Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
С-1
B l. а) — 2sin(2х 7); б) 2 .2 у = У З х +
У з л
6
В-2- 1- а) ֊ 2COS (3 - 2*);...
В.5. 1. а) 0; б)—1. 2. a) - j ; б) — 1,5.
В.6. 1. а) 0; б)■ ֊. 2. а) 0,5; б)- ֊
С-3
В.1. 1. Да. 2. у" = —4у; А = 1; Т = я ...
В.6. а) Выполняется сжатие к оси и
1 1
Оу в отношении 1 : д-; б) после а) вы- 2-
полняются параллельный перенос г 1-
^1 ՜ ...
С-7
п С п . „ ■
В.1. 1. ք շ . 2. — ֊շ ֊ + k e z
!■
В.2. 1. 2.
f . . я яА
В.З, 1. а) 0,5; б) 0,5. 2. (— )k+l. ֊ ա + ֊շ
j.
я...
B .l. 1. я . 2. х + Т " k е z 
С-9
В.2. 1. я. 2. |
5я
-Ь 2л k k ez
В.З. 1. ctg 80s; ctg 40е; ctg 20°; ctg 10°. 2. Множеств...
С-13
B.l. 1. 2 ~ ^ 3 - 2. sin 4лг В.2. 1. ճ + ճ ճ 2. sin 2x.
4 4
В.З. 1. -1+-Ճ1. 2. —sin7х. В.4. 1. 2~}С1... 2. —sin10х.
4...
B.l. 2. в.2. 2. В.З. 2. — ~ + х + 1 .
В.4. 2. —2л2 + х + 12. В.5. 2. 2,5 —cos*. В.6. sin х + 1 ,5 .
С-17
С-18
*3
B .l. 1. ...
շշ-г+з
2 In2
/ 1 0,5-r+2 32 - *
В.2. l . - ա շ վ շ ) . 2. ֊ 1 ^ 3 + C .
В.З. I. у = —X + 2. շ. —3 In 0,7 • 0,71-s*. 3. —e2...
В.З.
В.4.
В.5.
В. б.
I. - c t g * . 2 . 0,5 in (2х + 1 ) 4 - С.
I. —lg е tg х. 2. 0,5 In (2х — 1) 4՜ С.
1. In (х — 1) 4՜ 4...
м . {(m + l ’ ~ т + 1֊) } при т ф ±1; 0 при т = —1; {(у + 1; у)|
1.
; /я — շ ) ] ПРИ m ^ ± 2 ; 0 ПРИ m = 2; Ա՜՜2'՛ ~~4у:
У...
В.З. 1.
Х*У у
tf4 --- V
, xf у =^= 0. 2 . {—3}«
в -4 - х' 7 у Т ՝ Ь ф ^ 2> {4 }-
L 2—
B.5. 1. b (a + b), b* ф а , Ь ф 0. 2...
B .l. 1. 6 ! = 720. 2. а) 0; б) 2s = 256.
В.2. 1. A*Q= 5040. 2. а) 0; б) 27 = 128.
В.З. 1. ճ յ2= 1320. 2. а) 0; б) 2™ — 1 ...
С-43
на
B .l. Убывает на
; минимумы в точках
՜ 1 Г 1
на —оо; — — и на
1<^՛
о»
; возрастает на
1 1
— и — ; максимум в точке...
V (0) = V (R) = 0. V (—/?) > 0, поэтому в точке — Я функция V достигает
* " ( * ֊! * ) , т н
наибольшего значения. Наконец...
В.З. 1. —. 2. a) tg 21 б) —sin ^ г ~ — 4 ՜. 4. {я + 2я/г| k е Z ).
25 6 2
5зт 7зх
5 . Н 4яй < х < ֊ — + 4я&, k е Z.
3 3
В....
У ,
 ^ Л /
 ~1, 3.
3 1 /
х
' ~ Т
К-7
B .l. !. { ( - 1 ; ֊I ; 2)}. 3. {(9;
12); (- 1 2 ; ֊9 ) } .
В.2. 1. {(1; — 1; 0)}. 2....
[—1} 13; убывает на ] —оо; — 1] и
на [ 1; оо[; минимум в точке — 1; мак­
симум в точке 1 (рис. 10).
В.З. 1. 32.x5 — 80.nr4...
В .5. 1. а) 0, х ф + як, х ф 1 .+ ~ + як, к 6 Z ; б) 3 sin 4х (sin 2х—
cos 2х). 2. г (х) = —2,5х — cos 2х и г' (х) — —2,5 ...
В.2. у = / 7 cos (х + ф), где tg փ = 1 ^ Լ ; փ €
5
JT Г
о; т [. Р е ш е н и е .
ЗТ
у (0) = Уг (О) + у2 (0) = 2 + cos ՜1֊- ...
точке
Г 2я Г я
В.З. 1. {0; я}; — — ; 0 ; ]0; я[. 2. Минимум в точке — — ; максимум в
я „ Г 2я я Г я 1 Г я
— . 3. Убывает н...
ДС-9
B .l. 2. (ctg (— 1) — ctg (—2)) (ctg (—3) — ctg (—4)) < 0.
B.2. 2. ctg 12; ctg 8 ; ctg 4.
I я я
B.3. 1. arc ctg 3; ar...
В.З. 1. ֊ , а ф ^ , а ф — ^ + nk, k£Z. 2. — ֊ и — —
cos 2 а 2 4 25 25
3. U —i )ft+1 ■ Y + nk k t z

1 я nk . 24 7 ( it , „...
1 Зл . я Г .. 1 5л , я , Г , . 1 Л ,
В'5՜ *' J 14 + 126+ Пк [ U J 42՜+ 7 + L U J Т + '
43я Г 1 19я , 85я Г " я , Зя , , „
...
. 1 sin 2л: „ 5
B.5. 1. а) / х 2 — 1 + С; б) — х ֊ | --------- + С. 2. Первой, 1—. Ь к а з а -
2 4 6
н и е. (х) = ֊ —֊ ֊ х...
m m 8 [кг 0,5
p = — = ——= — — . Разобьем диск на кольца ширины Дх = — , Пло-
S яг* я м*1 п
щадь кольца, ограниченного окру...
ограниченного цилиндрическими поверхностями радиусов х и х + Ах. Объем
„ 2тхАх
этой части цилиндра приближенно равен 2пх Н...
'*ЯШк
В.5. 1. Минимум в точке 1; максимум в точке 0,5. 2, 1 + -j—j (1
շ 1 - 0 , 4 դ з . о.
2 3 Х - 1
В.б. 1. Минимум в точ...
+ Ч-----^—7 и больше площади ступенчатой фигуры Ը Շ ^ շ Շ շ Յ Ք * . . .
3 п — 1
• ■ • c « - i S « D> т- е* 1 + i + т + • ՛...
В.4. {(1; ֊3 ; 7; 2)}.
В .5. {(6z — 13; 7г — 19; г; 7 — 2z) г £ R};
В.б. 0.
B .l. При р = О {(1,5у; у)| у £ R } ; при р = ...
В.б. 1. а) 13,0; б) 81. 2. а) 5,3 ± 0,3; е = 0,05; б) (2,2 ± 0,4) • 102;
е = 0,15.
ДС-33
B .l. 1. а) 1,584; б) 2,615; в) 0...
В.б. 1. (2л:3 + 1) (хг + 2)- 2. Ь| > 1,5. 3. Сумму найти невозможно,
так как уравнение не имеет корней.
ДС-37
В-1. 1. а) 2...
В.З. 1. 9. 2. —— . В.4. 1. 5. 2 . ----- .
32 256
В.5. 1. 2. 2. 1024. В.б. 1. 25. 2. 81.
B .l. 1. а) 0; б) 3. 2. 6. В.2. 1....
В.2. Убывает на [—4 ; — 1[ и на ] —1 ;2 ]; возрастает на ] —с о ;—4] и
на [2 ; оо[; минимум в точке 2 ; максимум в точке —...
SV 5V
нования равны 2x и Зх. Тогда 5 = 12л;2 + — • S' (х) = 24л: — — 7- •£' (я) = О
Зх Зх*
при X
5V
72՜
ДС-45
B .l. 1. а) ...
В.2. 1. а) 3 In 9 • 9-r ; б) —2е~2х+1 (cos 2х + sin 2х). 2. а) {—3;1);
б){0 }. 3. у = х In 2,2 + 3 In 2,2 + 1.
B .l. 1. a)...
я քЗя nk 4я 1
7. я; 8. а) | — + — k £ Z j; б) | — 2 ± ֊ + ink k 6 Z j. 9.
2
= ± •—?=■; а может лежать во II или IV четверт...
В.2. 1. а) — 2sin4x; б) — ----------------- . 2. 1,5. 3. у = A cos (0,5/ + q>).
*փ + ք )
4. у = 3 cos (1,5л:+ 3). 5. — 1. ...
УКАЗАТЕЛЬ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СОДЕРЖАНИЮ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
С-1, ДС-1 пп. 75, 76 С-28, Д...
ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ПОСОБИИ
всех натураль-
Z
Zo
Q
R
R +
R2
N — множество
ных чисел
— множество всех целых чисел
—...
E(f) — множество значений функ­
ции ք
Дх — приращение переменной х
Дf(x0), Д/ — приращение функции /
в точке х0
lim f (х) ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ по АЛГЕБРЕ

218 views

Published on

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ по АЛГЕБРЕ.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 10 класса

стр. 151-190
http://matematika.advandcash.biz/didakticheskie-materiali-po-algebre/
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ по АЛГЕБРЕ

  1. 1. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ С-1 B l. а) — 2sin(2х 7); б) 2 .2 у = У З х + У з л 6 В-2- 1- а) ֊ 2COS (3 - 2*); б) - ֊ ՜ ա ռ - 2• 2* = - V J x + + 1 + Ճ 1 Ճ . В-3, sin2 (2 — 3X)"’ б) — 2 cos ( т ~ * ) ՜ 2 sin (2х ՜'՜ 2‘ У = •*+ + 4 2- В А *• а) соГ2~(3 ^ + 9 Т : б) ֊ 4 sin ( ! ֊ + * ) - - у cos 2. У - я 1 = — Х — ֊ ^ — ֊շ . 2 В.5. 1. a) cos2~(9 7 ~~7)՜: б) cos * cos (2х — 3) — 2sin х sin (2х — 3) = п — cos (Зх — 3) — sin х sin (2х — 3). 2. у — — 4х -f- 1 + ~շ- շ В.6. 1. a) sin2 (3 _ 2Х) ; б) 2cos л: cos (2х + 5) — sin * sin (2х + 5) = cos х cos (2х + 5) + cos (Зх + 5). 2. у = 6х + 1 — ՜շ*. С-2 В.1. 1. а) — Уз-, б) Ճ 1 . 2. а) 1,5; б) 2. В.2. 1. а) —УЗ; б) 0,5. 2. а) ֊; б) 0,5. 2 В.З. 1. а) 1; б) 0. 2. а) у ; б) 0,5. 4 В.4. 1. а) 1; б) 0. 2. а) д-; б) 2. 151
  2. 2. В.5. 1. а) 0; б)—1. 2. a) - j ; б) — 1,5. В.6. 1. а) 0; б)■ ֊. 2. а) 0,5; б)- ֊ С-3 В.1. 1. Да. 2. у" = —4у; А = 1; Т = я ; со = 2; ф = 0. 11я В.2. 1. Нет.2. у" = —у; А = 1; 7 *'= 2я; со = 1; <р = —g~. В.З. 1. Да. 2. у" = —-4у; А = 1; Т — я ; со = 2; <р = 2я — 1. В.4. 1. Нет. 2. у" = —0,25у; А = 1; Т = 4л; со = 0,5; ф = 2 В.5. 1. Например, у — cos * + ~g" jl вообще, решением данного урав­ нения является функция у = A cos (у ՞6 д: + <р) при любых Л > 0 и ф. 2. у " = „ _ 2я 11л — —9у; А = 2; Т = - д - ; со = 3; ф = — . В.6. 1. у = Л cos ( у г г * ՜՜Ւփյ. Л > 0 и ф — любые, например, при Л = = 2, Ф = 1 имеем у = 2 cos ^j- 2՛ У" ~ ■—4,у; А = 3; Т —л;ш — 2; п ф = ֊ з ֊. С-4 В.1. а) Выполняется сжатие в отношении 1 : у (т. е. в отношении 2) к оси Оу; б) график получается из графика функции у = cos 2х (см. а)) парал­ лельным переносом г ^-g-; o j. Например, £—՜շ՜*® յ; յ^~շ~> и т- В.2. а) Выполняется сжатие в отношении 1 ! -Հ к оси Оу; б)после а) вы­ полняется параллельный перенос г ^ Например, |^0 ;՜՜3՜յ- В.З. а) Выполняется сжатие в отношении 1 ! -g- к оси Оу; б) после а) вы- -*■ / п Л ,, Г п яполняется параллельный перенос г l-g-; 0 |. Например, —-jj-; -g- . В.4. а) Сжатие к оси Оу в отношении 1 : 2; б) после а) выполняется па- "■/ 2я ,, Г 2л 4я1 раллельныи перенос г I —- ՜ շ ՜ ; 0 1. Например, — ~з~>~з~ Г В .5. а) Выполняется сжатие к оси Оу в отношении 1 : -g-; б) после а) выполняются параллельный перенос г { — и сжатие к осиОх в отно­ шении 1 : 3. Например, 152 Зя я Г
  3. 3. В.6. а) Выполняется сжатие к оси и 1 1 Оу в отношении 1 : д-; б) после а) вы- 2- полняются параллельный перенос г 1- ^1 ՜ ; Oj и сжатие к оси Ох в отношении 1 / 1 я я Г ® I ! I Л Например, -1- / I / / О / / С-5 Рис. 1 В.1. 1. а) 1; б) — cos2 а ‘ В.2. 1.а) У З ; б) ֊0 , 5 . 2. sin2 а. В.З. 1.a) — K jL ; б) —у Т . 2. — sin 4а. В.4. 1.а) ]/з 7 б) ֊0 , 5 . 2 . —cos2p . В .5. 1. a) —sin 11°; б) —ctg у . 2. 2 при а Ф Щ- յլ тгЬ В.8. 1. a) —sin 27°; б) tg -g-. 2. 0 при а ф ֊շ - , ft , ft 6 Z . 6 Z . С-6 B.l. 1. {0}; Г—֊շ - ; o f ; lo; -^-1. 2. Нет. 3. Возрастает на F— ֊շ ՝ , -շ-j. 4. [ - 1 ; 1]. 5. Да. я |; J^O; -շ-F. 2. Нет. 3. Убывает на [0; я]. 4. [— 1; 1].В.2. 1. 5. Да, 5. Да. [ я Г 1 я Г Т л я 0; ֊շ - ; —-շ՜; 0 . 2. Нет. 3. Возрастает на —-շ-; ~շ . 4. R. В.4. 1. լ՜շ ՜յ; 0; ՜շ՜ I ՜ շ ՛ л • 2• ^ет. З. Убывает на ]0; я[. 4. R. 5. Да. я В.5. 1. {—я; 0; я}; ]—я; 0[; ]о; я[. 2. Минимум в точке — ՜շ ՜; максимум з возрастает на я я ՜ " я -շ-. 3. Убывает на —я; Т и на ՜շ ՜; я [ я я ՜ ~ Т Г ; ՜2՜ В.6. 1. — . 5. Нет. Я 31 շ ■ 2 Г л; и я т ; я я я Г լ-л; ~ т > ՜ ՜ շ ՜ [ я я 1 - Т - т ] - 2. Максимуме точке 0 .3 . Возрастает на [-^-я; 0]; убывает на [ 0 ;я ] . 4. [—я ; 0] а [0; я ]. 5. Нет. 153
  4. 4. С-7 п С п . „ ■ В.1. 1. ք շ . 2. — ֊շ ֊ + k e z !■ В.2. 1. 2. f . . я яА В.З, 1. а) 0,5; б) 0,5. 2. (— )k+l. ֊ ա + ֊շ j. я nk k c Z j. 2 B.4. 1. a) 0,1; 6) 2. ֊ b֊ — (— l)ft. у + nk k e z { я и я nk ՛ T - ( - 1) -1 2 + — }. B.6. 2. + 2я6 }• C-8 В.!. 1. 0. 2. ± -д -+ nk , я я£ в.2. 1. о. М - б ՜ + ֊ շ - в.з, ( я nk .3. 2 . - 1 . 3 . (т + т k £ Z j . 3. tg 2; tgO; tg 1. k £ zj. 3. cos 2; cos 1; cos 0. k e z j. B.4. 1. 0 . 2. — y = . 3. {2я + 4я/г| B.5. 1. Множество изображено на рис. 2. 2. J 2я& 1~ з ~ k e z j. 3. tg 2; tg 3; tg 1. B .6. 1. Множество изображено на рис. 3. 2. {я 4՜ 2л/г| к 6 Z ). 3. cos 3; cos 2 ; cos 1. Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
  5. 5. B .l. 1. я . 2. х + Т " k е z С-9 В.2. 1. я. 2. | 5я -Ь 2л k k ez В.З. 1. ctg 80s; ctg 40е; ctg 20°; ctg 10°. 2. Множество изображено на рисунке 4. В.4. 1. ctg 140°; ctg 130°; ctg 120°; ctg 100°. В .5. 1. ctg 3; ctg 2; ctg 1; ctg 4. 2. ctg 1,5 — ctg 2,5 B.6. 1. ctg 2,5 — ctg 3,5 < 0 ( я nk ■2' T + ՜շ՜ + nk k e z k e z }՛ C-10 C-ll B.l. 1. 5 ~ / 2 6 B.3. 1 . ± 2 ^ 2 . 2 . З и —. В.2. 3 4 3 1 35 11 , 4- ----՜- 2. ՜ոք И / 2 6 37 ~ ~ 2 12- 4 12 35 ± УТ7 • 2- 35 И - 1 2 V 2 + V 2 „ 3 ---------------- . 2. - 2 — “7 = и V 13 и — 5. 1 24 7 B,4‘ U * / T o • 2> ՜ 25 и ~ 24 ■ 2 7 24 • B,6> K ^ • 2' 24 и 7 * 3 1Հ 2 — V 2 —. B.2. 1. — —— — — 2 2 . լ / " 2 + з + շ ^ շ . շ. - 1 и — в.4 . 1. ՜ [ 2 — Y 2 ^ / 1 3 / Т з V ■V2 2 + V 2 : V 3 ֊2 y 2 . J . m , 7 . В.5. I. -Y-. и 7. 2. — cos 6. В.в. 1.Л, — i- a. sin С!. 10 5 3 С-12 B .l. 1. sin 4а, а Ф -շ + яй, k е Z . 2. 0,8; 0,6; 0,75. Tt Л> 4 В.2. 1.sin 2а, а -շ- + nk, а Ф И— շ- , k еZ . 2. —0,8; 0,6; ——. зт& 4 В.З. I. 3, а Ф ~վ~,k e z . 2. 0 ,6; 0 ,8; у . В.4. 1. sin 4а, а Ф у + яй, k e z . 2. —0,5;0,8; —0,75. я/г , 24 24 7 В .5. 1. cos 2а, а^Фշ , k еZ . 2՛ շ^; ղ ; շ^. Я 7 24 7 В .6* 1<sin 4а, a ՚ շ ՜է՜ яй,keZ . 2» ՜- շ^; “ ; շ^. 155
  6. 6. С-13 B.l. 1. 2 ~ ^ 3 - 2. sin 4лг В.2. 1. ճ + ճ ճ 2. sin 2x. 4 4 В.З. 1. -1+-Ճ1. 2. —sin7х. В.4. 1. 2~}С1... 2. —sin10х. 4 4 В.5. 1. 0,25. 2. 2 cos 5х cos 2х. В.6. 1. 0,25. 2. 2 cos 8х cos 6х. С-14 л 5я B.l. 1. -g- + 2 я /i < х < -g- 4՜ 2 я/г, &6 Z. 2. я яй я я/г Т + Т < л :< Т + 2 ’ fc£Z. 5я я 5я В.2. 1, — ֊^~ + 2 я А < х < - ^ - + 2 яй, /г £Z . 2. —-д~ 4՜ 4я/г < х < 5я ^ g 4nk, k е Z . я Зя я nk 5я В.З. 1. -g- 4 ֊ nk< х < ~g~4՜Я&, k £ Z 2.— ՜յշ- + - у < x < -gg-4՜ , nk 4՜՜յ~> k 6 Z . „ . . я , 2nk 5я 2nk , „ n t nk я B.4. 1. ֊ց + շ < x < ց + շ ,k £ Z . 2. — 4 + շ< X < g + , я/г + ~շ~. &6 Z . я B.5. 1. — -yg- 4 ֊ я& < x я 7я + я/г и - у + nk < х < -jQ- 4՜ яй, ft £ Z. 7я 12 2я я ■яй, ft £ Z . 2. — -jg- 4՜ nk < х < - у + B.6. 1. 5Я ТУ 7я 7я 4՜ я/г < х < ՜յշ՜ + nk, k £ Z. 2. — ՜ւո՜ 4 ֊ я/г < x < — ՜շ ՜ + 10 я 2я 4 ֊ nk и — ֊շ --nk < х < -jg- + nk, k ^ Z . C-15 B.l. 1. B.2. 1. (— 1)* • у + я/г 2я ;fc ՜ց ՜ 4՜ 2ЯЙ t e z . շ. т + я4 ft £ Z j. 2. |-д- 4- яй ft£Z )• ft£Z B.3. 1. 4՜ nk՛, a 4՜ nk k e z y B.4. 1. j —— 4՜ nk a 4՜ nk 2. {nk k e Z ). k e Z , a — arctg 3 и 1.25. ( 5я 2- |֊ 1 2 k e Z }, a — arctg ( — 4՜ 4֊ я/г 0,32. B.5. 1. — ֊2 + 2nk ke z. 2. {nk ~n— Ւ nk B.6. 1. {я 4՜ 2я/г I k e Z }. 2. (nk; -g- --nk k e z . k e z . 156
  7. 7. B.l. 2. в.2. 2. В.З. 2. — ~ + х + 1 . В.4. 2. —2л2 + х + 12. В.5. 2. 2,5 —cos*. В.6. sin х + 1 ,5 . С-17 С-18 *3 B .l. 1. — 2 cos х + 3 sin х--С. 2. &Ух + у + С. В.2. 1. —3 cos х —• 2 sin х + С. 2. * 3 — ~ |г + С. В.З. 1. - c o s ֊- s i n - | + С. 2 . ֊ У ( 7 х + 1) * + < ? . В.4. 1. —cos - j + sin тр + С. 2. у^(6л; — 2)4 4- С. 1 В.5. 1. — -5-cos (1,5* — 1) —- r V (l — л)3 + С. 2. —y t g (7 — х )+ ֊т г + С . В.6. 1. у sin (1,5* — 1) + -3 / ( 1 + * ) 3 + С. 2. -5 ctg (3 — х ) g- + + С. С-19 В.1. 1. 9. 2. 2. В.2. 1. 1 + Ճ 1 . 2. 0. В.З. 1. 4-I-. 2. Vr3. 9 о В.4. 1. 0,5. 2. 17—. В.5. 1. 3 — . 2. -Ճ Ճ . В.6 . 1. 21— . 2. V 3 ~ Լ 3 3 4 3 4 С-20 в.1. 60,9 (ж), в.2. 2 — T q rf- в.з. у (а *). В.4. 0,02 (дж). В .5. 1200 (м) и 0,4 (м/сек2). B.6. S (D = — - — + է - 1; а (0 = 2< - 1. с-21 B .l. 1. 10,5. 2. 3 уТГ — 3. В.2. 1. 6,2. 2 . у "3 _ 1. В.З. 1. 0,4. 2. ֊֊. В.4. 1. ֊1 3 . 2. i . Уз 3 В.5. 1. 8. 2. 1,5 Уз. В.6. 1. 3. 2. 8 / 3 . С-22 B .l. 1. {—3; 1}. 2. ]—00; —0,5]. в.2. 1. {—у}- 2- 3-2; »[■ В.З. 1. {0}. 2. ] - о о ; - 4 [ (J ]4; оо[. В.4. 1. {4}. 2. ] — 1;1[. В.5. 1. {1 + log3 2}. 2. [4;оо[. В.6. 1. {1}. 2- j —00; — i - j и ]0; с о , 157
  8. 8. շշ-г+з 2 In2 / 1 0,5-r+2 32 - * В.2. l . - ա շ վ շ ) . 2. ֊ 1 ^ 3 + C . В.З. I. у = —X + 2. շ. —3 In 0,7 • 0,71-s*. 3. —e2jr-*4 - С. B.4. 1. у = x + 2. 2. 2 In 2,5 • 2,5 « - i. 3. —бе7՜ ^ + С. В.5. 1. -In 2 . ( I ) 2" - г * 2. - — . 2~x 4- ֊Ւ C. 3. У к а з а н и e. (0,2)-x = 5-*՜. J 2ЛГ-1 С-23 / 1 x 3 B.6. 1. 6 In 2 • 41+sr 4- - .2 . — 4eI- r — - 9,, - o --+ C-ve ) ' 2 In 3 3. У к а з а н и е . 5 ՜ * = 0,2л:. C-24a B .l. 1. a) In 0,7 < 0 ; 6) log0 5 0,75 > 0. 2. 1— ooj^. B.2. 1. a) In 2,3 > 0; 6) lo g , 0,9 > 0. 2. ]0,5; co[. В.З. 1. a) logo,3 4 < 0 ; 6) In 3 — 1 > 0. 2. ]3; 4 [ լ |] 4 ; oo[. 3. У к a- 3 a m e . In — —In x. B.4. 1. а) log / _ e > 0; 6) log2 3 4- log2 0 , 9 > 0 . 2. ] _ 2 ; _ 1 [ Ա ] - l ; oo[. 3. У к a 3 а н и e. In Y x = 0,5 In x. B.5. 1. a) log/ 7 j = —2 < 0; 6) In 0,7 — 0,7 < 0. 2.] —со ; 1՜[Ա] 1; oo[. 3. У к а з а н и е. In (ex) = 1 4՜ In х. В.6. 1. a) In (2е) — 1 > 0 ; б) log0 3 3 ■ log2 4 , 5 < 0 . 2.] - с о ; — 1[Լյ Ս]-- 1i » [ • С-246 В-1• 1. j e 3. 2. 3՜: 4 В.2. 1. {0,001; 10}. 2. ] —4; 0 [Ա ] 0; 4[. В.З. 1. {1}. 2. З—оо ; 0 CiJ J2; оо[. В.4. 1. {1,5}. 2. [—3; —2 [ (J ] —2; - 1 ] . В.З. 1. {25}. 2. ]0; 1[. В.8. 1. {9}. 2. j y ; l| С-25 4х — 3 ВЛ- '• (2х2 — Зх 4՜ 1) In 3 2‘ 2- В-2- (1 - 2х) in 2 2- 2- 158
  9. 9. В.З. В.4. В.5. В. б. I. - c t g * . 2 . 0,5 in (2х + 1 ) 4 - С. I. —lg е tg х. 2. 0,5 In (2х — 1) 4՜ С. 1. In (х — 1) 4՜ 4. 2. у = ՚ շ՜յ՜ո՜շ * + 1 1. In (х 4՜ 1) 4՜ 3. 2. у = — ~]£՜շ" * 4՜ 1 + In 2 ՚ i Т п Т С-26 B .l. Р е ш е н и е . Տ 1 lnx 1 = In 1 — In — = In 2. 1 2 2 — dx = In x x շ B.3. = In e = B.4. C-27 B.l. B.2. B.3. B.4. B.5. = In 4 — In 2 = ln — = in 2. 2 eza 1. P e ա e : 1.' 0,5. f 1н и е . — J * B.5. կ . |f2Q e2a dx = In jc = In (e2a) — In (ea) = In — : ea B.6 . 2 j . 1. У 3 ( * ^ J '‘4-jt /3 ’ ). 2. {17}. y T ( / 2 - ' + ^ ՜ / 2 ՜ ') . 2. {8}. B.6. 1 y j X 1 2x-3. 2. {— 3; 4}. / З х ^ " ' ֊! ^ . 2. {4 ]/T }. - Й (շ - *> ■ •* 4 ֊ C. 2 . ( 4 } . - — (1 - * ) » . » + C. 2. {3}. C-28 B .l. {(1; —3; 7)}. B.2. 0 . B.3. { ( - l ; - 5 ; 2 ) } . B.4. {(24 — 22г; 9 — 8z; г) | z g tf}. В.5. {(—8 ; 1; 2)}. В.б. 0 . С-29 B .l. В.2. В.З. В.4. {(3; 0)} при Ь Ф —1; {(3 4- 2у; у)| У 6 /?} при Ь = —1 4 4 2 4 — 8 ծ Х՝) 8Т Ь ’ 3(8 4-Ь) ) ) ПрИ M " 8 i 0 ПР“ Ь = ~ 8- У Հ R при т =0 при т ф — -1 ֊; 4՜ Зу; у Г/ 2m — 1,5 1 ձ з- Լ т — 1,5 ’ т — 1,5 при т Ф 1,5; 0 при т = 1,5. 159
  10. 10. м . {(m + l ’ ~ т + 1֊) } при т ф ±1; 0 при т = —1; {(у + 1; у)| 1. ; /я — շ ) ] ПРИ m ^ ± 2 ; 0 ПРИ m = 2; Ա՜՜2'՛ ~~4у: У 6 R} при т — 1 (/ 2 т В.б. [2 — т У € R} при т = —2 С-30 В.1. {(2; 6); (6 ; 2)}. В.2. {(9; 7)}. В.З. {(3; 6); (6 ; 3)}. В.4. {(5; 4)}. В.б. {(5; 2)}. В.б. {(2; 6)}. С-31 м . {(շոհ + 4 - , ֊ - 2як k e z } В.З. В.4. В.б. В.б. Т ± - 0 + 2яй; ց ± я я я ■ -J-" 2ш ՛0՜ •+- ՚ ֊ձ~ 2я я ■ ± " 3 ՜ ՛ -f՜ 2ttk — շ + 5я • у + 2як я 5я 5я 2я 3 я ± 12 + 12 + як< 12 + 12 ■ Յէ зт nk nk л я я я Т ± 7Г + nk՜՝ я ^ fi }• }• k e z k e z k e z k e z } . C-32 B .l. 1. a) 2,9 • 102; 6) 57,9. 2. a) 10,3 ± 0 ,2; e = 0,02; 6) 0,8 ± 0,2; E = 0,3. B.2. 1. a) 4,8 • 102; 6) 55,6. 2. a ) —3,0 ± 0,08; e = 0 ,0 3 ; 6) 0,5 ± 0,07; 6 = 0,14 я 0,2. В.З. 1. a) 3 • 101; 6) 47,9. 2. a) 11,58 ± 0,09, e = 0,01; 6) 0,4 ± 0,06, e = 0,15 0,2. B.4. 1. a) —5 • 102; 6) 64. 2. a) 3,2 ± 0 ,3 ,e = 0 ,1 ; б) у ± e = 0,1. В.б. 1. a) 31; 6) 46,8. 2. a) 18,5 ± 0 ,3 ,e = 0,02; 6) 14,7 ± 0,9,8 = 0,06. B.8 . 1. a) 1; 6) 62,2; 2. a) 4,1 ± 0,4; e = 0,1; 6) 29 ± 1,4, s = 0,05. C-33 B .l. 1. a) 0,1327; 6) 3,46; в) 5610. 2. 49,8 (ж3). В.2. 1. a) 13,45; б) 6,43; в) 420 000. 2. 83,6 (ж3). В.З. 1. а) 10,31; б) 6,89; в) 6,45. 2. 13,6 (кг). В.4. 1. а) 0,01715; б) 150,6; в) 8,14. 2. 63 (дм3). В.б. 1. а) 59 800; б) 11,97; в) 0,43. 2. 1 377 000. В.б. 1. а) 76 900; б) 266; в) 0,694. 2. 116 900. С-34 B .l. 1. .0 при а Ф 2, а Ф —с2, а Ф с2 — 2. 2. {— 10}. В.2. 1. 2Д | է լ i Ь Ф а, Ь Ф 2а. 2. {11}. 160
  11. 11. В.З. 1. Х*У у tf4 --- V , xf у =^= 0. 2 . {—3}« в -4 - х' 7 у Т ՝ Ь ф ^ 2> {4 }- L 2— B.5. 1. b (a + b), b* ф а , Ь ф 0. 2. { - 1 ,5 } . ւ ւ ֊ В.б. 1. Եձ (ծ3 — 2а), 4а? Փ Եձ , b փ 0. 2. j - ֊֊j . С-35 1 1 B .l. 1. и 17,6%. 2. у = 2 * + 3. В.2. 1. 6,25% . 2. յ = - յ ^ - ք 2 - շ-, В.З. I. 25%. 2. у -= —Зх + 8. В .4. 1. ~ 3 3 ,3 % . 2. у = Зх — 10. В.5. 1. 21,6 (ел); 19,44 (еж2). 2. ]0,2; 2]. В.б. 1. 6 (л); 1,2 (л2) С-36 ■ 2 ' H i B .l. 1. ] —оо; 0,5 ](J[ 1; со[ и ]0,5; 1[. 2. (х — 2) (х — 5). 3. 5х2 + + 26х + 5 = 0. В.2. 1. 0 , R. 2. (х + 3) (х + 6). 3. Зх2 + 10х + 3 = 0. ■ у ! оо[. 2 . (2х + 5)2. 3. 12х2+В.З. 1 1 ~ 2 * ՜ 3 и 1 - ° ° ; - j и 1 ~~ 3 + х - 1 = 0 . 1 1 ՝ 1 ,, ГւВ.4. 1. ~ Т ; 2 И ֊т и Iշ 3. 20х2 + х 1 = 0. 2 . (9х — 1) (х — 1). В.5. 1. ] —с о ;—5 ]Ա - 5 ;- X х — 5 — У՞33 ). 3. х2 ֊ 2 / 7 х + 6 = 0 . г! 2 . 2 х 5 + У ЗЗ j X Г В.б. 1. - 6 ; и ] —со; —6][J — — ; со 6 X (х- С-37 Ճ ւ ւ ճ յ® j . 3. X2 — 2 / 6 x + 2 = 0 . 4 5 B .l. 1. а) —jg j б) — у^. 2. Да, например, [3,5; 4]. 1 5 В.2. 1. а) — 1-д-; б) jg. 2. Да, например, [3; 4]. 2 В.З. 1. а ) — у ; б) 0. 2. Нет. з В.4. 1. а) —З-^-; б) 0. 2. Да, например, [0; 1]. В .5. 1. а) 1-1; б) Ճ Ճ 33 2 . 2. У к а з а н и е. v„ շп 4п — 1 В.б. 1. а) б) Ճ ? . , 2. У к а з а н и е. ип — 1 — — . ՛ 3 4 п 3" 6 Заказ 48 161
  12. 12. B .l. 1. 6 ! = 720. 2. а) 0; б) 2s = 256. В.2. 1. A*Q= 5040. 2. а) 0; б) 27 = 128. В.З. 1. ճ յ2= 1320. 2. а) 0; б) 2™ — 1 = 1023. В.4. 1. 7! = 5040. 2. а) 0; б) 2 9 — 1 = 511. В.5. 1. Лз0 • Ժ28 = Сз0 • ճշ7 = 2 850 120. 2. а) 1;б) —. В.б. 1. Շշ0 • c f8 = Շշ0 • C i5 = 1 627 920. 2. а)4;б) —. С-40 B .l. 1. —ЬаЧ-ь. 2. (1 + 2)Е = 243. В.2. 1. 15а26 ֊8. 2. — 1. В.З. 1. 84օ՜8ծ6.2. З6 = 729. В.4. 1. 165а-361в. 2. 64. В .5. I. 5с2. 2. —1. В.б. 1. 462с. У к а з а н и е . Tk = Cf1c - !l5(I,- ' V * => ^ С ^ С 3.5* ՜ 18.6; 3 ,5 * - 16,5 = 1 при k = 5. 2. 1024. С-41 B .l. 1. а) 0; б)1. 2. —0,25; В.2. 1. а) —3; б) 2. 2. В.З. 1. а) 0; б)2. 2. —0,4. В.4. 1. а) 0; б) 2. 2. — 3 С-39 В.б. 1. а) — 4 ֊; б) / 2 . 2. —5. В.б. 1. а) —1; б) ] / У 2 — 1. 2 . 5 . О С-42 „ — У Т—1 sin л; — х In л՛ cos х B .l. 1. а) 9х2 + 2 / 2 х ; б) — -----------. 2. а) 3 sin2*cos х; х sin2х б) 102 (х2 — х3)101 • (2х — Зх2). „ „ » /— I'T —1 — х In х sin х — cos x B.2. 1. a) 8x3 — З / З х ; 6) ----------------------------- . X in2 X 2. a) —3 cos2 x sin x; 6) 204 (x3 + l,5x2)07 (x3 + x). B.3. 1. a) 16x3 — г / З х ^ - Ч 1; 6) Ճ 1 £ 10 , x In 10 lg2 x 2. a) 8 sin3 2x cos 2x; 6) 921 x2 (x3 -f l)300. 8.4. I. ,) 5 Г З / Г ~ ' - 8* ; 6) Ճ ճ _ է 2 ճ . 2 . , , _ 15с„ . 3л si„ 3, . COS Я 6) 402 x (Зх2 — l)66. B.5. 1. a) e2x (2 / З х 6 -f 5 / 3 x 4 - 4x/2 - 2 / 2 х / 2 ~ ’); 6) - ~ *" * . X2 2. a) ctg лг; 6) —2x sin х2есо&x В.б. 1. a) es* (3 / 2x4 + 4 / 2 x 3 - 3 x / j - 9 / 3 x ^ 3 ՜ ' ) ; 6) _ 3 X3 2. a) —tg x; 6) —3x2 cos x3e sin* . 162
  13. 13. С-43 на B .l. Убывает на ; минимумы в точках ՜ 1 Г 1 на —оо; — — и на 1<^՛ о» ; возрастает на 1 1 — и — ; максимум в точке 0. Н - »] В.2. Убывает на ]—оо; 0]; возрастает на [0 ;о о [; минимум в точке 0. В.З. Убывает на ]—оо; —4] и на [0; 1]; возрастает на [—4; 0] и на [1; со[; минимумы в точках —4 и 1; максимум в точке 0. В.4. Убывает на [0; 2] и на [4; оо[; возрастает на ] —оо; 0] и на [2; 4]; минимум в точке 2; максимумы в точках 0 и 4. В.б. Убывает на [—3 ; — 1[ и на ]—1; 1]; возрастает на ] —оо ; —3] и на [1; со[; минимум в точке 1; максимум в точке —3. В точке —1 функция тер­ пит разрыв. В.б. Убывает на [— 1; 1[ и на ] 1; 3]; возрастает на ]—оо ; — 1] и на [3; оо[; минимум в точке 3; максимум в точке — 1. В точке 1 функция терпит разрыв. С-44 В.1. 5 / 3 (см). У к а з а н и е , v I / 3 ՜ V 4 <"»• n R 2H = - я Я (/2 - Н2). V' (И) = 0 при Н = В.2. 10 3 В.З. ■ У к а з а н и е . S = 2яД 2 + 2nRH = շ (^/?2 + — -j, так как Н • Տ ՛ (R) = 0 при R — 1 / я R2 У В . , у у V 2я н = 3 r ~ „ 2V У к а з а н и е . 5 = я R- ֊ Ь 2nRH — я R 2 + — так как R - » " p - * = V T В.б. 2. У к а з а н и е . Рассмотрим круго­ вой сектор с центральным углом а. Тогда а/՜2 / = 2г + га (г — радиус круга). S = ----- = а /2 -. S ' (а) = 0 при а = 2. 2 (2 + а )2 В .б .— . Р е ш е н и е . Обозначим через հ 2R и г высоту и радиус основания цилиндра, вписан­ ного в данный конус. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 5). Из подобия треугольников АВО | SO | |С £ | Н и АСЕ получаем т. е. — = АО А Е R h . H ( R ֊ r ) откуда հ = ; V = n r h R - r ’ R Рис. 5 6 * 163
  14. 14. V (0) = V (R) = 0. V (—/?) > 0, поэтому в точке — Я функция V достигает * " ( * ֊! * ) , т н наибольшего значения. Наконец, — = к = Հ՜™ = огГ* г ք ։ Ճ-հ tR КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ К-1 B .l. 1. а) 4 cos 4х + 4 sin 4х; б) 1 = - 4 у . cos2 (* + 5) 1 . 2. —2. 3. у = 2 . 4. у"— . 2. 4. 3. у = 0. 4. у *=В.2. 1. а) 4 cos 4х — 4 sin 4х; б ) - տա (х + 1) = —0,25у. В.З. 1. а) 3 cos Зх + 3 sin Зх; б) — — -----—. 2. —4. 3. у = 0. 4. у"— cos՛* (х + 4) = —0,36у. В.4. 1. а) 3 cos Зх — 3 sin 3.v; б) — -— - . 2. —6. 3. у = х— — + 1. ՛ cos2 (2.V—5) 2 4. у" — —0, 64у. К-2 nk п ( п nk B.l. 1. — 1, а Ф —— . 2. — — . 4. { — + — 2 6 [ 8 2 nk ք ո В.2. 1. — 1, а ф — . 2. 0. 4. | — —- + 2 я/г В.З. 1, —1, а ф nk . 2. 1. 4. | k e z j. k e z j. k e z }. k -з nk 1 ( 5я } B.4. 1. - 1 , а ф — . 2.y=. 4. | ± — + nk keZ j . * £ * } . 5. | +B.l. 1. 1. 2. a) —cos 9°; 6) ctg — . 4 14 + 4я/г < x < — + 4nk, k e z . О ՜ք՜ JT&
  15. 15. В.З. 1. —. 2. a) tg 21 б) —sin ^ г ~ — 4 ՜. 4. {я + 2я/г| k е Z ). 25 6 2 5зт 7зх 5 . Н 4яй < х < ֊ — + 4я&, k е Z. 3 3 В.4. 1. — . 2. a) tg 32°; б) —sin Л = — ճ ճ . 3. {я + 2nk k (է Z } . 25 4 2 7я 2nk я 2яй „ 5. — — + --- < х < — + - г - , k e z . 18 3 18 3 К-4 B .l. 1. х3 — х2 + 1. 2. Y + 1. з. 12. В.2. 1. х3 + зг + 1. 2. ֊ (8 / 2 — 1). 3. 4. В.З. 1. х3 — Зх + 2. 2. 4 (я + 2 / 2 ) . 3. 1C О В.4. 1. 2х3 + 2х2 + 3. 2. 7,5. 3. 4. К-5 B .l. 1. а) 2егх՜ 1՛, б) е* (sin Зх + 3cos Зх). 2. а) {—4 }; б) {1}. 3. у = = х In 0,6 + Г. В.2. 1. а) Зех+1; б) —е՜2* (sin х + 2 cos х). 2. а) {3 }; б) {1}. 3. у = = х In 3,5 + 1. В.З. 1. а) 2ех ; б) е2* (2 tg х Н------ ~ ). 2. а) { - 5 } ; б) {1}. 3. у = COS X ) = a: In 0,3 + 1. В.4. 1. а) б е '^ б ) r r(ctg 2х — ֊~ -j. 2. а) {2 };б ){4 }.3 . y = x l n 3 , 4 + + ь Տ1Ո К-6 — B .l. 1. a) In 0,5 < 0; б) log0 2 0,8 + log0 25 < 0. 2. ] - о о ; ֊2 [ լ | ] 5 ; оо[; 2х — 3 V՛ W , о 777,- 3. [3; оо[. 4. In 3 я 1,0986. In 10 (х2 — Зх — 10) В.2. 1. a) In 1,3 > 0 ;б) log2 7 — log2 10 < 0. 2. ] —5; 1[ ;/ ' (х) = 2х -I- 4 = ֊ — . 3. ] —2,5; —2[. 4. 4 In 2 я 2,7724. х2 + 4х — 5 В.З. 1. a) log0i35 < 0 ;б ) In 6 — 1 > 0. 2. ]- с о ; —5[Ա ] 3; оо[; g' (*) = 2х 4- շ = ! 3> ] 2; оо[. 4. In 2 == 0,6931. In 10(х2 + 2х — 15) — 2х 4- 1 В.4. 1. a) log, У 5 > 0 ; б) 1 п 2 -1 < 0 . 2. ] - 3 ; 2[; h'{x) = , ՛ х2 + х — 6 з. ] - ֊ ; — 1[- 4- 1. 165
  16. 16. У , ^ Л / ~1, 3. 3 1 / х ' ~ Т К-7 B .l. !. { ( - 1 ; ֊I ; 2)}. 3. {(9; 12); (- 1 2 ; ֊9 ) } . В.2. 1. {(1; — 1; 0)}. 2. Мно­ жество изображено на рисунке 6. 3. {(8; 1)}. В.З. 1. {(1; 2 ; — 1)}. 2. Множе­ ство изображено на рисунке 7. 3. {(1. 8); (8; 1)}. В.4. 1. { ( 1 ;—2; 1)}. 2. Множес­ тво изображено на рисунке 8. 3. {(3; 5)}. К-8 B .l. 1. 1,25. 2. езх՜ 2 3tg2x + + 3. —. 4. 17— 3 3 In 9 cos2 2xj i»15,1361. 5. Убывает н а ] —оо ; — 1] и на [ 0 ; 1]; возрастает на [— 1; 0] и на [ 1; оо [; минимумы в точ к ах— 1 и 1, максимум в точке 0 (рис. 9). В.2. 1. — . 9 2 . З* - 1 (In 3 X Рис. 9 1 2 X sin 2х + 2 cos 2х). 3. — . 4. 4— + О о ■+■ In 4. :=6,0530. 5. Возрастает на 166
  17. 17. [—1} 13; убывает на ] —оо; — 1] и на [ 1; оо[; минимум в точке — 1; мак­ симум в точке 1 (рис. 10). В.З. 1. 32.x5 — 80.nr4 y ' x Jr H0xi— — 40х3 V х + 10х3 — х2 Vic. 2. На­ пример, у = cos Зх и у = 2 cos(3x— 1 1). 3. ս ի d[. 4. у = 5. Квад- Например, у — ՜ է օօտ рат. В.4. 1. х5 + Юл:4 У х + 40л:4 + + 80x3 У х + 80л:3 + 32л:2 У х . 2. 1 И У = ։ = 2 cos (4л: — 2). 3. ]—2; 3]. 4. у = г- ( х Зл = *—У 2 ֊- ֊ + 1j 5. Квадрат, В .5. 1. Квадрат, 4 (<?ж2). 2. {8}. 3. {(1; 1)>. 4. Зя 4՜ nk < х < - + я я 4- я/г и — — 4՜ я/г < л: < — + nk, k Հ Z . я В.б. 1. Ink՝, — 4 - nk I 4 k (է zj. 2. При k Ф 4,5. Система имеет положи­ тельные решения при 2,4 < k < 4,5. 3. Убывает на [1; оо[; возрастает на ]—оо; 1]; максимум в точке 1; у — —4* 4՜ 14. 4. {19}. В.7. 1. Минимум в точке 4; максимум в точке —4; —6. 2. При п ф —10, я Гл:3 — л:2 + Зл: + —. 4. — — 4 ֊ 3 3 2 Г я В .8. 1. 10— 2. — — 4֊ nk nk 2 ’ k e z < X < я nk , _ ւշ՜ ՜շ՜’ kez՜ 13 10 3. 0 . M l - ; ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДС-1 — cos л: 4՜ 2 V z . 1 , ՜/~3 я В .‘ . I. а) 3 со. 3 * ; б) շտ1ո, է ■ 2. , - ֊ դ , + 1 + Ц ± - 2 -f- sin лс 1 т/ТГ я В.2. 1. а) 2 sin 2х; б) - ? ^ 7 . 2. 4х В.З. 1. а) —5 sin 5л:; б) . 2. / ' (л:) = 2,0 — 2,5 cos (1 — cos2 (2л2 — 1) — 2,5л:) > 0 для любого х 6 R. 6jc В.4. 1. а) 5 cos 5л:; б) . 2- / ' М = 4 sin (1 — 4л:) — 4,1 < sin (2 — Зх2) < 0 для любого х 6 R. 167 i
  18. 18. В .5. 1. а) 0, х ф + як, х ф 1 .+ ~ + як, к 6 Z ; б) 3 sin 4х (sin 2х— cos 2х). 2. г (х) = —2,5х — cos 2х и г' (х) — —2,5 + 2 sin 2х < 0 для любого х 6 R. В.б. 1. а) —■. , է , — ; б) — 16х cos3(2x2—3) sin (2х2 — 3) 2. г (х) ~ sin (2х + 2) = 2 ,1х + sin 2х и г' (х) = 2,1 + 2 cos 2х > 0 для любого x £ i?. ДС-2 B .l. 1. а) ֊1 ; б) / 3 . 2. а) 2; б) ֊2 . В.2. 1. а) — 1; б) — 1. 2. а) 0,4; б) 1. В.З. 1. а) 1,5; б) / 3 . 2. У к а з а ни е. При х > 0 верно неравенство sin х < х (при * փ ֊ի sin х < х по лемме п. 77, а при х 6 я Г — ; оо имеем sin х < 1 < — < х); если х = 0, то sin х = х. В .4. 1. а) 0,75; б) У Т ДС-3 В.5. 1. а) — ; б) 1. 3 В .8. 1. а) 0,75; б) 2. B .l. 1. / ' (х) = 2 — 2 sin 2х > 0 на промежутке 0; ; /"(х) == — —4 cos 2х < 0 на промежутке ленно на промежутке я 0; — 4 ; итак, функция ք возрастает замед- я 0 ; 7 . 2. у " — — 9у; А — 7 ; Т = — ; со = 3; ф = — . 3 4 1 лВ.2. 1. Функция / убывает ускоренно на промежутке 0; — 35я . 2 . у " = = —0,25у; Л = 3; Т = 4я; (о = 0,5; ф = 1 / я В.З. 1. х = —.2. у = 5 cos 12х + ֊ 18 2 / я . В.4. 1.х = ֊ ֊ . 2- У = 2.5 cos 13х + — ]. В.5. 1.х = 0 и х = —. 2. 2,5. я , як 1 в.б. ւ.* = — + — , л ez. շ. з—. ДС-4 B .l. у = 2 cos -g- cos х + 15я я . Решение.• У1 + Уг = cos ^ + cos (՛* — 1 ՜ 1= : 2 COS ՜ х + х — — X — х + л 4 4 я / я ■շ cos շ = 2 cos у - cos | х — — 168
  19. 19. В.2. у = / 7 cos (х + ф), где tg փ = 1 ^ Լ ; փ € 5 JT Г о; т [. Р е ш е н и е . ЗТ у (0) = Уг (О) + у2 (0) = 2 + cos ՜1֊- = 2 + — = 2,5, т. е. A cos ф = 2,5. о Հ у' (0) = y 'l (0) + у'а (0) = - киы образом, имеем систему -2 sin 0 — sin — , т. е. — Л sin փ = — • Та- 3 Հ A cos փ = 2,5 Л sin փ = , 2 откуда А2 (cos2 փ + sin2 փ) = 2,52 + Уз -— •j = 6,25 + 0,75 = 7, поэтому Л = = У 7 и tg փ = cos փ > 0. Уз . Փ — угол первой четверти, так как sin փ > 0 , В.З. у — У 37 cos (2х + փ), где tg ф 2 / 3 ;փփ ; ֊[ . В.4. у 25 — 12 У 2 cos (Зх + ф), где tg ф = 3 / 2 2л 8—3 / 2 Л Зя. - , ф е | ֊ . В.5. у = 13 cos ф |, где tg ф = —2,4; փ 6 J-— ; 2я В.б. у = ՃԼ c o s jj. + փյ , где tg ф = -Ճ3 и փ£jo; JL ДС-5 B .l. 1. a) —tg 89; 6) c o s ֊—. 2. —cos (a + {5 ). 8 Jt B.2. 1. a) —ctg 21s; 6) —sin— = —— . 2. cos (a + P ) . 6 2 t B.3. 2. cos2 — . B.4. 2. —0,5. 2 uk „ ЯЙ B.5. 2. —cos2 а, а Փ k £ Z . B.6. 2. —sin2 a , a Z , ДС-6 В .,. 1. ( 0); _ i[u ]0i i[; ] - f ; o[u]f i X . 2. Возрастает на — я; В.2. 1. я Г ՜ ՜ շ ՜ ’ ° [ ; , на 1 я я Г 1 я Г 1 л я Г „ _ „ Г т ; т [ и на Т ; л [ • 3-г т [ 4- Нет՝ 5- 3- փ ք[. на J0; я[ и на я; я; Зя 2 Зя ; J — y ՛’ ° [ U ] Y՛՛ " [ ’ 2' Убьшает я 5я . 3. [0; яГ. 4. Нет. 5. х = —• и х = — . 4 4 169
  20. 20. точке Г 2я Г я В.З. 1. {0; я}; — — ; 0 ; ]0; я[. 2. Минимум в точке — — ; максимум в я „ Г 2я я Г я 1 Г я — . 3. Убывает на j— — ; — — и на — ; я ; возрастает на I— — ; Я ' я я 1 . 4. _— • — 2. 2 ’ շJ ( я jt 1 Г 2я я Г , . ] я я я Г „ вл ’•г Г Т ;- 7 и Т ; nJ;J~T;Т ■2■Максимум Г 2я 1 в точке 0. 3. Убывает на [0; я]; возрастает на — — ; 0 4. [0; я] 5. Нет. В.5. 1. |о; ֊ ; я | ; J^— ֊֊; 0 Ա я |; jo; — J Ա {я}. 2. Минимум в точ-. Зя я ւ ке - j- ; максимум в точке — . 3. Убывает на | — ; ’ Зя возрастает на Г я г г ՝ я 4 В.б. 1. и на я я я Зя Т’ Т* 4 1 г - [ Я я 1 Г я Зя — — ; — или — ; -— 4 4 . Լ 4 4 " я Зя 1 Г я я 1 ,, Г Зя I т ; т > г т т М т ” } Зя 4 . 5. Нет. я г я 1 2. Минимум в точке — ; максимум в точке 0. 3. Убывает на 0; — ; возрас- [ г - 4 5-тает на Г Я J ' я я ' Г լ- т ° и на 2 ’ я . 4. 01 2~. или Нет, ДС-7 1 nk B.l. 1. ՜77=- 2. ֊+ ց / 3 քЯ В.2. 1. ֊1 . 2. [т ք Я В.З. 2. l ± — + n k k £ Z . я/г k £ Z k £ Z . В.4. 2. | ՜ 7 + nk k (շ Z . ( я nk 1 ( я nk . B.S. 1 . { T + T В.б. 1 . { ± - + т ДС-8 B.l. 2. {2яА I k £ Z ) . 3. cos 4; cos 8; cos 4. ( 8я 2я „ , В.2. 2. | ± — — — + fink f я n nk B.3. 2. — + — + — 1 12 “ 8 2 B.4. nk k e Z j . 3. tg 4; tg 12; tg 8. k e z ) . 3. tg 8; tg 2; tg 6; tg 4. .4. 1. + 1 18 3 , B.5. 1. Множество состоит из двух точек; М (1; 0) и М (— 1; 0). kՀZ к 3. cos 6; cos 8; cos 2; cos 4. ( , я nk ]я£; — + — [ 4 2 f я 6՛ 2-{± T k e Z . 3. (tg 4 — t g 3) • (tg 2 — tg 1) (tgO — t g (— 1)) < o. B.e X (cos 2 — cos 1) < 0. 170 ՜՜Ւ nk; ± -f՜ nk о k e z }. 3. (cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) X i
  21. 21. ДС-9 B .l. 2. (ctg (— 1) — ctg (—2)) (ctg (—3) — ctg (—4)) < 0. B.2. 2. ctg 12; ctg 8 ; ctg 4. I я я B.3. 1. arc ctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11. 2. j ± շշ՜՜^՜՜ք՜ k £ Z )• B.4. 1. arcctg 16; arcctg 12; arcctg 8 ; arcctg 4. nk , k e z . { я я як ՜ 18 ± ՜ 9 ՜ + ՜3 В.5. 1 2. (ctg з в.б. ւ. k e z . як 6 ctg 4) (ctg 5 nk 4 + T : ■ctg 6) (ctg 7 — ctg 8) < 0. я , , 4^~~~՜ -f~ я/? k e z 2 . (arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6) > 0.
  22. 22. В.З. 1. ֊ , а ф ^ , а ф — ^ + nk, k£Z. 2. — ֊ и — — cos 2 а 2 4 25 25 3. U —i )ft+1 ■ Y + nk k t z 1 я nk . 24 7 ( it , „ , , 1 B.4. 1. ~~ sin 4 а , а Ф — + — , ft £ Z . 2. — и — . 3. j ± — ֊-2nk k € Z [. 2 4 2 25 25 լ 6 J „ „ nk я 16 63 B.5. 1. cos2f3, (3=^ — ; Р Ф —~ ~ + nk, ft g Z. 2.— и— —. 2 4 o5 Ե5 f t e z . 1 „ я 5 12 ( я B.6. 1. —7~тт . P Ф — “ Г + п ^> ft€ Z . 2. 7 ^ И ~~Г5- 3> I — — + sin2p 4 13 13 լ 6 + nk k i Z ДС-13 B.l. 1. У , շ. շ cos 4x cos 2x. 4 B.2. 1. У ъ —2 . 2. 2 cos x cos 8*. 1 В.З. 1. ^ . Р е ш е н и е , cos 10° sin 20° sin 40° = —cos 10° (cos (40°— 8 2 1 /1 —20°) - cos (40° + 20°)) = — (cos 1 0 °cos 2 0 °— - c o s 1 0 °j= — Լ- c o s 1 0 °+ + — cos 30s — — cos 10°) = — cos 30° = iQ L . 2. — . 3. ( ± — + nk) — + 2 4 / 4 8 4 Լ 6 4 } nk + ՜շ՜ f t €Z} . 1 3 f я , я , nk B.4. 1. - . 2. - . 3. J ± յ + nk- 4 + շ ft£ Z я я 2я 4я sin —cos —cos — cos — 1 я 2я 4я 7 7 7 7 B.5. 1. — — . Р е ш е н и е , cos —- cos — cos — = ----------------------------- = 8 . 7 7 7 . я 1 2я 2я 4я — sin — cos — cos — 2 7 ՚ 7 7 1 4я 4я 1 8я — sin — cos — — sin — 4 7 7 8 7 sin - я sin- я 1 „ (nk , J 2 . - 7 . 3 . { T k t z ) . я sin — 7 sin - я յ_ ՜ Տ1Ո՜7՜ 8 я sin Y 1 3 В.б. I. —. 2. — . 3. {nk ftg Z }. 172 I
  23. 23. 1 Зл . я Г .. 1 5л , я , Г , . 1 Л , В'5՜ *' J 14 + 126+ Пк [ U J 42՜+ 7 + L U J Т + ' 43я Г 1 19я , 85я Г " я , Зя , , „ 126 + ^ 1 շ ՜ + 126+ ЯТ € z 2՜ ^ + Т + , я я/г Зя я/г „ я Зя^ В.б. 1. — + — < х < — + — , /г е Z . 2. я /г< х < ֊ — + я/г, /г €Z. 42 2 28 2 4 4 ДС-15 B.l. 1. f(— 1)* • — + я/г I 6 В.2. I. |( — 1) * + » •— + я /s feez • г. я я /յ я — 4-— : ± — + я/г 4 2 3 , ( я , як я k £ Z . 2. { — + — ; ± — + я /г В.З. 1. я ■ ֊■ + 2я/г; ֊ ֊ + ( — l)ft+1- ^ + я / г fe € Z . 2, fe€ Z |. }՛ + лА; fe g Z _Я 2 (— 1)A+1 • — + л/г b fee z 2Я B.4. 1. j я + 2я fe; ± ^ + 4я/г 0,38. I՜ a , яй ‘ ^ • Ч т + т fe£ Z ի a = arctg — ss a nk B.5. M T + Y Я ( ֊ 1)* • ~ r + л/г О fegZ I fee Z I , a = arctg j — ֊ j « — 1,17. 2. j — у +2nfe; B.6. 1. j ± — +2л/г; y - f 2я/г kez . շ. я 2яй 5 + T ; 2я fe fe£Z } ДС-17 B .l. 2. — ctg x + У з . B.2 . 2 . tg X — p = = . B.3. 2. Первой, / 3 — 1 У3 . У к а з а н и е . Первая первообразная имеет вид tg х — р = ; вторая — вид tg х + 1 — У 3. В.4. 2. Первообразные совпадают (ctg х + 0,5), их разность равна 0.
  24. 24. . 1 sin 2л: „ 5 B.5. 1. а) / х 2 — 1 + С; б) — х ֊ | --------- + С. 2. Первой, 1—. Ь к а з а - 2 4 6 н и е. (х) = ֊ —֊ ֊ х2 + 2х + 5 ; F 2 (х) = յ — ֊՜ х2+ 2х + 4. J 2% В.б. 1. а)У х * + 1+ С; б)֊ ֊ — —— + С.2. Первой,3,5. ДС-18 В.1. 1.Y + ֊ sin (4 - 6л) + С. 2. ֊ sin (2х— 1) —— / ( 6 х + 3 ) 3+ С. у 1 3 з- В.2. 1.— + —sin (6х + 4х) + С. 2. —2cos(0,5x— 0,5)— - ~ У (3+0,5х)4-|-С. 2 8 2 3 о _______________________ ]______ В.З. 1. — — У(1 — х)® + С. 2. sin х — х cos х 4՜ — У(2х — I)3 + С. 5 3 3 о _______________________ 1_ __ В.4. 1. — — У(1 — хУ + С. 2 . x sin х + cos х — — У(1 + 2а) 8 + С. 7 3 В.5. 1. 2 tg {х — 1) — cos (4 — Зх) + х + С. 2 3 3 ; 2. F (х) = ■X2 + С при х > 0, з -д-(— х)2 + С при X < 0. з В.б. 1. —2 ctg (х + 1) — Y sin (3 — 4х) — х + С. ( 0,5 х2 ՜է՜ х + С при х > 0 2. F (х) Լ — о,5 л:2 + л:+ С при х < 0. ДС-19 2 „ 2 1 В. 1. 1.2 — . 2. 0. В.2. 1. 10— . 2. —. 3 3 6 В.З. 1.4,5. 2. 2,5. В.4. 1. 10-^-. 2. 2 — / 3 ՜ О п Cdx , 1 В.б. 1. 1,5. 2. 1. У к а з а н и е . " Г = 1 — — ■ J * п 1 1 г— 2п С dx - .Г 1 В.б. 1. 2 / 3 - ֊. 2. 2, У к а з а н и е . —= = 2 — 2 1 / —. 3 J У х ' п լ г п ДС-20*> В. I. 48g (дж). В.2. 0,5 (дж). Р е ш е н и е . Поверхностная плотность диска равна *) В вариантах 1,3, 4 g — числовое значение ускорения свободного падения, в системе СИ g « 9,81. 174 4
  25. 25. m m 8 [кг 0,5 p = — = ——= — — . Разобьем диск на кольца ширины Дх = — , Пло- S яг* я м*1 п щадь кольца, ограниченного окружностями радиусов х и х + Дх, равна я ((х + Дх)2 — х2)) = я (2хДх + Дд:2) ~ 2ях Дх. Масса такого кольца рав- 8 на т х = pS = ; — • 2яхДх = 16хДх. Скорость этой части диска приблизи- я m X Vl тельно равна и = 2х, а ее кинетическая энергия З2х3. Кине­ тическая энергия всего диска приближенно равна ^ Дх • 32х^ (где Х£=* k = հ լ = --------• Дх), т. е. п-й интегральной сумме функции у = З2х3 по отрезку [0j п 0,5]. Таким образом, о,- 0,5 W = Г32x3dx = 8х4 = о о լ * 2 , 0 1 = ֊ (д ж ). В.З. 616 — g (к). О В .4. 624g (н). Р е ш е н и е вариантов 3 и 4. Подсчитаем давление на одну сторону стенки. Разобьем трапецию на полоски ширины Дх|^Дх = —j (рис. 11). Найдем давление воды на полоску, верхнее основание которой ле- х — с + հ жит на глубине х. Длина верхнего основания равна lx=b~֊(a— b ) —— , площадь приближенно равна S x 1ХДх. Давление воды на эту полоску /, (а — Ь) (х — с + К)х приблизительно равно рх S x • х • g ~ g b x Ч-------------- ----------- ление на одну сторону стенки есть р = | g (Ьх - е—ft (а— Ь) (х — с + h)x Ах. Дав- dx, т. е. ю в В.З. g 6х + 4 (х ֊5 ) х ) dx = g I^ * 3+ 10 1 = 308 — g; и в В.4. 5 3 s 12 I 8x - 2 4 (x — 6) x 6 ~ dx 12 = 312 g.=g (б*2֊ j * 3) B.5. 4 (дж). Р е ш е н и е . Пусть высота цилиндра равна Н. Тогда плотность цилиндра равна р = — = nR 2H . Рассмотрим часть цилиндра, Рис. И 175
  26. 26. ограниченного цилиндрическими поверхностями радиусов х и х + Ах. Объем „ 2тхАх этой части цилиндра приближенно равен 2пх НАх, масса — , скорость R2 R и кинетическая энергия Wx ■■ т Л тх» д _ Y « Ьх. Поэтому W = С mxsdx mxi J R4 = 4£*~ 0 4 R 4 В.б. яг3р£ (к), p — плотность воды, g — ускорение свободного падения. Р е ш е н и е . Площадь части сферы, заключенная между плоскостями, проведенными на глубине х и х + Ах, равна S x = 2ягДх, давление на Г эту часть рх = : х • S x • pg = ; 2яrpg • х • Ах. Поэтому р = j 2nrpgx dx — — 2nrpg J xdx = 2ллр£ о 2 2яФ ё — ° ) = nr*pg (н). ДС-21 B .l. 1. 2,5. 2. В.З. 1. — 1 5 ^ . 2. -j- ՜ ^ ձ . 16 8 26 В.2. 1. 9— . 2. ֊3 . 35 25 В.4. 1. 18— . 2. 0. 27 В.5. 1. 38,4. 2. 2. — — . 6 В.б. 1. — 132 —. 2 . 1 ( Л _ ! _ т 15 8 V 2 8 1 ДС-22 В.1. 1. {2}. 2. В.З. 1. {1}. 2. В.5. 1. {6}. 2. ] —5; ՅԸՍ]4 ; оо[. ֊ք »[• м В.2. 1. {2}. 2. [0; 9[. В.4. 1. 0. 2. В.б. 1. 2 [ М Ы [ - ДС-23 / 1 6 Х ֊4 J.I. 1. у = 2. 2. —6 — ) . 3. 22Х-1-- 1 * 2 in 2 + С. 0,92*—0.9 В.2. 1. у = —х + 1. 2. 1п 3 • З3* ՜ 3 — 2 х е-*2. 3. + С. 14 В.З. 1. Убывает на ] —оо ; 0] и на [2; со[; возрастает на [0; 2]. 2. -——տ In 2 ; 20,199. В.4. 1. Убывает на 1 In 3 — оо ; 1 In 2 •j; возрастает на J^- ln 2 202 • 2 - V 3 x 176 Հ
  27. 27. '*ЯШк В.5. 1. Минимум в точке 1; максимум в точке 0,5. 2, 1 + -j—j (1 շ 1 - 0 , 4 դ з . о. 2 3 Х - 1 В.б. 1. Минимум в точке —0,5; максимум в точке 1. 2. 2,5 3 In 2 1 3. е — 1. 48 In 2 ДС-24 В.1. 1. ]1 ;оо [. 2 . Часть графика функции у = cos х, лежащая выше оси абсцисс. В.2. 1. {—3,5). 2. Часть графика функции у — tg х, лежащая выше оси абсцисс. В.З. 1. {1}. 2. 0 . U ]4; °°С-В.4. 1. {— 1}. 2. В.5. 1. {2}. 2. Часть графика функции у = ]х 4- 1! — 2, лежащая выше оси абсцисс. В.б. 1. լ ~ | . 2. Часть параболы у = х2 =— 4х + 3, лежащая выше оси абсцисс. ДС-25 В .1. 1. —2 — . 2. 2 In (х — 2) + 2. 2 In 2 В.2. 1. — — — — . 2. 3 In (х + 2) + I. in 10 In 2 В.З. 1. Минимумв точке j / ՞ — . 2 . 1,5 — 2 In 2 = 0,1138. 3. ֊1 . В.4. 1. Минимумв точке V е- 2- 7,5 — 8 In 2 ~ 1,9552. 3. 1,5. В.5. 1. Убывает на ]0; 1] и на [е; оо[; возрастает на [1 ;е]. 2- In 10 « я 2,3026. 3. {0,1; 1}. , £6 В.б. 1. Убывает на [0,1; 1]; возрастает на ]0 ; 0,1] и на [1; оо[. 2. Ш у я * я 1,3122. 3. {5}. ДС-26 B .l. In exp (а + b) — а + Ь; Гп (ехра • ехрб) = In ехра + In ехрй = = а + Ь, т. е. In exp (а + b) = In (ехра - ехрЬ), поэтому ехр (а + Ь) = = ехра- • ехр&. В.З. и В.4. (см. рис. 12). In равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = — , у = 0 , х = 1 и л : = п. Эта площадь меньше площади ступенчатой фигуры £ 5 хЛ гВ 2Л3В 3 ... В ^ А ^ , т. е. 1 + — + 177 >
  28. 28. + Ч-----^—7 и больше площади ступенчатой фигуры Ը Շ ^ շ Շ շ Յ Ք * . . . 3 п — 1 • ■ • c « - i S « D> т- е* 1 + i + т + • ՛ • + п • х2+ 2 х ох Д- շ Ի dt В.5. ] —со; —2[Ա ]0; оо[; / ' ( * ) = ֊ — . У к а з а н и е , j —= In (х2 + 2х). В.б. ]0; 2[; Д х) = 2 — 2х 2х— х2‘ ДС-27 В.2. 1. . . . о 7 3 В.З. 1. Убывает на В.4. 1. Убывает на B.l. 1. — ֊( 1 — 2х)0,з + С. 2. { i + p - J . 2. ( r i + m 0; - ^ ֊ / 2 + 1 0 ; ճ / 3 շ Г ; возрастает на / 3 + 1 J В.5. 1. 0,5 ( / х)х (1 + In х). 2. [ - 3 ; 2] В.б. 1. 2х2Л (In х + 1). 2 . {0 ; 1}. ; возрастает на / 2 / 2+1 2 / 3 . / 3 + 1 . 2. {3}. . 2. {5}. ДС-28 2 г— 16 B.l. 2z— 5; — ; г )՛ Г/ 8 6 В.2. { ( б Г з ; 6; - 3 - В.З. {(1; 1; 0; - 2 ) } . 178
  29. 29. В.4. {(1; ֊3 ; 7; 2)}. В .5. {(6z — 13; 7г — 19; г; 7 — 2z) г £ R}; В.б. 0. B .l. При р = О {(1,5у; у)| у £ R } ; при р = 4 {(1,5у + 8 ; у)| у £ R}՛, при остальных р решений нет. 1 р 4 2 ДС-29 В.2. ,3 3 3(р — 2)’ 3(р — 2) У 6 R) при р = —2; 0 при р = 2. В.З. 0 при т = — 1; {(3 — у; у)| у £ R ) при т = 2 ; при остальных т . В.4. {(1 — у; у)| у £ R } при т = —1; 0 при m = при р Ф ± 2 ; {(1 — 2у; у)| . (р±1 _JL! lm + 1 m + 1/ j 1 2 — 2т 1 — 3п ' т + 1 при остальных т . 1 — З т В.5. Ь ф 1 и с Փ 1. В.б. При р 6 ] —2; 2 [(J]2 ; 4[; при р = 2 и 1 < л г < 3 . ДС-30 В .1. {(2 ; 7)}. в.2. {(3; —5)}. В.З. {(2 ; 1); ( - 1; - 2)}. В.4. { ( - 2 ; 1); (1; ֊2 ) ; (1; 2); (2; 1); (0; ֊3 ) ; ( - 3 ; 0)}. В.5. { ( - 1 ; 1); (4; 32)}. В.б. {(1; 6); (2; 7); (3; 8)}. — + nk; nk ~ ֊ + nk; nk n n — + nk; — ■ 3 3 n — + nk; nk nk; “ * ^ -j՜ nk nk; nk ■ J + nk) k £ Z . . k £ z ) ;}՛ j k £ Z j. a 5я nk k £ Z j, a = arctg 3 я 1,25. ДС-31 B.l. B.2. B.3. B.4. B.5. B.6. ДС-32 B .l. 1.a) 14,0;6) 10,2.2. a) 20,3 ± 0,4; e = 0,02; 6) 4,2 ± 0,5; e = 0 ,1 . В.2. I. a) 37; 6) 22,4. 2. a) 30,4 ± 0,2; e = 0,01; 6) 19 ± l ; e = 0,05. В.З. 1. a) 27; 6) 35. 2. a)9,9 ± 0,14; e = 0,014; 6) 340 ± 15; e = 0,05. B.4. 1.a) 1,1; 6) 38. 2. a) 7,7 ± 0,2; e = 0,02; 6) 11 ± 4; e = 0,3. B.5. 1. a) 16,3; 6) 99,1. 2. a) 6,8 ± 0,13; e = 0 ,0 2 ; 6) 8000 ± 500; 8 = 0,06. n nk 7 + ¥ : 7 + "2՜+ Հ i e z я n о; "гг * h r; я 179
  30. 30. В.б. 1. а) 13,0; б) 81. 2. а) 5,3 ± 0,3; е = 0,05; б) (2,2 ± 0,4) • 102; е = 0,15. ДС-33 B .l. 1. а) 1,584; б) 2,615; в) 0,00596. 2. 112 100. В.2. 1. а) 158,9; б) 8,70; в) 9,45. 2. 0,3516. В.З. 1. а) 4,305; б) 2488; в) 407. 2. 33,65 (м) и 48,7 (м). В.4. 1. а) 2,516; б) 12 610; в) 343,5. 2. 33,8 (дм),18,6 (дм). В.5. 1. а) 6,02; б) 32 300; в) 221,6. 2. 10,0 (кг). В.б. 1. а) 4,47; б) 11 850; в) 1,063. 2. 0,573 (дм). ДС-34 ւ В.1. 1. — 2. {—3}. 2а՜ լ В.2. 1. 2ь -. 2. {0,5}. В.З. 1. (хл 1 у2)2. 2. а = —9. В.4. 1. х у. 2- а Ժ + 9 В. 5. 1. Ժ — 9 13. 2. 0. 16 + с3 Г в - 6 - »• 3 ՝ Ь ^ а16 — с3 2. / 6 2 - Դ } - ДС-35 B .l. 1. 67,2 (сл<); 188,16 (с.и2). 2. ] —10; 0,7]. В.2. 1. 120 (см); 480 (см2). 2. ]1 ;°о [. В.З. 1. 48 (см); 96 (см2). 2. ] - « ; —0,1[. В.4. 1. 33,6 (м); 30,24 (ж2). 2. 0 . В.5. 1. 30 (см); 30 (см2). 2. ] —6; —2] Ա [ - 0 ,5 ; 6[. В.б. 1. 84 (см); 210 (см2). 2. ]—4 : ֊ 3 1 U [ ֊ + ДС-36 B .l. 1. Я ; { - 2 } . 3. X2 — 2 / 8* — 1 = 0 . 1 В.2. 1. 2. 3 х 2 + У Т З յ է _ 2 - / 1 3 j U С6; °°[ и '5 х —3 + V 109 10 . —э — Z ՜109 j- 3. х2 — 2 / 5 х + 1 = 0. В.З. 1. (2х2 + 5)(х - 1) (х + 1). 2. а < 1, а ф 0. 3. —4. В.4. 1. (Зх2 + 5) (х —1) (х + 1). 2. |a |s£ 2,а ф 0. 3.4. В.5. 1. ( / З х - 1 ) ( / З х + 1) (х - / 3 ) ( х + / 3 ) . 2. |ծ | > 1. 3. 7. 180 <
  31. 31. В.б. 1. (2л:3 + 1) (хг + 2)- 2. Ь| > 1,5. 3. Сумму найти невозможно, так как уравнение не имеет корней. ДС-37 В-1. 1. а) 2; б ) ֊ В.2. а) 2 ֊; б) ֊. В.З. 1. а) ■֊-; б) — 1,5. 2. Да, возрастает. Р е ш е н и е . ո + 2«+1 п + 1 I п(п + 2) Л+» п + 1 / | 1 "+ 1 /п п+1 п + 1/ _ U -. Ьп ( 1 « (ո "+ 1 ո ( я + I)2 / J «+1 и + 1 ( п + О2 + ( ^ Г , ( { ֊ ) / я + 2 ո+2 П + 1 U + ij 1 п+2 /г / п + 2 5 2 В.4. 1. а) —; б) — . 2. Да, убывает. Р е ш е н и е . 6 3 ) > п + 1 я (п + 2) / п + 1ո (ո + 2) 5 - В.5. 1. а) — — ; б) —У 2. 2. Да, убывает. У к а з а н и е . * , 6 1 V(n+ п(п+ 1)+ V «շ В.б. 1. а) 1; б) 2 2. Нет. Р е ш е н и е . у2< у3, так как У 2 < у 3, 3 3 _ 4 _ __ а Уз > У4» так как | / " 3 > у 4 = У 2 . ДС-39 B .l. 1. Аь ■ С| 3 = С| 5 • А222= 1 062 600. 2. а) — 1; б) 8. В.2. 1. 15• С^4 = 45 045. 2. а) 3; б) 0,75. В.З. 1. 15• 51 = 1800. 2. а) d£}_22; б) 22«՜*+ ւ В .4. 1. 25 • 5! = 3000. 2. а)с£+ 2 ; б) 2"֊a*+i_ Л К /71 ~I—3 В.5. 1. Сէ • С ? ,= 1 441 440. 2. а)— 1— ; б) 22« ֊з « . ' п — т В.б. 1. С{8 • С?4 = 9 189 180. 2. а) б) 2з('Л ДС-40 B .l. 1. 6л:՜1. 2. З7 — 1 = 2186. В.2. 1. 10. 2. (—2)s — 1 = 255. 181
  32. 32. В.З. 1. 9. 2. —— . В.4. 1. 5. 2 . ----- . 32 256 В.5. 1. 2. 2. 1024. В.б. 1. 25. 2. 81. B .l. 1. а) 0; б) 3. 2. 6. В.2. 1. а) —1,1; б) 0. 2. 4. В.З. 1. —. 2. а) - ; б) 1,5. В.4. 1. ֊ . 2. а) 1,6; б) — —. 15 3 15 3 В.5. 1. а) 0; б) 7. 2. —0 ,6. В.б. 1. а) 0,5; б) /Г б . 2 . 1,5. д с -42 ] In х • — — — tg х • — B .l. 1. а) У 5 е ~ х (6х5 — хв); б) C° S“* ДС-41 2. а) 5 cos 5х (при sin 5х > 0 ) ; б) In2х sin lg Зх Зх In 10 ctg х lg х „ , xl nl O sin2 x 3 B . 2 . 1. a) V 3 • « « • ֊ w . «> -------- ^ ---------• 2 - .) cos In — 4 tg 3x > 0); 6) ------------ . з ~ г —V x . + yT՜ 2 / x 3 j / x՜2 В.З. 1. a) 6sin2x(sinx —cos2x); 6) --------------- — 17 / 2 ( x ^ 2 — l)U • 2. а) (Зх2 - 1) e * - * ; 6) ( xV2 _ l f + 2 V 2—1 ex e ^ x 4x3 + 1 B.4. 1. a) 2 sin 2x; 6) —- 4՜ , / —՛՛. 2. a) 2 4 / x ' (x4 + x) In (x4+ x) ’ I Y ~ , Л13 ՝/ ,/o- 6) . - - 2 X (x In 2 • In Ix I + 1) B.5. 1. a) 25 sin4 5x cos 5x; 6) — ----------------- —---------- . 2x In2 1x I c; (՜ւ^Ղ з—1 Ox՜2) 2. a) cose*2՜ * • exZ~ x (2x — 1); 6) , г-------- . ( х Уз + 2 X ՜ 1) In 10 „ 3~x (In 3 4՜ cos x) В.б. 1. a) — 16 cos3 4x sin 4x; 6) —--------- —— . 2. a) — sin (2x 4՜ 1); 6) 15 In 2 • 2(x~ 1>lS (x — l)u . ДС-43 B .l. Убывает на [—3; 1[ и на ]1; 5 ]; возрастает на ] —со; —3] и на [5; оо[; минимум в точке 5; максимум в точке «=-3. 182
  33. 33. В.2. Убывает на [—4 ; — 1[ и на ] —1 ;2 ]; возрастает на ] —с о ;—4] и на [2 ; оо[; минимум в точке 2 ; максимум в точке —4. В.З. Убывает на [0; 1] и на [4; оо[; возрастает на ] —со; 0] и на [1; 4]; минимум в точке 1; максимумы в точках 0 и 4. В.4. Убывает на lOje՜ 1՜ 2 ] и на [е^2 ; оо[; возрастает на [ е ՜ * ՜ 2 ; е^ 2 ]; минимум в точке е ~ ~ ; максимум в точке е^ 2 . В.5. Убывает на ] —оо; — 1 — j/՜Յ] и на [0; У З — 1]; возрастает на [—1 — У З ; 0] и на [У З — 1; оо[; минимумы в точках — 1 — У 3 и —1 + } / 3 ; максимум в точке 0 . В.б. Убывает на ]0; е՜1] и на [е1-5; оо[; возрастает на [е 1; е1՛6]; минимум в точке е ՜1; максимум в точке е1՛6. ДС-44 В.1. / б . У к а з а н и е. Пусть г и հ — радиус основания и высота ко­ нуса. Тогда г2 + հ2 = З2 = 9. V — — яг2/1= — nh (9 — /г2). V' (հ) = 0 при 3 3 Վհ = У з , при этом г = У 9 — Л2 = У 6. 4]/3 В.2. -------. У к а з а н и е . Пусть г и հ — радиус основания и высота 3 4 цилиндра. Тогда V = nr2h = яН (16 — А2). V' (հ) — 0 при h = В.З. 2. У к а з а н и е . Пусть радиус основания и высота цилиндра V объема V равны г к հ. Тогда Տ = 2яг2 + 2 n r h = 2яг2 + 2кг — - = я гг 2V 2V = 2яг2 Н • S ' (г) = 4яг — — . S ' (г) — 0 при 4ял3 - 2V, т. е. 4яг3= г г2 հ = 2ял2Л, откуда 2г = հ, т. е. — = 2. В.4. У 2 . У к а з а н и е . Пусть радиус основания, высота и образую- 3V г_______ щая конуса объема V равны г, հ и /. Тогда А = ■——.Տ = яг/ = лгу г2 + А2 = яг2 _ QT/2 QI/2 = я г I / г2 4՜ — = я | / г* + . Достаточно найти максимум функ- 9V2 181/2 ции / (г) = г* + /'W = 4г3 — ;/'(/•) = 0 при 18V2 = 4 n V , т. е. 9У2 = я 2/-4Л2 = 2я2г6, откуда Л2 = 2г2 и — = ] /2 . г В.5. 1,8 (м). У К а з а н и е. Задача, подобная данной, разобрана в учебном пособии (см. упражнение 1042). В.б. 2 | / ^ — : 3 | / 2,4 ՜ յ / У к а з а н и е . Пусть стороны ос- 183
  34. 34. SV 5V нования равны 2x и Зх. Тогда 5 = 12л;2 + — • S' (х) = 24л: — — 7- •£' (я) = О Зх Зх* при X 5V 72՜ ДС-45 B .l. 1. а) 3 cos (За: — 2) cos х — sin (Зл; — 2) sin х; б) 3 5 1 cos2 (х + 2) - 2, ֊. 3. у = — 2дс 1. 4. у = V i c o s 2х + — տտ2 (Зл: — 2) 8 8 В.2. 1. а) 2 cos (4а:+3) co s 2а: — 4 sin (4х + 3) sin 2а:; б) -1 sin2 (х — 3) + 2I o 7 3. у = 1 .4 . у 1 cos2 (2x — . Հ-* 5) 4 ' ДС-48 B .l. 1. — 1, a —P Ф nk, k e z . пример, a) К n T ; б) n „ — — ; 0 2 т - Ч я я/г 12 + ~ k e z j . 5. На- В.2. 1. —1, а + թ ^ — + я k, k e z . 2 . — . 4. ((— l)f t .— + — շ 4 լ 6 շ k e Z j. 5. Например, a) [0; 2я]; б) ]—я ; я [; ]3я; 5я[. ДС-47 B .l. 1. 0. 2. a) cos 39е; б) t g — . 4. Минимумы в т о ч к а х - + nk; 8 12 максимумы в точках k e z . 5я 10я 12 nk, ke Z. 5. 2я -j- 4nk < х — - + 4nk, 3 В.2. 1. 0. 2. a) —cos 14s; б) ctg-^-. 4. Минимумы в точках — — + я А ; 7 3 я я я максимумы в точках — + nk, k e z . 5. — — -J- nk Վ x Վ — — -{-nk, k e z . ДС-48 B .l. 1. 2a:3 — a:2 + 5. 2. — — 1. 3. 4. B.2. 1. x3 — x2 - f x — 1. 2. — . 3. 2. ДС-49 B .l. 1. a) 2 In 4 • 4 *; 6) 2e%x (sin (1 — 2л;) — cos (1 — 2x)). 2. a) {—2; 4 }; 6) {0}. 3. у = x In 0,9 + 1 — 3 In 0,9. 184
  35. 35. В.2. 1. а) 3 In 9 • 9-r ; б) —2е~2х+1 (cos 2х + sin 2х). 2. а) {—3;1); б){0 }. 3. у = х In 2,2 + 3 In 2,2 + 1. B .l. 1. a) logj я < 0; б) In 0,8 — 0 ,8 < 0 . 2. ]- о о ; —7 [Ա ] 4; оо[/' (х) =■ е = з. ] - о о ; -3 C U 3 1 ; 5 [ լ) ] 5;օ օ [. 4. e - j = 2,3504. В.2. 1. a) In (2е) — 1 > 0; б) log02 4 ■ log2 4,3 < 0. 2. ] —4; 2[; 2л: 4- 2 1 н'( х ) = Х2 + 2Х_ ~ 8 - 3- ] - ° ° ; ՜ 5 [Ս ] ՜ 5; - 1 [U ] 3>00[- 1>4428- Ь ДС-50 f Jp. i I i I . ДС-51 B .l. ,. « I ; l ; 1)). 3. { ( - I ; j ) ; ( 1 ; i B.2. « > ; 2, - 1 ) } . 3. ( { ; fA Ո : j ДС-52 B .J. 1. ]0; 4[. 3. — -— , x Փ nk, k £ Z . i . у = 2ег’5. 5. 4,5. 2 cos x В.2. 1. ] —3; 0[. 3. ~ — , x փ Հ - + nk, k 6 Z . 4. у = 2e. 5. 2 sin x 2 12 ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ ПР-1 B .l. 1. N. 3. 2,5. 4. 3. 5. 4—x, x > 0. 6. 576 (деталей). 7. ]6;oo[. xy 8 . (3x + 2) (4x — 1). 9. 4,24 и 4,52. 10. *■ — У 119 В.2. 1. Z. 3. —43— . 4. 10. 5. 4, m > 0. 6. 7 (кх/ч). 7. Да. 8. Напри­ мер, / (х) = 2х + 1. 9. 2,79 и — 1,79. 10. а — ծ, а Ф ± Ь . ПР-2 B .l. 1. {0,05}. 2. Л = - ֊ , ծ = —2. з. 2400 (г). 5. ] —2; 4[. 6. {(2; 6); Ժ՜ (6 ; 2)}. 7. ьп = 162 • ( ւ - ) ՞ " 1; = 243 (1 - ( յ ) ՞ ) ; « = 6- 8-6-3- 9- y=- = 2x — 6. 10. X2 — 2 / З х + 1 = 0. B.2. 1. 3,12. 4. a = —0,5; b = 2; с = 1. 5. {(2; 3);(3; 2); (—2; —3); (—3; —2)}. в. an = I7n — 141; S n = 17'г ~ 265„ . „ = 7. 7. 4,3- 0,41 > > l,3-o-42. 8. 60 (кл/ч). 9. 0,63. 185
  36. 36. я քЗя nk 4я 1 7. я; 8. а) | — + — k £ Z j; б) | — 2 ± ֊ + ink k 6 Z j. 9. 2 = ± •—?=■; а может лежать во II или IV четверти; sin a < 0 при а , лежащем У 5 зх зт/շ зх jx/s ( Jt ! в IV четверти. 10. а) — + — < х < — + — , k £ Z ; б) | — — --2nk | k£Z |. 186 В .!. 1. 0,(63). 3. а) 5; б) —5; в) —. 4. Д а! ых = 2, ип+1 — Зи„ при О л > 1. 5. Да, 1. 6. 2,369. 7. 4,8 (л2) < 5 < 8,4 (л!2). 9. а) 4, 2, 7, 3; б) 1, 4, 3. !0. ху = 12,15 ± 3,645= 12 ± 4; — = 15 ± 4,5 = 15 ± 5. У В.2. 1. —. 3. а) 3; б) 0; в) —2. 4. 2 / 2 . 5. Нет. 6. 0,029. 7. 0,7 < 3 < с < 1,4. 9. а) 0,01; 0,004; б) 0,01 •105; 0,003. 10. х + у = 438,3± 0,4; х _ у = 310,5 ± 0,4. ПР-4 B .l. 1. [—0,5; 1]. 2. 6. 3. 4. 5. у = —4* — 4. 6. 9ха — 9л:. 7. g ' (/) = = / Г Г Г Ч т = = g '(3 )~ 2.75. 9. Убывает на [0; 1]; возрастает на [1; 2 14՜ 1 1 1 оо[. 10. Минимум в точке — ; максимум в точке — —. О О j В.2. 1. [— 1; 0,5]. 2 . - 2 . 3. —6. 5. у = 2 * — 1. 6. 5х — 5л:4. 2 — у I 7. — :— — ; 0. 9. Возрастает на ]—оо ; оо[. 10. Максимум в точке —. 2у2 / у — 1 4 ПР-5 B .l. 1. —0,8; 0,6. 2. 0 ; —1. 3. ± — -- 4. 0. 6.cos 350° • sin գ < 0 . 7. Например, / (х) = х3. 8. 0. 9. 0 и — 1. 10. 0,75. 11. 0. 12. 2 sin (a — fi)x Xcos (a + թ). В.2. 1. —0 ,6 ;—0 ,8 .2 . 0; 1. 3. ± 0 ,5 .4 . 2,5 sin 2a. 6 . sin ֊ • cos 250c< О 2 < 0. 7. Например, / (x) = x3. 8 . 1.9. —1 и 0. 10. — —. 11. —1. 12. 2 sin (a + О + թ) sin (a — թ). ПР-6 4 B.l. 1. a) — 2cos(4 — 2x); 6) — - . 2. —1. 3. y " = —3y. 4. а) Сжа- sin2 (2x + 2) тие к оси Оу в отношении 1:0.5; б) параллельный перенос г ; Oj; в) ежа- 3lk тие к оси Ох в отношении 1:3. 5. — 0,5, а = £ — , k £ Z . 6. sin 4; sin 9; sin 8. с , - - 1 sin a = ПР-3 2 i
  37. 37. В.2. 1. а) — 2sin4x; б) — ----------------- . 2. 1,5. 3. у = A cos (0,5/ + q>). *փ + ք ) 4. у = 3 cos (1,5л:+ 3). 5. — 1. 6. а) 0; б) 1. 7. а) — — б) — 8. а) ( б + 2 О Լ + ( - D ft ■ ֊ + 3 n k k t z } - , б)| ± у + ֊ у A g z J . 9.c tg a = ± 2 > /T ; a лежит в 1 или 11 четверти; ctg a < 0при а ,лежащем во IIчетверти. 10. а) 0 ; п nk n n k б) - - + Y < х < 8 + 2 ' е ПР-7 B.l. 1. Да. 2. — — -— (22Х — 1). 3. а) — + 4 [ & + С; б) — 0,5cos(2x— 2 In 2 3 X _ 3 ) — tgx + C. 4. 0,2. 5. 1; 2. 6. 12,4. 7. sin x2; 3 + j" sin I2 dt. 8. 1 + 2t + 0 + T—in'- »• s.(ft « -!(» •+ (}) + ( ֊) + - +(?£T lL>)‘-Ի * ~ 0 = 6,4. 10. In 2. 2X B.2. 1. sin (x2 — 3) + C. 2. а ) —— + C; 6) 2 sin (0,5* — 1) — ctgx + C. ln22 1 4 1 3. ֊I n (2x —1) + 2. 5. —. 6. 18,6. 7. — —; 0. 8. 0; ֊4 . 9. 2. 10. 26. 2 3 3 ПР-8 В .,. 2. ] j ; I [. 3. & « + — ■ 4. , = 1. S. ֊ ֊ « - “ + } « - ’ ■ e. 7; 3. 7. ]— oo; 4 [ Ա] 4; oo[. 8. у = 0,7е~՜2*. 9. Минимум в точке 1; максимум в точ­ ке — 1. 10. Убывает на [0; 1]; возрастает на ]1; оо[. D (<р) = [0; оо[. В.2. 2. ] —оо; 1[1П1; оо[. 3. — 8 In 10 • 1 0 ՜ ^ + ֊. 4. 1. 5. — l n x + 1. х 2 6. log3 2 ~ 0,631. 7.' D(y) = ]0; оо[; у' = — л х ~ л՜ 1 + е х е~ 8. у' = In 0,5 • у- 1 9. Ветвь гиперболы у = —, лежащая в I координатной четверти. 10. Убывает х на ]0; е—1[ и на [ 1; е]; возрастает на [г- 1 ; 1] и на [е; оо[. I
  38. 38. УКАЗАТЕЛЬ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СОДЕРЖАНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ С-1, ДС-1 пп. 75, 76 С-28, ДС-28 п. 120 С-2, ДС-2 пп. 77, 78 С-29, ДС-29 п. 120 ДС-3 пп. 79, 80 С-30, ДС-30 п. 122 С-3 п. 80 С-31, ДС-31 п. 122 С-4 п. 81 С-32, ДС-32 Приближенные ДС-4 п. 82 вычисления С-5, ДС-5 п. 83 С-33, ДС-33 Логарифмическая С-6, ДС-6 п. 84 линейка С-7, ДС-7 п. 85 С-34, ДС-34 Преобразования; С-8, ДС-8 пп. 86, 87 дроби С-9, ДС-9 п 88 С-35, ДС-35 МП*— 6, 7, 8 С-10, ДС-10 п. 89 С-36, ДС-36 МП— 10 С-11, ДС-11 п. 90 С-37, ДС-37 МП— 11 С-12, ДС-12 п. 91 С-38, ДС-38 МП— 12 С-13, ДС-13 п. 92 С-39, ДС-39 МП— 13 С-14, ДС-14 п. 93 С-4Э, ДС-40 МП— 13, формула С-15, ДС-15 п 94 Ньютона С-16, дс-16 п 95 С-41, ДС-41 МП—14 С-17, ДС-17 пп. 97, 98 С-42, ДС-42 МП—15 С-18, ДС-18 п. 99 С-43, ДС-43 МП—16 С-19, ДС-19 пп. 100, 101 С-44, ДС-44 МП—16 С-20, ДС-20 пп. 103, 105 К-1, ДС-45 § 15, 16 С-21, ДС-21 п. 106 К-2, ДС-46 § 17 С-22, ДС-22 п. 108 к-з, ДС-47 § 18 С-23, ДС-23 п. 109 к-4, ДС-48 Глава VII С-24а, б, ДС-24 п. 111 К-5, ДС-49 § 21 С-25, ДС-25 п. 113 К-6, ДС-50 § 22 С-26, ДС-26 пп. 113, 114 К-7, ДС-51 Глава VIII С-27, ДС-27 пп. 115, 116 К-8, ДС-52 Повторение * Материал для повторения
  39. 39. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ПОСОБИИ всех натураль- Z Zo Q R R + R2 N — множество ных чисел — множество всех целых чисел — множество всех неотрица­ тельных целых чисел — множество всех рациональ­ ных чисел — множество всех действитель­ ных чисел, числовая пря­ мая — множество всех положитель­ ных действительных чисел — числовая плоскость [я; 6]— замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b, а < b ]а; ԵԼ— открытый промежуток (ин­ тервал) с началом а и кон­ цом Ь, а < Ь, ]а; ծ], [а; ԵԼ — полуоткрытые проме­ жутки с началом а и концом b, а < b, b — а длина промежутка с кон­ цами а и Ь ]а; оо[, [а; со[, ] — со; й], ] — оо; ծ [ - бесконечные промежут­ ки, лучи числовой пря­ мой ] — со; оо[ — бесконечный проме­ жуток, числовая прямая — знак следования — знак равносильности — знак принадлежности — число п принадлежит множеству натуральных чисел N — знак включения — множество С включе­ но в множество D, или С есть подмножество множе­ ства D, или множество D содержит множество С (J — знак объединения С լ) D — объединение множеств С и D € п € N а С cz D а — обозначение вектора а(*о! Уо)— вектор, отображающий точку (0; 0) в точку (%; у0). Числа х0, у0 называются координатами вектора а ]а — е ; а + 8 [ — е-окрестность точ­ ки а {а; Ь; ...} — множество, состоя­ щее из элементов а, Ь, ... (а; Ь) — упорядоченная пара (а; Ь с) — упорядоченная тройка. Если а, Ь, с попарно различные, то (а; Ь), (а; Ь; с) обо­ значают также упо­ рядоченные множе­ ства — «-факториал — произведение первых п натуральных чисел — число перестановок из п элементов — число размещений из п по т —• число сочетаний из п по т п Рп д т л п րէՈ ип [Л В] отрезок прямой с концами Л и В (АВ) — прямая, проходящая через точки А к В АВ — длина отрезка [Л В] АВ — вектор, отображающий точ­ ку Л в точку В [х] — целая часть числа х {.х} — дробная часть числа х х — модуль (абсолютная величи­ на) числа х (хп), (ап), (/„) — бесконечные после­ довательности lim хп = а — число а является П-»СО f(x) — значение функции / в точ­ ке х D{f) — область определения функ­ ции { 189 ♦
  40. 40. E(f) — множество значений функ­ ции ք Дх — приращение переменной х Дf(x0), Д/ — приращение функции / в точке х0 lim f (х) = b — число b является х-*а пределом функции / при х, стремящемся к а I' W — производная функции ք в точке х0 ձ АОВ — угол АОВ Rq — поворот плоскости (луча, вектора) на угол а вокруг точки О. Если О — начало координат, то просто: R^ sin — функция синус cos ֊ функция косинус tg — функция тангенс ctg — функция котангенс ехра — показательная функция с основанием о е — число е, основание показа­ тельной функции, для ко­ торой (ех)' — ех ехр — показательная функция с основанием г loga — логарифм с основанием а lg — десятичный логарифм In — натуральный логарифм (логарифм с основанием ё) max / — наибольшее значение функ- [з; Ь] ции / на отрезке [а; ծ] min ք — наименьшее значение функ- 1а; Ь] ции ք на отрезке [а; ծ] Г — знак интеграла ь j '/ ( x ) d x — интеграл функции ք в а пределах от а до ծ arcsin— функция арксинус arccos— функция арккосинус arctg — функция арктангенс arcctg— функция арккотангенс

×