1.
Números
reales
ESTUDIANTE MIGUEL VALBUENA

2.
Estudiante
MiguelValbuena
sección0113

3.
Índice
4. ¿Qué son los conjuntos? y ejercicios.
5. Operaciones con conjuntos.
8. Intersección de conjuntos.
10. Diferencias de conjuntos.
12. Números reales.
19. Desigualdades.
23. Desigualdades con valor absoluto.

4.
¿Que son los conjuntos?
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación de
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación de
elementos siempre y cuando exista una condición para que tales elementos
elementos siempre y cuando exista una condición para que tales elementos
pertenezcan a los conjuntos, los elementos del conjunto también se les
pertenezcan a los conjuntos, los elementos del conjunto también se les
denomina objetos del conjunto.
denomina objetos del conjunto.
Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos reales como
Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos reales como
una agrupación de animales, personas, países, capitales del mundo, tipos de
una agrupación de animales, personas, países, capitales del mundo, tipos de
palomas, en fin cualquier cosa que tenga algo en común en la vida real para
palomas, en fin cualquier cosa que tenga algo en común en la vida real para
agruparlos,no fue hasta el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de
agruparlos,no fue hasta el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de
conjunto como un objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por
conjunto como un objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por
ejemplo con números.
ejemplo con números.
Ejercicios:
Ejercicios:
Conjunto de aves:
Conjunto de aves:
A={ pelicano, gallina, tucan }
A={ pelicano, gallina, tucan }
Conjunto de los números primos:
Conjunto de los números primos:
P={2,3,5,7,11,⋯}
P={2,3,5,7,11,⋯}

5.
Operaciones
conconjuntos

6.
Unióndeconjuntos
ES LA OPERACIÓN QUE NOS PERMITE UNIR DOS O MÁS CONJUNTOS PARA FORMAR OTRO CONJUNTO QUE
ES LA OPERACIÓN QUE NOS PERMITE UNIR DOS O MÁS CONJUNTOS PARA FORMAR OTRO CONJUNTO QUE
CONTENDRÁ A TODOS LOS ELEMENTOS QUE QUEREMOS UNIR PERO SIN QUE SE REPITAN. ES DECIR DADO
CONTENDRÁ A TODOS LOS ELEMENTOS QUE QUEREMOS UNIR PERO SIN QUE SE REPITAN. ES DECIR DADO
UN CONJUNTO A Y UN CONJUNTO B, LA UNIÓN DE LOS CONJUNTOS A Y B SERÁ OTRO CONJUNTO FORMADO
UN CONJUNTO A Y UN CONJUNTO B, LA UNIÓN DE LOS CONJUNTOS A Y B SERÁ OTRO CONJUNTO FORMADO
POR TODOS LOS ELEMENTOS DE A, CON TODOS LOS ELEMENTOS DE B SIN REPETIR NINGÚN ELEMENTO. EL
POR TODOS LOS ELEMENTOS DE A, CON TODOS LOS ELEMENTOS DE B SIN REPETIR NINGÚN ELEMENTO. EL
SÍMBOLO QUE SE USA PARA INDICAR LA OPERACIÓN DE UNIÓN ES EL SIGUIENTE: ∪.
SÍMBOLO QUE SE USA PARA INDICAR LA OPERACIÓN DE UNIÓN ES EL SIGUIENTE: ∪.
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5,6,7,} Y B={8,9,10,11} LA UNIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5,6,7,} Y B={8,9,10,11} LA UNIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
TAMBIÉN SE PUEDE GRAFICAR DEL SIGUIENTE MODO:
TAMBIÉN SE PUEDE GRAFICAR DEL SIGUIENTE MODO:

7.
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA UNIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ A∪B=
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA UNIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ A∪B=
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:

8.
Intersecciónde
conjuntos

9.
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA INTERSECCIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA INTERSECCIÓN DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
A∩B={4,5}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
A∩B={4,5}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X ESTUDIANTES QUE
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X ESTUDIANTES QUE
JUEGAN BÁSQUET}, LA INTERSECCIÓN SERÁ F∩B={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL Y BÁSQUET}.
JUEGAN BÁSQUET}, LA INTERSECCIÓN SERÁ F∩B={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL Y BÁSQUET}.
USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:

10.
Diferenciasde
conjuntos

11.
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
A-B={1,2,3}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
A-B={1,2,3}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS SERÁ
B-A={6,7,8,9}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
B-A={6,7,8,9}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:

12.
Númerosreales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que
Se puede definir a los números reales como aquellos números que
tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
periódica.
periódica.
Los números reales son todos los números que encontramos más
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números racionales se clasifican en:
Los números racionales se clasifican en:
a)Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1,
a)Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1,
2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …
2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …

13.
b)
b)Números Enteros (Z)
Números Enteros (Z)
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo:
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c)
c)Números Fraccionarios
Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden
, son aquellos números que se pueden
expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números
expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números
de la forma a/b con a, b enteros y b ≠0.
de la forma a/b con a, b enteros y b ≠0.
d)
d)Números Algebraicos
Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de
, son aquellos que provienen de la solución de
alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados. Por ejemplo, 
radicales libres o anidados. Por ejemplo,  √3
√3

14.
No pueden representarse mediante un número finito de raíces
No pueden representarse mediante un número finito de raíces
libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones
libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones
trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El
trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El
número
número
π
π
y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden
y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden
expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes
expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes
también surgen al escribir números decimales no periódicos al
también surgen al escribir números decimales no periódicos al
azar o con un patrón que no lleva periodo definido.
azar o con un patrón que no lleva periodo definido.
Números
Trascendentales

15.
1) 9+(2)=
1) 9+(2)=
+9+2=+11
+9+2=+11
EJERCICIOS NUMEROS
EJERCICIOS NUMEROS
ENTEROS:
ENTEROS:
2) +9-2=
2) +9-2=
+9-2= +7
+9-2= +7
EJERCICIOS NUMEROS
EJERCICIOS NUMEROS
NATURALES:
NATURALES:
1)Encontrad el número que falta
y decid si es número natural:
288+...=500
288+...=500
500-288=212
500-288=212 212 SI ES
212 SI ES
UN
UN
288+212=500
288+212=500 NUMERO
NUMERO
NATURAL
NATURAL
2) ...+5,5=7
...+5,5=7
7-5,5=1,5
7-5,5=1,5 1,5 NO ES
1,5 NO ES
UN
UN
1,5+5,5=7
1,5+5,5=7 NUMERO
NUMERO
NATURAL
NATURAL
EJERCICIOS NUMEROS
EJERCICIOS NUMEROS
FRACCIONARIOS:
FRACCIONARIOS:
1) Violeta bebió 3/8 de litro de leche en la mañana
y 1/4 de litro en la tarde ¿Cuanta leche tomo en
total?
3
3 +
+ 1
1
8
8 4
4
multiplicamos los
denominaodres y luego se
multiplica en X
3
3 +
+ 1
1
8
8 4
4
= 12+8
= 12+8
32
32
=20
=20
32
32 = 5
= 5
8
8
simplificamos el resultado
que nos dio y el resultado
seria
3
3 +
+ 1
1
8
8 4
4
= 12+8
= 12+8
32
32
=20
=20
32
32
= 5
= 5
8
8
Violeta tomo un total de
= 5
= 5
8
8
de litros de leche

16.
1
1 +
+ 4
4
3
3 5
5
1
1 +
+ 4
4
3
3 5
5
= 5+6
= 5+6
15
15
=11
=11
15
15
En las dos primeras horas recorrió los 11/15 de la etapa
aquí haremos el mismo
procedimiento que hicimos
anteriormente
2) Un ciclista recorre 1/3 de la etapa en la primera hora y 2/5 en
la segunda hora ¿Qué fracción de la etapa ha recorrido en las dos
primeras vueltas?

17.
Ejerciciosdenúmeros
algebraicos
1) 2x − 5x + 39 = 0
1) 2x − 5x + 39 = 0
3
3
Necesitamos encontrar el valor de x
Necesitamos encontrar el valor de x tal que 2x − 5x + 39
tal que 2x − 5x + 39
es igual a 0
es igual a 0
3
3
Bueno,
Bueno, x = −3
x = −3 funciona porque 2(−3) − 5(−3) + 39 =
funciona porque 2(−3) − 5(−3) + 39 =
−54+15+39 = 0
−54+15+39 = 0
3
3
Por lo que
Por lo que −3 es un número algebraico
−3 es un número algebraico
2) 2x − ¼ = 0
2) 2x − ¼ = 0
3
3
Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números racionales.
Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números racionales.
Y
Y x = 0,5
x = 0,5, porque 2(0,5) − ¼ = 0
, porque 2(0,5) − ¼ = 0
3
3
Por lo que
Por lo que 0,5
0,5 es un número algebraico
es un número algebraico

18.
Ejerciciosdenúmerostrascendentes
La pizzería “EXÓTICA” vende pizzas de tres diámetros: pequeña de 30 cm, mediana de 37 cm y
grande de 45 cm. Un niño tiene mucha hambre y se dio cuenta que dos pizzas pequeñas tienen el
mismo costo que una grande. ¿Qué será mejor para él, comprar dos pizzas pequeñas o una grande?
Solución:
Entre mayor sea el área mayor será la cantidad de pizza, por esta razón se calculará el área de
una pizza grande y se comparará con la de dos pizzas pequeñas:
Área de la pizza grande = ¼ π D = ¼ ⋅3,1416⋅45 = 1590,44 cm
2 2 2
Área de la pizza pequeña = ¼ π d = ¼ ⋅3,1416⋅30 = 706,86 cm
2 2 2
Por lo tanto dos pizzas pequeña tendrán un área de 2 x 706,86= 1413,72 cm
2

19.
Desigualdades
mayor que >
mayor que >
Menor que <
Menor que <
Menor o igual que ≤
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Mayor o igual que ≥
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como
mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan
índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan
valores desiguales.
valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que,
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que,
aquellas que emplean:
aquellas que emplean:
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad
no es igual.
no es igual.

20.
Empezamos escribiendo el problema original:
3x−5>1
Para despejar la variable, sumamos 5 ambos lados de la
desigualdad:
3x−5+5>1+5
Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
3​ 6
​
3 3 x>2
x>
5x<25
5 25
​
5 5 x>5
x>
Ejerciciosdedesigualdades
ejercicio 1: ejercicio 2:
Resuelve y grafica la desigualdad 3x-5>13x−5>1
Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que
el 2 no está incluido en la solución. La solución es todos
los números hacia la derecha del 2:
Resuelve y grafica la desigualdad 5x-10<15
5x-10<15
5x−10+10<15+10
Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad
son todos los números reales hacia la izquierda de 5. El 5
no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para
indicar esto:

21.
Valorabsoluto
El
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con
valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con
signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya
signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya
sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se representa
sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se representa
como |−4 | | −4 | y equivale a 44, y el valor absoluto de 44 se representa como | 4 | | 4 |,
como |−4 | | −4 | y equivale a 44, y el valor absoluto de 44 se representa como | 4 | | 4 |,
lo cual también equivale a 44.
lo cual también equivale a 44.
1) Resolver la siguiente ecuación con valor
1) Resolver la siguiente ecuación con valor
absoluto:
absoluto:
ejercicios:
Esto ocurre cuando x≥3x
Esto ocurre cuando x≥3x
El valor absoluto de x−3es x−3, así que la
El valor absoluto de x−3es x−3, así que la
ecuación que tenemos es
ecuación que tenemos es
Supongamos ahora que x−3 es menor que
Supongamos ahora que x−3 es menor que
0:
0:
Esto ocurre cuando x<3
Esto ocurre cuando x<3
El valor absoluto de x−3x es −(x−3), así
El valor absoluto de x−3x es −(x−3), así
que la ecuación que tenemos es
que la ecuación que tenemos es
La ecuación tiene dos soluciones: x=5 y
La ecuación tiene dos soluciones: x=5 y
x=1.
x=1.

22.
2) Demostrar la propiedad siguiente:
2) Demostrar la propiedad siguiente:
Escribimos el valor absoluto en función del signo:
Escribimos el valor absoluto en función del signo:
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas posibles:
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas posibles:
Es decir, x=−y o bien, x=y
Es decir, x=−y o bien, x=y

23.
Desigualdadesconvalor
absoluto
Una desigualdad de
Una desigualdad de valor absoluto
valor absoluto es una
es una desigualdad
desigualdad que tiene un signo de valor
que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
absoluto con una variable dentro.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a <
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a <
b Y a > - b .
b Y a > - b .

24.
1) Resuelva y grafique.
1) Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
| x – 7| < 3
ejercicios
Para resolver este tipo de desigualdad,
Para resolver este tipo de desigualdad,
necesitamos descomponerla en una
necesitamos descomponerla en una desigualdad
desigualdad
compuesta
compuesta .
.
1x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
1x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 <
–3 < x – 7 < 3
x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 <
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
x - 7 + 7 < 3 + 7
4 <
4 < x <10
x <10
La gráfica se vería así:
La gráfica se vería así:
2) Resuelva y grafique.
2) Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
La gráfica se vería así:

25.
Bibliografia
Información obtenida de:
Información obtenida de:
*Aula de material de apoyo de matemática.
*Aula de material de apoyo de matemática.
*Canal de youtube de Matemáticas profe Alex.
*Canal de youtube de Matemáticas profe Alex.

26.
Gracias por
leer