Seminar4: Zlatni Rez

7,025 views

Published on

Prezentacija seminara "Zlatni rez"

Published in: Technology, Spiritual
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,025
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
65
Actions
Shares
0
Downloads
184
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Seminar4: Zlatni Rez

  1. 1. Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Seminar 4 Zapisi zlatnog Zlatni rez reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u Eva Marija Renata Ana Anita umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost PMF-Matematiˇ ki odjel c Zlatni rez u Sveuˇ ilište u Zagrebu c prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zagreb, lipanj 2008. Zakljuˇ ak c Popis literature
  2. 2. Sadržaj Seminar 4 Eva, Marija, 1 Povijest Renata, Ana, Anita Povijest zlatnog reza Povijest 2 Zapisi zlatnog reza Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog 3 Zlatni rez u matematici reza Zlatni rez u 4 Zlatni rez u umjetnosti matematici Zlatni rez u Arhitektura umjetnosti Likovna umjetnost Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u 5 Zlatni rez u prirodi prirodi Upitna otkri´ a c 6 Upitna otkri´ a zlatnog reza c zlatnog reza Zakljuˇ ak c 7 Zakljuˇ ak c Popis literature 8 Popis literature
  3. 3. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  4. 4. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  5. 5. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  6. 6. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  7. 7. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Dvije oznake Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  8. 8. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Dvije oznake Upitna otkri´ a c zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c Popis literature
  9. 9. Povijest zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita poˇ eci prouˇ avanja su iz doba stare Grˇ ke c c c Povijest Pitagora - Pitagorin pentagram Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Dvije oznake Upitna otkri´ a c zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c τ Popis literature
  10. 10. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  11. 11. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  12. 12. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  13. 13. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija reza Zlatni rez u Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje: matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  14. 14. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija reza Zlatni rez u Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje: matematici quot;Geometrija ima dva velika blaga: jedno je Zlatni rez u umjetnosti Pitagorin teorem, a drugo je podjela linije u Arhitektura Likovna umjetnost quot;krajnjem i srednjem omjeruquot;; prvo možemo Zlatni rez u usporediti s mjerom zlata, a drugo možemo prirodi nazvati dragocjenim draguljem.quot; Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  15. 15. Povijesni razvoj zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fidija (490. - 430. p. K.) - kipovi za Partenon Povijest Platon (427. - 347. p. K.) - Platonova tijela Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Euklid (325. - 256. p. K.) - prva poznata definicija reza Zlatni rez u Johannes Kepler (1571. - 1630.) izjavljuje: matematici quot;Geometrija ima dva velika blaga: jedno je Zlatni rez u umjetnosti Pitagorin teorem, a drugo je podjela linije u Arhitektura Likovna umjetnost quot;krajnjem i srednjem omjeruquot;; prvo možemo Zlatni rez u usporediti s mjerom zlata, a drugo možemo prirodi nazvati dragocjenim draguljem.quot; Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Martin Ohm - 1835. god. prvi puta koristi naziv zlatni rez Popis literature
  16. 16. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  17. 17. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  18. 18. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u φ+1 prirodi Upitna otkri´ a c =φ zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c Popis literature
  19. 19. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u φ+1 prirodi Upitna otkri´ a c =φ zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c Popis literature ⇒
  20. 20. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u φ+1 prirodi Upitna otkri´ a c =φ zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c Popis literature ⇒ φ2 − φ − 1 = 0
  21. 21. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u φ+1 prirodi Upitna otkri´ a c =φ zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c Popis literature ⇒ φ2 − φ − 1 = 0 ⇒
  22. 22. Vrijednost zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Definicija Anita Cjelina podijeljena na dva dijela je u omjeru zlatnog reza ako Povijest Povijest zlatnog reza je omjer cjeline i ve´ eg dijela jednak omjeru ve´ eg i manjeg c c Zapisi zlatnog dijela. reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u φ+1 prirodi Upitna otkri´ a c =φ zlatnog reza φ Zakljuˇ ak c √ Popis literature ⇒ φ2 − φ − 1 = 0 ⇒ φ = 5+1 2
  23. 23. Zlatni broj na 2000 decimala Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  24. 24. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  25. 25. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza φ=1 +φ1 Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  26. 26. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza φ=1 1 1 + φ = 1 + 1+ 1 Zlatni rez u φ matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  27. 27. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza φ = 1 + φ = 1 + 1+ 1 1 1 Zlatni rez u φ matematici Zlatni rez u = 1 + 1+ 1 1 1+ φ1 umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  28. 28. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza φ = 1 + φ = 1 + 1+ 1 1 1 Zlatni rez u φ matematici Zlatni rez u = 1 + 1+ 1 1 = · · · = 1 + 1+ 1 1 1 1+ φ 1+ 1 umjetnosti 1+... Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  29. 29. Verižni razlomak Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest φ+1 Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Razvoj φ = φ u verižni razlomak: reza φ = 1 + φ = 1 + 1+ 1 1 1 Zlatni rez u φ matematici Zlatni rez u = 1 + 1+ 1 1 = · · · = 1 + 1+ 1 1 1 1+ φ 1+ 1 umjetnosti 1+... Arhitektura Likovna umjetnost ⇒ zlatni rez je iracionalan broj! Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  30. 30. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  31. 31. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  32. 32. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 (φ ≥ 0) matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  33. 33. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 (φ ≥ 0) ⇒ φ = 1+φ matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  34. 34. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 (φ ≥ 0) ⇒ φ = 1+φ= 1+ 1+φ matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  35. 35. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 (φ ≥ 0) ⇒ φ = 1+φ= 1+ 1+φ matematici Zlatni rez u umjetnosti = 1+ 1+ 1+φ Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  36. 36. Kvadratni korijen Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog φ2 − φ − 1 = 0 reza Zlatni rez u ⇒ φ2 = φ + 1 (φ ≥ 0) ⇒ φ = 1+φ= 1+ 1+φ matematici Zlatni rez u √ umjetnosti = 1+ 1+ 1 + φ = ··· = 1+ 1+ 1+ 1 + ... Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  37. 37. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  38. 38. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  39. 39. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  40. 40. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  41. 41. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u ⇒ φ4 = 2 + 3 φ matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  42. 42. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u ⇒ φ4 = 2 + 3 φ matematici ⇒ φ5 = 3 + 5 φ Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  43. 43. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u ⇒ φ4 = 2 + 3 φ matematici ⇒ φ5 = 3 + 5 φ Zlatni rez u umjetnosti Dobili smo niz: Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  44. 44. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u ⇒ φ4 = 2 + 3 φ matematici ⇒ φ5 = 3 + 5 φ Zlatni rez u umjetnosti Dobili smo niz: Arhitektura Likovna umjetnost φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ , Zlatni rez u φ5 = 3 + 5φ , ... , prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  45. 45. Potencije zlatnog reza Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza φ2 = φ + 1 Zapisi zlatnog reza ⇒ φ3 = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ Zlatni rez u ⇒ φ4 = 2 + 3 φ matematici ⇒ φ5 = 3 + 5 φ Zlatni rez u umjetnosti Dobili smo niz: Arhitektura Likovna umjetnost φ = 0 + φ , φ2 = 1 + φ , φ3 = 1 + 2φ , φ4 = 2 + 3φ , Zlatni rez u φ5 = 3 + 5φ , ... , φn = Fn−1 + Fn · φ prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  46. 46. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  47. 47. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza φn Zlatni rez u matematici φ= φn−1 Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  48. 48. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  49. 49. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Fn Arhitektura Fn−1 := x Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  50. 50. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Fn Arhitektura Fn−1 := x Likovna umjetnost x ·φ+1 Zlatni rez u ⇒φ= φ+ x 1 prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  51. 51. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Fn Arhitektura Fn−1 := x Likovna umjetnost x ·φ+1 Zlatni rez u ⇒φ= φ+ x 1 ⇒ 1+ 1 x =x prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  52. 52. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Fn Arhitektura Fn−1 := x Likovna umjetnost x ·φ+1 Zlatni rez u ⇒φ= φ+ x 1 ⇒ 1+ 1 x =x ⇒x=φ prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  53. 53. Fibonnacijev niz Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Fn Povijest Fn−1 dok n → ∞ Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Fn φn Fn−1 ·φ+1 Zlatni rez u matematici φ= φn−1 = ··· = φ+ F 1 n−2 Zlatni rez u Fn−1 umjetnosti Fn Arhitektura Fn−1 := x Likovna umjetnost x ·φ+1 Zlatni rez u ⇒φ= φ+ x 1 ⇒ 1+ 1 x =x ⇒ x = φ ⇒ Omjer dvaju uzastopnih clanova Fibonnacijevog prirodi ˇ Upitna otkri´ a c zlatnog reza niza jednak je omjeru zlatnog reza! Zakljuˇ ak c Popis literature
  54. 54. Geometrijski Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Geometrijska definicija Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom toˇ kom u omjeru c Povijest Povijest zlatnog reza zlatnog reza ako se cijela dužina prema ve´ em dijelu odnosi c Zapisi zlatnog reza kao ve´ i dio naprama manjem dijelu. c Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  55. 55. Geometrijski Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Geometrijska definicija Za dužinu d kažemo da je podijeljena jednom toˇ kom u omjeru c Povijest Povijest zlatnog reza zlatnog reza ako se cijela dužina prema ve´ em dijelu odnosi c Zapisi zlatnog reza kao ve´ i dio naprama manjem dijelu. c Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  56. 56. Peterokut Seminar 4 Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  57. 57. Peterokut Seminar 4 Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale Eva, Marija, Renata, Ana, quot;zlatni trokutquot; Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  58. 58. Peterokut Seminar 4 Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale Eva, Marija, Renata, Ana, quot;zlatni trokutquot; Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura quot;zlatni gnomonquot; Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  59. 59. Peterokut Seminar 4 Pitagorin pentagram - peterokut i sve njegove dijagonale Eva, Marija, Renata, Ana, quot;zlatni trokutquot; Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura quot;zlatni gnomonquot; Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  60. 60. Pitagorin pentagram Seminar 4 Eva, Marija, Gdje su zlatni trokut i zlatni gnomon? Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  61. 61. Pitagorin pentagram Seminar 4 Eva, Marija, Gdje su zlatni trokut i zlatni gnomon? Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  62. 62. Zlatni pravokutnik Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  63. 63. Keplerov trokut Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza ˇ pravokutan trokut kojemu su duljine stranica clanovi Zakljuˇ ak c geometrijskog niza Popis literature
  64. 64. Zlatna spirala Seminar 4 Eva, Marija, logaritamska spirala kojoj je faktor rasta povezan sa Renata, Ana, Anita zlatnim omjerom Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  65. 65. Zlatna spirala Seminar 4 Eva, Marija, logaritamska spirala kojoj je faktor rasta povezan sa Renata, Ana, Anita zlatnim omjerom na njoj leže toˇ ke koje dobivamo pri podjeli zlatnog c Povijest Povijest zlatnog reza pravokutnika na kvadrat i novi zlatni pravokutnik Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  66. 66. Zlatna spirala Seminar 4 Eva, Marija, logaritamska spirala kojoj je faktor rasta povezan sa Renata, Ana, Anita zlatnim omjerom na njoj leže toˇ ke koje dobivamo pri podjeli zlatnog c Povijest Povijest zlatnog reza pravokutnika na kvadrat i novi zlatni pravokutnik Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Fibonaccijeva spirala Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  67. 67. Platonova tijela 1 Seminar 4 Eva, Marija, ˇ pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilni Renata, Ana, Anita poligoni) Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  68. 68. Platonova tijela 1 Seminar 4 Eva, Marija, ˇ pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilni Renata, Ana, Anita poligoni) Povijest pri raˇ unanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez c Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  69. 69. Platonova tijela 1 Seminar 4 Eva, Marija, ˇ pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilni Renata, Ana, Anita poligoni) Povijest pri raˇ unanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez c Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c dodekaedar s jediniˇ nim bridom: c Zakljuˇ ak c Popis literature
  70. 70. Platonova tijela 1 Seminar 4 Eva, Marija, ˇ pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilni Renata, Ana, Anita poligoni) Povijest pri raˇ unanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez c Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c dodekaedar s jediniˇ nim bridom: c 15φ Zakljuˇ ak c oplošje: √ 3−φ Popis literature
  71. 71. Platonova tijela 1 Seminar 4 Eva, Marija, ˇ pravilni poliedri (poliedri cije su strane sukladni pravilni Renata, Ana, Anita poligoni) Povijest pri raˇ unanju volumena i oplošja pojavljuje se zlatni rez c Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c dodekaedar s jediniˇ nim bridom: c 15φ Zakljuˇ ak c oplošje: √ 3−φ Popis literature 5φ3 volumen: 3·(2−φ)
  72. 72. Platonova tijela 2 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  73. 73. Dualni poliedri Seminar 4 Eva, Marija, središta strana Platonovih tijela spojena bridovima Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  74. 74. Dualni poliedri Seminar 4 Eva, Marija, središta strana Platonovih tijela spojena bridovima Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  75. 75. Zlatna piramida Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b Upitna otkri´ a c zlatnog reza ˇ Zakljuˇ ak c Popis literature
  76. 76. Zlatna piramida Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi pravilna cetverostrana piramida kojoj je a = φ · b Upitna otkri´ a c zlatnog reza ˇ Zakljuˇ ak c MNV je Keplerov trokut Popis literature
  77. 77. Zlatni kut Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c Vrijednost zlatnog kuta iznosi: Zakljuˇ ak c Popis literature
  78. 78. Zlatni kut Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c Vrijednost zlatnog kuta iznosi: Zakljuˇ ak c 360 · 1 − φ = 360 · (2 − φ) = 1 360 φ2 stupnjeva Popis literature
  79. 79. Zlatni kut Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a zlatnog reza c Vrijednost zlatnog kuta iznosi: Zakljuˇ ak c 360 · 1 − φ = 360 · (2 − φ) = 1 360 φ2 stupnjeva 2π Popis literature 2π · 1 − 1 φ = 2π · (2 − φ) = φ2 radijana
  80. 80. Zlatna funkcija Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u y 2 −1 prirodi gornja grana hiperbole y =x Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  81. 81. Zlatna funkcija Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u y 2 −1 prirodi gornja grana hiperbole y =x Upitna otkri´ a c √ x+ x 2 +4 zlatnog reza gold (x ) = 2 Zakljuˇ ak c Popis literature
  82. 82. Zlatna funkcija Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u y 2 −1 prirodi gornja grana hiperbole y =x Upitna otkri´ a c √ x+ x 2 +4 zlatnog reza gold (x ) = 2 Zakljuˇ ak c √ 5+1 Popis literature gold (1) = 2
  83. 83. Zlatna funkcija Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u y 2 −1 prirodi gornja grana hiperbole y =x Upitna otkri´ a c √ x+ x 2 +4 zlatnog reza gold (x ) = 2 Zakljuˇ ak c √ 5+1 Popis literature gold (1) = 2 √ gold (2) = 1 + 2 - srebrni rez
  84. 84. Elipsa i kružnica Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, elipsa s fokusima F1 , F2 i k (O , F1 ) Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  85. 85. Elipsa i kružnica Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, elipsa s fokusima F1 , F2 i k (O , F1 ) Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature površine su im jednake za a b = φ, a i b poluosi elipse
  86. 86. Stereometrija Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Zadatak reza Stožac je upisan krnjem stošcu tako da je njegov vrh u središtu Zlatni rez u matematici gornje, manje osnovke, a osnovka mu je osnovka krnjeg Zlatni rez u umjetnosti stošca. Koja relacija povezuje polumjere osnovki krnjeg stošca Arhitektura ako je obujam upisanog stošca polovica obujma krnjeg stošca? Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  87. 87. IGRA Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi x=3 i y=5 Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  88. 88. IGRA Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi x=3 i y=5 Upitna otkri´ a c zlatnog reza pravokutnik stranica duljine 13 i 5 Zakljuˇ ak c Popis literature
  89. 89. IGRA Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi x=3 i y=5 Upitna otkri´ a c zlatnog reza pravokutnik stranica duljine 13 i 5 Zakljuˇ ak c 64=65 Popis literature
  90. 90. IGRA Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi x=3 i y=5 Upitna otkri´ a c zlatnog reza pravokutnik stranica duljine 13 i 5 Zakljuˇ ak c 64=65 Popis literature NAÐITE GREŠKU!
  91. 91. Kratak uvod Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  92. 92. Kratak uvod Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza reza zlatni rez u umjetniˇ kim djelima c Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  93. 93. Kratak uvod Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza reza zlatni rez u umjetniˇ kim djelima c Zlatni rez u matematici Luca Pacioli - 1509. god. quot;De Divine Proportionequot; Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  94. 94. Kratak uvod Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog Renesansa - nastanak teorija o estetici zlatnog reza reza zlatni rez u umjetniˇ kim djelima c Zlatni rez u matematici Luca Pacioli - 1509. god. quot;De Divine Proportionequot; Zlatni rez u umjetnosti Matil Ghyka (20.st.) - 2 knjige podaci o pojavljivanju Arhitektura Likovna umjetnost zlatnog reza u umjetnosti Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  95. 95. Tlocrt Velike Džamije u Kairouanu Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  96. 96. Le Corbusier 1 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu i Fibonaccijevom nizu Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  97. 97. Le Corbusier 1 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita sustav proporcija baziran je uglavnom na zlatnom rezu i Fibonaccijevom nizu Povijest Povijest zlatnog reza Modulor - predstavlja harmoniˇ ne odnose u ljudskome c Zapisi zlatnog reza tijelu Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  98. 98. Le Corbusier 2 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c 183 113 = φ , 113 = φ 70 zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  99. 99. Le Corbusier 2 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c 183 113 = φ , 113 = φ 70 zlatnog reza Zakljuˇ ak c koristio je obrnut Fibonaccijev niz: Popis literature 180 = 113 + 70, 113 = 70 + 43...
  100. 100. Modulorove proporcije 1 Seminar 4 Eva, Marija, Vila Stein u Garchesu Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  101. 101. Modulorove proporcije 2 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Tlocrt prizemlja i kata Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  102. 102. Notre Damme Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  103. 103. Notre Damme Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature Sadrži zlatni rez na više mjesta
  104. 104. Zlatni rez u Hrvatskoj Seminar 4 Gornjogradska gimnazija: Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  105. 105. Zlatni rez u Hrvatskoj Seminar 4 Gornjogradska gimnazija: Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  106. 106. Keopsova piramida Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  107. 107. Keopsova piramida Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature Pokazano da nije rijeˇ o zlatnoj piramidi c
  108. 108. Partenon Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  109. 109. Zgrada Ujedinjenih naroda Seminar 4 Slutnja - proˇ elje zgrade je zlatni pravokutnik. c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  110. 110. Zgrada Ujedinjenih naroda Seminar 4 Slutnja - proˇ elje zgrade je zlatni pravokutnik. c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  111. 111. Zgrada Ujedinjenih naroda Seminar 4 Slutnja - proˇ elje zgrade je zlatni pravokutnik. c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature Ne vrijedi - zgrada je na neravnom terenu i nema jedinstvenu visinu
  112. 112. Japanska arhitektura Seminar 4 Pagoda Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  113. 113. Da Vinci Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, prostoruˇ ni crteži platonovih tijela c Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  114. 114. Da Vinci Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, prostoruˇ ni crteži platonovih tijela c Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  115. 115. ˇ Vitruvijev covjek Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature studija proporcija ljudskog tijela
  116. 116. ˇ Vitruvijev covjek Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature studija proporcija ljudskog tijela crtež djelomiˇ no aproksimira zlatni rez c
  117. 117. Mona Lisa Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  118. 118. Posljednja veˇ era c Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Dimenzije prostorije i stola izradene u skladu sa zlatnim rezom ¯ Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  119. 119. Salvador Dali Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Sakrament posljednje veˇ ere - platno c Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  120. 120. Salvador Dali Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Sakrament posljednje veˇ ere - platno c Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  121. 121. Sir Lawrence Alma-Tadem 1 Seminar 4 Eva, Marija, The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez? Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  122. 122. Sir Lawrence Alma-Tadem 1 Seminar 4 Eva, Marija, The Roses of Heliogabalus - gdje se skriva zlatni rez? Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  123. 123. Sir Lawrence Alma-Tadem 2 Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  124. 124. Mondrian Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  125. 125. Rembrandt Seminar 4 ˇ Oko lika slavnog slikara se opisuje trokut cija visina dijeli bazu Eva, Marija, Renata, Ana, u zlatnom rezu. Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  126. 126. Seurat Seminar 4 Kupaˇ i c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  127. 127. Suncokret Seminar 4 Eva, Marija, zlatni omjer i Fibonaccijevi brojevi sveprisutni u prirodi Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  128. 128. Suncokret Seminar 4 Eva, Marija, zlatni omjer i Fibonaccijevi brojevi sveprisutni u prirodi Renata, Ana, Anita zlatni broj - pokretaˇ u rastu raznih biljaka c Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  129. 129. Suncokret Seminar 4 Eva, Marija, zlatni omjer i Fibonaccijevi brojevi sveprisutni u prirodi Renata, Ana, Anita zlatni broj - pokretaˇ u rastu raznih biljaka c Povijest suncokret Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  130. 130. Primjeri Seminar 4 tratinˇ ica c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  131. 131. Primjeri Seminar 4 tratinˇ ica c Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti ˇ cešer Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  132. 132. Zlatni cvijet Seminar 4 Eva, Marija, iracionalni kut rotacije Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  133. 133. Zlatni cvijet Seminar 4 Eva, Marija, iracionalni kut rotacije Renata, Ana, Anita svaka sjemenka je rotirana za približno 1.618 okreta u Povijest odnosu na prethodnu Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  134. 134. Spiralan rast Seminar 4 Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Spirale s redom 8, 13 i 21 krakova: Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  135. 135. Fibonacci Seminar 4 Fibonaccijevi brojevi: Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  136. 136. Ljudsko tijelo 1 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  137. 137. Ljudsko tijelo 1 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Duljine kostiju u šaci su u zlatnom omjeru: Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  138. 138. Ljudsko tijelo 1 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Duljine kostiju u šaci su u zlatnom omjeru: Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u Zubi se odnose u zlatnom rezu: prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  139. 139. Ljudsko tijelo 2 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  140. 140. Ljudsko tijelo 2 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Uho - zlatna spirala: Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  141. 141. Ljudsko tijelo 2 Seminar 4 Eva, Marija, Navodi: Renata, Ana, Anita Uho - zlatna spirala: Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Podlaktica i dlan se odnose u zlatnom rezu: Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  142. 142. Mjerenja Seminar 4 Rezultati mjerenja: Eva, Marija, Renata, Ana, Anita Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  143. 143. Zakljuˇ ak c Seminar 4 Eva, Marija, zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu i Renata, Ana, Anita umjetnike Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  144. 144. Zakljuˇ ak c Seminar 4 Eva, Marija, zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu i Renata, Ana, Anita umjetnike zlatni rez u glazbi Povijest Povijest zlatnog reza Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  145. 145. Zakljuˇ ak c Seminar 4 Eva, Marija, zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu i Renata, Ana, Anita umjetnike zlatni rez u glazbi Povijest Povijest zlatnog reza teza - ljudi prepoznaju zlatni omjer Zapisi zlatnog reza Zlatni rez u matematici Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  146. 146. Zakljuˇ ak c Seminar 4 Eva, Marija, zlatni rez je omjer koji povezuje matematiku, prirodu i Renata, Ana, Anita umjetnike zlatni rez u glazbi Povijest Povijest zlatnog reza teza - ljudi prepoznaju zlatni omjer Zapisi zlatnog reza Mari Livio - na bilo kojem predmetu s dovoljnim brojem Zlatni rez u matematici veliˇ ina možemo na´ i zlatni omjer c c Zlatni rez u umjetnosti Arhitektura Likovna umjetnost Zlatni rez u prirodi Upitna otkri´ a c zlatnog reza Zakljuˇ ak c Popis literature
  147. 147. Literatura: Z.Šiki´ : Istine i laži o zlatnom rezu, Pouˇ ak, 2003. c c http://e.math.hr/64je65/index.html M.Naylor: A Spiral Story, Mathematical Magazine, vol. 75, no. 3, 163-172, 2002.god. http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/ http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_function http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_rectangle http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_triangle

×