. CreditRisk+  Analisi della distribuzione della probabilità di insolvenza   Consideriamo un campione di N controparti; La probabilità di insolvenza specifica per ogni singola controparte sia pA . Questa probabilità si ritiene nota a priori ;   In concreto questa probabilità dovrà essere attribuita con qualche procedura di rating!! Indichiamo con p(n) la probabilità che si verifichino n casi di insolvenza nel periodo considerato.
  81. 81. CreditRisk+  Vogliamo costruire la distribuzione di p(n) in funzione di n  Introduciamo la funzione generatrice delle probabilità F( z ) = ∞ ∑ p( n )z n n =0  dove z è una variabile aleatoria che vale 1 in caso di default e 0 altrimenti
  82. 82. CreditRisk+   Si definisce funzione generatrice delle probabilità F(z) una funzione di una variabile ausiliaria z costruita in modo tale che, dal suo sviluppo in serie di Taylor, si possa dedurre l’intera distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta x Più precisamente, se ∞ ∞ 1 d n F ( z) n F ( z ) = ∑ p ( n) z n = ∑ z n dz n =0 n = 0 n! rappresenta lo sviluppo in serie di F(z), allora d n F ( z) p ( n) = dz n esprime la probabilità che x risulti uguale ad n.
  83. 83. CreditRisk+  Per il singolo debitore il numero di casi di insolvenza può essere solo 0 o 1e quindi p(n) = 0 per ogni n > 1. Allora possiamo scrivere FA ( z ) = 1 ∑ p( n )z n = ( 1 − p A ) + p A n =0 = 1 + p A( z − 1 )  Essendo pA la probabilità di insolvenza del debitore considerato
  84. 84. CreditRisk+   Supponiamo che il verificarsi dell’insolvenza sia un fenomeno indipendente fra le diverse controparti. In questo caso la funzione generatrice dei momenti del singolo portafoglio può essere scritta come la produttoria delle funzioni generatrici a livello di singola controparte F( z ) = ∏ FA( z ) = ∏ [1 + p A( z − 1 )] A = ∏e A ln[ 1+ p A ( z −1 )] A   = exp    ∑ A   ln[( 1 + p A ( z − 1 )]   
  85. 85. CreditRisk+  Se la probabilità di insolvenza è sufficientemente piccola possiamo scrivere ln[1 + p A ( z − 1 )] ≈ p A ( z ⇓  F ( z ) = exp   dove µ = ∑ pA A ∑ A rappresenta il numero medio di casi di −1 ) insolvenza attesi nel portafoglio (e quindi è per definizione la media della variabile casuale “numero di default totali”  p A ( z − 1 ) = exp[ µ( z − 1 )]  
  86. 86. CreditRisk+  Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale otteniamo F( z ) = e = ∞ ∑ n =0 e −µ µ ( z −1 ) n µ n z n! =e −µ ∞ ( µz ) n! n =0 ∑ n
  87. 87. CreditRisk+  Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale otteniamo F( z ) = e = ∞ ∑ n =0 e −µ µ ( z −1 ) n =e −µ ∞ ∞ ( µz ) n! n =0 ∑ µ n n z = p( n )z n! n =0 ∑ n
  88. 88. CreditRisk+  …paragonando i due termini otteniamo: p( n ) = e −µ µ n! n La funzione di probabilità dei casi di insolvenza si distribuisce quindi come una distribuzione di Poisson
  89. 89. CreditRisk+ La distribuzione di Poisson ha media µ e deviazione standard pari alla radice quadrata di µ Distribuzione di Poisson probabilità  0.3 media 4 media 2 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 5 10 15 20 25 numero eventi
  90. 90. CreditRisk+  Esempio    portafoglio di 200 controparti probabilità di insolvenza 2% numero casi di insolvenza attesi 4   µ = 200 × 0.02 = 4 probabilità di non avere nessun caso di insolvenza e −4 4 0 p( 0 ) = = 1.83% 0!  probabilità di avere esattamente 4 casi di insolvenza e −4 4 4 p( 4 ) = = 19.54% 4!
  91. 91. CreditRisk+  Se il merito di credito dei debitori è basso, e quindi le probabilità di insolvenza non sono trascurabili, allora le approssimazioni svolte possono portare ad errori sensibili caso 11 caso caso 22 caso caso 33 caso probabilità di default dei singoli debitori probabilità di default dei singoli debitori Rossi Rossi Bianchi Bianchi Verdi Verdi n n 00 11 22 33 1.00% 1.00% 2.00% 2.00% 0.50% 0.50% 5.00% 5.00% 10.00% 10.00% 2.50% 2.50% 25.00% 25.00% 50.00% 50.00% 12.50% 12.50% probabilità di assistere ad nndefault probabilità di assistere ad default Stimate Reali Stimate Reali Stimate Stimate Reali Stimate Reali Stimate 96.60% 96.50% 83.90% 83.40% 41.70% 96.60% 96.50% 83.90% 83.40% 41.70% 3.40% 3.40% 14.70% 15.80% 36.50% 3.40% 3.40% 14.70% 15.80% 36.50% 0.10% 0.00% 1.30% 0.80% 16.00% 0.10% 0.00% 1.30% 0.80% 16.00% 0.00% 0.00% 0.10% 0.00% 4.70% 0.00% 0.00% 0.10% 0.00% 4.70% Reali Reali 32.80% 32.80% 48.40% 48.40% 17.20% 17.20% 1.60% 1.60% Fonte: A. Resti “La gestione del rischio di credito con modelli di derivazione attuariale: il caso di CreditRisk+” Fondo Interbancario di Tutela dei Depositi, Working Paper Nro 4
  92. 92. CreditRisk+ Dalla distribuzione del tasso di insolvenza alla Dalla distribuzione del tasso di insolvenza alla distribuzione del tasso di distribuzione del tasso di perdita perdita
  93. 93. CreditRisk+   L’analisi svolta fino a questo momento si è concentrata sulla probabilità che l’evento di insolvenza si manifestasse, senza tuttavia considerare la severità delle possibili perdite connesse all’insolvenza che dipendono dall’ammontare dell’esposizione e dal recovery rate atteso Il numero di debitori in default rappresenta una variabile casuale di scarso interesse per chi gestisce i rischi di una banca;    Le perdite sui crediti rappresentano una variabile monetaria su una scala continua; Tuttavia abbiamo fin qui utilizzato un modello basato su una variabile discreta! Per continuare ad usare l’approccio visto sin qui dobbiamo cercare di descrivere il portafoglio crediti attraverso una scala discreta raggruppando le esposizioni in un numero limitato di “gradini”
  94. 94. CreditRisk+   Ogni controparte viene caratterizzata direttamente per l’importo corrispondente alla E’ possibile specificare un tasso di perdita in caso di insolvenza (Loss Given recupero diverso per ogni controparte Default) ma tale percentuale è considerata come se fosse un valore certo. Questa è una caratteristica rilevante Per ogni esposizione è necessario effettuare del modello che non consente infatti di un’ipotesi deterministica circarischio addizionale includere il   connesso all’incertezza del tasso di connesso Il livello di esposizione recupero. all’incertezza del tasso della in caso di insolvenza di controparte; il recovery rate
  95. 95. CreditRisk+  Si raggruppano le esposizioni in bande omogenee secondo le loro loss given default   le bande sono definite in termini di multipli di un dato importo base L nell’esempio L = $10.000 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 probabilità di default (pi) 1.00% 2.00% 0.50% 2.00% 1.00% 1.00% 1.00% 2.00% 2.50% 2.00% 0.50% 2.00% 1.00% Loss Given Default (Li) $11 000 $12 000 $11 000 $9 500 $22 000 $21 000 $19 500 $20 800 $33 000 $28 500 $31 000 $30 800 $29 000 totale 18.50% $279 100 Banda (vi) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3
  96. 96. CreditRisk+  Ogni banda è caratterizzata da un numero atteso di default... µj  … e da una perdita attesa che sarà espressa in multipli di L ε j =ν j × µ j
  97. 97. CreditRisk+ # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 probabilità di default (pi) 1.00% 2.00% 0.50% 2.00% 1.00% 1.00% 1.00% 2.00% 2.50% 2.00% 0.50% 2.00% 1.00% totale 18.50% Importo (Li) 11 000.00 12 000.00 11 000.00 9 500.00 22 000.00 21 000.00 19 500.00 20 800.00 33 000.00 28 500.00 31 000.00 30 800.00 29 000.00 Esposizione Perdita Importo attesa Arrotondato per unità di valore λi (vi) € 1.00 1.10 € 110.00 € 1.00 1.20 € 240.00 € 1.00 1.10 € 55.00 € 1.00 0.95 € 190.00 € 2.00 2.20 € 220.00 € 2.00 2.10 € 210.00 € 2.00 1.95 € 195.00 € 2.00 2.08 € 416.00 € 3.00 3.30 € 825.00 € 3.00 2.85 € 570.00 € 3.00 3.10 € 155.00 € 3.00 3.08 € 616.00 € 3.00 2.90 € 290.00 € 279 100.00 € 4 092.00 € € € € € € € € € € € € € Perdita attesa per unità di valore ε 0.0110 0.0240 0.0055 0.0190 0.0220 0.0210 0.0195 0.0416 0.0825 0.0570 0.0155 0.0616 0.0290 Perdita Attesa 0.06 0.10 0.25 0.41 ε/ν 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.01 0.02 0.01 Nr Default Attesi 0.0595 0.0521 0.0819 0.1934
  98. 98. CreditRisk+  Ogni banda viene considerata un portafoglio a se stante p(n’) individua la probabilità di ottenere perdite complessive nell’ipotesi che µj sia costante in ciascuna banda, pari a n’ volte l’importo L possiamo esprimere la funzione generatrice delle probabilità della banda j-esima come  G j( z ) = ∞ ∑ p( n' )z n' =0 n'
  99. 99. CreditRisk+  Poiché approssimativamente la perdita in caso di singola insolvenza all’interno di una banda è pari a νj, il numero di casi di insolvenza n necessario per determinare perdite pari a n’L sarà dato da n ×ν j × L = n' ×L ⇒ n' = n ×ν j  Sostituendo in G(z) ed osservando che la probabilità che ci siano perdite pari a n’L coincide con la probabilità che ci siano n casi di insolvenza nella banda considerata, si ha ∞ nν j G j( z ) = p( n )z n =0 ∑
  100. 100. CreditRisk+  Sostituendo a p(n) la sua espressione si ha ∞ ∑ G j( z ) = e −µ j n =0 e νj −µ j µ j z e =e µn j n! z nν j =e −µ j (z µ ) ∑ ∞ n =0 νj −µ j + µ j z νj j n! n =
  101. 101. CreditRisk+  Se le bande di LGD sono indipendenti fra loro la f.g.p. del portafoglio può essere ricavata come produttoria delle f.g.p. delle singole bande ottenendo così G( z ) = ∏G j( z ) = ∏e j  exp −   j ∑µj +∑ j j  µ jz    νj νj −µ j + µ j z =
  102. 102. CreditRisk+  Da G(z) possiamo ricavare l’espressione della probabilità di perdita per ogni possibile multiplo di L n 1 d G( z ) Pr ob( perdite = n × L ) = n! dz n z =0   Es. Il termine di grado 6 esprimerà la probabilità di perdere 6L $ non importa se attraverso il default di due crediti di banda tre, di tre crediti di banda due o in altri modi ancora; Tutta la distribuzione delle perdite future (“discretizzata” attraverso il passaggio ai multipli interi di L) è dunque ora nota … basta “solo” calcolarla!
  103. 103. CreditRisk+  Poiché G(z) è un esponenziale dG ( z ) d  n νj  = G ( z ) ∑ µ j z  = G ( z ) H ( z ) dz dz  j =1  1 d n −1 p ( n) = [ G ( z ) H ( z )] z =0 n −1 n! dz Regola di Eulero sulla derivata n-esima di un prodotto q  q  d q−k G( z ) d k H ( z ) dq [ G ( z ) H ( z )] = ∑   q − k q  k  dz dz dz k k =0  
  104. 104. CreditRisk+ 1 n −1  n − 1 d n −1− k G ( z ) d k H ( z ) p ( n) = ∑  k  k  dz n −1− k  n! k =0    0 dz =0 z= z     A B 1 d n −1− k = (n − k − 1)! G ( z ) = (n − k − 1)! p(n − k − 1) (n − k − 1)! dz n −1− k z =0 Per sviluppare B osserviamo che  0  dn  m  ν µ j z j  = n! µ j ∑ dz n  j =1  z =0  0  n >ν j n =ν j n <ν j 0  d k +1  m ν  B = k +1 ∑ µ j z j  =  dz  j =1  z =0 (k + 1)! µ j k ≠ ν j −1 k = ν j −1
  105. 105. Si tratta di una relazione ricorsiva con cui è possibile generare tutti i p(n) CreditRisk+  Sostituendo ad A e B e considerando solo i termini della sommatoria per cui k = vj – 1 (perché diversamente B si annulla) otteniamo p ( n) = 1  n − 1 ∑−1 n!  k (n − k − 1)!p(n − k − 1)(k + 1)!µ j =   k ≤n   (n − 1)!(n − k − 1)!( k + 1)! ∑−1 n!k!(n − k − 1)! p(n − k − 1) µ j = k ≤n µ jν j ∑n n p ( n − ν j ) = j |ν j ≤ ∑ε ν j| j ≤n j p(n −ν j ) n Dove abbiamo fatto uso della definizione di µj e dell’uguaglianza k + 1 = vj inizializzazione p (0) = G (0) = e −µ
  106. 106. CreditRisk+ 90.00% 80.00% 70.00%  Utilizzando i dati dell’esempio abbiamo 60.00% 50.00% p (0) = e − µ p (1)40.00%1 p (o) =ε n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 ε p (1) + ε 2 p (2) p (230.00% 1 )= 2 20.00% ε p (2) + ε 2 p (1) + ε 3 p (0) p (3) = 1 3 10.00% etc... perdita 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 300000 probabilità 82.41% 4.90% 4.44% 7.01% 0.52% 0.37% 0.30% 0.03% 0.02% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30
  107. 107. CreditRisk+ Tassi di default Tassi di default stocastici stocastici
  108. 108. CreditRisk+  I risultati sin qui discussi si basano su due ipotesi di lavoro estremamente impegnative   Si conosce con certezza la probabilità di default di ogni debitore; Si assume che i crediti presenti in portafoglio siano non correlati, ovvero che il default di un prenditore sia indipendente da quello di tutti gli altri
  109. 109. CreditRisk+    Nella realtà accade che il tasso di insolvenza dei debitori non sia costante Inoltre dai dati empirici si ricava che la volatilità delle percentuali di insolvenza è superiore a quella deducibile dalla distribuzione di Poisson; Si introduce allora l’ipotesi che il tasso medio di casi di insolvenza in portafoglio non sia rappresentato da un valore fisso bensì da una variabile aleatoria X con media µX e deviazione standard σX ;
  110. 110. CreditRisk+   In particolare si ipotizza che tale variabile sia distribuita secondo una Gamma; diversi sottoinsiemi di controparti (rappresentati ad esempio da diverse classi di rating) possono essere così caratterizzati da probabilità di insolvenza con valore atteso e volatilità differenti fra loro;
  111. 111. CreditRisk+  La funzione di densità della distribuzione Gamma è data da  x  α −1 f ( x;α , β ) = α exp  x β β Γ (α )   1  essendo  µX α = σ  X ∞     2 Γ (α ) = e − x xα −1dx ∫ 0 2 σX β= µX
  112. 112. CreditRisk+    Se il tasso di perdita è anch’esso aleatorio, si può dimostrare che la distribuzione del tasso di insolvenza è rappresentata da una distribuzione binomiale negativa; Questo determina una maggiore dispersione del tasso di insolvenza atteso per ogni comparto; La distribuzione risulta così più schiacciata verso il basso (e quindi con maggiori probabilità di rilevare valori elevati nella coda di destra) rispetto alla distribuzione di Poisson che si sarebbe ottenuta considerando µ fisso;
  113. 113. CreditRisk+  La stima dei parametri di media e deviazione standard del tasso di insolvenza annuo può essere ricavata sulla base dei dati storici osservando la variabilità dei tassi di default per classi di rating nel tempo Classe di rating Aaa Aa A Baa Ba B Media 0.00% 0.02% 0.01% 0.14% 1.20% 6.45% Deviazione Standard 0.00% 0.11% 0.05% 0.29% 1.33% 5.12% fonte: F. Saita Il Risk Management in Banca EGEA (2000)
  114. 114. CreditRisk+  La stima sulla base dei dati storici presenta tuttavia alcune difficoltà   Il rischio associato alla classe Aaa è assolutamente nullo (anche se nell’intervallo di tempo considerato 1970-1996 non si sono verificati casi di insolvenza, la probabilità non può essere posta uguale a zero) Sia la media che la deviazione standard relativa alla classe Aa sono superiori dei relativi valori della più rischiosa classe A.
  115. 115. CreditRisk+  L’insolvenza è un fenomeno relativamente raro   occorre un campione estremamente ampio per poter stimare con affidabilità la probabilità di insolvenza (nell’esempio presentato il campione è formato da solo 27 dati!!!) è quindi inevitabile una componente di giudizio soggettivo
  116. 116. CreditRisk+ Le correlazioni a livello di Le correlazioni a livello di Portafoglio Portafoglio
  117. 117. CreditRisk+    Uno degli aspetti più delicati di questo modello è rappresentato dal trattamento delle correlazioni fra le diverse controparti; Infatti non è possibile immaginare che la probabilità di insolvenza per tutte le controparti possa essere considerata indipendente; CreditRisk+ tiene conto delle correlazioni in due modi...
  118. 118. CreditRisk+   Introducendo un tasso di insolvenza volatile (e distribuito come una funzione Gamma); Scomponendo l’esposizione del singolo affidato in termini di esposizione per settori;
  119. 119. CreditRisk+  Nel primo caso si introduce una correlazione perché ipotizzare un tasso di perdita volatile significa determinare una tendenza dell’intero portafoglio a muoversi verso probabilità di insolvenza più alte o più basse a seconda che si consideri un tasso di perdita più alto o più basso del tasso medio.
  120. 120. CreditRisk+    In termini più formali quello che si ipotizza in questo modello è l’indipendenza condizionale dei fallimenti di controparti diverse; Dato un particolare “stato del mondo” (ad esempio una fase di espansione o recessione) i fallimenti delle diverse controparti risultano non correlati; La correlazione fra i fallimenti deriva però dal fatto che più controparti sono esposte contemporaneamente al medesimo stato del mondo  nel modello questo avviene ipotizzando appunto che il tasso medio di insolvenza aumenti o diminuisca contemporaneamente per diverse controparti
  121. 121. CreditRisk+  Probabilità di fallimento marginali e congiunte di due debitori condizionali a due possibili “stati del mondo” Espansione Rossi Recessione Rossi 50.00% Bianchi Fallisce Non Fallisce Totale Fallisce 0.08% 1.92% 2.00% Non Fallisce 3.92% 94.08% 98.00% Totale 4.00% 96.00% 100.00% 50.00% Bianchi Fallisce Non Fallisce Totale Fallisce 0.60% 5.40% 6.00% Non Fallisce 9.40% 84.60% 94.00% Totale 10.00% 90.00% 100.00%
  122. 122. CreditRisk+  Probabilità di fallimento non condizionali Rossi  Bianchi Fallisce Non Fallisce Totale Fallisce 0.34% 3.66% 4.00% Non Fallisce 6.66% 89.34% 96.00% Totale 7.00% 93.00% 100.00% Ricostruendo la probabilità di fallimento complessiva (non condizionale), che considera quindi il fatto che la probabilità di insolvenza dei due soggetti tende ad aumentare in modo contemporaneo in fase di recessione, si può osservare come emerga una correlazione positiva fra le insolvenze delle due controparti.
  123. 123. CreditRisk+  Probabilità di fallimento non condizionali Rossi Bianchi Fallisce Non Fallisce Totale Fallisce 0.34% 3.66% 4.00% Non Fallisce 6.66% 89.34% 96.00% Totale 7.00% 93.00% 100.00% La probabilità di insolvenza congiunta risulta maggiore del prodotto delle probabilità di insolvenza marginali ! = 0.28%
  124. 124. CreditRisk+  La correlazione fra due binomiali può essere espressa, conoscendo le probabilità di insolvenza marginali p1 e p2 dei due soggetti e la probabilità di insolvenza congiunta p12 , come ρ=  p12 − p1 p2 p1 p2 ( 1 − p1 )( 1 − p2 ) nel nostro esempio troviamo ρ = 1.20%
  125. 125. CreditRisk+  Seconda possibile soluzione    Possiamo pensare di scomporre l’esposizione del singolo affidato in singoli settori (ipotizzati indipendenti fra loro); Il peso del settore k per l’impresa A sarà dato da un fattore opportuno θkA ; La sommatoria rispetto a k per ogni impresa è pari a 1;
  126. 126. CreditRisk+  Rispetto alla soluzione precedente     Si identificano i singoli gruppi con i settori; Si introduce la dipendenza di più controparti rispetto a fattori macroeconomici comuni; La comune dipendenza anche in questo caso produce la comparsa di correlazione; In questo caso si può dimostrare che la correlazione fra due imprese A e B può essere espressa come: ρ A, B σk = µ A µ B ∑ ϑ A , kϑ B , k  µ k =1  k n     2
  127. 127. CreditRisk+  Problema.    Dopo aver scomposto la posizione della singola controparte per settori le perdite derivate a livello di singolo settore sono riaggregate nell’ipotesi che il comportamento dei diversi settori sia indipendente; Questo da un lato rende possibile la determinazione della perdita complessiva ma dall’altro esclude la possibilità di tenere in considerazione l’effetto dovuto alla correlazione fra diversi settori; Nell’individuazione dei settori è quindi necessario individuare settori sufficientemente ampi da essere poco correlati fra loro;

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