Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
             Леонард Эйлер Круги, теорема, следствие Эйлера (10-11 класс)                         работа ученицы 10 а клас...
             Леонард Эйлер                         <ul>                 <li>Дата рождения: 4 апреля 1707 год </li>        ...
             Леонард Эйлер                          <ul>                 <li>Эйлер — автор свыше 800 работ по математическ...
             Вклад Эйлера в науку                         <ul>                 <li>Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё т...
             Круги Леонарда Эйлера                         <ul>                 <li>Круги́ Эйлера  — геометрическая схема,...
             Теорема                          <ul>                 <li>Теорема Эйлера говорит о соотношении между количест...
             доказательство                         <ul>                 <li>Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В...
             Следствие                          <ul>                 <li>Теорема Эйлера играет огромную роль в математике....
             доказательства                         <ul>                 <li>Доказать утверждение (Р+6≤ 3В).  </li>       ...
             Решение задач
             Задача 1                         <ul>                                </ul>       <ul>                 <li>В к...
             решение                         <ul>                 <li>Воспользуемся кругами Эйлера. </li>               </...
             Задача 2                         <ul>                 <li>Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Ит...
             решение                         <ul>                 <li>Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотруд...
             Задача 3                         <ul>                 <li>Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путеш...
             решение                         <ul>                 <li>Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кр...
             заключение                         <ul>                 <li>Эйлер был выдающимся математиком. Многое из его р...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

эйлер крылова

1,432 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

эйлер крылова

  1. 1. Леонард Эйлер Круги, теорема, следствие Эйлера (10-11 класс) работа ученицы 10 а класа Лицея 229 Крыловой Ксении
  2. 2. Леонард Эйлер <ul> <li>Дата рождения: 4 апреля 1707 год </li> </ul> <ul> <li>Место рождения: Швейцария </li> </ul> <ul> <li>Дата смерти: 7 сентября 1783 год </li> </ul> <ul> <li>Научная сфера: математика, механика, физика </li> </ul>
  3. 3. Леонард Эйлер <ul> <li>Эйлер — автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт -Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии) Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в латинскую гимназию — под надзор бабушки. 8 июня 1724  г . 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона — и был удостоен учёной степени магистра. </li> </ul> <ul> <li>В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. В начале зимы 1726 года Эйлеру сообщили из Санкт- Петербурга : по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии. Эйлер был молод и полон энергии. Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» ( 1748 г.), «Морская наука» ( 1749 г.), «Теория движения луны» ( 1753 г.), «Наставление по дифференциальному исчислению» ( 1755  г .) — не говоря уже о десятках статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. </li> </ul>
  4. 4. Вклад Эйлера в науку <ul> <li>Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. </li> </ul> <ul> <li>Евклидова геометрия </li> </ul> <ul> <li>Точки Эйлера; </li> </ul> <ul> <li>Прямая Эйлера ; </li> </ul> <ul> <li>Призма Эйлера ; </li> </ul> <ul> <li>Окружность Эйлера . </li> </ul> <ul> <li>Топология </li> </ul> <ul> <li>Формула Эйлера для многогранников. </li> </ul> <ul> <li>Вычислительная математика </li> </ul> <ul> <li>метод ломаных Эйлера, один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет. </li> </ul>
  5. 5. Круги Леонарда Эйлера <ul> <li>Круги́ Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить несколько подмножеств вместе и их объединениями, пересечениями, разностями. Все это было Изобретено Эйлером . Используется в математике , логике , менеджменте и других прикладных направлениях. </li> </ul> <ul> <li>Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера—Венна , изображающие все 2 n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру . При n =3 диаграмма Эйлера—Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника. </li> </ul> <ul> <li>При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако, этим методом еще до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц ( 1646 — 1716 ). Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер . Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер ( 1841 — 1902 ) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна ( 1843 — 1923 ), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна . </li> </ul>
  6. 6. Теорема <ul> <li>Теорема Эйлера говорит о соотношении между количеством вершин, ребер и граней многогранника. Она впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера &quot;Элементы учения о телах&quot; и &quot;Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями&quot;. </li> </ul> <ul> <li>Теорема Эйлера: Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г = 2 </li> </ul> <ul> <li>Число х = В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы: </li> </ul> 2 N+2 3n 2n n-угольная призма 2 6 12 8 куб 2 4 6 4 тетраэдр х Г Р В Много-гранник
  7. 7. доказательство <ul> <li>Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем с наружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О . Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма углов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2. </li> </ul>
  8. 8. Следствие <ul> <li>Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией . </li> </ul> <ul> <li>Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам: </li> </ul> <ul> <li>1. Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г; </li> </ul> <ul> <li>2. Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г; </li> </ul> <ul> <li>3.У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол; </li> </ul> <ul> <li>4.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π. </li> </ul>
  9. 9. доказательства <ul> <li>Доказать утверждение (Р+6≤ 3В). </li> </ul> <ul> <li>Доказательство: </li> </ul> <ul> <li>Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде </li> </ul> <ul> <li>Р + 2 = В + Г </li> </ul> <ul> <li>И другой раз в виде </li> </ul> <ul> <li>4 = 2В - 2Р + 2Г </li> </ul> <ul> <li>Складывая эти равенства, получаем </li> </ul> <ul> <li>Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р </li> </ul> <ul> <li>Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу получаем Р + 6≤ 3В. </li> </ul> <ul> <li>Утверждение доказано. </li> </ul> <ul> </ul>
  10. 10. Решение задач
  11. 11. Задача 1 <ul> </ul> <ul> <li>В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. </li> </ul> <ul> <li>Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? </li> </ul> <ul> <li>Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта? </li> </ul> <ul> </ul>
  12. 12. решение <ul> <li>Воспользуемся кругами Эйлера. </li> </ul> <ul> <li>Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, </li> </ul> <ul> <li>а три меньших круга Б , Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. </li> </ul> <ul> <li>Тогда фигура Z , общая часть кругов Б , Х и Ф , изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. </li> </ul> <ul> <li>Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - </li> </ul> <ul> <li>баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z ; </li> </ul> <ul> <li>одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z ; </li> </ul> <ul> <li>одним лишь футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z . </li> </ul> <ul> </ul> <ul> <li>Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - z ) + (8 - z ) + (10 - z ) + 4 + 3 + 5 + z = 38, </li> </ul> <ul> <li>z = 2. </li> </ul> <ul> <li>Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 - z , 8 - z и 10 - z , где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек. </li> </ul> <ul> <li>Ответ. </li> </ul> <ul> <li>Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. </li> </ul> <ul> <li>Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек. </li> </ul> <ul> </ul>
  13. 13. Задача 2 <ul> <li>Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран? </li> </ul>
  14. 14. решение <ul> <li>Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы. </li> </ul> <ul> </ul>
  15. 15. Задача 3 <ul> <li>Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? </li> </ul> <ul> </ul>
  16. 16. решение <ul> <li>Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий </li> </ul> <ul> <li>Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. </li> </ul> <ul> <li>Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части </li> </ul> <ul> <li>Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. </li> </ul> <ul> <li>По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков. </li> </ul> <ul> <li>Картинки подобные тем, что мы рисовали при решении этой задачи, называются кругами Эйлера по имени известного математика Леонарда Эйлера. </li> </ul>
  17. 17. заключение <ul> <li>Эйлер был выдающимся математиком. Многое из его работ сохранилось по сей день: круги Эйлера, теорема, следствие. </li> </ul>

×