Unidad9 medidas de tendencia central gonzalo revelo pabon

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Unidad9 medidas de tendencia central gonzalo revelo pabon

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 75 Dpto. de Matemáticas - Goretti MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALA raíz de una investigación, en un barrio de Pasto se afirma que: “El consumo promedio por familia es de2,5 litros de leche”. Con esta información se está presentando una gama de posibilidades de consumo deleche, que van desde familias que tienen un consumo superior a 2,5 litros de leche, hasta familias que noconsumen.Para obtener el anterior resultado de que: “El consumo promedio por familia es de 2,5 litros de leche”, enun barrio de Pasto, se requiere del uso de una medida estadística denominada Estadígrafos, cuando serefiere a una Muestra, o de Parámetros, cuando el estudio corresponde a una Población.Se consideran cuatro clases de estadígrafos, a saber: 1. Estadígrafos de Tendencia Central o de Posición 2. Estadígrafos de Dispersión. 3. Estadígrafos de Deformación o Asimetría 4. Estadígrafos de Apuntamiento o kurtosis. 1. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRALEstas medidas indican la posición de un valor con relación a la variable o a la posición de un punto conrelación a la abscisa.Las medidas de Tendencia Central son: a. La Media; La Media Aritmética; o Promedio. b. La Media Geométrica c. La Media Armónica d. La Mediana e. La Moda f. Los Cuartiles, Los Deciles, Los Percentiles. a) LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIODefinición: “Es un valor representativo de un conjunto de datos, que tiende a situarse en la parte centralde un conjunto de datos que se hayan dado, al ser ordenarlos de una manera creciente o decreciente”.Los métodos para calcular la Media o Promedio, se clasifican de dos maneras a saber: - Para datos estadísticos No Agrupados.- Para datos estadísticos Agrupados.I DATOS NO AGRUPADOS: Es aquella información estadística que no se encuentra, en una tabla odistribución de frecuencias, debido a que el número de datos es muy pequeño, generalmente inferior a 30datos.Para calcular el valor Promedio se emplea las siguientes ecuaciones: ∑a) Cuando los datos estadísticos son Sin Repetición.Dónde : Media o Promedio∑ : Suma de… : Variable a estudiar=Datos estadísticos : Número total de datos o muestra. ∑b) Cuando los datos estadísticos son Con repetición o Ponderada ∑Dónde : Media o Promedio∑ : Suma de… : Datos repetidos : Variable a estudiar : Número total de datos o muestra. : Frecuencia relativa Valor Porcentual PesoEjemplo: (Datos no agrupados- No repetidos) El estudiante “ABC” en la asignatura de matemáticas, enel tercer periodo académico tiene las siguientes calificaciones: 3; 2,5; 4,8; 3,7; 4,2. ¿Cuál es la calificaciónpromedio?
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 76 Dpto. de Matemáticas - Goretti .x: calificaciones 3,0 2,5 ∑ 4,8 = 3,7 4,2 ∑Ejemplo: (Datos no agrupados- Repetidos) las edades de diez estudiantes son: 21, 24, 23, 25, 22, 24,23, 21, 20, 21. ¿Cuál es la edad Promedio de los diez estudiantes? .x: Edad .f (datos repetidos) .h (Peso o porcentaje) .fx .hx 20 1 0,10 20 2 21 3 0,30 63 6,3 22 1 0,10 22 2,2 23 2 0,20 46 4,6 24 2 0,20 48 4,8 25 1 0,10 25 2,5 ∑ ∑ ∑ ∑1 Método ∑ ∑ =22,4 años2 Método. ∑ ∑ 22,4 años.Ejemplo: (Datos No agrupados- repetidos). En una empresa hay 20 trabajadores que tienen un salariode $119.000; 50 trabajadores tienen un salario mensual de $300.000 y 10 trabajadores ganan $500.000.¿Cuál es el salario Promedio?.x: Salarios .f (datos repetidos) .h (peso o porcentaje) .fx .hx $119.000 20 0,25 $2.380.000 29.750 $300.000 50 0,625 $15.000.000 187.500 $500.000 10 0,125 $5.000.000 62.500 ∑ ∑ ∑ ∑1 Método ∑ ∑ = $ 279.750 mensuales2 Método. ∑ ∑ $ 279.750 mensuales
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 77 Dpto. de Matemáticas - GorettiII DATOS AGRUPADOS: Es aquella información estadística que se presenta en una Tabla o Distribuciónde Frecuencias, debido a que el número de datos es muy grande, generalmente igual o mayor a 30 da-tos.En este caso para calcular la Media o Promedio, tenemos las siguientes ecuaciones: ∑ ∑Dónde : Media o Promedio∑ : Suma de… : Frecuencia Absoluta : Marca de Clase : Número total de datos o muestra. : Frecuencia relativa Valor Porcentual Peso.Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Prome-dio.Calificaciones Marca de f h .fx .hx clase (x) 2,5 - 2,8 2,65 7 0,175 18,55 0,46375 2,9 - 3,2 3,05 7 0,175 21,35 0,53375 3,3 - 3,6 3,45 9 0,225 31,05 0,77625 3,7 - 4,0 3,85 8 0,2 30,80 0,77 4,1 - 4,4 4,25 3 0,075 12,75 0,31875 4,5 - 4,8 4,65 6 0,15 27,90 0,6975 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑Dada la ecuación: ∑ = 3,56O también: ∑ ∑ 3,56TALLERLa siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. María Goretti. 1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77 1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63 1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67 1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71 1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55Encontrar 1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas. 2. ¿Cuál es la estatura promedio del curso?
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 78 Dpto. de Matemáticas - GorettiLA MEDIANA ( ̃ )Definición: “La mediana es un valor único, que se encuentra en la parte central de un conjunto de datosestadísticos; don de la mitad (50%) de los elementos se encuentran por encima del valor de la Mediana yla otra mitad (50%) de los elementos se encuentran por debajo del valor de la Mediana”.I CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOSPara encontrar la Mediana de un conjunto de datos estadísticos que no se encuentran en una tabla odistribución de frecuencias, se procede de la siguiente manera: Primero: Se arregla u organiza los datos estadísticos, de una manera ascendente o descenden- te. Segundo: a) Sí el número de datos de la información estadística (N) es un IMPAR, entonces la Mediana será igual a: ̃ ( ) .b) Sí el número de datos (N) es un número PAR, entonces la Mediana será igual al valor Pro-medio ( ̃ de los dos datos centrales (de la mitad) del arreglo ascendente o descendente de los datosestadísticos.Ejemplo: (Datos No agrupados – Par). Las calificaciones de un estudiante en un periodo académicoson: 5, 4,2; 3; 3,5; 4,8; 3,5..1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así:.2. Paso: Como el número de elementos del arreglo es Par (N=6), entonces la Mediana es igual al prome-dio de los dos elementos centrales del arreglo ascendente o descendente. Es decir: ̃= = 3,85Ejemplo: (Datos No agrupados - impar). Los precios de un producto, tomados en diferentes almacenesde la ciudad son los siguientes: $230, $235, $240, $228, $236. ¿Cuál es el precio mediano?.1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así:.2. Paso: Como el arreglo es Impar (N=5), entonces la Mediana es igual a: ̃ ( ) ̃ ( ) ̃ ( . ̃ .II CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOSPara calcular la Mediana para datos que se encuentran en una Tabla o Distribución de frecuencias, seefectúa los siguientes pasos: 1 paso: Se determina la Clase Mediana, que será aquella que alcanza por primera vez la mitad de la información estadística (50% o n/2), al sumar las frecuencias absolutas de arriba hacia aba- jo que se encuentran en una tabla o distribución de frecuencias.
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 79 Dpto. de Matemáticas - Goretti 2 paso: La Mediana se la obtiene aplicando la siguiente ecuación: (∑ ̃ ̃ ̃ ( ) ̃Dónde:̃: Mediana. ̃ : Limite Real Inferior del intervalo o clase mediana. : Número total de datos. ̃ : Frecuencia Absoluta del intervalo o CLASE MEDIANA(∑ ̃ : Suma de todas las frecuencias absolutas anteriores a la frecuencia absoluta de la clase media-na ̃ : Tamaño o amplitud del intervalo de clase. ∑Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Media-na. CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS DE UN CURSO DE LA I.E.M MARÍA GORETTI. Calificaciones Calificaciones f F Reales 2,5 - 2,8 2,45 - 2,85 7 7 (∑ ̃ 2,9 - 3,2 2,85 - 3,25 7 14Clase Mediana 3,3 - 3,6 3,25 - 3,65 9 23 3,7 - 4,0 3,65 - 4,05 8 31 ̃ ̃ 4,1 - 4,4 4,05 - 4,45 3 34 4,5 - 4,8 4,45 - 4,85 6 40 ∑Dada la ecuación: (∑ ̃ ̃ ̃ ( ) ̃ ̃ ( ) ̃ ( ) ̃ ( ) ̃Significa que el 50% de los estudiantes del curso (20 estudiantes) tienen una calificación supe-rior a la calificación mediana de 3,51 y que el otro 50% (20 estudiantes), tienen una calificacióninferior a 3,51.TALLERLa siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. María Goretti. 1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77 1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63 1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67 1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71 1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 80 Dpto. de Matemáticas - GorettiEncontrar 1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas. 2. ¿Cuál es la estatura mediana del curso?LA MODA (Definición: “La Moda es el valor que más se repite de un conjunto de datos estadísticos, que no se en-cuentran en una tabla o distribución de frecuencias”.Definición: “La Moda es la máxima frecuencia absoluta, de un conjunto de datos estadísticos, que seencuentran en una tabla o distribución de frecuencias”.La Moda en los datos agrupados, como en los datos no agrupados, NO puede existir y se presentara estecaso cuando todos los datos o los intervalos de clase poseen una igual frecuencia.La Moda también puede existir y puede ser de dos formas a saber: a) UNIMODAL, este caso se presentacuando el conjunto de datos o un intervalo de clase poseen una sola moda, b) BIMODAL, este caso sepresenta cuando el conjunto de datos tienen dos modas o cuando en los intervalos de clase de una distri-bución de frecuencias existen dos intervalos de clase que tienen las máximas frecuencias absolutas.I DATOS NO AGRUPADOSLa Moda en los datos no agrupados, es el valor que más se repite.Ejemplo: (Datos no agrupados). Los precios de un producto “ABC”, en diferentes almacenes de la ciu-dad son los siguientes: $240, $241, $250, $239, $251. ¿Hallar el precio Modal? .x: Precio Frecuencia absoluta (f) $239 1 $240 1 $241 1 $250 1 $251 1Solución: No existe Moda, ya que cada uno de los valores poseen la misma frecuencia absoluta.Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que correspondeal consumo de energía de los 5 primeros meses del año: 238 kw, 348 kw, 300 kw, 348 kw, 239 kw. .x: Kw Frecuencia absoluta (f) 238 1 300 1 239 1 348 2Solución: La Moda es 348 kw, ya que es el valor que más se repite (tiene máxima frecuencia absoluta).Como existe una sopla moda, entonces se llama Unimodal.Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que correspondeal peso de 10 personas: 55 kgr, 58 kgr, 59 kgr, 60 kgr, 61 kgr, 59 kgr, 59 kgr, 55 kgr, 55 kgr, 70 kgr. .x: Kgr Frecuencia absoluta (f) 55 3 58 1 59 3 60 1 61 1 70 1Solución: El sistema o conjunto de datos posee dos modas 55 kgr y 59 kgr ya que tienen la máxima fre-cuencia. Por lo tanto, el conjunto de datos es BIMODAL.II DATOS AGRUPADOSPara encontrar la Moda, en datos que se encuentren en una tabla o distribución de frecuencias, se debetener en cuenta los siguientes pasos: 1. Paso: Se encuentra el intervalo de clase MODAL, que será aquella que posee la máxima fre- cuencia absoluta.
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 81 Dpto. de Matemáticas - Goretti 2. Paso: Se aplica la siguiente expresión algebraica: ( ) Dónde: . Moda : Limite Real Inferior de la Clase MODAL : Frecuencia absoluta de la clase Modal : Frecuencia absoluta de la clase contigua superior : Frecuencia absoluta de la clase contigua inferior. . ..c: Tamaño o amplitud del intervalo de clase.Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referenciaa las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Modal. CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS DE UN CURSO DE LA I.E.M MARÍA GORETTI. Calificaciones Calificaciones f Reales 2,5 - 2,8 2,45 - 2,85 7 2,9 - 3,2 2,85 - 3,25 7Clase Modal 3,3 - 3,6 3,25 - 3,65 9 3,7 - 4,0 3,65 - 4,05 8 4,1 - 4,4 4,05 - 4,45 3 4,5 - 4,8 4,45 - 4,85 6 ∑1 Paso: Determinamos la Clase Modal, que será aquella que tiene la máxima frecuencia absoluta (9). Eneste caso la clase modal corresponde al intervalo 3,3 – 3,6.2 Paso: Aplicamos la ecuación: ( ) = 3,25 =9 =7 =8 = 9 – 7 = 2. =9–8=1.c= 0,4 Remplazamos: ( )TALLERLa siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un cursode la I.E.M. María Goretti. 1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77 1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63 1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67 1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71 1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55Encontrar 1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas. 2. ¿Cuál es la estatura modal del curso?

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