Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Geometrie partea 1

1,619 views

Published on

matematica

Published in: Education
  • Be the first to comment

Geometrie partea 1

  1. 1. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro Geometrie – pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a , a VI a, a VII a) Arie Capacitate DE REȚINUT ! Volum ei nf o Lungime .ro UNITĂȚI DE MĂSURĂ Masă at 1hm 2 = 1ha 1dam 2 = 1ar .m 1dm3 = 1l 1q = 100kg w w 1t = 1000kg 1v = 10000kg Timp - secundă, minut, ora, ziua, saptamana, luna, anul, deceniul, secol (veac), mileniu w 1 deceniu = 10 ani ; 1 secol = 100 ani ; 1 mileniu = 1000 ani Unghi - gradul, minutul, secunda = 60 ',1' 60",10 3600" 10 = = 1
  2. 2. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro UNGHIUL - Tipuri de unghiuri Unghiuri adiacente m(AOB) = 00 . m(AOC ) m(AOB) + m(BOC ) = Unghi ascuțit Unghiuri complementare 00 < m(AOB) < 900 m(AOB) + m(BOC ) = 900 ei nf o .ro Unghi nul Unghiuri suplementare m(AOB) + m(BOC ) = 1800 Unghiuri opuse la vârf w w Unghi obtuz .m m(AOB) = 900 at Unghi drept AOC ≡ BOD BOC ≡ AOD Unghi alungit Unghiuri în jurul unui punct m(AOB) = 1800 Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 3600 w 900 < m(AOB ) < 1800 2
  3. 3. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro TRIUNGHIUL 1. Clasificare: Triunghi scalen (oarecare) = triunghiul cu laturile de lungimi diferite Triunghi isoscel = triunghiul care are două laturi congruente Proprietati: 1) B ≡ C 2) [AD] bisectoarea unghiului de la varf ⇒ [AD] mediană, înălțimea și mediatoarea bazei .ro După laturi ei nf o [ AB] ≡ [ AC ] Triunghi echilateral = triunghiul care are toate laturile congruente Proprietăți: 1) m(A) m(B) m(C ) 600 = = = 2)Bisectoarea oricărui unghi este mediană, înălțime și mediatoare .m at [ AB] ≡ [ AC ] ≡ [ BC ] w w Triunghi ascuțitunghic = triunghiul care are toate unghiurile ascuțite (<90) Triunghi dreptunghic = triunghiul care are un unghi drept (900) w Dupa unghiuri Triunghi obtuzunghic = triunghiul care un unghi obtuz (>900) 3
  4. 4. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro 2. Linii importante in triunghi a) Înăltimea = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și proiecția acestuia pe latura opusă Intersecția înălțimilor este ortocentrul triunghiului (H) ei nf o .ro - Intersecția medianelor este centrul de greutate al triunghiului w w .m - at b) Mediana = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse. w G ∈ AD  1 2 = AD = si AG AD  ⇒ GD [ AD] − mediană  3 3 c) Bisectoarea (unui unghi propriu) = semidreapta cu originea în vârful unghiului, situata în interiorul lui, astfel încât cele două unghiuri formate de ea cu laturile unghiului inițial să fie congruente. - intersectia bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi 4
  5. 5. S p S - aria triunghiului p - semiperimetrul r - raza cercului înscris în triunghi ei nf o r= www.mateinfo.ro .ro GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) d) Mediatoarea (unui segment) = dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul segmentului dat Intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului .m at - OA OB OC R = = = a ⋅b ⋅c 4S R − raza cercului circumscris triunghiului a, b, c − laturile triunghiului w w R= S − aria triunghiului w 3. Criterii de congruență pentru triunghiul oarecare L.U.L, U.L.U, L.L.L. , L.U.U.* 4. Cazurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice C.C., C.U., I.U., I.C. 5
  6. 6. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro ARII b ⋅ h l1 ⋅ l2 ⋅ sin u = 2 2 Formula lui Heron A∆ oarecare = a+b+c 2 .m at unde p = h∆ dreptunghic p ( p − a )( p − b)( p − c), c1 ⋅ c2 2 c ⋅c = 1 2 ip A∆ dreptunghic = ei nf o A∆ oarecare = 2. Arie triunghiul dreptunghic .ro 1. Arie triunghiul oarecare 4. Arie paralelogram w w w 3. Arie triunghiul echilateral l2 3 A∆ echilateral = 4 l 3 h∆ echilateral = 2 Aparale log ram = b ⋅ h Aparale log ram = l1 ⋅ l2 ⋅ sin u = Pparale log ram 2( AB + BC ) 6
  7. 7. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) 6. Arie patrat Apatrat = l 2 Pdreptunghi 2( L + l ) = Ppatrat = 4l ei nf o Adreptunghi= L ⋅ l .ro 5. Arie dreptunghi www.mateinfo.ro at d patrat = l 2 8. Arie trapez w w .m 7. Arie romb d1 ⋅ d 2 = b⋅h 2 Aromb= l 2 ⋅ sin A w Aromb = Promb = 4l ( B + b) ⋅ h = lm ⋅ h 2 B+b (linia mijlocie) lm = 2 Ptrapez = AB + BC + CD + AD Atrapez = 7
  8. 8. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) 10. Arie patrulater convex .ro 9. Arie patrulater ortodiagonal d1 ⋅ d 2 ⋅ sin α d1 ⋅ d 2  = = m(d1, d 2 ) Apatrulater convex ,α 2 2 = = AB + BC + CD + AD Apatrulater convex AABD + ABDC ei nf o Apatrulater ortodiagonal = Ppatrulater ortodiagonal Ppatrulater ortodiagonal = AB + BC + CD + AD 12. Arie disc w w .m at 11. Arie poligon regulat P ⋅a Apoligon regulat = n n 2 no ln = 2 R sin 2 no an = R cos 2 m(  ) = n o AB Adisc = π R 2 Lcerc = 2π R larc = w m(ABC ) = www.mateinfo.ro π Rn 180 Asec tor = 180(n − 2) n 8 π R2n 360
  9. 9. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI 1. Teorema lui Thales  ABC  FA GA = ⇒ FG || BC  FB GC Reciproca Teoremei lui Thales ei nf o .ro  ABC  EA DA = ⇒ DE || BC  EB DC GA ⇒ FG || BC GC DA ⇒ DE || BC DC at FA Daca = FB EA Daca = EB 2. Teorema fundamental a asemanarii .m  ABC   ⇒ AFG  ABC FG || BC  w w w  ABC   ⇒ AED  ABC DE || BC  . 3. Triunghiuri asemenea 4. Cazuri de asemanare 1) U.U. AB AC AB AC BC = 2) si = = , A' B ' A'C ' A ' B ' A 'C ' B 'C ' A ≡ A ' A ≡ A ', B ≡ B ', C ≡ C ' AB AC BC 3) = = A ' B ' A 'C ' B 'C '  ABC  A ' B ' C ' ⇔ 9
  10. 10. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro . 5. Teorema catetei  ABC  2  T .Catetei  AB BD ⋅ BC  = m= 90  ⇒  2 (A)  AC CD ⋅ CB  = AD ⊥ BC   ei nf o .ro o 6. Teorema înălțimii  ABC w w .m 7. Teorema lui Pitagora at   T . Inaltimii m(A) =o  ⇒ AD 2 = ⋅ DC BD 90 AD ⊥ BC    ABC  T . Pitagora ⇒ BC 2 = 2 + AC 2 AB o m(A) = 90  w Reciproca Teorema lui Pitagora Dacă în  ABC avem BC > AC > AB si BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ABC dreptunghic, m(A) = 90o 8. Teorema bisectoarei  ABC  AB BD = ⇒ ( AD) bi sec toare  AC DC 10
  11. 11. www.mateinfo.ro GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE cateta opusă ipotenuză 30o cateta alăturată cos x = ipotenuză cateta opusă cateta alăturată ctgx = cosx tgx cateta alăturată cateta opusă TEOREMA UNGHIULUI DE 30O 1 2 ctgx 3 2 3 3 3 2 2 2 2 60o 3 2 1 2 3 1 1 ei nf o tgx = sinx 45o .ro sin x = 3 3 Într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de 300 este jumatate din ipotenuză TEOREMA – Mediana in triunghiul dreptunghic at Într-un triunghi dreptunghic mediana dusă din vârful unghiului drept este jumatate din ipotenuză .m TEOREMA COSINUSURILOR (se aplica în triunghiul oarecare) w w ˆ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A ˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C w TEOREMA SINUSURILOR (se aplică în triunghiul oarecare) a b c = = = 2R ˆ ˆ ˆ sin A sin B sin C Material realizat de Andrei Octavian Dobre– www.mateinfo.ro (Profesor de matematică – Ploiești) Contact: office@mateinfo.ro ; dobre.andrei@yahoo.com 11

×