FACTORIZACION-GONZALO REVELO PABON-GORETTI

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FACTORIZACION-GONZALO REVELO PABON-GORETTI

  1. 1. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti24MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d):El máximo común divisor de dos o mas números es otro numero que divide exactamente a cada uno de ellos.Método Abreviado: Para encontrar el Máximo Común Divisor (m.c.d) de dos o mas números, se aplica el Método Abreviadoque consiste en: Dividir a cada uno de los números que se hayan dado, por un numero primo que sea común a ellos y quelos divida exactamente. A los cocientes obtenidos de la anterior división, de igual manera se los divide entre un numero primo quesea común a ellos y que los divida exactamente. Y así sucesivamente se procede con los nuevos cocien-tes obtenidos. La división se termina cuando en los cocientes obtenidos NO EXISTE UN NUMERO PRIMO COMÚN aellos. Por esta razón de que no existe un numero primo para poder dividir a los nuevos cocientes, se dapor terminado el proceso para encontrar el Máximo Común Divisor (m.c.d) El máximo Común Divisor (m.c.d) de los números buscados es igual al producto de todos los númerosprimos comunes encontrados.NOTA: Para elegir al numero primo siempre se lo elige de izquierda a derecha de la siguiente lista,: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, y 97, que corresponde a los números primos menores quecien.Ejemplo: encontrar el m.c.d, de las siguientes listas de números.1) 8, 4, 16, y 12,2) 36, 48, 72, y 60,3) 10, 15, 20, y 30,8 4 16 12 24 2 8 6 22 1 4 3Entonces el m.c.d(8, 4, 16, 12) = 2x2=436 48 72 60 218 24 36 30 29 12 18 15 33 4 6 5Entonces el m.c.d(36, 48, 72, 60) = 2x2x3=1210 15 20 30 52 3 4 6Entonces el m.c.d(10, 15, 20, 30) = 5TALLERHallar el m.c.d de las siguientes listas de datos, aplicando el Método Abreviado.1) 32, 48, 64, y 80 Respuesta 162) 28, 42, 56, y 70 Respuesta 143) 15, 20, 30 y 60 Respuesta 54) 20, 28, 36, y 40 Respuesta 45) 22, 33, y 44 Respuesta 116) 16, 24, y 40 Respuesta 87) 30, 42, y 54 Respuesta 68) 24, 36, y 72 Respuesta 129) 18, 27 y 36 Respuesta 910) 7, 14 y 21 Respuesta 7FACTORIZACIÓN: “Consiste en transformar un polinomio P(x) como el producto de dos o mas factores”.Por ejemplo:Polinomio Polinomio Factorizado
  2. 2. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti25Para factorizar un polinomio P(x), se presentan los siguientes casos:I CASO: FACTOR COMÚN.1) Factor Común Monomio.2) Factor Común BinomioII CASO: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto.III CASO: Factorización de la Diferencia de Cuadrados Perfectos.IV CASO: Factorización de un Polinomio de la formaV CASO: Factorización de un Polinomio de grado superior a dos. (Teorema del Factor)I CASO: FACTOR COMÚN.1) Factor Común Monomio.Procedimiento:Para factorizar una expresión algebraica que tenga un Factor Común Monomio, se efectuá los siguientes pasos:Paso 1: Se encuentra el Máximo Común Divisor (m.c.d) de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebrai-ca.Paso2: Se elige la letra(s) o variable(s) que se encuentre(n) en TODOS los términos de la expresión algebraica, y se to-ma(n) la(s) letra(s) que tenga el MENOR exponente.Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Monomio encontrado.Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.Paso 5: Para comprobar si el proceso de factorización esta bien elaborado se aplica la ley distributiva de la multiplicacióncon relación a la suma algebraica. Que dice que:Ejemplo:Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)4)Solución1)Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos dela expresión algebraica es:m.c.d(8, 4, 16, 12) = 4Paso2: Se elige la letra o variable que se encuentre en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma la letraque tenga el MENOR exponente. En este caso la letra común que se encuentra en todos los términos de la expresión alge-braica y de menor exponente es: .De esta manera encontramos, el Factor Común Monomio de esta expresión algebraica que es: 4Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 4 . Paraobtener los siguientes cocientes:Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.2)Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es:m.c.d(36, 48, 72, 60) = 12.Paso2: Se elige la letra o variable que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica, y se toma la letraque tenga MENOR exponente. En este caso la letra común que se encuentra en todos los términos y de menor exponentees: .
  3. 3. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti26De esta manera encontramos, el Factor Común Monomio de esta expresión algebraica que es: 12Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 12 . Paraobtener los siguientes cocientes:Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.3)Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es:m.c.d(10, 15, 20, 30) = 5.Paso2: Se elige las letras o variables que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma lasletras que tengan el MENOR exponente.En este caso las letras comunes que se encuentra en todos los términos de la expresión algebraica y que tienen menorexponente es: .De esta manera encontramos, el Factor Común Monomio de esta expresión algebraica que es: 5Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 5 . Paraobtener los siguientes cocientes:Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de un par de paréntesis se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus propios signos.4)Paso 1: El Máximo Común Divisor de todos los coeficientes de los términos de la expresión algebraica es:m.c.d(18, 81, 27, 45) = 9.Paso2: Se elige las letras o variables que se encuentren en TODOS los términos de la expresión algebraica y se toma lasletras que tengan el MENOR exponente.En este caso las letras comunes que se encuentra en todos los términos de la expresión algebraica y que tienen menorexponente es: .De esta manera encontramos, el Factor Común Monomio de esta expresión algebraica que es: 9Paso 3: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el factor común monomio encontrado que es 9 . Paraobtener los siguientes cocientes:Paso 4: Se escribe el Factor Común Monomio y a continuación dentro de los paréntesis se escribe los cocientes encon-trados en el paso anterior, conservando sus propios signos.
  4. 4. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti27TALLERFactorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)FACTORIZAR UN FACTOR COMÚN MONOMIO NEGATIVO.Para factorizar un Factor Común Monomio negativo que se encuentra en una expresión algebraica, se efectuá los mismospasos que en el caso anterior, y si se desea simplificar este proceso operativo se debe tener en cuenta únicamente quetodos los términos que se encuentran en la parte interna de los paréntesis se los escribe con el signo contrario al que tie-nen en la expresión algebraica original.Ejemplo: factorizar las siguientes expresiones algebraicas: −182) FACTOR COMÚN BINOMIOProcedimiento:Para factorizar una expresión algebraica que tenga un Factor Común Binomio, se efectuá los siguientes pasos:Paso 1: Se identifica el Factor Común BinomioPaso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado.Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de los paréntesis, se escribe los cocientes encon-trados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.Paso 4: Para comprobar si el proceso de factorización esta bien elaborado se aplica la ley distributiva de la multiplicacióncon relación a la suma algebraica. Que dice que:Ejemplo:Factorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)4)Solución1)Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio esPaso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es .Para obtener los siguientes cocientes:Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.2)Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio es
  5. 5. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti28Paso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es .Para obtener los siguientes cocientes:Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.3)Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio esPaso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es .Para obtener los siguientes cocientes:Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.4)Paso 1: Se identifica el Factor Común Binomio, en esta expresión algebraica el factor común binomio esPaso 2: Se divide cada termino de la expresión algebraica, entre el Factor Común Binomio encontrado que es .Para obtener los siguientes cocientes:Paso 3: Se escribe el Factor Común Binomio y a continuación dentro de un par de paréntesis, se escribe los cocientesencontrados en el paso anterior, conservando sus respectivos signos.TALLERFactorizar o descomponer en dos factores, las siguientes expresiones algebraicas.1) a(x+y)+b(x+y)2) x(a+1)+2(a+1)+y(a+1)3) y(b+5)+z(b+5)4) m(a+b+c)-n(a+b+c)5) 5x(s+t)+4y(s+t)-7z(s+t)6) 2x(x+y+z)+6r(x+y+z)7) 3x(2a+7b)+4y(2a+7b)8) 3a(1+a)+4b(1+a)-5c(1+a)9) -2xy(1-3x)+4yz(1-3x)+4xz(1-3x)10) (4+x)(a+b)+3x(a+b)II CASO: FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.Un trinomio es un Cuadrado Perfecto, cuando es igual al cuadrado de la suma de dos términos o es igual al cuadrado dela diferencia de dos términos. Es decir:
  6. 6. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti29Procedimiento.Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se efectuá los siguientes pasos:Paso 1: Se ordena el trinomio con relación a una letra o variable.Paso 2: Al primero y tercer termino del trinomio se les extrae la raíz cuadrada. (NOTA: Para extraer la raíz cuadrada a unmonomio se extrae la raíz cuadrada al coeficiente y se divide al exponente de cada letra entre dos).Paso 3: El segundo termino del trinomio, debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas obtenidas en el pasoanterior. Si se cumple este paso entonces el trinomio es un cuadrado perfecto y se puede factorizarPaso 4: Se escribe dentro de los paréntesis izquierdo y derecho las raíces cuadradas y se las separa a las dos raícescon el signo que tiene el segundo termino del trinomio, elevando el binomio obtenido al cuadrado.EjemploFactorizar las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)Solución:1)Paso 1:El trinomio esta ordenado con relación a la letra xPaso 2:: Es la raíz cuadrada del primer termino 4: Es la raíz cuadrada del tercer termino 9Paso 3:2( )(3) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.)Paso 4:Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:2)Paso 1:El trinomio esta ordenado con relación a la letra xPaso 2:: Es la raíz cuadrada del primer termino 25: Es la raíz cuadrada del tercer terminoPaso 3:2( )( ) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.)Paso 4:Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:3)Paso 1:El trinomio esta ordenado con relación a la letra xPaso 2:: Es la raíz cuadrada del primer termino: Es la raíz cuadrada del tercer terminoPaso 3:2( )( ) (El doble producto de las raíces cuadradas es igual al valor del segundo termino del trinomio.)Paso 4:Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y se lo factoriza así:
  7. 7. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti30TALLERFactorizar las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)III CASO: FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.Procedimiento:Para factorizar una expresión algebraica que tenga una Diferencia de Cuadrados, se efectuá los siguientes pasos:Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia deCuadrados.Paso 2: Se escribe el producto mediante el uso de dos parejas de paréntesis.Paso 3: En la primera pareja de paréntesis se escribe la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de parénte-sis se escribe la diferencia de las raíces cuadradas que se han encontrado.EjemploFactorizar las siguientes expresiones algebraicas.1)2)3)Solución:1)Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia deCuadrados. Así:: Es la raíz cuadrada de: Es la raíz cuadrada de 9.Paso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradasque se han encontrado. Así:2)Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia deCuadrados. Así:: Es la raíz cuadrada de: Es la raiz cuadrada dePaso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradasque se han encontrado. Así:3)Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, de la expresión algebraica que contiene la Diferencia deCuadrados. Así:: Es la raiz cuadrada de: Es la raiz cuadrada dePaso 2 y 3: Se escribe el producto mediante el uso dos parejas de paréntesis. En la primera pareja de paréntesis se escri-be la suma de las raíces cuadradas y en la segunda pareja de paréntesis se escribe la diferencia de las raíces cuadradasque se han encontrado. Así:
  8. 8. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti31TALLERFactorizar las siguientes expresiones algebraicas:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.IV CASO: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO DE LA FORMAPara factorizar un polinomio de segundo grado que tiene la forma , se aplica la siguiente expresiónalgebraica:donde:: Son números enteros.: Es una variable: Son raíces o soluciones del polinomio cuadrático.Para encontrar las raíces del polinomio cuadrático o de segundo grado se emplea la siguiente ecuación:ProcedimientoPara factorizar un trinomio de segundo grado de la forma: se efectuá los siguientes pasos:Paso 1: Se encuentra las soluciones o raíces del trinomioPaso 2: se remplaza en la ecuaciónPaso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.EjemploFactorizar los siguientes polinomios cuadráticos:1)2)3)Solución:1)Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomioPara ello en primer lugar igualamos el trinomio dado, con el trinomio cuadrático , de donde se deduceque:Al remplazar los valores anteriores en la ecuación cuadrática se obtiene:
  9. 9. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti32Cuyas raíces o soluciones son:Paso 2: Remplazamos en la ecuación:Para obtener:Paso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.2)Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomioPara ello en primer lugar igualamos el trinomio dado, con el trinomio cuadrático , de donde se deduceque:Al remplazar los valores anteriores en la ecuación cuadrática se obtiene:Cuyas raíces o soluciones son:Paso 2: Remplazamos en la ecuación:Para obtener:
  10. 10. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti33Paso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.3)Paso 1: Encontremos las soluciones del trinomioPara ello en primer lugar igualamos el trinomio dado, con el trinomio cuadrático , de donde se deduceque:Al remplazar los valores anteriores en la ecuación cuadrática se obtiene:Cuyas raíces o soluciones son:Paso 2: Remplazamos en la ecuación:Para obtener:Paso 3: Se efectúan las operaciones indicadas en los factores y se simplifica si es posible.TALLERFactorizar los siguientes trinomios cuadráticos.1)2)3)
  11. 11. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti344)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)V CASO: FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO P(x) DE GRADO SUPERIOR A DOS. (Teorema del Factor)Para factorizar un polinomio P(x) de grado superior a dos, en términos generales utilizaremos el TEOREMA DEL FACTOR,que dice: Dado un polinomio P(x) de la forma:El Polinomio P(x) es divisible por un binomio de la forma x+a o x-a solamente si se cumple que: P(a)=0o P(-a)=0.Al valor numérico se llama raíz o cero del polinomio de .Por lo tanto se llaman Raíces o Ceros de un Polinomio a los valores que anulan al polinomio, es decir.Propiedades de las raíces1) A cada raíz de la forma x = a le corresponde un binomio de la forma (x – a) y a cada raíz del ti-po x= -a, le corresponde un binomio del tipo (x + a)2) Se puede expresar a un polinomio P(x) como el producto de todos los factores, de la formaque corresponden a las raíces, .3) La suma de los exponentes de los binomios debe ser igual al grado del polinomio.4) Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo m is-mo, decir el polinomio admite como factor a x.5) Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores .ProcedimientoPara factorizar un polinomio P(x) de grado superior a dos, efectuamos los siguientes paso:Paso 1: “Si el coeficiente del polinomio P(x) es igual a 1, entonces encontramos los divisores del términoindependiente ( ) del polinomioAhora, si el coeficiente del polinomio P(x) es diferente de uno (1), entonces encontramos las raíces del polinomioque serán el resultado de todos los divisores formados por los coeficientes dePaso 2: Encontramos las Raíces o Ceros del Polinomio, y serán aquellos valores que anulan al polino-mio, es decir .Paso 3:Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecua-ción:Ejemplo:Factorizar el polinomio .Como el polinomio P(x) es de cuarto grado, entonces tendrá cuatro raíces y al factorizarlo el polinomiotendrá la forma de:Para encontrar las raíces , , y efectuamos los siguientes pasos:
  12. 12. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti35Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es uno ( , entonces encontramos los divisores del término inde-pendiente que es 6, y sus divisores son: ±1, ±2, ±3.Paso 2: Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio, y para hallarlas remplazamos en el pol i-nomio P(x), los valores de ±1, ±2, ±3, y las raíces del polinomio P(x) serán aquellos valores numéricosque anulan al polinomio P(x). Es decir P(x) = 0.-150.0De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son:.Paso 3: Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-ción:Para obtener:Ejemplo:Factorizar el polinomio .Como el polinomio P(x) es de tercer grado, entonces tendrá tres raíces y al factorizarlo el polinomiotendrá la forma de:Para encontrar las raíces , , y efectuamos los siguientes pasos:Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es uno ( , entonces encontramos los divisores del término inde-pendiente 2 que son: ±1, ±2.Paso 2: Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio P(x), y para hallarlas remplazamos en elpolinomio P(x), los valores de ±1, ±2, y las raíces del polinomio P(x) serán aquellos valores numéricosque anulan al polinomio P(x). Es decir P(x) = 0....De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son:Paso 3:Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-ción:Para obtener:
  13. 13. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti36Ejemplo:Factorizar el polinomio .Como el polinomio P(x) es de tercer grado, entonces tendrá tres raíces y al factorizarlo el polinomiotendrá la forma de:Para encontrar las raíces , , y efectuamos los siguientes pasos:Paso 1: Como el coeficiente del primer termino es diferente de uno ( , entonces encontramos los divisores del co-eficiente del primer termino que es 2 y sus divisores son: y del termino independiente que es 12, cuyosdivisores son: .Por lo tanto, los cocientes formados por “el Termino independiente/coeficiente del primerno”( son:Paso 2:Ahora encontremos las Raíces o Ceros del Polinomio, y para hallarlas remplazamos en el pol i-nomio P(x), los valores de , y las raíces del polinomio P(x) serán los valoresnuméricos que anulan al polinomio P(x). Es decir P(x) = 0...2647504752-9..6..-126.-10,5.De esta manera hemos encontrado las raíces que anulan al polinomio P(x) que son:Paso 3: Remplazamos los valores de las raíces que se han encontrado en el paso anterior en la ecu a-ción:Para obtener:TallerFactorizar los siguientes polinomios, aplicando el Teorema del Factor.1)2)3)4)5)6)
  14. 14. Luis Gonzalo Revelo PabónDpto. de Matemáticas - Goretti377)8)9)10)

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