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hiperbola

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  1. 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Hipérbola Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLADEFINICIÓN DE HIPÉRBOLAUna hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la diferencia de susdistancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F y F2 se llaman focos. 1Gráficamente esto es: y B1 P d1 d2 F2 V2 V1 F1 x B2 d1-d2= constanteCon relación a la figura, el segmento de recta V2V1que pasa por los focos es el eje real. La mediatriz B2 B1del eje real es el eje imaginario. Cada extremo del eje real V1y V2 se llama vértice. El punto medio delsegmento F2 se llama centro de la hipérbola. La distancia del centro a cada vértice se llama semieje real F1 y 1la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario .ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN ELORIGEN 1
  2. 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Hipérbola Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaA partir de la definición de la hipérbola y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, sepuede deducir la ecuación de una hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares.1 Algunos textos, definen al eje real como eje transverso y al eje imaginario como eje conjugado. 2
  3. 3. Si los vértices se ubican en las coordenadas V1 (a,0) y V2 (− a,0) , los focos están en F1 (c,0) yF2 (− c,0) , el eje real de la hipérbola es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tienela siguiente forma: y P d1 B1(0,b) d2 F2(-c,0) V2(-a,0) V1(a,0) F1(c,0) x B2(0,-b)Si el punto P está en cualquiera de los vértices, la diferencia de distancias d1 − d da como resultado 2a − c − (−c − a ) , por lo que la suma constante se establece e 2a, a > 0 .El punto P x, y ( ) pertenecerá a la hipérbola si y sólo si: d1 − d 2 = 2a ,por lo tanto: (x − (− c ))2 + ( y − 0 )2 (x − c )2 + ( y − = 2a − 0) 2que equivale a: ( x + c )2 + y = 2a + 2
  4. 4. c) + y 2 (x − 2elevando ambos miembros al cuadrado: 2 2 (x + c )2 + y 2 =  2a (x − c )2 + y 2   + desarrollando:(x + c)2 + y 2 = 4a 2 + (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 24ax 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + (x − c )2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 24aeliminando términos iguales:
  5. 5. 2 xc = 4a 2 + (x − c )2 + y 2 − 2 xc4aque equivale a:4a (x − c )2 + y = 4 xc − 4a 22dividiendo todo por 4 :a ( x − c )2 + y = xc − a 22elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros: ( ) 2a (x − c )2 + y 2 = xc − a 2 2 a 2 ((x − c) 2 +y 2 ) = (xc − a ) 2 2a 2 (x 2 − 2xc + c + y 2 2 ) = (xc − a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a x − 2a xc + a c + a y = x c − 2a xc + areduciendo términos semejantes: 2 2 2 2 2 2 2 2 4a x +a c +a y =x c +ainvirtiendo nuevamente los miembros: 2 2 4 2 2 2 2 2 2x c +a =a x +a c +a yacomodando convenientemente:x 2c 2 − x 2a 2 − a 2y 2 = a 2c 2 − a 4 2 2factorizando x en el primer miembro y a en el segundo miembro:x 2 (c 2 −a 2 )− a 2 y =a 2 2 (c 2 −a 2 ) 2si se denota como b a la expresión c 2 − b 2 , y se sustituye se tiene que:x 2b 2 − a 2 y 2 = a2 2 bdividiendo por a toda la expresión: 2 2 b 2 2 2 2x b a y2 − 2 2 2 a ba b
  6. 6. 2 = 2 2 a b a b 2finalmente queda como: 2 x2 y 2− 2 =1 a becuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen,de semieje real a y de semieje imaginario b .Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto (a,b) , por lo que su ecuación está dada por:y−0 0−b b = = . La otra asíntota pasa por el origen y el punto (−a ,b ) , por lo que su ecuación estáx−0 0−a a y−0 0− b = b =− . Esto significa que las ecuaciones de las asíntotas para este caso son:dada por: x− 0 − (− a ) a b 0y=± x. a
  7. 7. LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA HORIZONTALPara cualquier hipérbola, los segmentos perpendiculares al eje real que pasan por sus focos y queincluyen a los extremos de la curva se denominan lados rectos (LR ) . Gráficamente es: y P3 P1 LR LR F2(-c,0) V2 V1 F1(c,0) x P4 P2Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto, que pasa por el foco F1 , se sustituye xpor c en la ecuación despejada para y : by=± 2 2 a c −a 2pero como b = c 2 − a 2 , se tiene: b b b2y=± b2 =± b=± a a apor lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y P2 del lado recto asociado a F1 son:  b2  P  c,  b2  P  c,−  1  y 2 a   a  Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el
  8. 8. procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos P y son simétricos a los puntos P1 y 3 P4P2 con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que lascoordenadas de los extremos P y del lado recto asociado a F2 son: 3 P4  2 P  − c, b   b2  P4  − c,−  3 a  y  a     
  9. 9. La longitud, medida en unidades lineales (u ) , de cada lado recto viene dado por la diferencia de susordenadas. Por lo tanto: 2b 2 LR = aEXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLAPara cualquier hipérbola, a la relación que existe entre c y a , se le conoce como su excentricidad y sedenota con la letra e : c e= aComo el valor de c (foco) es más grande que el a (vértice), siempre se cumple que e>1.Ejemplos.Calcular las longitudes de los semiejes real e imaginario, las coordenadas de los vértices, focos, lalongitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas: x2 y21) − =1 25 9Solución. 2 2El eje real es x . a = 25 , b =9 a=5, b=3 ⇒los vértices se encuentran en: V1 5,0 y V2 −5,0 ( ) ( )los extremos del eje imaginario están en: B1 (0,3) y B2 (0,− 3)obteniendo c :c= a 2 + b 2 = 25 + 9 = 34los focos se ubican en: F1 ( 34 ,0) y F (− 2 34 ,0 ) 2(3) 2(9) 18 2 34La excentricidad es: e = > 1 . El lado recto es: LR = = = u. 5 5 5 5 Solución. 3las ecuaciones de las asíntotas son: Dividiendo todo y=± x, por 96 : es decir: 2 2 52) 8x − 12 y = 96
  10. 10. 3 3 5y= x y y=− x 5 2 2 x y − =1 12 8De la ecuación se deduce que: a = 12 y b = 8 .obteniendo c :
  11. 11. c= ( 12 ) + ( 8 ) 2 2 = 20los vértices se ubican en V1 ( 12 ,0 ) y V (− 2 12 ,0 )los extremos del eje imaginario están en: B1 0, 8 ( ) ( B2 0,− 8 ) ylos focos se encuentran en: F1 ( 20 ,0) y F (− 2 20 ,0 )la excentricidad es: e = 20 = 2 5 = 5 > 1 . El lado recto es: LR = 2 8 ( ) 2 = 2(8) = 16 u. 12 2 3 3 12 12 12 8 2 2las ecuaciones de las asíntotas son: y = ± x , es decir: y = x y y=− x 12 3 3Ejemplo. ( )Si se sabe que se tiene un foco en V1 10,0 y un vértice en F2 −8,0 , obtener las características de la( )hipérbola.Solución. (Por simetría se deduce que el otro vértice está en V2 −10,0 y el otro foco en: F1 8,0 ) ( )obteniendo b: 2 2b= c −a ⇒ b = 10 − 8 2 2 100 − 64 = 36 = 6 = x2 y 2la ecuación buscada es: − =1 64 36 2( 6 ) 2(36) 2 10 5 72la excentricidad es: e = = > 1 . El lado recto es: LR = = = = 9 u. 8 4 8 8 8 6 3 3las ecuaciones de las asíntotas son: y = ± x , es decir: y = x y y = − x 8 4 4
  12. 12. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN ELORIGENEl procedimiento para obtener la ecuación de la hipérbola vertical es muy similar al que se hizo con lahipérbola horizontal.En este caso, los vértices y focos están sobre el eje y en las coordenadasV1 (0,a ) V2 (0,− a ) , ,F1 (0,c ) y F2 (0,− c ) , respectivamente, y aplicando la expresión de distancia entre dos puntos se tieneque: (x − 0)2 + ( y − (− c ))2 (x − 0)2 + ( y − = 2a − c) 2que equivale a: x 2 + ( y + c = 2a + x + ( y − c ) 2 2 )2después de desarrollar, eliminar radicales y simplificar, se llega a:
  13. 13. 2 2 y x 2− =1 a b 2ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola vertical con centro en el origen, desemieje real a y de semieje imaginario b . La hipérbola en este caso tendría la siguiente forma: y P(x,y) d2 F1(0,c) V1(0,a) B2(-b,0) B1(b,0) x V2(0,-a) d1 F2(0,-c) (b,a ) , por lo que su ecuación está dada por:Una de las asíntotas pasa por el origen y el puntoy −0 0−a a = = . La otra asíntota pasa por el origen y el punto (− b,a ) , por lo que su ecuación estáx−0 0−b b y−0 0− a = a =− . Esto significa que las ecuaciones de las asíntotas para este caso son:dada por: x−0 0 − (− b ) b ay=± x. bLONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA VERTICALPara encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto de una hipérbola vertical, que pasa por el
  14. 14. foco F , se sustituye el valor de y por 1 c en la ecuación despejada para x : b 2 2x=± c −a a 2pero como b = c 2 − a 2 , se tiene:
  15. 15. b b b2x=± b2 =± b=± a a apor lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y P2 del lado recto asociado a F1 son: b   b2  2 ,c  P  − ,c P 1  y 2    a   a Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , elprocedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos P y son simétricos a los puntos P1 y 3 P4P2 con respecto al eje y , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que lascoordenadas de los extremos P y del lado recto asociado a F2 son: 3 P4 b    2 , −c  b 2 ,−c P P − 1   y 2  a   a    y LR F1(0,c) P3 P1 V1 x V2 P4 P2 F2(0,-c)
  16. 16. LRLa longitud, medida en unidades lineales (u ) , de cada lado recto viene dado por la diferencia de susabscisas. Por lo tanto: 2b 2 LR = . aEjemplos. 2 y x1) Obtener todas las características de la hipérbola de ecuación: 2 − =1 9 16
  17. 17. Solución.De la ecuación se deduce que: a= 9 = 3 y b = 16 = 4obteniendo c :c = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 ( )los vértices se ubican en V1 0,3 y V2 0,− 3 ( )los extremos del eje imaginario están en: B1 4,0 y B2 −4,0 ( ) ( ) ( )los focos se encuentran en: F1 0,5 y F2 0,− 5 ( ) 5 2( 4 ) 2(16 ) 32la excentricidad es: e= > 1 . El lado recto es: LR = = = u. 2 3 3 3 3 3 3 3 =± y= x =−las ecuaciones de las asíntotas son: y x , es decir: y y x 4 4 42) Obtener todas las características de la hipérbola con focos F (0,± 6) y que tiene asíntotas deen 4ecuaciones: y = ± x. 5Solución.De los datos se deduce que: c = 6 y que el eje real es yDe las ecuaciones de las asíntotas se despeja a : a a 4 4y=± x ∴ = ⇒ a= b b b 5 5pero también se sabe que: 2 2 4 16 b 2 + b 2 41 b 2 = 6c= a +b ⇒ 6=  b +b 2 = 6 ∴ b= = 302  =   5  25⇒ a =  
  18. 18. 41 41 25 25  4 30 24    =   5  41  41por lo tanto, la ecuación buscada es: y2 x2 41y 2 41x 2 − =1 ⇒ − =1 2 2 24   30  576 900    41   41   24  6 6 41 41 e= = = >los vértices están en V  0,±  , la excentricidad es: 1  24 24 4 41  41 2     30 900 1800 2  2   41  75    41  41la longitud del lado recto es: LR = 24 = 24 = 24 = u. 41 41 41 41
  19. 19. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CUANDO SU CENTRO ESCUALQUIER PUNTO DEL PLANOSi el centro de la hipérbola horizontal es el C (h,k ) , que es el origen del sistemapunto coordenadox − y , su ecuación ordinaria viene dada por:( x ′ )2 − ( y ′ )2 =1 2 a b2pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:x = x − h y y = y − ky sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que: ( x − h )2 ( y − k )2 2 − 2 =1 a bque es la ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en C (h,k ) , de semieje real a y desemieje imaginario b .La siguiente figura muestra este caso: y y’ V2(h-a,k) V1(h+a,k) k F2(h-c,k) F1(h+c,k) x’ C(h,k)
  20. 20. h x
  21. 21. De la figura se puede apreciar que los vértices están en: V1 (h + a,k ) y V2 (h − a,k ) , los extremos del ejeimaginario están en: B (h,k + b ) y B (h,k − b ) , por su parte, los focos se ubican enF (h + c,k ) y 1 2 1 2bF2 (h − c,k ) . La longitud del lado recto sigue siendoLR = 2 , los extremos de los lados rectos son: a h ± c, k b  2 b± y las ecuaciones de las asíntotas son: y − k = ± (x − h ) . a a  Ejemplo. (x + 1)2 − ( y − 5)2 = 1Encontrar todos los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: 9 36Solución.De la ecuación se aprecia que h = −1 y k = 5por lo tanto, el centro se ubica en C (− 1,5) .Por otra parte, se tiene: 2a = 9, b 2 = 36 ⇒ a = 3, b = 6 ( )los vértices están en: V −1 ± 3,5 que equivale a:V1 (2,5) y V2 (−4,5)obteniendo c:c= a2 +b2 9 + 36 45 = 3 5= =los focos se ubican en: F − 1 ± ( ) 5 ,5 que equivale a: 3 ( )F1 − 1 + 5 ,5 y F2 − 1 − 5 ,5( )3 3 3 5la excentricidad es: e= = 2
  22. 22. 5 >1. 2(6 ) 2(36 ) 2el lado recto es: LR = = = 24 u. 3 3 6las ecuaciones de las asíntotas son: y − 5 = ± (x + 1) , que equivale a:y − 5 = ±2(x + 1) 3desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 2x − y + 7 = 0 y 2x + y − 3 = 0 .ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIERPUNTO DEL PLANOSi el centro de la hipérbola vertical es el punto C (h,k ) , que es el origen del sistema coordenadox − y ,su ecuación ordinaria viene dada por:( y − (x )2 = 1)2 b 2 2 a
  23. 23. pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:x = x − h y y = y − ky sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que: ( y − k )2 (x − h )2 2 − 2 =1 a bque es la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical con centro C (h,k ) , de semieje real a yen desemieje imaginario b . La siguiente figura muestra este caso: y y’ F1(h,k+c) V1(h,k+a) k C(h,k) x’ V2(h,k-a) F2(h,k-c) h xDe la figura se puede apreciar que los vértices están en: V1 (h,k + a ) y V2 (h,k − a ) y los focos se ubican 2ben F1 (h,k + c ) y F2 (h,k − c ) . La longitud del lado recto sigue siendo LR = 2 , los extremos de los a 2   ecuaciones de las  h ±blados rectos son:  , k ± c  yasíntotas son:  a  las 
  24. 24. a y−k =± (x − h ) . bEjemplo.Encontrar la ecuación de la hipérbola y sus características si tiene vértices en V1 (5,1) y V2 (5,7 ) y cuya 8longitud de sus lados rectos es u. 3
  25. 25. Solución.Como las abscisas de los vértices no cambian, se trata de una hipérbola vertical.  1+7  ⇒ C (5,4) , esto es, h = 5 y k = 4el centro se ubica en C  5,  2   a=7−4=3así que el semieje real es:despejando b de la expresión del lado recto: 8 2b 2 8 3(8) LR = = = ⇒ 2 b = =4 ∴ b=2 3 3 3 2(3)así que la ecuación buscada es:( y − 4)2 (x − 5)2 ( y − 4 )2 ( x − 5 )2 1 2 − =1 ⇒ − = 3 22 9 4obteniendo c:c= a +b2 2 32 + 2 2 9 + 4 = 13= =los focos se ubican en: F 5,4 ± 13( ) que equivale a: F (5,4 1 13 ) ( F2 5,4 − 13 ) + y 3las ecuaciones de las asíntotas son: y − 4 = ± (x − 5) , que equivale a: 2( y − 4) = ±3(x − 5) 2desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 3x − 2 y − 7 = 0 y 3x + 2 y − 23 = 0 .ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTALSea la ecuación ordinaria trasladada de la hipérbola horizontal: (x − h )2 − ( y − k )2 = 1 2 a2 bdesarrollando se tiene: 2x − 2xh + h a22
  26. 26. 2 − =1 y − 2 yk + b2 2 k 2 2multiplicando por a b : (x − 2 xh + h 2 a (y 2 − 2 yk + k )= a 2a )− b (1 ) 2 2 2 22 2 2 a 2 b b 2 b⇒ b 2 (x 2 − 2xh + h 2 ) − a (y2 2 − 2 yk + k 2 )= a 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2⇒ b x − 2b xh + b h − a y + 2a yk − a k = a bacomodando: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x − a y − 2b hx + 2a ky + b h − a k − a b =0realizando los siguientes cambios de variable: 2A = b , C = a 2 , D = −2b 2 h, E = 2a 2 k 2 F =b h −a k −a b 2 2 2 2 2 ,la expresión queda como: Ax 2 − Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
  27. 27. que es la ecuación general de la hipérbola horizontal. Nótese como A ≠ C , tanto en signo como enmagnitud.Ejemplo.Obtener la ecuación general de la hipérbola horizontal y sus características si el semieje real igual a seis,el semieje imaginario es cinco y su centro está en C (3,− 4) .Solución.a = 6, b = 5 (los vértices están en: V 3 ± 6,−4 ) ⇒ V1 (9,− 4), V2 (−3,− 4)obteniendo c : 2 2c= 6 +5 ⇒ c = 36 + 25 = 61 (los focos se ubican en: F 3 ± 61 ,− 4 ) ⇒ ( F1 3 + 61 ,− ( F2 3 − 61 ,− 4 ) 61 ) 4, 2( 5 ) 2 2(25) 50 25la excentricidad es: e = > 1 , la longitud del lado recto es: LR = = = = u. . 6 6 6 6 3 5Las ecuaciones de las asíntotas son: y + 4 = ± (x − 3) , que equivale a: 6( y + 4) = ±5(x − 3) 6desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 5x − 6 y − 39 = 0 y 5x + 6 y + 9 = 0 .La ecuación ordinaria trasladada queda:(x − 3)2 ( y + 4)2 (x − 3)2 − ( y + 4)2 =1 − =1 ⇒ 62 52 36 25multiplicando por 900 : 25(x − 3) − 36( y + 4 ) = 900 2 2desarrollando: (2 2 ) (25 x − 6 x + 9 − 36 y + 8 y + 16 = 900⇒ ) 2 2 25x − 150 x + 225 − 36 y − 288 y − 576 = 900acomodando se llega a la ecuación general pedida: 2 2 25 x − 36 y − 150 x − 288 y − 1251 = 0ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA VERTICALSea la ecuación ordinaria trasladada de la hipérbola vertical: 2( y − k )2 a
  28. 28. − =1(x − b 2h) 2desarrollando se tiene: 2 y − 2 yk + k 2 x − 2xh + h 2 2 − 2 =1 b a 2 2 2multiplicando por a b : ) ( 2a b y − 2 yk + k − a b x − 2xh + h = a 2 2 2 2 ( ) 2 2 (1 )2 2 2 2 a 2 b bb 2 (y 2 − 2 yk + k 2 ) − a (x 2 2 − 2xh + h 2 ) =a 2 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b y − 2b yk + b k − a x + 2a xh − a h = a bacomodando: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2− a x + b y + 2a hx − 2b ky − a h + b k − a b =0
  29. 29. realizando los siguientes cambios de variable: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A=a C=b D = 2a E = −2b k F = −a h + b k − a b, , h, ,la expresión queda como: − Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0que es la ecuación general de la hipérbola vertical. Adviértase que en este caso el signo negativo lo llevala variable x .Ejemplo. 3Obtener la ecuación general de la hipérbola con focos en F1 (1,6) F2 (1,0 ) y con excentricidad e = 2. ySolución.Al no cambiar las abscisas de los focos, se trata de una hipérbola vertical con centro en  6+0C  1,  ⇒ C (1,3) , esto h=1 y k=3 2  es, obteniendo c:c=6−3=3despejando a de la excentricidad:e= c 3 2c 2(3) = ⇒ 2c = 3a ∴ a= = =2 a 2 3 3obteniendo b: 2 2 2 2b= c −a 3 −2 9−4 = 5= =así que la ecuación buscada es:( y − 3)2 (x − 1)2 ( y − 3)2 (x − 1)2 − =1 ⇒ − =1 22 ( 5) 2 2 4 5multiplicando por 20 :20( y − 3) 20( x − 1) 2 5( y − 3) − 4(x − 1) = 20 2 2 − = 20 ⇒ 4 5 ( 2 2 ) (5 y − 6 y + 9 − 4 x − 2x + 1 = 20⇒ )
  30. 30. 2 25 y − 30 y + 45 − 4x + 8x − 4 = 20 acomodando se llega a la ecuación general pedida: 2 2 − 4 x + 5 y + 8x − 30 y + 21 = 0 CARACTERÍSTICAS DE LA HIPÉRBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL Para transformar la ecuación general de la hipérbola horizontal: Ax 2 − Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 a su ( x − h )2 − ( y − k )2 = 1 ecuación ordinaria: , o para pasar de la ecuación general de la hipérbola vertical: a b2 2 2 2 − Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 ( ) ( ) a su respectiva ecuación ordinaria: − 1 y−k 2 x−h 2 , se puede lograr realizando los siguientes pasos: = a2 b2
  31. 31. 1. Se reordenan los términos en x y en y2. Se extrae como factor común al coeficiente de la variable elevada al cuadrado3. Se completan los cuadrados perfectos(TCP)4. Se factoriza5. Se divide entre el término independiente.Ejemplos.Obtener todas las características de las siguientes hipérbolas: 2 21) 5x − 7 y + 40x − 84 y − 207 = 0Solución.Siguiendo la metodología sugerida, se tiene: 2 25x + 40 x − 7 y − 84 y − 207 = 0 ( ) ( )5 x 2 + 8x − 7 y 2 + 12 y − 207 = 05(x + 8x + 16 ) − 7(y + 12 y + 36 ) − 207 − 5(16 ) + 7(36 ) = 0 2 25(x + 4 ) − 7( y + 6 ) = 207 + 80 − 252 = 35 2 25( x + 4 ) 2 7( y + 6 ) 2 ( x + 4 ) 2 − ( y + 6 )2 =1 35 − =1 ⇒ 35 7 5El eje real es x . Se aprecia que h = −4, k = −6 , por lo que el centro se ubica en: C (−4,− 6)a2 =7 ⇒ 2 a= 7, b =5 ⇒ b= 5la ubicación de los vértices es: ( ) V1 − 4 + 7 ,− 6 y V2 − 4 − 7 ,− 6( )obteniendo c : 2 2c= a +b = 7 + 5 = 12los focos se ubican en: ( F1 − 4 12 ,− 6 ) ( F2 − 4 − 12 ,− 6 ) + y ( ) 2 5 2 10 12La excentricidad es: e = > 1. La longitud del lado recto es: LR = = u. 7 7 7 5las ecuaciones de las asíntotas son: y − 6 = ± (x − 4) 7desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas:
  32. 32. 5x − 7 y − 5+6 7 =0 y 5x + 7 y − 5−6 7 =0 4 4 2 22) 4 x − 25 y + 24 x + 100 y + 36 = 0Solución.De acuerdo a la metodología mencionada, se tiene: 2 24x + 24 x − 25 y + 100 y + 36 = 0 ( ) (4 x 2 + 6 x − 25 y 2 − 4 y + 36 = 0 )4 (x ) ( ) + 6x + 9 − 25 y − 4 y + 4 + 36 − 4(9) + 25(4) = 0 2 2
  33. 33. 4(x + 3) − 25( y − 2 ) = −36 + 36 − 100 = −100 2 24( x + 3) ( y − 2)2 − (x + 3)2 = 1 2 25( y − 2 ) 2 − = 1 que equivale a: − 100 − 100 4 25El eje real es y . Se aprecia que h = −3, k = 2 , por lo que el centro se ubica en C (− 3,2 )a2 =4 ⇒ a = 4 = 2, b 2 = 25 ⇒ b = 25 = 5la ubicación de los vértices están en: V1 (− 3,4 ) y V2 (− 3,0 )obteniendo c : 2 2c= a +b 4 + 25 = 29=los focos se ubican en: ( F1 − 3,2 29 ) ( F2 − 3,2 − 29 ) 2( 5 ) 2 + y 29la excentricidad es: e = > 1. La longitud del lado recto es: LR = = 25 u. 2 2 2las ecuaciones de las asíntotas son: y − 2 = ± (x + 3) , es decir: 5( y − 2) = ±2(x + 3) 5desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 2x − 5 y + 16 = y 2x + 5 y − 4 = 0 . 0 2 23) 4 x − 9 y − 18 y − 45 = 0Solución.Conforme a la metodología expuesta, se tiene: 2 24x − 9 y − 18 y − 45 = 0 ( 2 ) ( 24 x + 0x − 9 y + 2 y − 45 = 0 )4 (x + 0 x + 0 ) − 9(y + 2 y + 1) − 45 − 4(0 ) + 9(1) = 0 2 24(x + 0 ) − 9( y + 1) = 45 + 0 − 9 = 36 2 24( x + 0 ) 2 − 9( y + 1) 2 =1 ⇒ (x + 0)2 − ( y + 1)2 = 1 36 36 9 4
  34. 34. El eje real es x . Se aprecia que h = 0, k = −1 , por lo que el centro se ubica en C (0,−1) .a2 =9 ⇒ a = 9 = 3, b 2 = 4 ⇒ b= 4 =2la ubicación de los vértices es: V1 (3,− 1) y V2 (− 3,− 1)obteniendo c : 2 2c= a +b = 9 + 4 = 13los focos se ubican en: ( F1 13 ,− 1 ) ( F2 − 13 ,− 1 ) y 13 2 (2 ) 8 2La excentricidad es: e = > 1. La longitud del lado recto es: LR = = u. 3 3 3 2las ecuaciones de las asíntotas son: y + 1 = ± (x − 3) , esto es: 3( y + 1) = ±2(x − 3) 3desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas:
  35. 35. 2x − 3y − 9 = 0 2x + 3 y − 3 = 0yCASO ESPECIAL O DEGENERADO DE UNA HIPÉRBOLASi en el proceso de transformación de la ecuación general a la ecuación ordinaria sucede que el términoindependiente es cero, el resultado no es una hipérbola sino dos rectas no paralelas que surgen de lafactorización de la diferencia de dos cuadrados. Gráficamente esto es: y A2x+B2y+C2=0 L1 A1x+B1y+C1=0 L2 xEjemplos.Obtener todas las características de las siguientes ecuaciones: 2 21) 9 x − 25 y = 0Solución. = (a + b )(a − b ) , por lo tanto si se aplica se tiene que: 2 2Se sabe que a −b(3x + 5 y )(3x − 5 y ) = 0 , y las rectas que se cruzan son: 3x + 5 y = y 3x − 5 y = 00 2 22) 4 x − y − 24 x − 4 y + 32 = 0Solución. 2 2Acomodando las variables: 4 x − 24 x − y − 4 y + 32 = 0
  36. 36. Ahora, siguiendo el procedimiento planteado: ( 2 2 ) (4 x − 6 x − 1 y + 4 y + 32 = 0 )4 (x − 6 x + 9 ) − 1(y + 4 y + 4 ) + 32 − 4(9) + 1(4) = 0 2 24( x − 3) − 1( y + 2) = −32 + 36 − 4 2 2
  37. 37. 4(x − 3) − 1( y + 2 ) = 0 2 2 [(factorizando: 2 x − 3 + 1 y + ) ( 2 )][2(x − 3) − 1( y + 2 )] = 0separando las variables se tiene:2 ( x − 3 ) + 1( y + 2 ) = ⇒ 2x−6+ y+2=0 ⇒ 2x+y−4=00y 2 ( x − 3 ) − 1( y + 2 ) = ⇒ 2x−6−y−2=0 ⇒ 2x−y−8=00 2 23) − 9 x + 16 y − 96 y + 144 = 0Solución. 2 2Acomodando las variables: − 9 x + 16 y − 96 y + 144 = 0Ahora, siguiendo el procedimiento planteado: ( 2 2 ) (− 9 x − 0 x + 16 y − 6 y + 144 = 0 )− 9 (x ) ( ) 2 2 − 0x + 0 + 16 y − 6 y + 9 + 144 + 9(0) − 16(9) = 0− 9(x − 0 ) + 16( y − 3) = −144 + 144 2 2− 9( x − 0 ) + 16( y − 3) = 0 2 216( y − 3) − 9(x − 0) = 0 2 2factorizando: [4( y − 3) + 3( x − 0)][4( y − 3) − 3( x − 0)] = 0separando las variables. Se tiene:4( y − 3) + 3( x − 0 ) = ⇒ 4 y − 12 + 3x + 0 = 0 ⇒ 3x + 4 y − 12 = 00y 4( y − 3) − 3( x − 0 ) = ⇒ 4 y − 12 − 3x + 0 = 0 ⇒ 3x − 4 y + 12 = 0.0APLICACIONESAlgunas aplicaciones de la hipérbola se pueden encontrar en:1. En la localización de epicentros de movimientos telúricos a través de sismógrafos.2. La naturaleza de la hipérbola se aprovecha en el diseño de telescopios reflectores.3. En la navegación se utiliza la definición de la hipérbola: un barco se encuentra sobre una hipérbola cuyos focos están en la posición de dos estaciones. La razón de esto es que la diferencia constante de tiempo entre las señales emitidas desde cada estación corresponde a una diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación. Mediante la utilización de la hipérbola se puede saber 2 la localización exacta del barco .4. Investigaciones de física atómica han demostrado que las partículas alfa apuntadas hacia el núcleo
  38. 38. de un átomo son repelidas y siguen una trayectoria hiperbólica.5. Las trayectorias de los algunos cometas externos del sistema solar que son atraídos por la gravedad del Sol, describen una órbita hiperbólica, considerando que en uno de los focos está el Sol. Al describir este movimiento, estos cometas escaparán nuevamente de este sistema.6. En el diseño de algunos arcos y cúpulas de construcciones modernas.7. Una relación hiperbólica determina que dos cantidades son inversamente proporcionales2 Este sistema de navegación recibe el nombre de LORAN.

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