Desarrollo modelos io

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Modelos de Investigación Operativa

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Desarrollo modelos io

  1. 1. Investigación Operativa<br />DESARROLLO DE MODELOS<br />
  2. 2. El problema<br />Los recursos <br />son escasos<br />Los sistemas son cada<br /> vez más complejos<br />Cada vez es más difícil asignar los <br />recursos o actividades de la forma más eficaz<br />
  3. 3. Investigación operativa (I.O.)<br />Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos<br />Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones<br />Requiere un enfoque interdisciplinario<br />
  4. 4. Historia de la I.O.<br />Se aplica por primera vez en 1780<br />Antecedentes:<br />Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)<br />Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)<br />Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)<br />El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial<br />
  5. 5. Historia de la I.O.<br />Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a:<br />competitividad industrial<br />progreso teórico<br />RAND (Dantzig)<br />Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)<br />Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)<br />gran desarrollo de los ordenadores<br />
  6. 6. Actualidad de la I.O.<br />Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial<br />Más información:<br />Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)<br />www.cica.es/aliens/seio<br />Association of European O.R. Societies (EURO)<br />www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html<br />Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)<br />www.informs.org<br />International Federation of O.R. Societies (IFORS)<br />www.ifors.org<br />
  7. 7. El método de la I.O.<br />Definición del problema<br />Formulación del problema y construcción del modelo<br />Resolución<br />Verificación, validación, refinamiento<br />Interpretación y análisis de resultados<br />Implantación y uso extensivo<br />A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción<br />constante entre el analista y el cliente<br />
  8. 8. El modelado<br />Es una ciencia<br />análisis de relaciones<br />aplicación de algoritmos de solución<br />Y a la vez un arte<br />visión de la realidad<br />estilo, elegancia, simplicidad<br />uso creativo de las herramientas<br />experiencia<br />
  9. 9. Definición del problema<br />Consiste en identificar los elementos de decisión<br />objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)<br />alternativas<br />limitaciones del sistema<br />Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)<br />Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles<br />
  10. 10. Formulación del problema<br />Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento<br />Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación<br />Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos<br />hace más claras la estructura y relaciones<br />facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores<br />a veces no es aplicable<br />
  11. 11. Construcción del modelo<br />Traducción del problema a términos matemáticos<br />objetivos: función objetivo<br />alternativas: variables de decisión<br />limitaciones del sistema: restricciones<br />Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas<br />heurísticos<br />simulación<br />
  12. 12. Tipos de modelos<br />Determinísticos<br />Programación matemática<br />Programación lineal<br />Programación entera<br />Programación dinámica<br />Programación no lineal<br />Programación multiobjetivo<br />Modelos de transporte<br />Modelos de redes<br /><ul><li>Probabilísticos
  13. 13. Programación estocástica
  14. 14. Gestión de inventarios
  15. 15. Fenómenos de espera (colas)
  16. 16. Teoría de juegos
  17. 17. Simulación</li></li></ul><li>Resolución<br />Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones<br />Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos<br />
  18. 18. Verificación y validación<br />Eliminación de errores<br />Comprobación de que el modelo se adapta a la realidad<br />
  19. 19. Interpretación y análisis<br />Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidad<br />Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas<br />
  20. 20. Implantación<br />Sistema de ayuda y mantenimiento<br />Documentación<br />Formación de usuarios<br />
  21. 21. Ejemplo nº1<br />En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y <br />negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, <br />respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de <br />3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primas<br />por cada 1000 l.<br />La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y<br />10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar su<br />beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?<br />
  22. 22. Formulación<br />
  23. 23. El modelo de P.L.<br />
  24. 24. El modelo de P.L.<br />z: función objetivo<br />CT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.<br />XT (x1,...,xn): vector de variables de decisión<br />A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos<br />b (b1,...,bm): vector de demandas<br />Matricialmente,<br /> Opt CTX<br /> s.a.<br /> AX b<br /> x  0<br />Forma canónica<br />
  25. 25. Propiedades del modelo lineal<br />Proporcionalidad<br />La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable<br />Aditividad<br />El coste y las restricciones son la suma directa de las variables<br />Divisibilidad<br />Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción<br />
  26. 26. Modelos de prog. entera<br />El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras<br />Programación entera mixta (MIP) <br />x  R+, y  Z+<br />Programación entera pura (IP)<br />x  Z+<br />Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)<br />x  {0,1}: variables de asignación, lógicas<br />Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.<br />El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)<br />
  27. 27. Problemas típicos<br />Problema del transporte<br />Problema de flujo con coste mínimo en red<br />Problema de asignación<br />Problema de la mochila (knapsack)<br />Problema del emparejamiento (matching)<br />Problema del recubrimiento (set-covering)<br />Problema del empaquetado (set-packing)<br />Problema de partición (set-partitioning)<br />Problema del coste fijo (fixed-charge)<br />Problema del viajante (TSP)<br />Problema de rutas óptimas<br />
  28. 28. Problema del transporte<br />Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta<br />xij: unidades a enviar de origen i a destino j<br />cij: coste unitario de transporte de i a j<br />ai: unidades de oferta en el punto origen i<br />bj: unidades de demanda en el punto destino j<br />Se supone oferta total igual a demanda total<br />
  29. 29. Flujo con coste mínimo en red<br />Embarcar los recursos disponibles a través de la red<br />para satisfacer la demanda a coste mínimo<br />xij: unidades enviadas de i a j (flujo)<br />cij: coste unitario de transporte de i a j<br />bi:recursos disponibles en un nodo i<br /> oferta: bi>0<br /> demanda: bi<0<br /> transbordo: bi=0<br />Se supone oferta total igual a demanda total<br />
  30. 30. Problema de asignación<br />Minimizar el coste total de operación de modo que:<br /> - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina<br /> - cada máquina realice una y sólo una tarea<br />xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j<br />cij: coste de realizar la tarea i con máquina j<br />n tareas<br />m máquinas<br />Si hay más máquinas que tareas se formula<br />con desigualdades, y se resuelve con tareas<br />ficticias<br />
  31. 31. Problema de la mochila<br />Escoger un grupo de productos que maximice el valor<br />total sin exceder el espacio disponible<br />n objetos<br />aj: espacio que ocupa el objeto j<br />cj: valor del objeto j<br />b: volumen de la mochila<br />xj: 1 si se escoge el objeto j<br />
  32. 32. Problema de emparejamiento<br />Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.<br />xij=1 si los elementos i y j son pareja<br />cij: valor de la pareja i-j<br /> i<j<br />
  33. 33. Problema de recubrimiento<br />Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez <br />m características<br />n actividades<br />xj=1 si la actividad j se realiza<br />cj: coste unitario de la actividad j<br />aij=1 si la característica i está en la actividad j<br />A: matriz de incidencia<br />
  34. 34. Problema de empaquetado<br />Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces <br />m actividades<br />n conjuntos de actividades<br />xj=1 si se elige el subconjunto j<br />cj: beneficio por realizar el conjunto j<br />aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i<br />A: matriz de incidencia<br />
  35. 35. Problema de partición<br />Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades<br />m actividades<br />n conjuntos de actividades<br />xj=1 si se elige el subconjunto j<br />cj: beneficio por realizar el conjunto j<br />aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i<br />A: matriz de incidencia<br />
  36. 36. Problema del coste fijo<br />Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda<br />xij: unidades del producto j<br />cj: coste unitario de producción de j<br />yk=1 si se usa la instalación k<br />fk: coste de arranque de la instalación k<br />akj=1 si el producto j usa la instalación k<br />bj: demanda del producto j<br />M: número lo suficientemente grande<br />
  37. 37. Problema del viajante<br />Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima<br />xij=1 si de i va directamente a j<br />cij: distancia entre i y j<br />A: conjunto de arcos<br />V: conjunto de nodos<br />
  38. 38.
  39. 39. Problema de rutas<br />Minimizar el coste total, visitando todos los clientes<br />N: clientes<br />M: vehículos<br />xijk=1 si el vehículo k visita j después de i<br />cij: coste unitario de transporte de i a j<br />dij: distancia de i a j<br />tij: tiempo de i a j<br />qi: demanda<br />si: tiempo de descarga<br />i: prioridad<br />Qk: capacidad<br />rok, dok: período tiempo disponible<br />ck: coste fijo por uso<br />
  40. 40. Formulación con var. binarias<br />Restricciones disyuntivas<br />K de N alternativas deben darse<br />Restricciones condicionales<br />equiv. a<br />Decisiones contingentes<br />x  y<br />y  x<br />

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