Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1 ДС-1
1. Найдите производную функции if:
а) г]) (х) = sin х cos 2х + cos х ...
Вариант 4 д с -i
1. Найдите производную функции р :
а) р (х) = sin 2х • cos 3* + sin Зх cos 2х;
б) р (х) = ctg (2 — Зх2).
...
1. Найдите предел:
/ Зл 
a) lim (cos х cos 2х — sin л: sin 2л:); б) lim tg|3x + — ).
х-*п п  4 J
Вариант 2 Д С - 2 *
2. Вы...
1. Найдите предел:
a) lim (sin 3* ctg 4х); б) lim 2cos* ..
* - 0 я я
Х-+—-
Вариант 6 ДС-2*
2
2
2. Докажите, что функция у ...
1. Найдите точки перегиба функции
у = х? + 2х2 — 4.
, 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф­
ференциаль...
Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­
ских колебаний
ух = 2 cos х и у2 = cos ^х + -л
Вариант 2 ДС-4
Ва...
Вариант 1 ДС-5
1. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­
меньшего положительного аргумента:
a) tg (-7 2 8 °...
Вариант 5 ДС-5
1. Докажите тождество
sin [2и — у j cos (Зи + л) = sin (2и — л) sin (л — 3и) — sin ^у
2. Упростите
—os ^ - ...
Вариант 2 ДС-6
На рисунке дан график функ­
ции g (х) = ctg х на проме-
ЗлГ
жутке Ответьте на
я
2 ' 2
следующие вопросы:
1....
Вариант 4 ДС-6
На рисунке дан график функ­
ции h (х) = cos х на промежут-
2я 1 „
Ответьте на сле-ке
- Т ;Л
дующие вопросы:...
Вариант 6 ДС-6
На рисунке дан график функ­
ции h (х) = cos 2х на проме- У ]
жутке n j. Ответьте на
следующие вопросы: _ # ...
Вариант 4 ДС-7
1. Отметьте на единичной окружности множестео точек Р„ для
которых соответствующие значения синуса удовлетв...
Вариант 2 Д С - 8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Рп для
которых соответствующие значения косинуса удо...
Вариант 5 ДС-8
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для
которых соответствующие значения косинуса удовле...
Вариант 3 ДС-9*
1. Расположите в порядке убывания числа
arcctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11.
2. Решите уравнение
c t g...
1. Найдите cos а, еслиизвестно, что ctg а = —2.
2. Найдите sin а и cos а , если известно,что ctg а = — и что
а — угол III ...
1. Найдите tg -2-и ctg у , если cos а = у и я < а < 2л.
2. Упростите выражение
i + sin а
Вариант 1 ДС-11
Вариант 2 ДС-11
1...
Вариант 6 Д С -11
1. Найдите предел
lim lz z £ 2i £
х-+а 2х ■sin х
2. Решите уравнение
1 — sin 4х — 2 sin
( * - т >
Вариан...
Вариант 4 ДС-12
2 t g ( y + « ) 1 — tg2 ( - ^ — « )
1. Упростите выражение -— —.
/я  / л 
l + tg2 ^— + a j l + tg3 |^— — a...
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
cos 105° •cos 75°.
2. Упростите выражение 2 cos 2х cos 5х — 2 sin...
1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения
о 2я 4я 8я
2cos — cos — cos —.
7 7 7
2. Упростите выражение
cos —...
Решите неравенство:
t g ( * + y ) + tg 2л: , j
1. — < 7г^. 2. sin2x - > —.
п У 6 А
1 — tg 2л • tg ( л + — J
Вариант 5 ДС-1...
Вариант 5 ДС-15
Решите уравнение:
1. 3 sin 2л: + 7 cos 2х — 0. 2. cos 2х — sin х — 0.
Вариант 6 ДС-15
Решите уравнение:
1....
Вариант 4 ДС-16
Докажите тождество:
1. V l -f- cos а + У 1 — cos а = 2 cos ^ y -j, если 0< а < ~ .
2. 1 + cos а + cos 2а =...
1. Докажите, что функция Я есть первообразная для функции h
на промежутке /, если:
а) Н(х) = ctg2(1 + 2х) + 2; h(x) = 4cos...
Вариант 5 ДС-17
1. Найдите первообразные для функции /:
а) f = y j z r f : б) f W = C°s2*’
2. График одной из первообразны...
Вариант 4 ДС-18
Найдите первообразные для следующих функций:
3
1. f (х) = у (х — I)4 на промежутке ] —оо; 1[.
2. / (х) = х...
Вариант 4 ДС-19
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав
рисунок): у — х + 1 и у = 4 + 3* — х2.
Л
6
2. На...
Вариант 3 ДС-20*
Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую
форму трапеции, нижнее основание которой а — 10 ...
Вариант 3 ДС-21*
Вычислите:
1,5
1. j ( l — 2х)1dx.
i
Я
24
2. j (cos2 ^2х — у ) — Sl’n2(Эх — y j j dx.
Я
12
Вариант 4 Д С-2...
Вариант 2 ДС-22
1. Решите уравнение 0,53 2Х+ 3 •0,25й х = 14.
2. Решите неравенство 2 4^ < $УХ+ Ч
Вариант 3 ДС-22
1. Решит...
1. Найдите угол между касательной к графику функции у = е~~х
в точке с абсциссой х = 0 и осью Ох. Напишите уравнение этой
...
х + 2
1. Решите неравенство — — г^О.
2. Постройте график функции у = elnros*.
Вариант 1 ДС-24
Вариант 2 ДС-24
]. Решите ур...
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­
ции h (х) = lg (3 — 2х) + logi х в точке с абсциссой х = —.
2~...
1. Н
+ lg3л:.
Вариант 6 ДС-25
з
1. Найдите промежутки монотонности функции у = — lg2х 4*
з
2. Вычислите
J д с * - 1
3. Реш...
Вариант 6 ДС-26*
Найдите область определения функции
2х—х‘г
f(x) = J j d t .
Вычислите производную функции /.
Вариант 1 ДС...
Вариант 6 ДС-27
1. Найдите производную функции
у = X2*.
2. Решите уравнение У~ 1 — х = 1 — У х .
Вариант 1 ДС-28
Решите ме...
Вариант 6 ДС-28
Решите методом Гаусса систему уравнений
•х + у + 4z — и = О
—Зх — 2у 3z 2и — 28
—х + 7у — z — 2w = 11
Зх —...
Вариант 6 ДС-29
Найдите, при каких значениях р решение системы
(х + ру = 3
рх + 4у = 6
существует и удовлетворяет неравенс...
Вариант 6 ДС-30
Решите систему уравнений
^ «-lSy+бв _ }
[ у _ х = 5.
Вариант 1 Д С-31*
Решите систему уравнений
I . „ . . ...
Найдите решения системы уравнений
/sin х — sin 2у
{cos х = sin у,
удовлетворяющие условиям О ^ у ^ я .
Вариант 1 ДС-32
1. ...
Вариант 4 ДС-32
1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр:
а) а : b — 2Ьс + с; б) (а + Ь)2, где а да 3,65; b да...
Вариант 2 ДС-33
1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки:
а) 34,5 • 732 • 0,0063; б) ]/ 4 ^ 3 ^ в)
2. С по...
Вариант 1 ДС-34
I
1. Упростите ( 2а 2 -1а : 2а 2 + Ь -----------— = ,
 2 У а — Ь)  Ь - 2 У а )'
2. Решите уравнение ———— =...
- L i - _L -1
, , т а 3 с2 — 36 2 . ■ 3 a J -f b 2 ca
1. Упростите — -f
Вариант 5 ДС-34
(Сг + З)а3 + V b ) ( ^ _ 3)U 3 + V...
Синусы углов треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5.
Определите периметр и площадь этого треугольника, если наимень­
...
1. Для функции у = 37* — 6л;2— 6 укажите множество значе­
ний переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0.
2. Разложите (если э...
1. Найдите пределы:
ч 3 — 5п п‘— 2я + 1 m V п2 + Зп — 2
a) lim ------------ -------------- г— ; б) lim -------— —--------....
1. Найдите пределы:
ч I- 2 — З я + 0 ,7 я 2 5я — я5 Л |. 2 У 2п4 — я3 + 7я
a) lim --------------- !-------• —-------—; б) ...
Докажите, что при любом натуральном п справедливо равенство
( д + 1 ) ( я + 2 ) . . . ( 2 я - 1 ) 2 я
1 •3 •5 • . . . • (2...
1. Сколько существует семизначных чисел, не кратных пяти,
составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в за...
В а р и а н т 3 Д С -4 0
1. Н айдите номер н аи больш его член а в р азлож ен и и
(1 + 0 ,1 )100.
2. В ы чи сл и те
/~*0 о...
Вариант 2 ДС-41
1. Найдите предел:
а) 1,т о а . ч + о: б) ' 1т tg 4х.х~*—12.x -f- Зх — 9 *->-0
2. Вычислите lim —_
г-з У х...
1. Найдите предел:
л х
sin — ________
a) lim — ; б) lim ]/x3+ 7.
cos (x — 1) * -2
2. Вычислите: lim .
х-*2 У х + 7 — 3
Вар...
Вариант 4 ДС-42
1. Найдите производную функции / (х):
р Х . р X
а) / (*) = sin4X — COS4 Х б) /(х) — --------2------- •
2. ...
Вариант 3
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
х3— '2х2
ДС-43
У ~ ех
Вариант 4
Исследуйте на монотонность и экс...
Вариант 2 ДС-44
В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основа­
ния цилиндра совпадает с плоскостью, огранич...
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
С УЧАЩИМИСЯ, ИНТЕРЕСУЮЩИМИСЯ МАТЕМАТИКОЙ
Вариант 1 ДС-45
1. Найдите производную /' (х),...
Вариант 1 ДС-46
1. Упростите
^ — pj sin + <xj + cos (я — P) sin (2я — a )cos
sin (я + a — P)
2. Вычислите
arccos (— K p ) ...
1. Найдите cos + -j-j, если ctg а = 1 и я < а < - ^ .
2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­
меньшего по...
1. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = 1, если про­
изводная от этой функции равна Зх2— 2х + 1.
1
2. Найдите J (У...
1. Определите знаки чисел:
a) In (2е) — 1; б) log0,24 • log24,3.
2. Найдите область определения функции h (х) = In (8 — 2х...
1. Решите неравенство
In х2 < In 4х.
2. Докажите методом математической индукции, что при любом
натуральном п справедливо ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

254 views

Published on

ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
ПО АЛГЕБРЕ
И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 10 класса

стр. 75-137
http://matematika.advandcash.biz/samostoyatelnie-raboti-po-algebre/

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ

  1. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 ДС-1 1. Найдите производную функции if: а) г]) (х) = sin х cos 2х + cos х sin 2х; бЖлг) = Г г - 18( т - * 2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х) sin |— х 1в точке с абсциссой х = — . 4 / 12 Вариант 2 ДС-1 1. Найдите производную функции if: а) -ф(х) = cos a: cos Зх + sin х sin Зх; б) 1|>(х) = ctg ( - = - - * ) + sin* 2 / sin 2х 2. Напишите уравнение касательной к графику функции g (х) = cos f — + в точке с абсциссой х — — — . 4 I 12 Вариант 3 ДС-1 1. Найдите производную функции р : а) р (х) — cos Зх cos 2х — sin Зх sin 2х; б) р (х) = tg (2х2— 1). 2. Докажите, что функция / (я) = 2,6* + sin (1 — 2,5*) воз­ растает на всей числовой прямой. 75
  2. 2. Вариант 4 д с -i 1. Найдите производную функции р : а) р (х) = sin 2х • cos 3* + sin Зх cos 2х; б) р (х) = ctg (2 — Зх2). 2. Докажите, что функция / (х) = cos (1 — 4х) — 4,1л: убывает на всей числовой прямой. Вариант 5 ДС-1 1. Найдите производную функции Я : а) Н (х) = tg * “ 18(х ~ П ; б) Н(х) = sin32х + cos32х. 1+ tg* ■tg(x— 1) 2. Докажите, что функция г (х) = —2,5л: — cos2х + sin2х убы- вает на всей числовой прямой. Вариант 6 д с -1 1. Найдите производную функции Я : а) Н ( Х ) = 1 Т Т Т Т Т Г ' б)Н(х)2tg(* + 1) = cos4(2х2— 3). 2. Докажите, что функция г (х) = 2,1л: + 2 sin х sin ----- х возрастает на всей числовой прямой. Вариант 1 ДС-2* 1. Найдите предел: a) lim (sin 4х cosx — sinA:cos4x); б) я 1im^ctg (2х + y j . * - 2 12 2. Вычислите: , ,. sin 7л: ,. 2х a) urn------------ ; б) lirn------------ х-+о sin 3,5* *->.0 sin(— х) 76
  3. 3. 1. Найдите предел: / Зл a) lim (cos х cos 2х — sin л: sin 2л:); б) lim tg|3x + — ). х-*п п 4 J Вариант 2 Д С - 2 * 2. Вычислите: а) lim ‘l 2f ; б) lim JHL(£z^L х-*о 5х Х-+Л п — х Вариант 3 ДС-2* 1. Найдите предел: a) j;m s»n2х cos х + cos 2х sinх ш g, jjm 2tgs *-►0 2х ’ я 1— tg2х *"*6 2. Докажите, что функция у = у? + 2 cos х возрастает на про­ межутке [0; оо[. Вариант 4 Д С-2* 1. Найдите предел: a) lim - — 5 б) lim ■1~ tg * . *_>о cos.*sin 5х — cos 5 * sin * я 2 tg дс 2. Докажите, что функция у = cos х + 0,5л;2 убывает на про­ межутке ]—оо ; 0]. Вариант 5 ДС-2* 1. Найдите предел: X X cos2 — — sin2 —О О a) lim (sin 2л; •ctg 6л:); б) lim Х-+0 х-*п „ . X X 2 sin — cos — 8 8 2. Докажите, что функция у = л;2 + cos2х убывает на проме­ жутке ]—оо; 0]. 77
  4. 4. 1. Найдите предел: a) lim (sin 3* ctg 4х); б) lim 2cos* .. * - 0 я я Х-+—- Вариант 6 ДС-2* 2 2 2. Докажите, что функция у = 2 c o s * y + — возрастает на промежутке [0; оо[. Вариант 1 ДС-3 1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове­ дение функции f (х) = 2х + cos 2х на промежутке 0; т [ ' 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле­ бания у = 7 cos 3xj. Укажите амплитуду, период, частоту и начальную фазу этого колебания. Вариант 2 ДС-3 1. При помощи первой и второй производной исследуйте пове­ дение функции / (х) = sin 2х — 2х на промежутке 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического коле­ бания y = 3 c o s ( — — — Укажите амплитуду, период, частоту и 18 2 начальную фаз-у этого колебания. Вариант 3 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у = х3 — х2 + 2. 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф­ ференциальному уравнению У" = - 4 у , если известно, что амплитуда этого колебания равна 5, а начальная фаза равна 78
  5. 5. 1. Найдите точки перегиба функции у = х? + 2х2 — 4. , 2. Напишите гармоническое колебание, удовлетворяющее диф­ ференциальному уравнению У" = ~ 9 у , если известно, что амплитуда этого колебания равна 2,5, а началь­ ная фаза равна Вариант 4 ДС-3 Вариант 5 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у = х4 — х3 + 2х. 2. Найдите амплитуду гармонического ряющего дифференциальному уравнению у" что у (0) = 2 и у' (0) = 3. колебания, удовлетво- = —4у, если известно, Вариант 6 ДС-3 1. Найдите точки перегиба функции у — sin2х. 2. Найдите амплитуду гармонического ряющего дифференциальному уравнению колебания, удовлетво- У" = - 9 у , если известно, что у (0) = 2 и у' (0) = 8. Вариант 1 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний уг = cos х и уг — cos 79
  6. 6. Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 2 cos х и у2 = cos ^х + -л Вариант 2 ДС-4 Вариант 3 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух — 3 cos 2* и у2 = 4 cos 2х + y j. Вариант 4 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 4 cos Зх и у2 = 3 cos ^3* — Вариант 5 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний ух = 5 cos и у2= 12 cos Вариант 6 ДС-4 Запишите в виде гармонического колебания сумму гармониче­ ских колебаний 1 х /х . п у, = — cos— и у, = c o s ----- ух 2 3 ■У2 з з 80
  7. 7. Вариант 1 ДС-5 1. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) tg (-7 2 8 °); б) cos О 2. Упростите sin (л — a) cos + РI — sin (-у — а) cos (Зя + Р). Вариант 2 ДС-5 1,- Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) ctg 519°; б) siri — . 6 2. Упростите cos (я + a) sin fy - — p'j — cos ( у + оАsin (Зя — р). Вариант 3 ДС-5 1. Докажите тождество sin (а + я) cos (Зя — а) _ 1 Зя ‘ 2 J , , . я cos а sin |а + — I cos [— + а |— 1 2. Упростите — cos (4а + я) — 2 cos ^у- + 2а| sin (Зл + 2а) — cos2 -f y j . Вариант 4 ДС-5 1. Докажите тождество tg (я — a) Jl + ctg + aj ctg + 2a jj = tg a — ctg j^y — 2a j. 2. Вычислите 8 sin 110° cos 140° sin 30° sin 890°. 81
  8. 8. Вариант 5 ДС-5 1. Докажите тождество sin [2и — у j cos (Зи + л) = sin (2и — л) sin (л — 3и) — sin ^у 2. Упростите —os ^ - •ctg ( — — а')— cos (— + а ] sin (л — а). sin (я — а ) s 2 j 2 } Вариант 6 ДС-5 1. Докажите тождество cos [4/ 4- у j cos (I — л) — cos ( у + 3/j = sin ^ y — 4/j sin (t + л). 2. Упростите • » « (? + “ ) + si" ( y + “ ) (« + 2")- Вариант 1 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции g (х) = tg х на промежутке ]—л; л[. Ответьте на следующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых g (х) = 0; g (х) > 0; g (х) < < 0? 2. Каковы промежутки мо­ нотонности функции g? 3. На каком множестве из области определения функция g монотонна и принимает все свои значения? 4. Обратима ли функция g> Почему? 5. Из скольких «непрерывных кусков» состоит график? 82
  9. 9. Вариант 2 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции g (х) = ctg х на проме- ЗлГ жутке Ответьте на я 2 ' 2 следующие вопросы: 1. Каковы множества значе­ ний переменной х, для которых g (.к) = 0; g (х) > 0; g (х) < 0? 2. Каковы промежутки мо­ нотонности функции g? 3. На каком множестве из области определения функция g монотонна и принимает все свои значения? 4. Обратима ли функция g? Почему? 5. При каких х функция g принимает значение 1? Вариант 3 Д С-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = sin х на промежутке — — ; л . Ответьте на следую- 3 щие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых h (я) == 0; h (х) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет макси­ мум или минимум. 3. Каковы промежутки монотонности функции /г? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция Ю 83
  10. 10. Вариант 4 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = cos х на промежут- 2я 1 „ Ответьте на сле-ке - Т ;Л дующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для кото­ рых h (х) = 0; h (ж) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет максимум или минимум. 3. Каковы промежутки монотонности функции /г? 4. На каком множестве из области определения функция h мо­ нотонна и принимает все свои значения? 5. ОбраТтима ли функция Ю Вариант 5 Д С -6 ке Ответьте на сле- На рисунке дан график функ­ ции h (х) = sin 2х на промежут- я 4 дующие вопросы: 1. Каковы множества зна­ чений переменной х, для которых h {х) = 0; h {х) < 0; h (х) > 0? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет мак­ симум или минимум. 3. Каковы промежутки мо­ нотонности функции h? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция Л? Почему? 84
  11. 11. Вариант 6 ДС-6 На рисунке дан график функ­ ции h (х) = cos 2х на проме- У ] жутке n j. Ответьте на следующие вопросы: _ # / 1. Каковы множества значе- л ж З п / 4 2 4 / JT ний переменной х, для которых 0 h {х) = 0 ; h (х) < 0 ; h (х) > 0 ? 2. Укажите значения х, при которых функция h имеет мак­ симум или минимум. ‘ * 3 . Каковы промежутки монотонности функции h ? 4. На каком множестве из области определения функция h монотонна и принимает все свои значения? 5. Обратима ли функция /г? Почему? Вариант 1 ДС-7 1. Вычислите tg (arcsin ( — - i ] + arcsin 2. Решите уравнение sin x cos 2x + cos x sin 2x — y 0 . Вариант 2 ДС-7 1. Вычислите ctg (arcsin + arcsin (— 1)). 2. Решите уравнение 2 sin x sin — x'j = 1. Вариант 3 ДС-7 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют неравенству |sin t ^ 0,6. 2. Решите уравнение sin2х = 85
  12. 12. Вариант 4 ДС-7 1. Отметьте на единичной окружности множестео точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству |sin t 0,4. 2. Решите уравнение sin2х = 1 Вариант 5 ДС-7 1. Решите уравнение Jsin 2д:| = 1. 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству 1 < | sin / | < И . 2 2 Вариант 6 ДС-7 1. Решите уравнение Isin 3*1 = —. 2 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству — |sin f| < 1. 2 Вариант 1 Д С-8 1. Отметьте на графике функции у = tg х, * € , мно- л _ _л_ Т ’ 2 жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству — 1 < tg х < 2. 2. Решите уравнение tg / £ _ ^ = _ К з . ,2 3 3. Расположите в порядке возрастания числа cos 4; cos 8', cos 12. 86
  13. 13. Вариант 2 Д С - 8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Рп для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не­ равенству — 1 < cos t < —. 2 2. Решите уравнение 3. Расположите в порядке убывания числа tg 4; tg' 8; tg 12. Вариант 3 Д С -8 1. Отметьте на графике функции у = tg х, х € , мно- я _ п Т ’ Т жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству tg2 * > 1. 2. Решите уравнение cos” (2* + т ) “ {■ 3. Расположите в порядке возрастания числа tg 2; tg 4; tg 6; tg 8. Вариант 4 ДС-8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют не­ равенству I COS ^ I > — . ' 2 2. Решите уравнение tg * + tg 2х _ 1__ 1 — tg х ■tg 2х V 3 3. Расположите в порядке убывания числа cos 2; cos 4; cos 6; cos 8. 87
  14. 14. Вариант 5 ДС-8 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера­ венству cos2 1 ^ 1. 2. Решите уравнение 2 cos4х — 3 cos2х = — 1. 3. Определите знак числа (tg 4 - tg 3) • (tg 2 - tg 1) (tg 0 - tg (-1 ) ). Вариант 6 ДС-8 я . я Г ¥ ’ 2 [’ МНО-1. Отметьте на графике функции у — tg х, х £ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству tg2х ^ 3. 2. Решите уравнение 3 tg4* — 10 tg2х + 3 = 0. 3. Определите знак числа (cos 6 — cos 5) (cos 4 — cos 3) (cos 2 — cos 1). Вариант 1 ДС-9* 1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л; 0[, мно­ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству — 1 ctg х 2. 2. Определите знак выражения (ctg ( - 1 ) - ctg ( - 2 ) ) • (ctg ( - 3 ) - ctg ( -4 ) ). Вариант 2 ДС-9* 1. Отметьте на графике функции у = ctg лг, х 6 ]—л, 0[, мно­ жество точек, для которых значения функции удовлетворяют не­ равенству —2 < ctg х < 1. 2. Расположите в порядке возрастания числа ctg 4; ctg 8; ctg 12. 88
  15. 15. Вариант 3 ДС-9* 1. Расположите в порядке убывания числа arcctg 3; arcctg 7; arcctg 9; arcctg 11. 2. Решите уравнение c t g . ( 2 * - f ) - 3 . Вариант 4 ДС-9* 1. Расположите в порядке возрастания числа arcctg 4; arcctg 8; arcctg 12; arcctg 16. 2. Решите уравнение с‘Ф + 1 ) = т Вариант 5 ДС-9* 1. Решите уравнение ctg (Зх — — 4 1. 2. Определите знак числа (ctg 3 — ctg 4) (ctg 5 — ctg 6) (ctg 7 — ctg 8). Вариант 6 ДС-9* 1. Решите уравнение 3 ctg4х — 4 ctg2* + 1 = 0 . 2. Определите знак числа (arcctg 3 — arcctg 4) (arcctg 5 — arcctg 6). Вариант 1 ДС-10 1. Найдите sin а , если известно, что tg а = 3. 2. Найдите sin а и cos сс, если известно, что tg а = —2 и что а — угол II четверти.
  16. 16. 1. Найдите cos а, еслиизвестно, что ctg а = —2. 2. Найдите sin а и cos а , если известно,что ctg а = — и что а — угол III четверти. Вариант 3 ДС-10 1. Найдите cos (а + р), если известно, что 7 a 12 cos а -------, a cos р = —. 25 м 13 2. Решите уравнение V 1 + c t g 2 X = --------— . sin дг Вариант 4 ДС-10 12 1. Найдите sin (а — (3), если известно, что sin a = - , a io ft 24cos p = —. K 25 Вариант 2 ДС-10 2. Решите уравнение V 1 + tg2* cos * Вариант 5 ДС-10 12 1. Найдите cos (a — P), если известно, что sin a = — , a sin p = » * 1 3 3 5 2. Решите уравнение V i 1 = — COS X. + tg 2 X Вариант 6 ДС-10 5 1. Найдите sin (a + P), если известно, что sin a = -, а lo « 4 COS P = — . 5 2. Решите уравнение = sin x. I + ctg2X 90
  17. 17. 1. Найдите tg -2-и ctg у , если cos а = у и я < а < 2л. 2. Упростите выражение i + sin а Вариант 1 ДС-11 Вариант 2 ДС-11 1. Найдите tg — и ctg— , если sin а = — — 2 2 4 з и — л < а < 2л. 2 2. Упростите выражение 1/ 1— sin а V 2 • Вариант 3 ДС-11 1. Найдите предел lim l / 1 cos•*. V 2*а 2. Решите уравнение 1 — cos 2х — 2 sin х. Вариант 4 д с -11 1. Найдите предел lim 2 I*1 • / 2 *-►0 г 1— cos* 2. Решите уравнение 1 -f cos 4х — 2 cos 2х. • Вариант 5 ДС-11 1. Найдите предел Пт 1/ isin 3*| Ц. х-*0 г 1— COS3* 2. Решите уравнение 1 + sin 2х — 2 cos 91
  18. 18. Вариант 6 Д С -11 1. Найдите предел lim lz z £ 2i £ х-+а 2х ■sin х 2. Решите уравнение 1 — sin 4х — 2 sin ( * - т > Вариант 1 Д С -12 1. Упростите выражение (|~—■ ■—'J— 1. 2. Найдите sin a, tg a , ctg а, если cos — = — — и — £ [л; —я]. 2 13 2 2 Вариант 2 Д С -12 П + tg2 а 2 1. Упростите выражение 2tg а 2. Найдите cos a, tga, ctg а, если sin у = и а £ |я; я| Вариант 3 ДС-12 1+ tg21"Г* —а 1. Упростите выражение ~ -------— -tg 2a. — — a 4 2. Найдите sin 4a и cos 4a, если tg a = 2. 2tg ¥ v^"3 3. Решите уравнение ------------ = ------- g-. 1+ V - j 92
  19. 19. Вариант 4 ДС-12 2 t g ( y + « ) 1 — tg2 ( - ^ — « ) 1. Упростите выражение -— —. /я / л l + tg2 ^— + a j l + tg3 |^— — a j 2. Нарщите sin 4a и cos 4a, если ctg a = 3. 1— tg2~2 V 3" 3. Решите уравнение ------------ = l + tga| Вариант 5 ДС-12 1. Упростите выражение — ~ *c tg 2 [3 . l + 1 2. Найдите sin 3a и cos 3a, если tg 1,5a = 8. 3. Решите уравнение —2t g - = — —. 1 + tg2 x 2 Вариант 6 ДС-12 я ' 1 + t g 2 (P — 1. Упростите выражение ------ 1 — ctg2 (" T + P4 2. Найдите sin За и cos За, если tg 1,5 a = 5. 1 — tg2 x l 3. Решите уравнение 1 + tg2 * 2 Вариант 1 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения sin 105° sin 75°. 2. Упростите выражение 2 sin 5х sin Зх + 2 cos х cos 7х. 93
  20. 20. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 105° •cos 75°. 2. Упростите выражение 2 cos 2х cos 5х — 2 sin 6* sin 3*. Вариант 2 ДС-13* Вариант 5 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 10° • sin 20° • sin 40°. 2. Упростите выражение sin2а + cos + а j cos ^ — a j. 3. Решите уравнение sin x • sin 3* = К Вариант 4 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения cos 20° • cos 40° • cos 80°. 2. Упростите выражение sin ^ + a j •sin ^ a j -f sin3a. 3. Решите уравнение cos x • cos 3x = — 2 Вариант 3 ДС-13* 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения я 2я 4я cos — COS COS . 7 7 7 2. Упростите выражение cos|p 3. Решите уравнение . х Зле 1 . sin — cos — == sin x. 2 2 2 94
  21. 21. 1. Вычислите, не пользуясь таблицами, значение выражения о 2я 4я 8я 2cos — cos — cos —. 7 7 7 2. Упростите выражение cos — Yj cos ( у + ?) + cos2( y — yj. 3. Решите уравнение . Зх x l . л sin — cos— = — sm 2*. 2 2 2 Вариант 6 ДС-13* Вариант 1 ДС-14 Решите неравенство: _ 1. sin 3* cos х — cos Зх sin х > — t-L . 2. ctg x < V 3. Вариант 2 ДС-14 Решите неравенство: 1. cos 1,5* • cos * + sin 1,5* • sin * ^ —]I j L 2. ctg x > — y = . Вариант 3 ДС-14 Решите неравенство: 1. sin (2* -j- j 2. |tg*| < 1. 1. sin (2* -j- cos Щ + cos (2x + y j sin у < 1. Вариант 4 ДС-14 Решите неравенство: . / п . 2я Зя • /о р 2я . Зя . , 1. cos 2* А Icos sin 2* sm — < 1. 7 ) 14 7 / 1 4 2. |tg*|> 1. 95
  22. 22. Решите неравенство: t g ( * + y ) + tg 2л: , j 1. — < 7г^. 2. sin2x - > —. п У 6 А 1 — tg 2л • tg ( л + — J Вариант 5 ДС-14 Вариант 6 ДС-14 Решите неравенство: tg Зх — tg (х —у ) 1. 1 71 >уз. 1+ tg Зл •tg — у j 2. cos2* <; у . Вариант 1 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2z — 5 sin z + 1 = 0 . 2. tg2* + 3 ctg2* = 4. Вариант 2 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos22 + 5 sin 2 + 1 = 0. 2. 3 tg2л: + ctg2* = 4. Вариант 3 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2 + - y j — 3 sin^y----- + 1= 0. 2. sin 2х + cos * = 0. Вариант 4 ДС-15 Решите уравнение: 1. 1 — cos (л — х) — sin ^-у + у |=0. 2.5 sin Зх — 2 cos 3 *= 0 . 96
  23. 23. Вариант 5 ДС-15 Решите уравнение: 1. 3 sin 2л: + 7 cos 2х — 0. 2. cos 2х — sin х — 0. Вариант 6 ДС-15 Решите уравнение: 1. 2 cos2[х + + 3 sin ( ~ — x j + 1 = 0. 2. sin 2х — sin Зх = 0. Вариант 1 Д С -16 Докажите тождество: 1 1+ *g ft _ 1+ sin 23 1— tg р cos 2Р) 2. 4 cos (а 4- •cos Iа 4- — ) •cos а = — cos За. I з/ I 3 ) Вариант 2 Д С -18 Докажите тождество: . 1 — tg р 1 — sin 2(5 1 + tg cos 2р 2. 4 sin fa + y j • sin а • sin fa + ^ = sin 3a. Вариант 3 Д С -16 Докажите тождество: 1. У 1 + sin a — у 1 — sin а = 2 sin у , если 0 < a < _ tg 2 a j_ tg a _ s i n 2 « . tg 2 a — tg a 4 Заказ 48 97
  24. 24. Вариант 4 ДС-16 Докажите тождество: 1. V l -f- cos а + У 1 — cos а = 2 cos ^ y -j, если 0< а < ~ . 2. 1 + cos а + cos 2а = 4 cos а •cos ( — + — ) •-cos — 6 2 I [ 6 2 о i л i n tg 4 а •tg 2 а 2. tg 4а — tg 2а = —--------— . sin 4 а Вариант 5 ДС-16 Докажите тождество: 1 sin 2? . а ^ ^ я 1. Л =— .......— — - = sin у, если 0< v < — . У + sin 2у + У 1 — sin 2у 4 Вариант 6 ДС-16 Докажите тождество: 1. j/ 4g * + sin * + У ig х — sinx = 2 У tgxcos jy ---- если 0 < x < — . 2 2. tg 2f3 - 2 tg p = tg2 p tg 2p. Вариант 1 ДС-17 1. Докажите, что функция Н есть первообразная дляфункции/г на промежутке /, если: а) Н (х) = tg2(1 - 2 х ) - 1; h (х) = ■4sl; 1 = ]0; 1[; cos3 (2х — 1) б) Н (х) = X2— h (X) = - + 2х- / = ] 0; со [. х ' х2 2. Для функции / (х) = — — найдите первообразную, график sin2* которой проходит через точку (—■; 0j. 98
  25. 25. 1. Докажите, что функция Я есть первообразная для функции h на промежутке /, если: а) Н(х) = ctg2(1 + 2х) + 2; h(x) = 4cos-^ -± i L ; /= ]0; 1[; — sin* lx -f- 1) б) Я (х) ^ ~ + у + 2; h (х) = ха — / = ] — оо; 0 [. 2. Для функции — — найдите первообразную, график которой cos2* Вариант 2 ДС-17 проходит через точку 0j. Вариант 3 ДС-17 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке /, если: а) F <*) = * > °J. 0; / М - 2 М ; / = ] - ■ » ; оо[; б) F (х) = 2 — sin2л: + cos2х f (х) = —2 sin 2х I = ]0; 2[. 2. Одна из первообразных функции — — проходит через точ- COS X ку o'), а вторая — через точку (— ; lV График какой из них 6 ) 3 / расположен выше? Какова разность этих первообразных? Вариант 4 ДС-17 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке /, если: а) F И = { ^ прпяря/ > 0? ; / W = - 2 W; / = ] - » ; ~ [ ; б) F (х) = 6 sin — cos — — 5; f (х) = 1,5 cos —; I = ]— 1; 1[. 4 4 2 2. Одна из первообразных ф ункции 5— проходит через sin2 X точку !■— у ; -М , а вторая — через точку ^— -j; — y j. График ка­ кой из них расположен выше? Какова разность этих первообразных? 4* 99
  26. 26. Вариант 5 ДС-17 1. Найдите первообразные для функции /: а) f = y j z r f : б) f W = C°s2*’ 2. График одной из первообразных функции у = *2 — 3* + 2 проходит через точку (— 1; 2), график другой — через точку (0; 4). Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво­ образных? Вариант 6 ДС-17 1. Найдите первообразные для функции /: а) /(х) = ----/1*------ ; б) /(*) = sin2*. ’ ' w 2К *3+ 1 2. График одной из первообразных функции у = Зх2— * + 5 проходит через точку (0; 2), график второй — через точку (1; 4). Какой из графиков расположен выше? Какова разность этих перво­ образных? Вариант 1 Д С -18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = sin2 (2 — 3*). 2. f (х) = cos (2х — 1) — К б * + 3 н ] 0 ; о о [. Вариант 2 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = cos2 (3 + 2х). 2. / (х) = sin (0,5* — j-'j — j / 3 + ±.х. Вариант 3 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. / (*) = у7(* — I)2 на промежутке ]—оо; 1[. 2. /(*) = * sin * + Y 2 x — 1. 100
  27. 27. Вариант 4 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 3 1. f (х) = у (х — I)4 на промежутке ] —оо; 1[. 2. / (х) = х cos х — У 1 + 2х. Вариант 5 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. f(x) = -------— гг---------- 3 sin (4 — Зх) + 1. COS2(X— 1) 2. / (х) — У х2 на промежутке ] — оо; оо[. Вариант 6 ДС-18 Найдите первообразные для следующих функций: 1. /(*) - . 2. , + 3 cos (3 Ах) 1. sin2(х + 1) 2. / (х) = |х|-1-1 на промежутке ]—оо; оо[. Вариант 1 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = (х + I)2, х = —3, у = 0. 10 2. Найдите sin 2х dx. -10 Вариант 2 ДС-19 1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = —х~ + 4х; у = 0. Л 18 2. Найдите J (cos х cos 2х — sin х ■ sin 2х) dx. 0 Вариант 3 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав ' исунок): у = — (х3 — 5х + 4) и у = 0. 2. Найдите Г хdx. —2 101
  28. 28. Вариант 4 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у — х + 1 и у = 4 + 3* — х2. Л 6 2. Найдите ( |sin х |dx. п —т Вариант 5 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = 4 ; х = 1, у = х — 1. JT п 2. Найдите lim 1 л—►со J я2 1 Вариант 6 ДС-19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок): у = 2 cos х (— -у ^ х -y j; у = 1. 2. Найдите lim 1 -^=. n-ooj К * п Вариант 1 ДС-20* Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, запоЛ' няется водой до высоты 4 м. Определите затраченную при этом ра боту, если стороны основания равны 2 м и 3 м. (Вода подается чере: отверстие в дне с плоскости основания бака.) Вариант 2 Д С -20 Определите кинетическую энергию однородного диска, массо! 2 кг, вращающегося равномерно вокруг центра с угловой скоростьн 2 рад/сек. Радиус диска равен 0,5 м. 102
  29. 29. Вариант 3 ДС-20* Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а — 10 м, верхнее b — 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего ос­ нования с = 10 м. Вариант 4 ДС-20* Определите давление воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а — 4 м, верхнее осно­ вание b — 8 м и высота h = 6 м, если уровень погружения нижнего основания с = 12 м. Вариант 5 ДС-20* Определите кинетическую энергию однородного цилиндра, ка­ тящегося без проскальзывания по плоскости со скоростью 1 м/сек. Радиус цилиндра равен R м, масса цилиндра m кг. Вариант 6 ДС-20* Аквариум, имеющий форму полушара радиуса г, заполнен во­ дой. Определите силу давления воды на «стенки» аквариума. Вариант 1 ДС -21* Вычислите: Я 1 3 1. j ( 1 + ■§■']****• 2- j (с032 + y j ~ sin2 + y j ) dx. ~ I _Я 6 Вариант 2 Д С-21* Вычислите: Зя 0 j I 1).. 2. i 12s i n jiAcosf— — xdx., ^ —I 103
  30. 30. Вариант 3 ДС-21* Вычислите: 1,5 1. j ( l — 2х)1dx. i Я 24 2. j (cos2 ^2х — у ) — Sl’n2(Эх — y j j dx. Я 12 Вариант 4 Д С-21* Вычислите: 1 3 1. j1(Зх + I)8dx. 0 1,2Я 2. j 4,2 dn ( f - - J ) cos ( f 1.6Я Вариант 5 ДС -21* Вычислите: —2 4 ' 2- j ( sin( f + i ) + c o s ( f + r 2 ) ) v - i - i12 Вариант 6 ДС-21* Вычислите: —4 1. j У (4 — Зх)3dx. 0 л 2 2. | cos4^ x— ~ j dx. Я 3 Вариант 1 ДС-22 1. Решите уравнение 3 . 2V+1— 6 • 2*-1 = 12. 1 2 2. Решите неравенство 2 5 ^ + * < 1 2 5 —® 104
  31. 31. Вариант 2 ДС-22 1. Решите уравнение 0,53 2Х+ 3 •0,25й х = 14. 2. Решите неравенство 2 4^ < $УХ+ Ч Вариант 3 ДС-22 1. Решите уравнение Ш ' + ( Г = 1 2. Решите неравенство ( i r > F T Вариант 4 ДС-22 1. Решите уравнение 4У й « = (1 ) ' 2. Решите неравенство ( Т ~ ' >2 1 2 V2 Вариант 5 ДС-22 1. Решите уравнение 2 . + 6 •9°>ех-а = 56. х«+.2*т-15 7 ,3 > 1 .2. Решите неравенство Вариант 6 ДС-22 1. Решите уравнение 4 ' 2. Решите неравенство ,р л х - 1 _ 2 7 ^ = 33, 2^ -4 > 4*. Вариант 1 ДС-23 1. Найдите уравнение горизонтальной касательной функции у = ех + е~х. /1 в*-4 2. Найдите производную функции у = {— к графику 3. Найдите первообразную функции f(x) — 22х * + (1 г 105
  32. 32. 1. Найдите угол между касательной к графику функции у = е~~х в точке с абсциссой х = 0 и осью Ох. Напишите уравнение этой касательной. 2. Найдите производную функции у — З3*-4 + с~х 3. Найдите первообразную функции f (х) = 0,92г—°-9. Вариант 2 ДС-23 Вариант 3 ДС-23 1. Найдите промежутки монотонности функции у = х'ге'~х. з 2. Вычислите j ^22Л'~1 + ( у ) ) dx. 2 / 1г-х 3. Изобразите схематически график функции у = — I . ' 4 ' Вариант 4 ДС- ?3 1. Найдите промежутки монотонности функции у = х ■2х 1. 2 2. Вычислите J jV -* + ( y j j dx. о 3. Изобразите схематически график функции у = 32~х. Вариант 5 ДС-23 1. Найдите экстремумы функции / (х) = х • 2. Найдите первообразную функции h (х) = 21~°'ix, график ко­ торой проходит через точку (2,5; 1). 6 3. Вычислите j (х — 3) exZ~lxdx. _______________ о________________________________________ Вариант 6 ДС-23 ( I х2 X — I 2. Найдите первообразную функции h (х) = 0,51—Зг, график ко­ торой проходит через точку (— 1; 1). Я_ 2 3. Вычислите j sinx ecosх dx. 106
  33. 33. х + 2 1. Решите неравенство — — г^О. 2. Постройте график функции у = elnros*. Вариант 1 ДС-24 Вариант 2 ДС-24 ]. Решите уравнение In (—* — 2. Постройте график функции 1) = 0,5 In (1 — 1,5х). у = 31ое> * Вариант 3 ДС-24 1. Решите уравнение log^+j (х — 0,5) = logx_0,5(х + 1). 2. Решите неравенство log^ х + log2хг < — 1. Вариант 4 ДС-24 1. Решите уравнение 0,5 In (8 — х) = In (1 + ] / х + 5). 2. Решите неравенство logjj х 4* log4 > ] д Вариант 5 ДС-24 , „ 1п(10дг — л:2 — 7) 0 1. Решите уравнение ------------- — ----- = In (* + 1) 2. Постройте график функции у = ю '8(1Х+1|_2). Вариант 6 ДС-24 1. Решите уравнение log4 (61 — log2 (2х — 1)) = 3. 2. Постройте график функции у = е п (лг2~4х+3 Вариант 1 ДС-25 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­ ции h (jc)=ln (— 1— 2х) + log2 (1 — ле) в точке с абсциссой х = — 1. — 2 2. Для функции у —------- найдите первообразную, график ко- х — 2 торой проходит через точку (3; 2). 3. Изобразите схематически график функции у = In х — 11. 107
  34. 34. 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ­ ции h (х) = lg (3 — 2х) + logi х в точке с абсциссой х = —. 2~ 2 з 2. Для функции у = ------ найдите первообразную, график ко- х 2 торой проходит через точку (— 1; 1). 3. Изобразите схематически график функции у = |In ( х — 1)|. Вариант 2 ДС-25 Вариант 3 ДС-25 1. Найдите экстремумы функции у = хг In х. 2 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линия?*! у = —; X х + у = 3. — 8 3. Вычислите Г — —— J |*| in4 9 Вариант 4 ДС-25 1. Найдите экстремумы функции у — In2х — In х. 4 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = —; * х + у = 5. —27 3. Вычислите Г — —— ■. J |* 1in 9 Вариант 5 ДС-25 з 1. Найдите промежутки монотонности функции у — — In2х — — In3 3 Г 2х 2. Вычислите dx. J *2+ 1 о 1 2 3. Решите уравнение------------- 1---------------- = 1. п Ig * + 3 3 - l g * 108
  35. 35. 1. Н + lg3л:. Вариант 6 ДС-25 з 1. Найдите промежутки монотонности функции у = — lg2х 4* з 2. Вычислите J д с * - 1 3. Решите уравнение log2У х — 4 + log2 у 2 х — 1 = log23. Вариант 1 ДС-26* Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а + Ь) = = ехр а • ехр Ь. Вариант 2 ДС-26* Докажите, пользуясь свойствами функции In, что ехр (а — Ь) =* _ ехр а ехр b Вариант 3 Д С-26* Докажите, что для п Z N In п < 1 + — 4- ... + 1 2 и— 1 Вариант 4 Д С-26* Докажите, что для п 6 N 1 п п > 7 + ¥ + - - ' + 7 ‘ Вариант 5 Д С-26* Найдите область определения функции х‘+2х f(x) = f j d t . Вычислите производную /. 109
  36. 36. Вариант 6 ДС-26* Найдите область определения функции 2х—х‘г f(x) = J j d t . Вычислите производную функции /. Вариант 1 ДС-27 1. Найдите первообразную функции f (х) = (1 - 2х)-°*7. 2. Решите уравнение V 1 4- V + х = х. Вариант 2 ДС-27 1. Найдите первообразную функции / (х) = (1 - 2. Решите уравнение 2 — У 2 + х = х. Вариант 3 ДС-27 1. Найдите промежутки монотонности функции YT у = (х — 1) X 2. Решите уравнение У 2х + 3 + У х — 2 = 2 У х + 1. Вариант 4 ДС-27 1. Найдите промежутки монотонности функции у = (2 4- X) х УЯ. 2. Решите уравнение У 2х — 1 = 2 У х — 1 — У х — 4. Вариант 5 ДС-27 1. Найдите производную функции у = (У х )х. 2. Решите уравнение У х 2 + 6х + 9 + У х2— 4х + 4 = 5. 110
  37. 37. Вариант 6 ДС-27 1. Найдите производную функции у = X2*. 2. Решите уравнение У~ 1 — х = 1 — У х . Вариант 1 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений ( х + Зу — 4z = —21 —2х + Зу + 2z = —6 1 З х + З у — 8z = —31. Вариант 2 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений 1 х — у — Зг =11 | Зх + 2у + 4z = 18 (—4х + Зу — z — —5. Вариант 3 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений 1 х — у + z — и =■ 2 х + 2у — 2z — и — 5 —Зх + 2у + 5z + и — —3 2х — z — и — 4. Вариант 4 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений х + у — z + и = —7 — х + у + 3z — 4и = 9 2х — Зу + Зг — 8и — 16 х — 2у + z — и — 12. Вариант 5 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений л: — 2у + 2г — Зи — 4 Зх + 2у — Юг + 11м = 0 —2х + у + 5г = 7 у + г + 4и = 9. i l l
  38. 38. Вариант 6 ДС-28 Решите методом Гаусса систему уравнений •х + у + 4z — и = О —Зх — 2у 3z 2и — 28 —х + 7у — z — 2w = 11 Зх — 6у — 6г + = 5. Вариант 1 Решите систему уравнений (р — параметр) 12х — Зу = р2 4х — 6у = 8р. ДС-29 Вариант 2 Решите систему уравнений (р — параметр) l3x + 6у = —р + 1 2х + Р2У = 2. ДС-29 Вариант 3 Решите систему уравнений (m — параметр) j (пг — 1) л: + у = m + 1 2х + ту = 6. ДС-29 Вариант 4 Решите систему уравнений (ш — параметр) ((пг — 1) х + 2 ту = — 2 2тх + (т — 1) у = т — 1. ДС-29 Вариант 5 ДС-29 Какому условию должны удовлетворять числа b и с, ма (х + у + Z = 1 х + by + г = 1 1х + у + CZ — 1 имела решение и притом только одно? чтобы систе- 112
  39. 39. Вариант 6 ДС-29 Найдите, при каких значениях р решение системы (х + ру = 3 рх + 4у = 6 существует и удовлетворяет неравенствам х > 1, у > 0. Вариант 1 ДС-30 Решите систему уравнений (5-г • 2у = 3200 j 10? / - (У — *) = 2. Вариант 2 д с -з о Решите систему уравнений (Ъх ■ 2у = 3 - 32 log (х — у) = 9. V r Вариант 3 ДС-30 Решите систему уравнений ((х + у) (х2 — у2) = 9 { logs (х — У) + logs (*2 + У2) = 1- Вариант 4 ДС-30 Решите систему уравнений /lg (х2 + 1) + lg (у2 + 1) = 1 [(•* + у) (ху — 1) = з. Вариант 5 ДС-30 Решите систему уравнений ( х2 = 1 + 6 log4у ( у2 = у • 2х + 22х+1. из
  40. 40. Вариант 6 ДС-30 Решите систему уравнений ^ «-lSy+бв _ } [ у _ х = 5. Вариант 1 Д С-31* Решите систему уравнений I . „ . . „ 1 4 я X — у = — . 6 Вариант 2 ДС-31* Решите систему уравнений (cos2х + cos2у = — | Ея 4 1 = Вариант 3 Д С-31* Решите систему уравнений [tg X ■ tg у = 3 1 , 2л 1* + У - 7 - Вариант 4 ДС-31* Решите систему уравнений [tg х + tg у = 1 < л Вариант 5 Д С-31* Решите систему уравнений /sin х — cosec х + sin у (cos х = sec х -f cos у. 114
  41. 41. Найдите решения системы уравнений /sin х — sin 2у {cos х = sin у, удовлетворяющие условиям О ^ у ^ я . Вариант 1 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а + b : с; б) а — b — с, где а да 12,839; b да 1,442; с да 1,2. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х + у, где х = 8,58 ± 0,1; у = 11,76 ± 0,2; б) х ■ у, где х = 3,5 ± 0,05; у — 1,2 ± 0,1. Вариант 2 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а — Ьс б) а — b + с, где а да 42,991; b « 20,9; с « 0,3. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х 4- у, где х = 7,32 ± 0,05; у = 23,1 ± 0,1; б) х : у, где х = 43,6 ± 0,2; у = 2,3 ± 0,1. Вариант 3 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b + 2ab — с; б) (а — Ь)2, где а як 7,45; Ь « 1,5; с ж да 0,1397. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи­ те границу погрешности и границу относительной погрешности полученного результата: а) х + у — ху, где х = 9,9 ± 0,1; у = 0,0022978 ± 10~в; б) х8 -f 2ху + у2 — Зх, где х = 7,8 ± 0,2; у = 11,2 ± 0,1. Вариант 6 ДС-31* 115
  42. 42. Вариант 4 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b — 2Ьс + с; б) (а + Ь)2, где а да 3,65; b да 2,5; сда0,092. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, ука­ жите границу погрешности и границу относительной погрешности полученного результата: а) х — у + ху, где х = 7,7 ± 0,1; у = 0,0034995 ± 10~6; б) х2 — 2л:у + у2 — Зу, где х = 5,7 ± 0,1; у = 1,7 ± 0,2. Вариант 5 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: a) ab + ас — Ь б) (а + с)2, где а да 8,32; b да 0,367; с да 1,633. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажи­ те границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х + у + ху, где х = 6,8 ± 0,1; у = 0,0032997 + 10~7; б) х* + Зху2 + 3х2у + у3, где х = 8,9 + 0,3; у = 11,1 ± 0,1. Вариант 6 ДС-32 1. Вычислите, используя правила подсчета верных цифр: а) а : b — с : b + а; б) (а + b)3, где а да 7,6; с да 0,0139; b да да 1,4. 2. Выполните действия с точным учетом погрешностей, укажите границу погрешности и границу относительной погрешности полу­ ченного результата: а) х — у — ху, где х = 5,3 ± 0,2; у = 0,0041997 ± 10~6; б) у? + Ъху2 — Зх2у — у3, где х = 12,9 ± 0,2; у = 6,9 ± 0,1. Вариант 1 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) 0,75 ■ 0,391 • 5,411; б) в) 3 2 ,32 2. С помощью логарифмической линейки Найдите неизвестный х 4 5 ,9 член пропорции == г - ~ - . ^ к 79,8 0,0327 116
  43. 43. Вариант 2 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) 34,5 • 732 • 0,0063; б) ]/ 4 ^ 3 ^ в) 2. С помощью логарифмической линейки найдите неизвестный 358 х член пропорции ~ = — . Вариант 3 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) / 8|’^22|'?7; б) 3,442•14,52; в) ^ 3 5 ^ - 37,8. 2. Длины сторон треугольника равны 7,8 дм, 5,4 дм, 3,85 дм. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли­ на меньшей его стороны равна 24 м. Вариант 4 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) * б) 5,282 • 21,32; в) ^ 2 2 ^ - 42,8. 2. Длины сторон треугольника равны 12,7 см, 10,2 см, 5,6 см. Найдите длины сторон треугольника, подобного данному, если дли­ на большей его стороны равна 42,1 дм. Вариант 5 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: а) ; б) 42,52 •4,232; в) ^ 3 2 Д ^ 21,8. 2. При помощи логарифмической линейки найдите массу ци­ линдра, высота которого равна 32,4 см, радиус основания — 4,53 см, если плотность материала бруска равна 4,79 г/см3. Вариант 6 ДС-33 1. Выполните действия при помощи логарифмической линейки: г) •Г-° з ‘ 45892’7 : . б> 4>2уз ’ 5’383; в) ^ 5 Ж 2’ - ° .325- 2. При помощи логарифмической линейки найдите радиус осно­ вания цилиндра, если его объем равен 2,45 дм3, а высота — 23,8 см. 117
  44. 44. Вариант 1 ДС-34 I 1. Упростите ( 2а 2 -1а : 2а 2 + Ь -----------— = , 2 У а — Ь) Ь - 2 У а )' 2. Решите уравнение ———— = —( — — + — Ь 2у (у — I)2 2 — у 1 + у 1 Вариант 2 ДС-34 1. Упростите |0Т + 2 6 « ■ _ ) . ( 0Т _ « I 2b f a ) - J H — 2b j „ „ 1 , 1 2у 3 2. Решите уравнение ; + — ~ 1+ у -У 2 (1+.V)2 Вариант 3 ДС-34 ( Л , Г + 1 ( Л _ , ) + ( > _ , У 1. Упростите — ( V * — у )2 + у /* 2 — У2 ( ^ * + у) 2 2. При каких значениях переменной а равны соответственные значения суммы дробей и — и их произведения? а — 7 а + 3 Вариант 4 ДС-34 / 1 г 1. Упростите -------------- у2 у X6 х л — ~ — + У2 _ У 2. При каких значениях переменной а равны соответственные , „ з а — ю 0 значения разности дробей — — и и их произведения? а — 12 а — 9 118
  45. 45. - L i - _L -1 , , т а 3 с2 — 36 2 . ■ 3 a J -f b 2 ca 1. Упростите — -f Вариант 5 ДС-34 (Сг + З)а3 + V b ) ( ^ _ 3)U 3 + V b) 1 i 2 2. Решите уравнение —— - ~г у2 _ j уа+ 2 Вариант 6 ДС-34 L JL J_— А 4 I А 2 4 2 Л1 , . , 4а + ос , а с — 40 1. Упростите ' (.4 с 2 ) (у" а — ь) {4— с 2 ) ( У а — b) 1 2 1 2. Решите уравнение -— — = —— - + 2— у2 )4— 1 >2 Вариант 1 ДС-35 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 0,6; 0,8; 1. Радиус описанной около треугольника окружности равен 14 см. Определите периметр и площадь этого треугольника. 2. Решите систему неравенств /21,7* — 4,5 < 4,7 х + 7,4 { 3,2л: — 1 > 2* — 13. Вариант 2 ДС-35 , _ - 5 12 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 1; —; — . Радиус описанной около треугольника окружности равен 26 см. Определите периметр и площадь этого треугольника. 2. Решите систему неравенств х2 + Зх + 3 > 1 — 2х + х2 0 ,2 х — 0 ,4 > — 0 ,1 * — 0 ,1 . 119
  46. 46. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5. Определите периметр и площадь этого треугольника, если наимень­ шая его сторона равна 12 см. 2. Решите систему неравенств 2 (х — 2) (10* — 1) — 2(k 2 > 2х + 1 , Зх — 0,2 < 2х — 0,3. Вариант 4 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 7; 24; 25. Определите периметр и площадь этого треугольника, если наибольшая его сторона равна 15 м. 2. Решите систему неравенств 0,8л; — 2 (0,3л: + 0,7) < 0,4л: + 2 0,3 (1 — 2х) + 0,6л: > х + 4,7. Вариант 5 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 5; 12; 13. Определите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 6,5 см. 2. Решите систему неравенств ' х2 + х + 1 ^ — 1 — 4х — х2 1*1 < 6. Вариант 6 ДС-35 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 12; 35; 37. Определите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 19,5 см. 2. Решите систему неравенств *3 + х + 1 > —2 — 9х — 2х2 |х| < 4. Вариант 3 ДС-35 Вариант 1 ДС-36 1. Для функции у = Зх2 + 12х + 12 укажите множество зна­ чений переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зх2— — 4х — 3 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа 1^8 — 3 и ]/8~+3. 120
  47. 47. 1. Для функции у = 37* — 6л;2— 6 укажите множество значе­ ний переменной х, для которых у ^ 0; у ^ 0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 5х2 + + Зх — 5 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа У 5 — 2 и ]/5 + 2. Вариант 2 ДС-36 Вариант 3 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен 2л^ + Зх2 — 5 на множители. 2. При каких значениях параметра а {а ф 0) оба корня квадрат­ ного трехчлена а2х2 + ах — 2 по модулю больше единицы. 3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 + х — 1 = 0 . Вариант 4 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен Зх* + 2х2 — 5 на множители. 2. При каких значениях параметра а (а ф 0) оба корня квадрат­ ного трехчлена а2х2 — ах — 6 по модулю больше или равны еди­ нице. 3. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 — х — 1 = 0 . Вариант 5 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен Зл:4— Юл:2 + 3 на множители. 2. При каких значениях параметра b (Ь Ф 0) оба корня квадрат­ ного уравнения 2Ь2х2 — Ьх — 1 = 0 по модулю меньше единицы. 3. Найдите сумму четвертых степеней корней квадратного урав­ нения х2 + х — 1 = 0. Вариант 6 ДС-36 1. Разложите (если это возможно) многочлен 2xi + 5х2 + 2 на множители. 2. При каких значениях параметра Ь (Ь ф 0) оба корня квадрат­ ного уравнения 2Ь2хг — Ьх — 3 = 0 по модулю не превосходят еди­ ницы. 3. Можно ли найти сумму четвертых степеней корней квадрат­ ного уравнения х2 — х + 2 = 0? 121
  48. 48. 1. Найдите пределы: ч 3 — 5п п‘— 2я + 1 m V п2 + Зп — 2 a) lim ------------ -------------- г— ; б) lim -------— —--------. ri~*со 4 -f- 2 ,5 я 1 — п п-юэ 1 4~3п „ _ 6 —2я - 2. Докажите, что последовательность vn= — является убы- 10л — 1 вающей. Вариант 1 ДС-37 Вариант 2 ДС-37 1. Найдите пределы: . . . 3 — 4 п 2л2 — п + З «гч 1 • 2 ] ^ п 2 + 7п — 5 a lim ------------ ■ ------------ 1— ; б) lim — ------------------ п-есо 4 + 1 ,Ел 3 — 2л2 п~оо Зп — 2 - _т 9л — 1 2. Докажите, что последовательность vn= является воз- 15л + 2 растающей. Вариант 3 ДС-37 1. Найдите пределы: 5 + 2л + и2 4 — я3+ л7 ,. з у „4 + „з _ „ а) п т — г : — — • — — Г Т Т Т ; б) lim Я-*00 1.5Л3 — 2 1 -J- пЗ О- fi»7> / 2. Является ли моното: Проведите доказательство. 1,5л* — 2 1 + л З + 6я7’ ^ 0 0 1 — л — 2л2 п ) 2. Является ли монотонной последовательность Ьп= ( !■ + —')? Вариант 4 ДС-37 1. Найдите пределы: . 3 — 2л + л2 4 — л4 -j- 5л8 ,. 2 V 1 — Пт + «4 a) lim ---------—— • --------—— ; б) lim — . п-+оо 6л2 + 1 л8 — 2л + 3 П-+ОЭ 2л — 1 + Зл2 2. Является ли монотонной последовательность en = (l + —У* ? л Проведите доказательство. 122
  49. 49. 1. Найдите пределы: ч I- 2 — З я + 0 ,7 я 2 5я — я5 Л |. 2 У 2п4 — я3 + 7я a) lim --------------- !-------• —-------—; б) lim — --------. оо 1 ,2я2 — 3 0 ,7 я 8 +. 2 п-оо 1 — Зп — 2п2 з,--------- 2. Является ли монотонной последовательность хп = у п + 1 — — у п . Проведите доказательство. Вариант 5 ДС-37 Вариант 6 ДС-37 1. Найдите пределы: . 2 — Зя + я3 4 — 2п4+ 3 я 9 2 ^ 3 — 2я + 3я4 а) ]+т — 1----- • --------- —— ; б) п т «-♦-оо 2п3 + 2 я9— 2я + 0 ,7 п-у со 1 — п + Зя2 2. Является ли монотонной последовательность у — у^п? Проведите доказательство. Вариант 1 ДС-38 Докажите методом математической индукции, что при любом п £ N число 5" + 2 - 2п делится на 3. Вариант 2 ДС-38 Докажите методом математической индукции, что при любом п d N число 1п + 4 • 2" делится на 5. Вариант 3 ДС-38 Последовательность задана рекуррентно: — 2; а2 = 3; ап = = 3an_x — 2an_i при п > 2. Докажите, что п-й член этой после­ довательности может быть вычислен по формуле ап = 2я-1 + 1. Вариант 4 ДС-38 Докажите, что при любом натуральном п > 1 верно неравенство я + ! я + 2 2я 24 123
  50. 50. Докажите, что при любом натуральном п справедливо равенство ( д + 1 ) ( я + 2 ) . . . ( 2 я - 1 ) 2 я 1 •3 •5 • . . . • (2л — 1) Вариант 6 ДС-38 Последовательность задана рекуррентно: ах = 1; ап+1 = ап + -f 8п, для любого п с N. Докажите, что п-й член последователь­ ности можно вычислить по формуле ап = (2п — I)2. Вариант 5 ДС-38 Вариант 1 ДС-39 1. Сколькими способами пионерский отряд из 25 человек может выбрать 5 пионеров: председателя совета отряда, его заместителя и 3 звеньевых? 2. Вычислите: /-*42 г <43 гЛ I ^ 3 I _ L Г® ^6 4 65. 10 *| 10 • 10 "Т* '-'Ю I 10ч Ь4 Ьо. (£ а) — — б) С 2(С °+ С 2+ С* + С®) Вариант 2 ДС-39 1. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать судью и 6 участников волейбольного матча? 2. Вычислите: 3Cgg _ 3 ( С° + Cj + с ) + Су) /-*45 ^ 4 4 * /->1 | р З г | /о7 | /-.9 ° 7 0 — °6Э 9 ~ г ^ 9 * 9 9 • 9 Вариант 3 ДС-39 1. Сколько существует семизначных нечетных чисел, составлен­ ных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встре­ чается один раз? 2. Упростите: a) C l + 2С 1Г*-1+ d + 2; б) С°2п + С*п+ '' ‘ + ^ Clk + C l + Cl + 124
  51. 51. 1. Сколько существует семизначных чисел, не кратных пяти, составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, если каждая цифра в записи числа встречается один раз? Вариант 4 ДС-39 2. Упростите: а) Ср~: + 2Cp~k+l + С* ; б) с° + с1п+ с2п+ ... + С” pi I рЗ | 1p2k—1 L 2fe Т Т • • • "Г ^ 2k Вариант 5 ДС-39 1. Группу из 16 человек нужно разделить на 3 бригады: из 4, 5 и 7 человек. Сколькими способами это может быть сделано? 2. Упростите: С^+ 2СГт-' + С Г2 g C2m+ CL + С2т + •■• С+1+ 2с г т- 2+ С+3 ’ с‘„+ с33„+ сп+ ... ' Вариант 6 ДС-39 1. Группу из 18 человек нужно разбить на 3 бригады: из 4, 6 и 8 человек. Сколькими способами это может быть сделано? 2. Упростите: cg + 2 c * - p - 4 c g +2 _ С*, + 4 + 4 + --- c r 1+ 2c£ -'’ + cg+1 ’ с°р+ с2р + $ + . . . ' Вариант 1 ДС-49 1. Найдите член разложения, содержащий х в степени — 1: ( У ^ + х) 2. Вычислите 2С + 2z q + 2«С? + 24С4 + 25С* + 2°С® + 27С77. Вариант 2 ДС-40 1. Найдите член разложения, содержащий у в нулевой степени: V 7 - # ‘ 2. Вычислите —зс* + 32q — з3с 3 + 34q — ... — з8с « , 125
  52. 52. В а р и а н т 3 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его член а в р азлож ен и и (1 + 0 ,1 )100. 2. В ы чи сл и те /~*0 о /"*1 | о2 /-*2 оЗ /"*3 I q9 /°9L«g--- О •Ug -f- О •Од --- О Og —р . . . --- О 'Од С 15 + С15 + ' ' • + С15 В а р и а н т 4 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и (1 + 0 ,0 2 )300. 2. В ы чи сл и те 099 . __ 098 . /°1 _1_ 097 , /^99 99 z ^99 > z °99 “ ••• — ь 99 С9 + С9 + С9 + С9 + С?) В а р и а н т 5 Д С -4 0 1. Н айдите номер н аи больш его члена в р азлож ен и и + 0 , 0 1)500. 2. В ы чи сл и те (2 + 1 - 5С'00 + 52С|00 - 53C j00 + 54С(00 1 + ЗС‘5 + З^С|5 + 3*С35 + 34Сд5 + . . . В а р и а н т 6 Д С -4 0 1. Н айди те номер наи больш его члена в р азлож ен и и (3 + 0 , 1)800. 2. В ы чи сл и те 280 _). 279Cgo -f 2 + 277Cgg + . . . 1 - 4с ‘6 + 4*С276 - 43С36 + 44Су6 В а р и а н т 1 Д С -4 1 1. Н айдите предел: 1* х* -- Зх -j- 2 j. *. 0 Л a) lim — — ------; б) lim 3 c o s 2 x . *н_ 1 2х* + х — 7 *_*о • — »2 2 . В ы ч и сл и те l>m ^ „ • * - 2 F Х + 7 — 3 126
  53. 53. Вариант 2 ДС-41 1. Найдите предел: а) 1,т о а . ч + о: б) ' 1т tg 4х.х~*—12.x -f- Зх — 9 *->-0 2. Вычислите lim —_ г-з У х + 1— 2 Вариант 3 ДС-41 1. Найдите предел функции *|т — 2 r х-+2 ъх2— х — 3 2. Вычислите: . 3*2 + 7.* + 2 , , У ~ х — 2 a) lim -— —— — ; б) lim — ------ ------. х-+—22х2 5х т-2 х-*4 j/~х -{- 5— 3 Вариант 4 ДС-41 1. Найдите предел функции: lim —~ — х-+—г 2х2 — Зх 2. Вычислите: . Зх2 +10х + 3 ^ 3 — V T a) lim --------—------- ; б lim - т — - — * ___ 3 2л:2 + 1х + 3 Ы К ^ - 5 - 2 Вариант 5 ДС-41 1. Найдите предел: п х sin— a) lim -------— ; б) lim У х2— 4х + 4. х - 2 cos2 Зх х -*—5 2л:2 + 5х + 2 2) Вычислите , бл:2+ х — 1' Т 127
  54. 54. 1. Найдите предел: л х sin — ________ a) lim — ; б) lim ]/x3+ 7. cos (x — 1) * -2 2. Вычислите: lim . х-*2 У х + 7 — 3 Вариант 6 ДС-41 Вариант 1 ДС-42 1. Найдите производную функции ср (х): а) ф (х) = У 5 х в ■ е~х б) ср (х) = ~ . In X 2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро­ вания сложной функции: а) Н (х) = e,nsinЪх б) Н (х) = cos lg Зх. Вариант 2 ДС-42 1. Найдите производную функции <р (х): а) ср (х) = У З х 1 • е~2х б) ср (х) = Ctg л: 2. Найдите производную, пользуясь формулой дифференциро­ вания сложной функции: а) Н (х) = 10lgtgSx; б) Н (х) = sin In Вариант 3 ДС-42 1. Найдите производную функции / (х): а) / (х) = 3 cos4х + 4 sin3х; б) /(х) = ^ ~ / *. Зг— е*~ 2. Найдите производную функции: a) g (х) = ех>~х; б) g (х) = In ((xV'2 — l)17 + 2). 128
  55. 55. Вариант 4 ДС-42 1. Найдите производную функции / (х): р Х . р X а) / (*) = sin4X — COS4 Х б) /(х) — --------2------- • 2. Найдите производную' функции: а) g (х) — In In С*4 + *); б) 3. Вариант 5 ДС-42 1. Найдите производную функции © (х): а) 0 (х) = (sin х cos 4х + sin 4х cos л;)6; б) 0 (х) = 2 •* In л:2' 2. Найдите производную функций: а) -ф(х) = sin ех‘~х; б) ; (х) = lg (х^3 + 2х~1)5. Вариант 6 ДС-42 1. Найдите производную функции if (х): а) 0 (х) = (cos х cos Ъх + sin х sin 5л')4; б) 0 (х)= 3~х esmх 2) Найдите производную функции: a) if (х) = cos е>х *х’ ; б) f (х) — 2,X~ ')U, Вариант 1 ДС-43 Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции х'2+ Зх + 12 у = — !-------!— . * х — 1 Вариант 2 ДС-43 Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции х2— 4х + 4 у = ------------ !— . * X-f- 1 5 Заказ 48 129
  56. 56. Вариант 3 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию х3— '2х2 ДС-43 У ~ ех Вариант 4 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию In2х + 2 Inх У ~ х • ДС-43 Вариант 5 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию X3— х'! У ~ е~х ДС-43 Вариант 6 ДС-43 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию 2 in2 х + з In х Вариант 1 ДС-44 В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса ле­ жит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус будет иметь максимальный объем? 130
  57. 57. Вариант 2 ДС-44 В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основа­ ния цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы этот цилиндр имел наибольший объем? Вариант 3 ДС-44 Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверх­ ность. Вариант 4 ДС-44 Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, кото­ рый при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность. Вариант 5 ДС-44 Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения был наибольшим)? Вариант 6 ДС-44 Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен V, причем стороны основания относились бы как 2 : 3. Ка­ ковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 5*
  58. 58. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ, ИНТЕРЕСУЮЩИМИСЯ МАТЕМАТИКОЙ Вариант 1 ДС-45 1. Найдите производную /' (х), если: а) / (х) = sin (Зх — 2) • cos х; б) / (х) = tg (х + 2) + ctg (Зх — 2). 2. Найдите предел 3. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = sin (1 — 2х) в точке oj. 4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф­ ференциальное уравнение этого колебания у" = —4у, амплитуда равна ]/"3, а начальная фаза равна — . 8 Вариант 2 ДС-45 1. Найдите производную /' (х), если: а) / (*) = cos (4* + 3) ■ sin 2х; б) / (х) = ctg (х — 3) + tg (2х — 5). 2. Найдите предел lim - ^ X х-*0 4х 3. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = cos (1 — Зх) в точке ; 1 4. Напишите уравнение гармонического колебания, если диф ференциальное уравнение этого колебания у" — — 9у, амплитуда равна ]/2 и начальная фаза равна 6 132
  59. 59. Вариант 1 ДС-46 1. Упростите ^ — pj sin + <xj + cos (я — P) sin (2я — a )cos sin (я + a — P) 2. Вычислите arccos (— K p ) + arcsin ( — -^ x ) + arctg (— У з ) . 3. Отметьте на единичной окружности множество точек Р„ для ко­ торых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера­ венству |sin t |> —. 2 4. Решите уравнение 3 tg 2л: = ]/3. 5. Постройте график функции f (х) — 3 sin 2х. а) Укажите какой-нибудь промежуток, в котором функция возрастает от—ЗдоЗ; б) напишите два промежутка, в которых / (х) < 0. Вариант 2 ДС-46 1. Упростите cos ( — а ] cos + Р] + cos (я — а ) cos (2я — Р) sin ( у + а + Р 2. Вычислите arcs,„ ( - КЗГ) + arccos ( - i ? ) + arctg< _ 3. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют не­ равенству |tg/I > 2. 4. Решите уравнение 4 sin л: cos х — У З . 5. Постройте график функции / (х) = 2 cos —х. а) Укажите какой- нибудь промежуток, в котором функция убывает от 2 до —2; б) напишите два промежутка, в которых / (.х) > 0.
  60. 60. 1. Найдите cos + -j-j, если ctg а = 1 и я < а < - ^ . 2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: a) cos 1839°; б) tg — . 8 3. Докажите тождество У 3 cos х — sin х = 2 cos ^ + x j. 4. Найдите экстремумы функции у = х — cos 2х. 5. Решите неравенство cos ^0,5х — j ■ Вариант 1 ДС-47 Вариант 2 ДС-47 ( ft ft а + — 1, если cos а — —0,5 и — < а < л . 2. Приведите к значениям тригонометрических функций наи­ меньшего положительного аргумента: 113 яa) sin 3856°; б) ctg - 7 3. Докажите тождество cos а + sin а — У 2 cos a j. 4. Найдите экстремумы функции у = х + sin 2х. I п Y~2 ~ 5. Решите неравенство sin (2х -f- — I ^ ------ Вариант 1 ДС-48 1. Найдите s (х), зная, что s' (х) — 6х2— 2х и что s (0) = 5. 31 2 2. Найдите j* (cos х — sin х)2 dx. о 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у — 0; х — —2. 134
  61. 61. 1. Найдите функцию, обращающуюся в нуль при х = 1, если про­ изводная от этой функции равна Зх2— 2х + 1. 1 2. Найдите J (У х— I)2dx. О 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями л л „ у = sin х; х = — - ; х = — ; у = 0. Вариант 2 ДС-43 Вариант 1 ДС-49 1. Найдите производную функции: а) у = 2 • 4х — 1/2; б) у = е2х • sin (1 — 2х). 2. Решите уравнение: а) 2'*"11 = 16 • 4~0'5; б) 3*+1 — 3* = 2. 3. Изобразите схематически график функции у = 0,9Х~3 и на­ пишите уравнение касательной в точке (3; 1). Вариант 2 ДС-49 1. Найдите производную функции: а) у = 3 • 9* — Y 3; б) у = е~2х+1 ■ cos 2х. 2. Решите уравнение: а) з^+ч = з-1 • 91-5; б) 2Х+1 + 2х = 3. 3. Изобразите схематически график функции у — (2,2) r+3 и напишите уравнение касательной в точке (— 3; 1). Вариант 1 ДС-50 1. Определите знаки чисел: a) log j я; б) In 0,8 — 0,8. "е” 2. Найдите область определения функции / (х) = In (х2 + Зх — — 28). Найдите производную /' (х). 3. Решите неравенство 1о£г (х — 5 )2 < lo g 2 (З х + I ) 2. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех~1; у = 0; х = 0; х = 2.
  62. 62. 1. Определите знаки чисел: a) In (2е) — 1; б) log0,24 • log24,3. 2. Найдите область определения функции h (х) = In (8 — 2х — — х2). Найдите производную ti (х). 3. Решите неравенство logo,5 (х + 5)2 > log3>5 (Зх — I)2. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х; у = 0; х — 0; х = 1. Вариант 1 ДС-51 1. Решите систему уравнений методом исключения переменных 2х + у — Зг = О Вариант 2 ДС-50 х + у + 2 = 3 3х 2у — z — 4. Найдите множество решений системы х ^ у 2 ху > 1 х ^ 2. Решите систему уравнений I 1 I 2+ у 2 * + log6у = —2. х ' + у = 5 11 Вариант 2 ДС-51 1. Решите систему уравнений методом исключения переменных З л: — у + z = О х + у + z = 2 2 л; у z = 3. 2. Найдите множество решений системы ' х < >’2 -v2+ у2 < 4 1у < 1. 3. Решите систему уравнений
  63. 63. 1. Решите неравенство In х2 < In 4х. 2. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо неравенство 3 + 6 + ... + 3 • 2"-1 = 3 • (2Л— 1). 3. Упростите выражение 1 — sin (0 ,5 я + .2 х )_______ cos (х — 2я ) + sin (1 -;'5л -j- Зл:) Может ли значение данного выражения быть 0,5? Ответ обосновать. 4. Напишите уравнение касательной, параллельной оси абсцисс, к графику функции у = е х+з е-х_ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у — — —х2 + 4х и прямой у —. х. Вариант 1 ДС-5 2 Вариант 2 ДС-52 1. Решите неравенство In (—Зх) > In х2. 2. Докажите методом математической, индукции, чтошри любом натуральном п справедливо равенство —3 + 3 + ... + (6л — 9) = Зя2 — 6п. 3. Упростите выражение 1 — sin (2х + 1 ,5я ) sin (я — Зх) — sin (— х) Может ли значение данного выражения быть равным 0,5? Ответ обосновать. 4. Напишите уравнение касательной к графику функции у = = ех + ег~х, параллельной оси абсцисс. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — х? и у = У х .

×