Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ

457 views

Published on

ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ. ԵՐԲ ՕԳՆՈՒՄ է ՇՐՋԱՆԱԳԻԾԸ, ԿԱՄ ՕԺԱՆԴԱԿ ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ՄԵԹՈԴ. Մաթեմատիկան Դպրոցում. Рефераты. Редкие книги.
http://matematika.advandcash.biz/shrjanagic/

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ՇՐՋԱՆԱԳԻԾ

  1. 1. ԽոՐԱ^Վա пшпюпкг ԵՐԲ ՕԳՆՈՒՄ է ՇՐՋԱՆԱԳԻԾԸ, ԿԱՄ ՕԺԱՆԴԱԿ ՇՐՋԱՆԱԳԾԻ ՄԵԹՈԴ Գ. Ա. Ներսիսյան ԵՊՀ-ին կից, Ա. Շ ա հ ի ն յ ա ն ա ն վ ա ն ֆ ի զ մ ա թ դպ րոց Երկրաչափական խնդիրների լուծման այն եղանակը, երբ դիմում են շրջանագծի օգնությանը, հաճախ անվանում են օժ ա ն դա կ շրջա ն ա գծի մեթոդ, ընդ որում այդ շրջանագիծը տրված խնդրում կարող էնույնիսկ բացահայտ կերպով, առկա չլինել: Կարևորն այն է, որ այստեղ կարողանալ տեսնել այդպիսի շրջանագիծ (օժանդակ շրջանագիծ), փորձելով այն ներգրավել խնդրի լուծման մեջ: Օժանդակ շրջանագծի մեթոդի կիրառումը զգալիորեն հեշտացնում է շատ խնդիրների լուծումներ: Ավելին, այն հնարավորություն է տալիս լուծումը տանել երկրաչափորեն: Օժանդակ շրջանագծին դիմելիս, շատ դեպքերում, որպես կանոն, հենվում են չորս կետերի միևնույն շրջանագծին պատկանելու հետևյալ թեորեմի վրա: Թեորեմ: Հարթության А, В, ՇՆ. D կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին, եթե տեղի ունի հետևյալ ա) և բ) պայմաններից մեկնումեկը ա)C xD կետերն ընկած են/ՀԹուղղի միևնույն կողմում, ընդորում Z A C B = Z A D B . բ) С և D կե տ ե ր ն ը ն կ ա ծ են А В ուղղի տ ա ր բ ե ր կողմերում, ընդ որում Z A C B + Z A D B = 1 8 0°: Մ ա ս նա վորա պ ես . Եթե ZA C B - ZA D B = 90° , ապա հարթության А, В, С և D կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին: Դիտողություն: Երբ տեղի ունի ա) պայմանը, ասում են, որС և D կետերից АВ հատվածը երևում է միևնույն անկյան տակ: Ա պացուցում: ա) А, В և С կետերով տանենք շրջանագիծ: Եթե D -ն գտնվի այդ շրջանի ներսում, ապա АСВ անկունը փոքր կլինի ADB անկյունից, իսկ եթե D-Կգտնվի շրջանից դուրս, ապա ADB անկյունը փոքր կլինի АСВ անկյունից, ուստի D-ն պետք է գտնվի շրջանագծի վրա: բ) А, В և £?կետերով տանենք շրջանագիծ: Այդ շրջանագծի Շ-Կ 41
  2. 2. չպ ա րունւսկող АВ ա ղեղի վրա (տ ես. նկ.1) վ ե ր ց ն ե ն քК կետ, ա յդ դեպ քում А А С В+ А А К В —1 80°, հետևաբար A A CB - A A K B .9-անի որ D և К կետերը ընկած են АВ -ի միևնույն կողմում, ուրեմն եկանք ա) դեպքին, այսինքն Д K, D, և В կետերը կպատկանեն միևնույն, այն է՜ Д В և С կետերով անցնող շրջանագծին: Մեթոդը լուսաբանենք ստորև բերվող, մի քանի խնդիրների վրա, որոնց մի մասն օգտագործվել է ֆիզմաթ դպրոցի 8-րդ դասարանցիների հետ, հեղինակի վարած արտադասարանական պարապմունքներում: ^ Խ ն դ ի ր 1: Ապացուցել, որ միևնույն а հիմք և այդ հիմքին տ ա րա ծ միևնույն հ բարձրությամբ եռանկյուններից հիմքի դիմացի ամենամեծ անկյուն ունի հավասարասրուն եռանկյունը: Ա պացուցում: Դիցուք ABC ֊ն a հիմքով, հիմքին տարած հ բարձրությամբ հավասարասրուն եռանկյուն է: Արտագծենք նրան շրջանագիծ (տես. նկ.2): Ենթադրենք, թե B ՛ ֊ը В ֊ի ց տարբեր , В - ի հետ AC- ի միևնույն կողմում ընկած այնպիսի կետ է, որ A B'C եռանկյան В ' գագաթից տարված բարձրությունը նույնպես հ է: Պարզ է, որ _£Ш'|Д С , в ք ինչպես նաև В В ' ֊ը В կետում շոշափում է շրջանագիծը: Քանի որ В՛ կետը շրջանից դուրս է ընկած, ուստի A B'C անկյունը փոքր է ABC անկյունից: Խ ն դ ի ր 2: Ուղիղը հա տ ում էABCD քառակուսու BC xAD կողմերը M և N կետերում այնպես, որ MCN եռանկյան պարագիծը հավասար Նկ.2. էքառակուսու կողմի կրկնապատիկին: Գտնել MAN անկյունը: Լուծում: Տանենք A կենտրոնով և ,4£?շառավիղով շրջանագիծ, որը շոշափում էBC և CD ուղիղները համապատասխանաբար, В և D կետերում (տես. նկ.Յ): Դժվար չէ տեսնել, որ M V -ը այդ շրջագծի'քառակուսու մեջ ընկած աղեղի շոշափող է: Իսկապես, այդ աղեղի В և D կետերից տ ա ր բ ե ր ,ց ա ն կ ա ց ա ծ կետում տ ա րվ ա ծ շոշափողը (և միայն դա) քա ռա կուսու B C D В անկյունից անջատում է միևնույն 2 ВС պ արա գծով եռանկյուն: Դիցուք շրջանագիծը շոշափում է M V -ինК կետ ում, ա յդ դեպ քո ւմ А В А М -А К А М , իսկ Հ DAN —Հ K A N , ո ր տ ե ղ ի ց էլ հետ ևում է, որ A MAN = 4 5 ° : Խ ն դ ի ր 3: ABC եռանկյան մեջ A A BC = 6 0 ° , АВ և . ВС կողմերի վրա, համապատասխանաբար, վերցված են М և N կետերն այնպես, որ AM = MN = NC : Ապացուցել, որ AN և CM հատվածների iU ՈՈԱ*ՎԱ5 Ш ԱՈЮ ՈКТ 42 M N D
  3. 3. hiпригишо ոա ուշա а В Նկ.4. հատման О կետը ABC եռանկյանս ա րտ ա գծա ծ շրջանագծի կենտրոնն է: Ապացուցում: Դիցուք ZMAN = Z M N A ֊a , ZNM C - ZNCM - (3 (տես նկ. 4): Ըստ եռանկյան արտաքին անկյան հատկության' ZBNM = 2a, ZBNM = 2(3 , իսկ ձ M BN ֊ի ց 2 a + 2(3 = 120° => = > a + (3= 6 0 ° , ո ր տ ե ղ ի ց էլ բխ ում է, որ Հ MON = 120° : Ս տ ա ց ա ն ք , որ ZM O N + + Հ M BN = 1 8 0 °, ուստի М, В, N և О կետերը, պատկանում են միևնույն շրջանագծին, որտեղից էլ' ZMBO = ZMNO = a ,Հ NMO = ZOBN = (3, այսինքն АО = OB = ОС • Խ ն դ ի ր 4 : ABC ե ռ ա ն կ յա ն ն ե ր գ ծ ա ծ շրջանագիծը շոշափում է եռանկյան AB և AC կողմերը M և N կետերում: Դիցուք P կետը MN ուղղի В անկյան կիսորդի (կամ նրա շ ա ր ո ւ ն ա կ ո ւթ յա ն ) հ ա տ մ ա ն կե տ ն է: с Ապացուցել, որ Z B PC = 9 0 ° : Ա պ ա ց ո ւց ո ւմ : Դիտարկենք այն դեպքը, Նկ.5. երբp գիծը ABC եռանկյունուց դուրս է (նկ. 5): Դիցուք Z A = a , Z B = fi, Z C - у : Այդ դ ե պ ք ո ւմ ZOCN = у / 2 , ZM PB = 180° - (90° + a / 2 +|3/շ)= 9 0 ° - ( a + 13)/2 - у / 2 : Ստացանք, որ <Չ//ուղղի միևնույն կողմում ընկած Р և С կետերից ON հատվածը երևում է միևնույն' у /2 անկյան տակ, ուստի 0,C,P և N կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին: Քանի որ ZONC = 90 , ուստի նաև ZOPC = 9 0 °: Այն դեպքի դիտարկումը, երբ p-Q ABC եռանկյան կետ է, թողնում ենք ընթերցողին: Խ ն դ ի ր 5: ABCD շեղանկյան AD և DC՜ կողմերի վրա կառուցված են AKD և DMC կանոնավոր եռանկյուններ այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկ.6-ում: Ապացուցել, որ К, В և М կետերը ընկած են միևնույն ուղղի վրա: Ա պ ա ց ո ւց ո ւ մ : Պատկերացնենք տ ա րված են А և С կենտրոններով, АВ -ին հավասար շառավիղով շրջանագծեր: Այդշրջանագծերից մեկը կանցնի K,BL ^կետերով, իսկ մյուսը՛ B, D և M կ ե տ ե ր ով : Ն կ ա տ ե ն ք , որ Z M BD = —ZD CM = 3 0 ° , իսկ Z K B D = 36 0 ° ֊ 6 0 ° :1 50°, ուստի KBD և MBD անկյունները կից են, իսկ այդնշանակում 43
  4. 4. ԽոոսծՎսօ ոաուօոսւ Խ ն դ ի ր 6 : ABC եռ ա ն կ յա ն մեջ տ ա ր վ ա ծ են AAX, B B ] և ССХ բարձրությունները, Թ,-ը, ևՇշ-ը, համապատասխանաբար, ВВ: և ՇՇՀ բարձրությունների միջնակետերն են: Ապացուցել, որ АХВ 2С2 եռանկյունը նման էABC եռանկյանը : M Ա պ ա ցո ւցո ւմ : Դիցուք M ֊ը (տես նկ.7) BC կողմի միջնակետն է, իսկ Օ-ն, ABC եռանկյան բարձրությունների հ ա տ մ ա ն կետը: Հ ե շ տ է ն կ ա տ ե լ, որ/О С гМ = է, որ К, В և М կետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա: = /О В 2М = 9 0 ° , ուստի 0 ,C 2,B 2 և М կ ե տ երը պատկանում են միևնույն շրջանագծին, որին պատկանում է նա և ճ յ կետը, ո ր տ ե ղ ի ց որ ճ В 2 Л, Сշ = / B 2 OC2 = Հ ВАС Հ- B 2C2AX— D Նկ.9. էլ բխ ում է, իսկ = / B 2OAx= /B C A : Ըստ եռանկյունների նմանության հայտանիշի A AXB 2C2 ~ Հ A B C : Խ ն դ ի ր 7: Նկ. 8-ում պ ա տ կ ե ր վ ա ծ են երեք քառակուսիներ: Գտնել ճ ABC + ճ DBC գումարը: Լուծում: Գրականության մեջ հայտնի են այս խնդրի մի քանի լուծումներ: Լուծենք այն օժանդակ շրջանագծի օգնությամբ: Վ ե ր ց ն ե ն ք ա յդ ք ա ռ ա կ ո ւ ս ի ն ե ր ո վ ո րոշվող քառակուսային ցանցի այն մասը, որը պատկերված էնկ. 9- ում: Հեշտ է նկատել, որ ճ FDE - ճ FBE = 9 0 ° , ուստի F D, E և В կետերը պատկանում են միևնույն շրջանագծին, դրա հա մա ր էլ A D BC = E D F E : AEB և EBF եռանկյունների նմանությունից (նմանության 1/2 գործակցով) բխում է, որ /֊A B C = /E F B : Այսպիսով /А ВС + /D B C = = ճ EFB+ Հ DFE = 45 : Օժանդակ շրջանագծի մեթոդը արտադասարանական ա շխ ա տ ա ն քի ոչ մեկ պարապմունքի թեմա է: Այստեղ կարևորը խնդիրների ճիշտ ընտրությունն է, և սովորողների կողմից նրանց ինքնուրույն հաղթահարելը: Ինքնուրույն լուծելու համար առաջարկում ենք այդ մեթոդով լուծվող մի քանի խնդիրներ: Խ ն դ ի ր 8: ABCD քառակուսու AD և DC կողմերի վրա, համապատասխանաբար, վերցված են E և F կետերն այնպես, որ A E : ED : D F : FC = 1 : 2 , BE ուղիղը 44
  5. 5. IdւտսծՎսօ nгаա * ուа հատվում է AC անկյունագծի G կետում: Ապացուցել, որ BG = GF : (Ցուցում: Նախ , ապացուցել, որ ճ BEF ֊ 4 5 ° ) : Խ ն դ ի ր 9: ABCD ուղղանկյան մեջ/Չւսնկյունւսգծին տարված է ^ ո ւ ղ ղ ա հ ա յ ա ց ը : M և N կետերը, համապատասխանաբար, AK և ( Չ հ ա տ վ ա ծ ն ե ր ի միջնակետերն են: Ապացուցել, որ BMN անկյունն ուղիղ է: (Ցուցում: N կետից տանել Д Д - ին ուղղահայաց): Խ ն դ ի ր 10: ABCD շեղանկյան A սուր անկյունը հավասար է 40°: A գ ա գ ա թ ո վ ն CD- M միջնակետով տարված էուղիղ, որի վրա Д գագաթից իջեցված է ВН ուղղահայացը: Գտնել AHD անկյունը: (Ցուցում: АВОН և HOMDքառանկյունները, որտեղ Օ-ն շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետն է, ներգծյալ են): Խ ն դ ի ր 11: Տրվա ծ էABC եռանկյունը: AB և BC ուղիղների նկատմամբ AC ուղղի համաչափ ուղիղները հատվում են К կետում: Ապացուցել, որ ВК ուղիղն անցնում է ABC եռանկյան արտագծյալշրջանագծի կենտրոնով: (Ցուցում: ZA BO = ZCBFI , որտեղ Օ-ն ABC եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է, իսկ H -ը В - ից AC ուղղի վրա իջեցրած ուղղահայացի հիմքը): Խ ն դ ի ր 12: ABCD շեղանկյան մեջ գտնել այն M կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց համար AAM B+ ACMD = 1 8 0 ° : (Նկատել, որ շեղանկյան անկյունգծերին պատկանող կետերը այդ երկրաչափական տեղից են, այնուհետև ցույց տալ, որ դրանցից բացի այլ կետեր չկան): Ծանոթություն: 2-րդ, 11-րդ և 12-րդ խնդիրներն առաջին անգամ առաջարկվել են «Քաղաքների մրցաշար» մրցույթներում ( տես[1]): 7-րդ խնդրի բերված լուծումը, ինչպես նաև 8-րդ խնդիրը, հնարավոր է, որ տպագրվում են առաջին անգամ, մյուս խնդիրները, բացի Խինից, ևՅ-րդից, ընտրված են [2] ֊ի ց: ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ [1]. Д в е н а д ц а т ь т у р н и р о в г о р о д о в 1 9 8 0 - 1 9 9 1 годы, п од р е д а к ц и е й Н.И. Константинова,М. 1991г. [2]. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. “Сборник задач по геометрии. 5 0 0 0 зад ач с ответам и”. М., ACT,. 2001г. 45

×