medidas de tendencia central

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medidas de tendencia central

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 14 Dpto. de Matemáticas - Goretti MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A raíz de una investigación, en un barrio de Pasto se afirma que: “El consumo promedio por familia es de 2,5 litros de leche”. Con esta información se está presentando una gama de posibilidades de consumo de leche, que van desde familias que tienen un consumo superior a 2,5 litros de leche, hasta familias que no consumen. Para obtener el anterior resultado de que: “El consumo promedio por familia es de 2,5 litros de leche”, en un barrio de Pasto, se requiere del uso de una medida estadística denominada Estadígrafos, cuando se refiere a una Muestra, o de Parámetros, cuando el estudio corresponde a una Población. Se consideran cuatro clases de estadígrafos, a saber: 1. Estadígrafos de Tendencia Central o de Posición 2. Estadígrafos de Dispersión. 3. Estadígrafos de Deformación o Asimetría 4. Estadígrafos de Apuntamiento o kurtosis. 1. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL Estas medidas indican la posición de un valor con relación a la variable o a la posición de un punto con relación a la abscisa. Las medidas de Tendencia Central son: a. La Media; La Media Aritmética; o Promedio. b. La Media Geométrica c. La Media Armónica d. La Mediana e. La Moda f. Los Cuartiles, Los Deciles, Los Percentiles. a) LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO Definición: “Es un valor representativo de un conjunto de datos, que tiende a situarse en la parte central de un conjunto de datos que se hayan dado, al ser ordenarlos de una manera creciente o decreciente”. Los métodos para calcular la Media o Promedio, se clasifican de dos maneras a saber: - Para datos estadísticos No Agrupados. - Para datos estadísticos Agrupados. DATOS NO AGRUPADOS: Es aquella información estadística que no se encuentra, en una tabla o distribución de frecuencias, debido a que el número de datos es muy pequeño, generalmente inferior a 30 datos. Para calcular el valor Promedio se emplea las siguientes ecuaciones: a) Cuando los datos estadísticos son Sin Repetición. Dónde : Media o Promedio ∑: Suma de… .x: Variable estudiar=Datos estadísticos: .n: Número total de datos o muestra.• .b) Cuando los datos estadísticos son repetidos (Media o Promedio Ponderado) Dónde: Media o Promedio ∑: Suma de… Datos repetidos : Variable a estudiar : Número total de datos o muestra. : Frecuencia relativa Valor Porcentual Peso
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 15 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ejemplo: (Datos no agrupados- No repetidos) El estudiante “ABC” en la asignatura de matemáticas, en el tercer periodo académico tiene las siguientes calificaciones: 3; 2,5; 4,8; 3,7; 4,2. ¿Cuál es la calificación promedio? RemplazamosEjemplo: (Datos no agrupados – repetidos) Las edades de diez estudiantes son: 21, 24, 23, 25, 22, 24, 23, 21, 20,21. ¿Cuál es la edad promedio de los diez estudiantes? . 20 1 20 21 3 63 22 1 22 23 2 46 24 2 48 25 1 25 Remplazamos = 22,4 años Ejemplo: (Datos no agrupados – repetidos) En una empresa hay 20 trabajadores que tienen un salario mensual de $119.000; 50 trabajadores tienen un salario mensual de $300.000; y 10 trabajadores ganan $ 500.000. ¿Cuál es el salario mensual promedio en esa empresa?. . $119.000 20 $2.380.000 $300.000 50 $15.000.000 $500.000 10 $5.000.000 Remplazamos = $279.750 mensuales Ejemplo: (Datos no agrupados – repetidos) En una empresa el 25% de trabajadores tienen un salario mensual de $119.000; el 62,5% trabajadores tienen un salario mensual de $300.000; y el 12,5% trabajadores ganan un salario de $ 500.000. ¿Cuál es el salario mensual promedio en la empresa?.
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 16 Dpto. de Matemáticas - Goretti . $119.000 25% $29.750 $300.000 62,5% $187.500 $500.000 12,5% $62.500 Remplazamos $279.750 mensualesEjemplo: El gráfico muestra seis pruebas escritas obtenidaspor un estudiante durante el primer periodo académico. ¿Cuáles la calificación promedio? RemplazamosEjemplo: El promedio de los pesos de 4 maletas es de 50 kg. Si los pesos de tres de ellas son 45 kg, 55 kg y35 kg, respectivamente, ¿cuál es el peso de la cuarta maleta? Remplazamos Taller 1) Un cazador sale durante cinco noches a las faldas de un cerro y diariamente trae, el siguiente número de conejos: 15, 17, 13, 18, 17. Encontrar la media aritmética del número de conejos cazados diariamente. Respuesta 16 2) Se sabe que el promedio del siguiente grupo de datos 2, 4, 6, 8, x es 10. ¿Cuál es el valor que toma x? Respuesta 30. 3) La media entre cinco datos es 5 y se sabe que los cuatro primeros son: 4, 3, 9 y 7, ¿Encontrar el dato que falta?Respuesta 2 4) El gráfico representa los valores del IPC -índice de precios al consumidor, el cual refleja el porcentaje de aumento en el costo de vida de la población-, correspondiente al primer semes- tre de cierto año. ¿Cuál es el Índice de Precios al Consumidor promedio durante esos meses?
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 17 Dpto. de Matemáticas - Goretti5) En un colegio a los alumnos se los exime cuando su promedio académico es de 3,5. Si Daniel tiene las siguientes notas en Ingles: 3,2 – 3,0 – 4,0. ¿Qué nota debe sacar en el próximo examen para que le dé promedio en forma exacta (sin aproximar)? Respuesta 3,86) Carmen ha obtenido las siguientes notas en Historia: 3,5 – 5,0 - 3 , 2 y 5 , 0 . Para sacar el promedio sólo le falta una nota ¿Cuál será la nota que Carmen debe obtener en la última prueba, si quiere tener un prome- dio igual a 4,0? Respuesta 3,3.7) Patricia ha obtenido en Matemáticas un promedio de 2,5 con cuatro notas. Si las calificaciones que obtuvo fueron: 2,0 -3,0 y un 2,4. ¿Cuál es la cuarta nota? Respuesta 2,68) La edad promedio de un grupo de 5 amigos es de 17,4 años. Si se incorpora al grupo un amigo de 18 años, ¿cuál es la edad promedio del nuevo grupo? Respuesta 17,5 años.9) El número de intervenciones que ha realizado el servicio de bomberos a lo largo de un mes ha sido: 2, 1, 5, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 3. Con la anterior información encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?10) El número de mensajes recibidos por Gonzalo en su móvil durante una quincena ha sido: 5, 3, 4, 2, 3, 6, 9, 4, 3, 6, 7, 5, 7, 3, 4. Con la anterior información encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?11) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 0, 0, 2, 1, 2, 3, 5. encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?12) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?13) El número de goles metidos por partido por el Deportivo Pasto es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?14) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obte- niéndose las siguientes respuestas: 4, 4, 8, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 7, 0, 3, 8, 0, 1, 5, 6, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 2, 5, 3, 3, 5, 4, 6, 2, 0, 4, 3, 6, 1. encontrar el valor de la media aritmética. ¿Qué significa?15) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtu- vieron los siguientes datos: 10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9. encontrar el valor de la media aritmé- tica. ¿Qué significa?LA MEDIANA (Definición: “La mediana es un valor único, que se encuentra en la parte central de un conjunto de datos es-tadísticos; don de la mitad (50%) de los elementos se encuentran por encima del valor de la Mediana y la otramitad (50%) de los elementos se encuentran por debajo del valor de la Mediana”.CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOSPara encontrar la Mediana de un conjunto de datos estadísticos que no se encuentran en una tabla o dis-tribución de frecuencias, se procede de la siguiente manera:Primero: Se arregla u organiza los datos estadísticos, de una manera ascendente o descendente.Segundo: a) Sí el número de datos de la información estadística (N) es un número IMPAR, entonces laMediana será igual a: .b) Sí el número de datos (N) es un número PAR, entonces la Mediana será igual al valor Pro-medio ( de los dos datos centrales (de la mitad) del arreglo ascendente o descendente de los datosestadísticos.Ejemplo: (Datos No agrupados – Par). Las calificaciones de un estudiante en un periodo académico son:5, 4,2; 3; 3,5; 4,8; 3,5..1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así: Orden 1º 2º 3º 4º 5º 6º A. Ascendente 3 3,5 3,5 4,2 4,8 5 A. Descendente 5 4,8 4,2 3,5 3,5 3.2. Paso: Como el número de elementos del arreglo es Par (N=6), entonces la Mediana es igual al promedio delos dos elementos centrales del arreglo ascendente o descendente. Es decir:
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 18 Dpto. de Matemáticas - Goretti Ejemplo: (Datos No agrupados - impar). Los precios de un producto, tomados en diferentes almacenes de la ciudad son los siguientes: $230, $235, $240, $228, $236. ¿Cuál es el precio mediano? .1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así: Orden 1º 2º 3º 4º 5º A. Descendente 228 230 235 236 240 A. Ascendente 240 236 235 230 228 .2. Paso: Como el arreglo es Impar (N=5), entonces la Mediana es igual a: TALLER 1) En el conjunto de los siguientes valores 3, 4, 5, 6, 4, 7, 8, 4, 6, 9, 10, ¿Cuál es el valor de la mediana? Res- puesta 6. 2) En la siguiente información se encuentra el registro de salto largo realizado por 5 niños. Carlos 1,90 mts, Ri- cardo 2,35 mts, Andrés 2mts, Matías 2,05 mts, Gonzalo 2,47mts. ¿Cuál es el valor del saldo mediano?. Res- puesta 2,05 mts. 3) Dado el conjunto de los nueve primeros números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. ¿Encontrar el valor del numero primo mediano?. Respuesta 11. 4) La mediana de los siguientes datos es: x, x – 1, x + 2, x + 3, x –2. ¿Encontrar el valor del dato mediano?. Respuesta x. 5) Los puntajes obtenidos por 10 alumnos en un examen fueron: 57, 38, 60, 60, 57, 56, 88, 100, 55 y 58. Si se acordó que aprobaran aquellos alumnos, cuyos puntajes fueran superiores al valor del puntaje me- diano. ¿cuántos alumnos aprobaron el examen? Respuesta 5 estudiantes.6) El número de intervenciones que ha realizado el servicio de bomberos a lo largo de un mes ha sido: 2, 1, 5, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 3. Con la anterior información encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?7) El número de mensajes recibidos por Gonzalo en su móvil durante una quincena ha sido: 5, 3, 4, 2, 3, 6, 9, 4, 3, 6, 7, 5, 7, 3, 4. Con la anterior información encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?8) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 0, 0, 2, 1, 2, 3, 5. encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?9) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?10) El número de goles metidos por partido por el Deportivo Pasto es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. Con la anterior información encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?11) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obte- niéndose las siguientes respuestas: 4, 4, 8, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 7, 0, 3, 8, 0, 1, 5, 6, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 2, 5, 3, 3, 5, 4, 6, 2, 0, 4, 3, 6, 1. Con la anterior información encontrar el valor de la mediana. ¿Qué significa?12) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtu- vieron los siguientes datos: 10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9. Con la anterior información encon- trar el valor de la mediana. ¿Qué significa?LA MODA (Mo)Definición: “La Moda es el valor que más se repite de un conjunto de datos estadísticos, que no se encuen-tran en una tabla o distribución de frecuencias”.Definición: “La Moda es la máxima frecuencia absoluta, de un conjunto de datos estadísticos, que se en-cuentran en una tabla o distribución de frecuencias”.La Moda en los datos agrupados, como en los datos no agrupados, NO puede existir y se presentara este casocuando todos los datos o los intervalos de clase poseen una igual frecuencia.La Moda también puede existir y puede ser de dos formas a saber: a) UNIMODAL, este caso se presenta cuandoel conjunto de datos o un intervalo de clase poseen una sola moda, b) BIMODAL, este caso se presenta cuandoel conjunto de datos tienen dos modas o cuando en los intervalos de clase de una distribución de frecuenciasexisten dos intervalos de clase que tienen las máximas frecuencias absolutas.
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 19 Dpto. de Matemáticas - Goretti DATOS NO AGRUPADOS La Moda en los datos no agrupados, es el valor que más se repite. Ejemplo: (Datos no agrupados). Los precios de un producto “ABC”, en diferentes almacenes de la ciudad son los siguientes: $240, $241, $250, $239, $251. ¿Hallar el precio Modal? .x: Precio Frecuencia absoluta (f) $239 1 $240 1 $241 1 $250 1 $251 1 Solución: No existe Moda, ya que cada uno de los valores poseen la misma frecuencia absoluta. Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que corresponde al con- sumo de energía de los 5 primeros meses del año: 238 kw, 348 kw, 300 kw, 348 kw, 239 kw. .x: Kw Frecuencia absoluta (f) 238 1 300 1 239 1 348 2 Solución: La Moda es 348 kw, ya que es el valor que más se repite (tiene máxima frecuencia absoluta). Como existe una sopla moda, entonces se llama Unimodal. Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que corresponde al peso de 10 personas: 55 kgr, 58 kgr, 59 kgr, 60 kgr, 61 kgr, 59 kgr, 59 kgr, 55 kgr, 55 kgr, 70 kgr. .x: Kgr Frecuencia absoluta (f) 55 3 58 1 59 3 60 1 61 1 70 1 Solución: El sistema o conjunto de datos posee dos modas 55 kgr y 59 kgr ya que tienen la máxima frecuencia. Por lo tanto, el conjunto de datos es BIMODAL. TALLER 1) El profesor de matemática comenta que: “La nota que más se repitió en la prueba fue de 3.0” Si quisiéramos interpretar esta afirmación estadísticamente ¿A qué medida de tendencia central corresponde? 2) En la serie de números 11, 12, 12, 14, 14, 14, 18, 18. ¿Cuál es el valor de la moda?3) El número de intervenciones que ha realizado el servicio de bomberos a lo largo de un mes ha sido: 2, 1, 5, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 3. Con la anterior información encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?4) El número de mensajes recibidos por Gonzalo en su móvil durante una quincena ha sido: 5, 3, 4, 2, 3, 6, 9, 4, 3, 6, 7, 5, 7, 3, 4. Con la anterior información encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?5) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 0, 0, 2, 1, 2, 3, 5. encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?6) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?7) El número de goles metidos por partido por el Deportivo Pasto es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. Con la anterior información encontrar el valor de la moda. ¿Qué sig- nifica?8) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obtenién- dose las siguientes respuestas: 4, 4, 8, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 7, 0, 3, 8, 0, 1, 5, 6, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 2, 5, 3, 3, 5, 4, 6, 2, 0, 4, 3, 6, 1. Con la anterior información encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?9) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtuvie- ron los siguientes datos: 10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9. Con la anterior información encontrar el valor de la moda. ¿Qué significa?10) Se considera el siguiente conjunto: {2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}. ¿Cuál es el valor de la moda y el valor de la mediana?11) Los datos siguientes corresponden al tiempo en minutos que un trabajador debe esperar su medio de locomoción para ir al trabajo, durante quince días laborales: 20, 5, 12, 8, 5, 8, 4, 10, 3, 8, 6, 18, 2, 10, 14. ¿Encontrar los valores de la media, la mediana y la moda?, para este conjunto de datos.

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