UNIDAD 5 ECUACION DE PRIMER GRADO -GONZALO REVELO PABON--GORETTI

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UNIDAD 5 ECUACION DE PRIMER GRADO -GONZALO REVELO PABON--GORETTI

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 38! # LA IGUALDAD: Son expresiones numéricas o algebraicas, separadas por el signo igual (=). Donde la igualdad puede ser verdadera o falsa. La igualdad es Numérica si solo tiene números en sus dos miembros. La igualdad es Algebraica si tiene números y letras en sus dos miembros. Ejemplo: 3+2=5 Es una Igualdad Numérica, Verdadera 4+6=23 Es una igualdad Numérica , Falsa. (! + !)! = !! + 2!" + !! , Es una igualdad Algebraica, Verdadera, ya que es valida para cualquier valor numérico real que tome las variables a y b. ! + ! 6 = 7, Es una igualdad Algebraica Verdadera, valida solamente cuando x=6. IDENTIDAD: Es una igualdad que es valida para todos los valores numéricos que tome la(s) variable(s). A las variables se las representa por letras minúsculas del alfabeto a, b, c, d,………… x, y, z. Ejemplo: La igualdad (3! + 4)! = 9!! + 24! + 16 es una Identidad, ya que es valida para todos los valores numéricos reales que tome la variable x. Ejemplo: La igualdad (! + !)! = !! + 2!" + !! , es una Identidad, ya que es valida para todos los valores numéricos reales que tome las variables x, y. Ejemplo: La igualdad (! − !)! = !! − 2!" + !! , es una Identidad, ya que es valida para todos los valores numéricos reales que tome las variables x, y. ECUACIÓN: Es una igualdad que es valida solamente para algunos valores numéricos que tome la(s) variable(s). Ejemplo: La igualdad 2x=8, es una ecuación, ya que solamente es valida, cuando x=4. Ejemplo: La igualdad 4x-3=2x+1, es una ecuación, ya que solamente es valida cuando x=2 Ejemplo: Ejemplo: La igualdad 4=2x(x-1), es una ecuación, ya que solamente es valida cuando x toma los valores de x=-1 y x=2. PARTES DE UNA ECUACIÓN. Las partes de una ecuación son: Los miembros, los términos, las variables, el grado y la solución de la ecuación. LOS MIEMBROS: Se llama Primer Miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión algebraica que se encuen- tra en la parte izquierda del signo igual (=) y Segundo Miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la derecha del signo igual (=). 6! + 1 !"#$%"!!"#!$%& = 7 − 3! !"#$%&'!!"#!$%& LOS TÉRMINOS: El termino esta formado por cuatro partes a saber: el signo, el coeficien- te, la parte literal y el exponente El término independiente solo contiene el signo y la parte numérica o coeficiente Los términos se encuentran en el primero y segundo miembro de la ecuación separados entre sí por medio del signo mas (+) o menos (-) 4! !"#$%&' + 6 !"#$%&' = 2! !"#$%&' − 10 !"#$%&' − 15! !"#$%&' LAS VARIABLES: Se llama variables o incógnitas de una ecuación a las letras que intervienen en ella. 3! + 4 = −8 !"!!"#!!"#$"%&'!!e!!"#!!"#$"%&' 3! + 4! = 7 !"!!"#!!"#$"%&'!!"!!"#!!"#$"%&'! GRADO: El grado de una ecuación es el exponente de mayor valor numérico que tiene una letra o variable que se encuen- tra en la ecuación. 5! + 4 = 24 !"!!x!"#$#%$!!"!!"#$%!!"#$%!!"#$%&'(!!"!!!!"!1, !"#!!"!!"#!$!!"!!"#$!"#$!!"!!"!!"#$%"!!"#$% 5!! + 4 = 24 !"!!"#$%!%&!!!"!!"#$%!!"#$%!!"#$%&'(!!"!!!!"!2, po!!!"!!"#!$!!"!!"#$"%&'!!"!!"!!"#$%&'!!"#$% 5!! + 4 = 24 !"!!"#$%!%&!!!"!!"#$%!!"#$%!!"#$%&'(!!"!!!!"!3, !"#!!"!!"#!$!!"!!"#$"%&'!!"!!"!!"#$"#!!"#$o
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 39 SOLUCIÓN O RAÍCES: Las raíces o soluciones de una ecuación son los valores numéricos de las variables o letras que hacen que la ecuación sea verdadera. Es decir que al remplazar las letras por los valores numéricos encontrados la ecua- ción se transforma en una identidad. Ejemplos. 4! + 2 = 2! + 12 !"#$#!!"#!!"#$%&"', !"#!!"!! = 5. !! − 5! + 4 = 0 !"#$#!!"#!!"#$%&"'(!, !"#!!"#: ! = 1!!!! = 4. !! − 7!! + 14! − 8 = 0 !"#$#!!"#$!!"#$%&"'(!!!"#!!"#: ! = 1; ! = 4!!!! = 2. Por lo tanto, las ecuaciones de primer grado tienen una solución, las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las ecuaciones de tercer grado tienen tres soluciones y así sucesivamente. CLASES DE ECUACIONES ECUACIÓN ENTERA: Cuando todos los coeficientes de los términos de la ecuación son números enteros. Ejemplo: 7! + 5 = 2! −3 −4! + 12 = −12! − 20 ECUACIÓN FRACCIONARIA: Cuando uno o más de los coeficientes de los términos de la ecuación son números fraccio- narios. Ejemplo: ! 2 − ! = 21 ! 4 − 2 = 2 3 + ! 5 ECUACIÓN IRRACIONAL: Cuando el signo del radical se encuentra en un el primer miembro, en el segundo miembro o en ambos. Ejemplo: ! + 2 = 5 2! − 3 + 2 = ! − 1 3 4! + 2 = 4 − 3! + 2 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Se llama resolución de una ecuación al procedimiento que se emplea para hallar o encontrar el valor o los valores numéri- cos de las letras o incógnitas que satisfacen la ecuación (raíces o soluciones). AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES “!"!!"#!!"!"#$%$&'!!"#$%&'!!"!!"!#$ú!"!!"#$%&'!(#)!!"#$%&', !"#$"%!&!!"#!!"#$%&'()#!!"#!!"!!"#$%&%&!!"#!!"#$%&'”. Es decir: Aquí A, B son expresiones algebraicas. y n es un número real se cumple que: !"!! = !!!"#$"%!& 1. )!! + ! = ! + ! 2. )!!! − ! = ! − ! 3. )!!!!!!!!. ! = !. ! 4. )!! ! ! = ! ! !!! ≠ 0 REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA 1.) “Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva la igualdad persiste.” Es decir: !í: ! = ! ⇛ ! + ! = ! + ! Ejemplo: Resolver la ecuación x − 9 = 12. Aplicando la regla 1 se obtiene: ! − 9 + 9 = 12 + 9 ! = 21
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 40! # 2.) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad positiva la igualdad persiste. Es decir: !í: ! = ! ⇛ ! − ! = ! − ! Ejemplo: Resolver la ecuación x + 9 = 12. Aplicando la regla 2 se obtiene: ! + 9 − 9 = 12 − 9 ! = 3 3.) Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad persiste. Es decir: !í: ! = ! ⇛ !! = !" Ejemplo: Resolver la ecuación ! 5 = 12 Aplicando la regla 3 se obtiene: 5 ! 5 = 5(12) ! = 60 4.) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad persiste. !í: ! = ! ⇛ ! ! = ! ! !!!!"#$%&!!! ≠ 0 Ejemplo: Resolver la ecuación 6! = 42 Aplicando la regla 4 se obtiene: 6! 6 = 42 6 ! = 7 5.-) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad persiste. !í: ! = ! ⇛ !! = !! Ejemplo: Resolver la ecuación ! = 5 Aplicando la regla 5 se obtiene: ( !)! = (5)! ! = 25 !í: ! = ! ⇛ ! = ! Ejemplo: Resolver la ecuación !! = 49 Aplicando la regla 5 se obtiene: !! = 49 ! = 7 LA TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS En Matemáticas se trabaja continuamente con ecuaciones y con frecuencia se trata de explicar como se efectúa paso a paso el despeje de una variable, con el único fin de que esa ecuación sea correcta y verdadera. Para que esa secuencia sea cierta es preciso que se apliquen correctamente las siguientes propiedades de la transposición de términos. Estas propiedades se fundamenten en las reglas vistas anteriormente así: 1.) Un termino negativo que se encuentre en el primer miembro de una ecuación, entonces se lo puede pasar al segundo miembro de la ecuación pero con signo positivo y viceversa. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 9 = 12. ! − 9 = 12 Aplicando la regla 1 se obtiene: ! = 12 + 9 ! = 21
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 41 2.) Un termino positivo que se encuentre en el primer miembro de una ecuación, entonces se lo puede pasar al segundo miembro de la ecuación pero con signo negativo y viceversa. Ejemplo: Resolver la ecuación x + 9 = 12., ! + 9 = 12 Aplicando esta propiedad se obtiene: ! = 12 − 9 ! = 3 3.) Sí un coeficiente esta multiplicando a una variable cuyo termino se encuentra en el primer miembro, entonces el coefi- ciente pasa a dividir al segundo miembro de la ecuación y viceversa Ejemplo: Resolver la ecuación 6! = 42 6! = 42 Aplicando esta propiedad ! = 42 6 ! = 7 4.) Sí un coeficiente esta dividiendo a una variable cuyo termino se encuentra en el primer miembro de la ecuación, enton- ces el coeficiente pasa a multiplicar al segundo miembro de la ecuación y viceversa. Ejemplo: Resolver la ecuación ! 5 = 12 ! 5 = 12 Aplicando esta propiedad se obtiene: ! = 5(12) ! = 60 5.) !!í!! = ! ⇛ ! = ! , Esta propiedad permite pasar todos los términos del primer miembro al segundo miembro de la ecuación y a la vez se puede pasar todos los términos del segundo miembro al primer miembro de la ecuación, sin necesi- dad de cambiar los signos a todos los términos de la ecuación. Ejemplo: Sí 10 = 5! ⇛ 5! = 10 Sí −4 = 2! ⇛ 2! = −4 Sí 2 = ! 3 ⇛ ! 3 = 2 Sí 0 = −2!! + 3! − 5 ⇛ −2!! + 3! − 5 = 0 6.) Sí a los dos miembros de una ecuación se multiplican por -1 la igualdad persiste. Es decir: !í: ! = ! ⇛ −! = −! Aplicar la propiedad a la ecuación – ! = 4 Solución: – ! = 4 ! = −4 Aplicar la propiedad a la ecuación −8! = −24 Solución: −8! = −24 8! = 24
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 42! # RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA PROCEDIMIENTO: 1.) Se hace la transposición de términos, ubicando en el primer miembro todos los términos que contengan la incógnita o variable a encontrar y en el segundo miembro se ubican todos llos valores numericos.∫ 2.) Se reducen términos semejantes en cada miembro. 3.) Se despeja la incógnita o variable. Ejemplos: 1.) 5! = 8! − 15 Solucion 5! = 8! − 15 ⇛ !!!!!!!!!!!!!5! − 8! = −15!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−3! = −15!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −15 −3 !!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(#! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 5 2.) 4! + 1 = 2 Solucion 4! + 1 = 2. ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!4! = 2 − 1!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!4! = 1!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1 4 !!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(#! 3.) ! − 5 = 3! − 25 Solucion ! − 5 = 3! − 15 ⇛ !!!!!!!!!!!!!! − 3! = −15 + 5!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!−2! = −10!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −10 −2 != 5 4.) 5! + 6 = 10! + 5 Solucion 5! + 6 = 10! + 5 ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!5! − 10! = 5 − 6!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! −5! = −1!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −1 −5 !!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1 5 5.) 9! − 11 = −10 + 12!! Solucion 9! − 11 = −10 + 12! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!9! − 12! = −10 + 11!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−3! = 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1 −3 !!!!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(#! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −1 3
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 43 6.) 21 − 6! = 27 − 8! Solucion 21 − 6! = 27 − 8! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!−6! + 8! = 27 − 21!!!!!!!!!!!!!r!"#$%"&'"(% ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2! = 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 6 2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(#!!!!!!!! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 3 7.) 11! + 5! − 1 = 65! − 36 Solucion 11! + 5! − 1 = 65! − 36 ⇛ !!!!!!!!!!!!!!11! + 5! − 65! = −36 + 1!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−49! = −35!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −35 −49 !!!!!!!!!!!!"#$"%&'(# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 35 49 = 5 7 !!!!!!!"#$%"&"'(#)!. TALLER Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 5x-8x=5 2) 4x+1=2 3) y-5=3y-25 4) 5x+6=10x+5 5) 9y-11=-10+12y 6) 8x-4+3x=7x+x+14 7) 8x+9-12x=4x-13-5x 8) 16+7x-5=11x-3-x 9) 5y+6y-81=7y102+65y 10) x=4x+12 11) x+3x-8=x-3 12) 5x-14=x-28-3x 13) 3x-2x+1=7x-3+5x-x+24 14) 5x-3x+6=18+7x+6+3x-24 15) 3x-18+2x-x=9-3x 17) 2x - 3 = 4x - 7 18) 5x + 4 = 6x + 3 19) 6x - 1 = 8x - 5 20) 3x + 10 = 5x - 6 21) 4x + 1 = 9x - 64 22) 7x + 6 = 9x - 2 23) - 3x + 2 = x + 10 24) -6x + 3 = - 2x + 1
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 44! # RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN PROCEDIMIENTO 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por el más interno hacia fuera. 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que ca- rezcan de ella en el derecho 4. Se reducen términos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Ejemplos: 1.) ! − 2! + 1 = 8 − (3! + 3) Solución: ! − 2! + 1 = 8 − (3! + 3) ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! − 2! − 1 = 8 − 3! − 3!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'"()*!!"#$%&$'(' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! − 2! + 3! = 8 − 3! + 1!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2! = 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 6 2 = 3!! 2.) 15! − 10 = 6! − ! + 2 + (−! + 3) Solución: 15! − 10 = 6! − ! + 2 + (−! + 3) ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15! − 10 = 6! − ! − 2 − ! + 3!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!"#$%&$'(' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!15! − 6! + ! + ! = −2 + 3 + 10!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11! = 11!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 11 11 = 1!! 3.) 5 − 3! − −4! + 6 = 8! + 11 − (3! − 6) Solución: 5 − 3! − −4! + 6 = 8! + 11 − (3! − 6) ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5 − 3! + 4! − 6 = 8! + 11 − 3! + 6!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!!"#$%#&'& ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−3! + 4! − 8! + 3! = 11 + 6 − 5 + 6!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−4! = 18!!!!!!!!!!!"#$"%&'!(!!!!!!!!!!! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 18 −4 = −9 2 !!!!!!!!!!"#$%"&"'()*+ 4.) 3! + −5! − ! + 3 = 8! + [−5! − 9] solución: !!!!!!!!3! + −5! − ! + 3 = 8! + [−5! − 9] ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3! + −5! − ! − 3 = 8! − 5! − 9!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!"#!ℎ!"!# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3! − 5! − ! − 3 = 8! − 5! − 9!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!"#!ℎ!"!# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3! − 5! − ! − 8! + 5! = −9 + 3!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−6! = −6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −6 −6 !!!!!!!!!!!!!!!!"#!$%&'( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1 5.) 16! − 3! − 6 − 9! = 30! + [− 3! + 2 − ! + 3 ] Solución: 16! − 3! − 6 − 9! = 30! + [− 3! + 2 − ! + 3 ] ⇛ !!!!!!!!!!!!16! − 3! − 6 + 9! = 30! + −3! − 2 − ! − 3 !!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!"#e!"#$%$ ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!16! − 3! + 6 − 9! = 30! − 3! − 2 − ! − 3!!!!!!!!!!!"#$%&'"(!)!!"#!ℎ!"! ⇛ !!!!!!!!!16! − 3! − 9! − 30! + 3! + ! = −2 − 3 − 6!!!!!!!!!!"#$%&'$()$*' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−22! = −11!!!!!!!!!"#$%%&'(!!!!!!!!! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −11 −22 !!!!!!!!!!!"#$"j!"#$ ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1! 2 !!!!!!!!"#$%"&"'()*+
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 45 TALLER 1.) ! − 2! + 1 = 8 − 3! + 3 2.) 15! − 10 = 6! − ! + 2 + −! + 3 3.) 5 − 3! − −4! + 6 = 8! + 11 − (3! − 6) 4.) 30! − −! + 6 + −5! + 4 = − 5! + 6 + (−8 + 3!)!!!!!!!!!!! 5.) 15! + −6! + 5 − 2 − −! + 3 = − 7! + 23 − ! + (3 − 2!)!! 6.) 3! + −5! − ! + 3 = 8! + (−5! − 9)!! 7.) 16! − 3! − 6 − 9! = 30! + [− 3! + 2 − ! + 3 ]!! 8.) ! − 5 + 3! − 5! − 6 + ! = −3! 9.) 9! − 5! + 1 − 2 + 8! − 7! − 5 + 9! + 9! = 0 10.) 71 + −5! + −2! + 3 = 25 − [− 3! + 4 − 4! + 3 ] 11.) − 3! + 8 − −15 + 6! − −3! + 2 − 5! + 4 − 29 = −5 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS INDICADOS PROCEDIMIENTO 1. Se efectúan los productos indicados 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen términos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Ejemplos: 1.) ! + 3 ! − 1 = 6 − 4(2! + 3) Solución ! + 3 ! − 1 = 6 − 4(2! + 3) ⇛ !!!!!!!!!!!!!! + 3! − 3 = 6 − 8! − 12!!!!!!"!#$!"#$%!!"!!"#$%&'# ⇛ !!!!!!!!!!! + 3! + 8! = 6 − 12 + 3!!!!!!!!!!"#$%&'$()'% ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!12! = −3!!!!!!!!!"#$%&"'#( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 3 12 !!!!!!"#$"%&'(#!! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 1 4 !!!!!!!!!"#$%"&"'(#)! 2.) 5 ! − 1 + 16 2! + 3 = 3 2! − 7 − ! Solución: 5 ! − 1 + 16 2! + 3 = 3 2! − 7 − ! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5! − 5 + 32! + 48 = 6! − 21 − !!!!!!!!!!!!!"!!"!#$%&'!!"#!!"#$%&'#(!!"#!$%#&' ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5! + 32! − 6! + ! = −21 + 5 − 48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'$()'% ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!32! = −64!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'() ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −64 32 !!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$"%&'(# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −2 3.) 2 3! + 3 − 4 5! − 3 = ! ! − 3 − !(! + 5) Solución: 2 3! + 3 − 4 5! − 3 = ! ! − 3 − !(! + 5) ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6! + 6 − 20! + 12 = !! − 3! − !! − 5!!!!!!!!!!!"!#$%&'!"!!"#!!"#$%&'#(!!"#!$%#&' ⇛ 6! − 20! − !! + 3! + !! + 5! = −6 − 12!!!!!!"#$%&'$()'%!!"#$%&'( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−6! = −18!!!!!!!"#$%&'()!!"#$%&'( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −18 −6 !!!!!!!"#$"%&'(#! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 3 4.) 184 − 7 2! + 5 = 301 + 6 ! − 1 − 6 Solución: 184 − 7 2! + 5 = 301 + 6 ! − 1 − 6 ⇛ !!!!!!184 − 14! − 35 = 301 + 6! − 6 − 6!!!!!!!!!!!!!!!"#$%&'()#!!"#!!"#$%&$'('
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 46! # ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!−14! − 6! = 301 − 6 − 6 − 184 + 35!!!!!"#$%&'$()'%!!"#$%&'( ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−20! = 140!!!!!!!!!"#$%%&'(! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!! = 140 −20 !!!!!!!!"#$"%&'(# ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!! = −7 TALLER 1.) x+3(x-1)=6-4(2x+3) 2.) 5(x-1) + 16(2x+3) = 3(2x+7) 3.) 2(3x+3)-4(5x-3)=x(x-3)-x(x+5) 4.) 184 – 7(2x+5) = x(x-3) – x(x+5) 5.) 7(18 – x) – 6(3-5x) = - (7x+9) – 3(2x+5) – 12 6.) 3x(x-3) +5(x+7) –x(x+1) -2(x 2 + 7) +4=0 7.) -3(2x+7) +(-5x+6) -8(1-2x) –(x-3)=0 8.) (3x – 4)(4x -3)= (6x-4)(2x-5) 9.) (4-5x)(4-5x)=(10x-3)(7-2x) 10.) (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4)+5 11.) 14 –(5x-1)(2x+3)=17-(10x+1)(x-6) 12.) 3(5x+6)(3x+2)-6(3x+4)(x-1)-3(9x+1)(x-2)=0 ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO PROCEDIMIENTO 1. Se multiplica entre sí todos los denominadores que se encuentran en la ecuación algebraica. Para obtener el PRODUC- TO TOTAL de ellos. 2. Se multiplica a cada uno de los término de la ecuación por el PRODUCTO TOTAL encontrado en el paso anterior. 2. Se efectúa las operaciones indicadas en cada uno de los términos de la ecuación algebraica. 3. De esta manera se transforma la ecuación algebraica fraccionaria en una ecuación algebraica entera. 4. Se efectuá los pasos para resolver una ecuación algebraica entera. 5. Se simplifica el resultado si es posible. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones: 1.) ! 6 + 5 = 1 3 − ! Solución ! 6 + 5 = 1 3 − ! Al multiplicar los denominadores de la ecuación algebraica se obtiene como PRODUCTO TOTAL 18 (6x3=18). ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!18! ! 6 + 18 5 = 18 1 3 − 18 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!Se!multiplica!por!18!a!todos!los!terminos!de!la!ecuacion ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3! + 90 = 6 − 18!!!!!!!!!!!!!!!!!!efectua!los!cocientes!y!multiplicaciones!indicadas ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3x + 18x = 6 − 90!!!!!!!!!!!!!transpocion!de!terminos ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!21x = −84!!!!!!!!!!reduccion!de!terminos!semejantes ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x = −84 21 = −4 2.) 3! 5 − 2! 3 + 1 5 = 0 Solución 3! 5 − 2! 3 + 1 5 = 0 Al multiplicar los denominadores de la ecuación algebraica se obtiene como PRODUCTO TOTAL 18 (5x3x5=75). ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!75! 3! 5 − 75 2! 3 + !!75 1 5 = 75(0)!!!!!!!!!!!!!!!Se!multiplica!por!75!a!todos!los!terminos!de!la!ecuacion ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15 3! − 50! + 15 = 0!!!!!!!!!!!!!!!!!efectua!los!cocientes!y!multiplicaciones!indicadas ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!45x − 50x = −15!!!!!!!!!!!!!transpocion!de!terminos ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−5x = −15!!!!!!!!!!reduccion!de!terminos!semejantes ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x = −15 −5 = 3
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 47 3.) 1 2! + 1 4 − 1 10! = 1 5 Solución 1 2! + 1 4 − 1 10! = 1 5 Al multiplicar los denominadores de la ecuación se obtiene como PRODUCTO TOTAL (2x)(4)(10x)(5) =!400!! ⇛ !!!!!!!!!400!! ! 1 2! + 400!! 1 4 − !!400!! 1 10! = 400!! ( 1 5 )!!!!!!!!!!!!!!!Se!multiplica!por!40!! a!todos!los!terminos!de!la!ecuacion ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!200x + 100!! − 40! = 80!! !!!!!!!!!!!!!!!!!efectua!los!cocientes!y!multiplicaciones!indicadas ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!200x + 100!! − 40x − 80!! = 0!!!!!!!!!!!!!transpocion!de!terminos ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!! + 160! = 0!!!!!!!!!!!reduccion!de!terminos!semejantes! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20! + 160 = 0!!!simplificamos!todos!los!terminos!entre!x ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = −160 20 ! 4.) 7x − 1 3 − 5 − 2x 2 = 4x − 3 4 + 1 + 4x 3 Solución 7x − 1 3 − 5 − 2x 2 = 4x − 3 4 + 1 + 4x 3 Al multiplicar los denominadores de la ecuación se obtiene como PRODUCTO TOTAL 3(2)(4)(3) =!72 Se!multiplica!por!72!!a!todos!los!terminos!de!la!ecuacion así: ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!72 7x − 1 3 − 72 5 − 2x 2 = !!72 4x − 3 4 + 72 1 + 4x 3 !!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!24 7x − 1 − 36 5 − 2x = !!18 4x − 3 + 24 1 + 4x !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!168x − 24 − 180 + 72x = 72x − 54 + !24 + 96x! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!168x + 72x − 72x!! − 96x = !−54 + 24 + 24 + 180 ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!72x = !174! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x = ! 174 72 = 29 12 5.) 5x 4 − 3 x − 20 17 − 2x − 1 = x + 24 34 solución: 5x 4 − 3 x − 20 17 − 2x − 1 = x + 24 34 Al multiplicar los denominadores de la ecuación se obtiene como PRODUCTO TOTAL 4(17)(34) =!2312 Se!multiplica!por!2312!!a!todos!los!terminos!de!la!ecuacion así: ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!2312 5x 4 − 2312 3 x − 20 17 − !!2312 2x − 1 = 2312 x + 24 34 !!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!2312 5x 4 − 2312 3 x − 20 17 − !!2312 2x − 1 = 2312 x + 24 34 !!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!578 5x − 136 3(x − 20) − !!2312 2x − 1 = 68 x + 24 !!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2890x − 408 x − 20 − 4624x + 2312 = 68x + 1632!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2890x − 408x + 8160 − 4624x + 2312 = 68x + 1632!!!!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2890x − 408x − 4624x − 68x = 1632 − 8160 − 2312!!!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−2210x = −8840!!!!!!!! !! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2210x = 8840! ⇛ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x = 8840 2210 ! = 4
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 48! # TALLER Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 3! − 2! 5 = ! 10 − 7 4 2) ! 6 + 5 = 1 3 − ! 3) 3! 5 − 2! 3 + 1 5 = 0 4) 1 2! + 1 4 − 1 10! = 1 5 5) ! 2 + 2 − ! 12 = ! 6 − 5 4 6) 3! 4 − 1 5 + 2! = 5 4 − 3! 20 7) 2 3! − 5 ! = 7 10 − 3 2! + 1 8) ! − 4 3 − 5 = 0 9) ! − ! + 2 12 = 5! 2 10) ! − 5! − 1 3 = 4! − 3 5 11) 10! − 8! − 3 4 = 2(! − 3) 12) ! − 2 2 − ! − 3 4 = ! − 4 5 13) ! − 1 2 − ! − 2 3 − ! − 3 4 = − ! − 5 4 14) ! − (5! − 1) − 7 − 5! 10 = 1 15) 2! − 5! − 6 4 + ! − 5 3 = −5! 16) 4 − 10! + 1 6 = 4! − 16! + 3 4 17) ! − 1 2 − ! − 3 = ! + 3 3 + 1 6 18) 6! + 1 3 − 11! − 2 9 − 5! − 2 4 = − 30! − 5 6
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 49 LENGUAJE COLOQUIAL EXPRESADO EN LENGUAJE ALGEBRAICO Así como podemos traducir una expresión de un idioma a otro, de la misma forma debemos ser capaces de traducir los enunciados de problemas de aplicación al tema de ecuaciones de primer grado a símbolos matemáticos, con el único fin de poder pasar al siguiente paso, que es el de resolver ecuación que se haya planteado. IMPORTANTE: La variable puede estar representada por cualquier letra, por costumbre, solemos usar "x". TABLA DE AYUDA PARA PLANTEAR ECUACIONES LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE ALGEBRAICO El anterior de un numero, el antecesor ! − 1 El cuadrado de un numero !! El cuadrado del siguiente numero (! + 1)! El cuádruplo de un numero 4! El cubo de un numero !! El duplo, el doble de un numero 2! El opuesto de un numero −! El producto de dos numero !" El siguiente numero, el sucesor, el consecuente ! + 1 El triple de un numero 3! La cuarta parte de un numero ! 4 ;!!!! 1! 4 La diferencia de dos números ! − ! La mitad de un numero ! 2 ;!! 1! 2 La quinta parte de un numero ! 5 ;!!!! 1! 5 La raíz cuadrada de un numero ! La raíz cuarta de un numero ! ! La raíz cubica de un numero ! ! La razón entre dos numero, la división ! ! La tercera parte de un numero, un tercio de un numero ! 3 ;!!!! 1! 3 Números consecutivos !; !!! + 1; !!! + 2; !!!! + 3; … ..!!!!!!! Números impares consecutivos 2! + 1; !!2! + 3; !!!2! + 5; !!!!2! + 7; … … Números pares consecutivos 2!; !!!2! + 2; !!!2! + 4; !!!2! + 6 … .. Un numero ! Un numero disminuido en …….. ! − Un numero impar 2! + 1 Un numero par 2! Ejemplo: La suma de tres números naturales consecutivos es 42. ¿Cuáles son dichos números?. Solución: Buscamos en la tabla como simbolizar números consecutivos, teniendo en cuenta que el problema indica tres números consecutivos: LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO Un numero ! Tres números naturales consecutivos !; !!!! + !; !!!!! + !; La suma de tres números consecutivos ! + !! + 1 + !!! + 2; La suma de tres números consecutivos es igual a 42 ! + !! + 1 + !!! + 2 = 42 Resolvemos la ecuación. ! + !! + 1 + !!! + 2 = 42 3! + !3 = 42 3! = 42 − 3 3! = 39
  13. 13. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 50! # ! = 39 3 = 13 por lo tanto, los tres números consecutivos son: ! = 13 ! + 1 = 13 + 1 = 14 ! + 2 = 13 + 2 = 15 Ejemplo. En un espectaculo el mago realiza el siguiente truco:” Piensa un numero, sumale 15, a este resultado multiplicalo por 3, a este nuevo resultado restale 9”. ¿Dime cual es el resultado obtenido y te dire que numero pensaste? El espectador le responde que el resultado es igual a 66? Y el Mago en menos que canta un gallo le dice que el numero que penso es el numero 4. ¿Cómo hizo el mago para adivinar? Solución: LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO Piensa en Un numero ! Súmale 15 ! + !"; multiplica por 3 a este resultado 3(! + 15) ahora restale 9 3 ! + 15 − 9 el resultado es igual a 66 3 ! + 15 − 9 = 66 Resolvemos la ecuación. 3 ! + 15 − 9 = 66 3! + 45 − 9 = 66 3! = 66 − 45 + 9 3! = 30 ! = 30 3 = 10 por lo tanto el numero que peso es el 10. Ejemplo: De un deposito lleno de agua se saca la cuarta parte del contenido; después se extrae la mitad del resto queda en el depo- sito 1500 litros. ¿Cuántos litros de agua tenia el deposito? LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO Numero de litros de que tiene el deposito ! se saca la cuarta parte del contenido ! 4 El resto o lo que sobra en el deposito ! − ! 4 se extrae la mitad del resto 1 2 (! − ! 4 ) queda en el deposito 1500 litros 1 2 ! − ! 4 = 1 2 3! 4 = 3! 8 Numero de litros de que tiene el deposito ! = !! 4 + 3! 8 + 1500 Resolvemos la ecuación ! = !! 4 + 3! 8 + 1500 32(!) = 32 ! 4 + 32 3! 8 + 32(1500) 32! = 8 ! + 4 3! + 32(1500) 32! = 8! + 12! + 48000 32! − 8! − 12! = 48000 12! = 48000 ! = 48000 12 = 4000!!"#$%&
  14. 14. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti# 51 TALLER Expresar y resolver en lenguaje algebraico, las siguientes expresiones escritas en lenguaje coloquial: 1) El doble de un numero menos su cuarta parte. 2) Años de Ana Belén dentro de 12 años. 3) Años de Isabel hace tres años. 4) La cuarta parte de un número más el siguiente numero. 5) Perímetro de un cuadrado. 6) Un número par. 7) Un número impar. 8) Un múltiplo de 7. 9) Dos números enteros consecutivos. 10) Dos números que se diferencian en dos unidades. 11) El doble de un número menos su quinta parte. 12) El quíntuplo de un número más su quinta parte. 13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. 14) Dos números se diferencian en 13 unidades. 15) Dos números suman 13. 16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. 17) Dos números cuya suma es 25. 18) La cuarta parte de la mitad de un número. 19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho. 20) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. 21) Repartir una caja de manzanas entre seis personas. 22) Un número es 10 unidades mayor que otro. 23) Un número menos su mitad más su doble. 24) Un número 5 unidades menor que otro. 25) El cuadrado de un número. 26) Un número y su opuesto. 27) Un número y su inverso. 28) Veinticinco menos el cuadrado de un número. 29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte. 30) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo. 31) La suma de un numero con su consecutivo al cuadrado 32) El cociente entre un numero y su cuadrado 33) La diferencia de dos números impares consecutivos. 34) El producto de un número con su consecutivo 35) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado 36) Triple de un número elevado al cuadrado. 37) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado. 38) Roberto es cinco años más joven que Arturo. 39) Antonio tiene 20 pesos más que Juan. 40) Carmen supera a Concha en tres años. 41) El precio de “m” libros a 49 pesos cada uno. 42) El número que es la cuarta parte del número “y”. 43) El doble de tres números consecutivos. 44) El 25% de un número. 45) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 pesos. 46) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” pesos y se vende por “b” pesos. 47) Lo que cuesta un solo lápiz si 15 cuestan “p” pesos. 48) Un número más 12 unidades. 49) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael. Considerando un rebaño de “x” ovejas: 50) Número de patas del rebaño. 51) Número de patas si se mueren 6 ovejas. 52) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos. 53) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. 54) La suma de dos números es 106 y el mayor excede (lo aventaja, lo supera) al menor en 8. Hallar los números. 55) La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números. 56) Entre Ana y Betty tienen 1154 pesos, pero Betty tiene 506 pesos menos que Ana. ¿Cuanto tiene cada una? 57) Repartir el numero 106 en dos partes de tal manera que el numero mayor exceda (lo aventaja, lo supera) al numero menor en 24. 58) Ana tiene 14 años menos que Betty y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada una de ellas? 59) Repartir 1080 pesos entre Ana y Betty de tal manera que Ana reciba 1014 pesos más que Betty. 60) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea igual a 103.
  15. 15. Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas-Goretti! 52! # 61) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números. 62) Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma es igual a 74. 63) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma es igual a 194. 64) Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma es igual a 186. 65) Pague 325 pesos por un caballo, un carro y unos arreos. El caballo costo 80 pesos más que el coche y los arreos costaron 25 pesos menos que el coche. Hallar los precios ce compra del caballo, el carro y los arreos. 66) La suma de tres números es 200. El numero mayor excede al numero del medio en 32 y al numero menor en 65. Hallar los tres números. SOLUCIONES 1) 2! − ! 4 2) ! + 12 3) ! − 3 4) ! 4 + (! + 1) 5) 4! 6) 2! 7) 2! + 1 8) 7! 9) !; !!! + 1 10) !; !!! + 2 11) 2! − ! 5 12) 5! + ! 5 13) !; !2! − 5 14) !; ! + 13 15) !; !13 − ! 16) !; ! − 22 17) !; 25 − ! 18) ! 8 19) !; ! + 6 20) !; !! − 3 21) ! 6 22) !; !! + 10 23) ! − ! 2 + 2! 24) !!; !!! − 5 25) !! 26) !;!−! 27) !;! 1 ! 28) 25 − !! 29) !! − ! 4 30) !! + (! + 1) 31) ! + (! + 1)! 32) ! !! 33) 2! + 3 − (2! + 1) 34) ! ! + 1 35) (! + 1)! − !! 36) 3!! 37) 2!! − 7 38) !; !! − 5 39) !; !! + 20 40) !; !! + 3 41) 49! 42) ! 4 43) 2!; !!!2 ! + 1 ; !!!!2(2! + 2) 44) 25! 100 = 25%! 45) 8! 46) ! − ! 47) ! 15 48) ! + 12 49) !; !!8! 50) 4! 51) 4(! − 6) 52) !! + 18 53) ! + ! 4 + 1 4 (! + 1 4 ) 54) 57!!!49 55) 286 y 254 56) Ana 830 pesos y Betty 324 pesos 57) 65 y 41 58) Ana 21años y Betty 35 años 59) Ana 1047 pesos y Betty 33 pesos 60) 51 y 52 61) 67, 68, y 69 62) 17, 18, 19 y 20 63) 96 y 98 64) 61, 62 y 63 65) carro $90, caballo $170 y arreos $65 66) 99, 67 y 34.

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