Geometrie partea 1

1,465 views

Published on

matematica

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,465
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
135
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Geometrie partea 1

  1. 1. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro Geometrie – pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a , a VI a, a VII a) Arie Capacitate DE REȚINUT ! Volum ei nf o Lungime .ro UNITĂȚI DE MĂSURĂ Masă at 1hm 2 = 1ha 1dam 2 = 1ar .m 1dm3 = 1l 1q = 100kg w w 1t = 1000kg 1v = 10000kg Timp - secundă, minut, ora, ziua, saptamana, luna, anul, deceniul, secol (veac), mileniu w 1 deceniu = 10 ani ; 1 secol = 100 ani ; 1 mileniu = 1000 ani Unghi - gradul, minutul, secunda = 60 ',1' 60",10 3600" 10 = = 1
  2. 2. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro UNGHIUL - Tipuri de unghiuri Unghiuri adiacente m(AOB) = 00 . m(AOC ) m(AOB) + m(BOC ) = Unghi ascuțit Unghiuri complementare 00 < m(AOB) < 900 m(AOB) + m(BOC ) = 900 ei nf o .ro Unghi nul Unghiuri suplementare m(AOB) + m(BOC ) = 1800 Unghiuri opuse la vârf w w Unghi obtuz .m m(AOB) = 900 at Unghi drept AOC ≡ BOD BOC ≡ AOD Unghi alungit Unghiuri în jurul unui punct m(AOB) = 1800 Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 3600 w 900 < m(AOB ) < 1800 2
  3. 3. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro TRIUNGHIUL 1. Clasificare: Triunghi scalen (oarecare) = triunghiul cu laturile de lungimi diferite Triunghi isoscel = triunghiul care are două laturi congruente Proprietati: 1) B ≡ C 2) [AD] bisectoarea unghiului de la varf ⇒ [AD] mediană, înălțimea și mediatoarea bazei .ro După laturi ei nf o [ AB] ≡ [ AC ] Triunghi echilateral = triunghiul care are toate laturile congruente Proprietăți: 1) m(A) m(B) m(C ) 600 = = = 2)Bisectoarea oricărui unghi este mediană, înălțime și mediatoare .m at [ AB] ≡ [ AC ] ≡ [ BC ] w w Triunghi ascuțitunghic = triunghiul care are toate unghiurile ascuțite (<90) Triunghi dreptunghic = triunghiul care are un unghi drept (900) w Dupa unghiuri Triunghi obtuzunghic = triunghiul care un unghi obtuz (>900) 3
  4. 4. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro 2. Linii importante in triunghi a) Înăltimea = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și proiecția acestuia pe latura opusă Intersecția înălțimilor este ortocentrul triunghiului (H) ei nf o .ro - Intersecția medianelor este centrul de greutate al triunghiului w w .m - at b) Mediana = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse. w G ∈ AD  1 2 = AD = si AG AD  ⇒ GD [ AD] − mediană  3 3 c) Bisectoarea (unui unghi propriu) = semidreapta cu originea în vârful unghiului, situata în interiorul lui, astfel încât cele două unghiuri formate de ea cu laturile unghiului inițial să fie congruente. - intersectia bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi 4
  5. 5. S p S - aria triunghiului p - semiperimetrul r - raza cercului înscris în triunghi ei nf o r= www.mateinfo.ro .ro GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) d) Mediatoarea (unui segment) = dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul segmentului dat Intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului .m at - OA OB OC R = = = a ⋅b ⋅c 4S R − raza cercului circumscris triunghiului a, b, c − laturile triunghiului w w R= S − aria triunghiului w 3. Criterii de congruență pentru triunghiul oarecare L.U.L, U.L.U, L.L.L. , L.U.U.* 4. Cazurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice C.C., C.U., I.U., I.C. 5
  6. 6. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro ARII b ⋅ h l1 ⋅ l2 ⋅ sin u = 2 2 Formula lui Heron A∆ oarecare = a+b+c 2 .m at unde p = h∆ dreptunghic p ( p − a )( p − b)( p − c), c1 ⋅ c2 2 c ⋅c = 1 2 ip A∆ dreptunghic = ei nf o A∆ oarecare = 2. Arie triunghiul dreptunghic .ro 1. Arie triunghiul oarecare 4. Arie paralelogram w w w 3. Arie triunghiul echilateral l2 3 A∆ echilateral = 4 l 3 h∆ echilateral = 2 Aparale log ram = b ⋅ h Aparale log ram = l1 ⋅ l2 ⋅ sin u = Pparale log ram 2( AB + BC ) 6
  7. 7. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) 6. Arie patrat Apatrat = l 2 Pdreptunghi 2( L + l ) = Ppatrat = 4l ei nf o Adreptunghi= L ⋅ l .ro 5. Arie dreptunghi www.mateinfo.ro at d patrat = l 2 8. Arie trapez w w .m 7. Arie romb d1 ⋅ d 2 = b⋅h 2 Aromb= l 2 ⋅ sin A w Aromb = Promb = 4l ( B + b) ⋅ h = lm ⋅ h 2 B+b (linia mijlocie) lm = 2 Ptrapez = AB + BC + CD + AD Atrapez = 7
  8. 8. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) 10. Arie patrulater convex .ro 9. Arie patrulater ortodiagonal d1 ⋅ d 2 ⋅ sin α d1 ⋅ d 2  = = m(d1, d 2 ) Apatrulater convex ,α 2 2 = = AB + BC + CD + AD Apatrulater convex AABD + ABDC ei nf o Apatrulater ortodiagonal = Ppatrulater ortodiagonal Ppatrulater ortodiagonal = AB + BC + CD + AD 12. Arie disc w w .m at 11. Arie poligon regulat P ⋅a Apoligon regulat = n n 2 no ln = 2 R sin 2 no an = R cos 2 m(  ) = n o AB Adisc = π R 2 Lcerc = 2π R larc = w m(ABC ) = www.mateinfo.ro π Rn 180 Asec tor = 180(n − 2) n 8 π R2n 360
  9. 9. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI 1. Teorema lui Thales  ABC  FA GA = ⇒ FG || BC  FB GC Reciproca Teoremei lui Thales ei nf o .ro  ABC  EA DA = ⇒ DE || BC  EB DC GA ⇒ FG || BC GC DA ⇒ DE || BC DC at FA Daca = FB EA Daca = EB 2. Teorema fundamental a asemanarii .m  ABC   ⇒ AFG  ABC FG || BC  w w w  ABC   ⇒ AED  ABC DE || BC  . 3. Triunghiuri asemenea 4. Cazuri de asemanare 1) U.U. AB AC AB AC BC = 2) si = = , A' B ' A'C ' A ' B ' A 'C ' B 'C ' A ≡ A ' A ≡ A ', B ≡ B ', C ≡ C ' AB AC BC 3) = = A ' B ' A 'C ' B 'C '  ABC  A ' B ' C ' ⇔ 9
  10. 10. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) www.mateinfo.ro . 5. Teorema catetei  ABC  2  T .Catetei  AB BD ⋅ BC  = m= 90  ⇒  2 (A)  AC CD ⋅ CB  = AD ⊥ BC   ei nf o .ro o 6. Teorema înălțimii  ABC w w .m 7. Teorema lui Pitagora at   T . Inaltimii m(A) =o  ⇒ AD 2 = ⋅ DC BD 90 AD ⊥ BC    ABC  T . Pitagora ⇒ BC 2 = 2 + AC 2 AB o m(A) = 90  w Reciproca Teorema lui Pitagora Dacă în  ABC avem BC > AC > AB si BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ABC dreptunghic, m(A) = 90o 8. Teorema bisectoarei  ABC  AB BD = ⇒ ( AD) bi sec toare  AC DC 10
  11. 11. www.mateinfo.ro GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE cateta opusă ipotenuză 30o cateta alăturată cos x = ipotenuză cateta opusă cateta alăturată ctgx = cosx tgx cateta alăturată cateta opusă TEOREMA UNGHIULUI DE 30O 1 2 ctgx 3 2 3 3 3 2 2 2 2 60o 3 2 1 2 3 1 1 ei nf o tgx = sinx 45o .ro sin x = 3 3 Într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de 300 este jumatate din ipotenuză TEOREMA – Mediana in triunghiul dreptunghic at Într-un triunghi dreptunghic mediana dusă din vârful unghiului drept este jumatate din ipotenuză .m TEOREMA COSINUSURILOR (se aplica în triunghiul oarecare) w w ˆ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A ˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C w TEOREMA SINUSURILOR (se aplică în triunghiul oarecare) a b c = = = 2R ˆ ˆ ˆ sin A sin B sin C Material realizat de Andrei Octavian Dobre– www.mateinfo.ro (Profesor de matematică – Ploiești) Contact: office@mateinfo.ro ; dobre.andrei@yahoo.com 11

×