SlideShare a Scribd company logo
1 of 36
Download to read offline
María Molero y Adela Salvador
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
MODELOS TEÓRICOS
DATOSDATOS INICIOINICIO
MODELO DE
MASON - BURTON -
STACEY
EJEMPLOSEJEMPLOSMODELO DEMODELO DE
POLYAPOLYA
RESUMENRESUMEN AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
María Molero y Adela Salvador
DATOS
• Título: Resolución de problemas. Modelos teóricos
• Autoras: María Molero y Adela Salvador
• Nivel educativo: Secundaria, Bachillerato y Universidad
• Descripción:
 Se definen conceptos básicos: Heurística, problema,
fases de los modelos.
 Se estudian diferentes modelos de resolución de
problemas.
 Se consolidan los conceptos teóricos con ejemplos
prácticos.
 Se realiza un breve resumen
 Se incluye una breve bibliografía
María Molero y Adela Salvador
ÍNDICE
• MODELOS TEÓRICOS
• ¿QUÉ ES UN PROBLEMA
• ¿QUÉ ES LA HEURÍSTICA?
• FASES DE LOS MODELOS. CARACTERÍSTICAS
• MODELO DE POLYA
FASES
• MODELO DE MASON - BURTON - STACEY
FASES
• EJEMPLOS
• RESUMEN
• BIBLIOGRAFÍA
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
MODELOS TEÓRICOS
• Modelo de G. POLYA
• Modelo de MASON – BURTON – STACEY
Otros modelos:
• Modelo de M. GUZMÁN
• Modelo de BRANSFORD - STEIN
• Modelo del GRUPO CERO
María Molero y Adela Salvador
¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
Un problema matemático es una situación
en la que hay un objetivo que conseguir
superando una serie de obstáculos siempre
que el sujeto que afronta la situación no
conozca procedimientos o algoritmos que le
permitan, de inmediato, alcanzar el
objetivo.
• Diferencias entre ejercicio, problema e
investigación.
• La importancia de los conocimientos de la
persona que se plantea el problema.
María Molero y Adela Salvador
¿QUÉ ES LA HEURÍSTICA?
La heurística como "arte de resolver problemas"
trata de desvelar el conjunto de actitudes,
procesos generales, estrategias y pautas que
favorecen la resolución de problemas en general
y en particular de los problemas matemáticos.
• Los procesos generales son los ejes que articulan la
resolución de problemas como son la generalización, la
inferencia, la deducción, la simbolización, la particularización ...;
• Las estrategias heurísticas son herramientas que nos
permiten transformar el problema en otra situación que nos
acercan hacia la solución;
• Las pautas heurísticas son sugerencias que nos prestan una
gran ayuda en aspectos muy concretos del problema y en
momentos de bloqueo.
• Hay actitudes que facilitan el proceso como son la flexibilidad,
la perseverancia, el gusto por el riesgo y por afrontar
situaciones que supongan un reto, y la práctica de reflexionar
sobre la experiencia acumulada.
María Molero y Adela Salvador
FASES DE LOS MODELOS.
CARACTERÍSTICAS:
• Las fases que plantean los distintos
modelos, no siempre se presentan
explícitamente, depende en parte del
tipo de problema y de su dificultad.
• Hay problemas muy sencillos que se
resuelven al comprender el enunciado, y
puede haber enunciados muy simples que
esconden problemas de verdadera
dificultad.
• Tampoco se presentan separadas sino
que normalmente cada fase interfiere
con la anterior o con la siguiente.
María Molero y Adela Salvador
MODELO DE POLYA
El modelo teórico que G. Polya desarrolla, incluye
un diccionario de heurística que agrupa, las
estrategias, las pautas, los procesos generales,
los métodos de demostración, las emociones, ...
que intervienen en la resolución de problemas.
Considera que el razonamiento heurístico aunque
poco riguroso resulta un método muy plausible
para resolver un problema.
Compara la intuición y la demostración formal con
la percepción de un objeto por dos sentidos
diferentes.
María Molero y Adela Salvador
FASES DEL MODELO DE POLYA
1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan.
3. Ejecutar un plan.
4. Examinar la solución obtenida.
• En cada una de estas fases hay pautas o sugerencias
heurísticas que pretenden fijar la atención sobre aspectos
concretos del problema, para sugerir ideas que permitan
avanzar en su resolución.
• No todas las pautas sirven para todos los problemas, sino
que forman un conjunto de posibilidades entre las que
debemos elegir aquellas que se adaptan a cada problema
determinado.
• No se pretende enfrentarnos a un problema con una lista de
sugerencias heurísticas, sino interiorizarlas para que
posteriormente surjan de forma espontánea.
María Molero y Adela Salvador
FASE 1: Comprender el problema
Es una fase de preparación donde
• Se examina la situación
• Se manipula para entenderla mejor
• Se relaciona con situaciones semejantes
En esta fase se pretende que después de leer el
enunciado del problema y aceptar el reto de
resolverlo seamos capaces de contestar las
siguientes preguntas:
 ¿Cuáles son los datos?
 ¿Cuál es la incógnita?
 ¿Cuál es la condición?
 ¿La condición permite determinar la incógnita?
María Molero y Adela Salvador
FASE 2: Concebir un plan
Consiste en determinar las estrategias que
• Transforman el problema.
• Facilitan la solución.
• Determinan las conexiones entre los datos y las
incógnitas.
Si nos encontramos atascados las preguntas que nos
pueden ayudar a superar el bloqueo son:
 ¿Conoces algún problema parecido a este? ¿En qué se
parece? ¿En qué se diferencia?
 ¿Qué relación tienen los datos entre sí?
 ¿Qué puedo deducir a partir de los datos?
 ¿Puedo dividir el problema en partes?
 ¿Puedo enunciar el problema de forma diferente?
 ¿Y si el problema no tiene solución? ¿Hay algún dato
contradictorio en el problema?
 ¿Has utilizado todos los datos? ¿Hay alguno redundante o
irrelevante?
María Molero y Adela Salvador
FASE 3. Ejecutar un plan.
En esta fase
Se realizan los cálculos y operaciones necesarias
para aplicar los procedimientos y estrategias
elegidos en la fase anterior.
Es importante tener en cuenta las siguientes
sugerencias:
 Comprueba cada uno de los pasos.
 ¿Puedes justificar que cada paso es correcto?
 ¿Puedes demostrarlo?
 Si tienes dificultades no desistas hasta que veas
claramente que tu plan no es válido y en ese caso
debes ser flexible, abandonarlo y volver a la fase
anterior de búsqueda.
María Molero y Adela Salvador
FASE 4: Examinar la solución
Consiste en examinar a fondo el camino seguido:
• Comprobar cálculos, razonamientos, y que la
solución corresponde al problema propuesto.
• Localizar rutinas útiles.
• Resolverlo de una forma más sencilla o más
elegante.
• Intentar generalizarlo a un contexto más amplio.
• Buscar problemas relacionados, y la posible
transferencia de resultados, métodos y procesos.
Las pautas heurísticas asociadas a esta fase son:
 ¿Puedes verificar el resultado?
 ¿Puedes verificar el razonamiento?
 ¿Te parece lógica la solución? ¿Puede haber otra solución?
 ¿Eres capaz de transformar el problema resuelto en otro similar?
 ¿Puedes resolverlo de otra forma?
 ¿Puedes generalizar el resultado?
 ¿Puedes plantearlo con datos más generales? VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
MODELO DE
MASON - BURTON - STACEY
• Este modelo analiza el pensamiento y la experiencia
matemática en general, que engloba como un caso
particular la resolución de problemas.
• Muestra la influencia que tiene el desarrollo del
razonamiento matemático en el conocimiento de nosotros
mismos y del mundo que nos rodea.
• Las emociones de quien resuelve el problema, son
elementos indispensables en el proceso de razonar
matemáticamente, que considera motivado por una
situación en la que se mezclan contradicción, tensión y
sorpresa en una atmósfera de preguntas, retos y
reflexiones.
• El enfoque positivo que se concede al hecho de estar
atascado o atascada, que considera una situación muy
digna y constituye una parte esencial del proceso de
mejora del razonamiento, valorando más un intento de
resolución fallido que una cuestión resuelta rápidamente
y sin dificultades ya que lo que importa no son las
respuestas sino los procesos.
María Molero y Adela Salvador
MODELO DE
MASON - BURTON - STACEY
• Una sugerencia importante es dejar por escrito todo el
proceso de resolución con objeto de poder recordar y
reconstruir un momento determinado del problema y como
un método para superar el bloqueo, cuando el resolutor/a se
encuentra sin saber que hacer.
• Las notas, también son importantes los rótulos que son
símbolos que indican los estados de ánimo por los que se
pasa, las ideas felices, los bloqueos, las situaciones
delicadas en las que hay peligro de equivocarse, ...
• La actividad de razonar se describe, como si hubiera un
agente externo dentro de nosotros mismos, que nos
aconseja lo que tenemos que hacer, lo denominan monitor
interior y actúa como un tutor que vigila los cálculos y los
planes a ejecutar, identifica los estados emocionales
sugiriendo alternativas, examina críticamente los
razonamientos y el proceso, y nos recuerda que hay que
revisar y generalizar resultados, en definitiva controla el
proceso de resolución desde fuera.
María Molero y Adela Salvador
FASE 1: Abordaje.
Esta fase está encaminada a comprender, interiorizar
y familiarizarnos con el problema.
Después de leer cuidadosamente el problema es
necesario contestar las siguientes preguntas:
• ¿Qué es lo que sé?
• ¿Qué es lo que quiero?
• ¿Qué es lo que puedo usar?
La fase puede darse por concluida cuando
somos capaces de representar y organizar la
información mediante símbolos, diagramas,
tablas, o gráficos.
María Molero y Adela Salvador
FASE 2: Ataque.
Es la fase más compleja ya que en ella se trata de asociar y
combinar toda la información de la fase anterior.
Es en esta fase donde intervienen las distintas estrategias
heurísticas que nos permiten acercarnos a la solución del
problema.
• Los estados de ánimo más característicos son el de estar
¡Atascado! y el de las ideas ¡Aja!
• Los procesos matemáticos fundamentales, que aparecen en
esta fase son:
 La inducción, que se materializa en el hecho de hacer
conjeturas orientadas a conseguir la solución del
problema,
 La deducción que pretende justificar dichas conjeturas
mediante las leyes lógicas a través de los teoremas
matemáticos.
María Molero y Adela Salvador
FASE 3: Revisión
Cuando se consigue una solución es conveniente
revisarla e intentar generalizarla a un contexto más
amplio, para esto es necesario:
• Comprobar la solución, los cálculos, el razonamiento
y que la solución corresponde al problema.
• Reflexionar en las ideas, en los momentos clave, en
las conjeturas y en la resolución.
• Generalizar a un contexto más amplio, buscar otra
forma de resolverlo o modificar los datos iniciales.
• Redactar la solución dejando claro qué es lo que se
ha hecho y porqué.
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
EJEMPLO 1: “Los vigilantes”
Las calles de una ciudad forman una malla
de horizontales y verticales en cuadrados de
100 m de lado. En cada cuadrado hay una
manzana de casas.
Se pretende montar un servicio de
vigilancia. Cada guardia colocado en una
esquina puede vigilar como máximo una
distancia de 100 m en cada una de las
cuatro direcciones.
Busca el menor número de vigilantes
necesarios para vigilar una ciudad con
forma de cuadrado y n calles en cada lado.
María Molero y Adela Salvador
“Los vigilantes”. Abordaje 1:
• Después de leer detenidamente el problema, lo primero que
hacen es realizar un gráfico que represente la información:
Contar calles, esquinas y vigilantes.
• A continuación consideran casos particulares, y cuando no se
les ocurre, es necesario indicarles la necesidad de hacer una
tabla que agrupe de modo sistemático los resultados
obtenidos al particularizar.
• La forma de realizar la tabla es muy variada, hay quien
relaciona el número de vigilantes con el número de manzanas
en cada lado de la ciudad, otros con el número de esquinas y
otros con el número de calles en cada lado, no sabemos si
estos últimos lo hacen por casualidad, aunque posiblemente
se han leído mejor el problema y saben que es el dato que
tienen que utilizar.
María Molero y Adela Salvador
“Los vigilantes”. Abordaje 2:
Manzanas Calles Esquinas Vigilantes
1 2 4 2
2 3 9 5
3 4 16 8
4 5 25 13
5 6 36 18
6 7 49 25
7 8 64 32
En nuestra tabla recogeremos todos estos datos.
María Molero y Adela Salvador
“Los vigilantes”. Ataque 1:
• A partir de los resultados, buscamos una regla que nos
permita relacionar el número de calles en cada lado de la
ciudad con el número mínimo de vigilantes necesarios.
• Lo normal es que observen que necesitan un regla diferente
para las ciudades que tienen un número par de calles por lado
y las que tienen un número impar, y los que han considerado
el número de esquinas enseguida concluyen que para "los
pares la mitad de las esquinas y para los impares la mitad del
numero de esquinas más uno".
• En este momento es necesario hacerles ver que el dato del
problema es el número de calles en cada lado de la ciudad
por lo que es necesario expresar la solución en función de ese
dato que llamaremos n.
María Molero y Adela Salvador
“Los vigilantes”. Ataque 2:
• Con más o menos ayuda son capaces de plantear la siguiente
hipótesis: si n es el número de calles en cada lado y v es el
número de vigilantes:
v = n2/2 si n es par y v =(n2 + 1)/2 si n es impar
• Lo difícil es conseguir que justifiquen las conjeturas incluso en
el caso de un número par de calles.
• Esta falta de justificación les impide darse cuenta de que si el
número de calles es impar la conjetura no es válida por que
hemos comenzado suponiendo un vigilante en la esquina
superior izquierda y observamos que si lo suprimimos de tal
forma que esta esquina quede vigilada por los de las esquinas
contiguas necesitamos menos vigilantes.
• En la primera calle horizontal necesitamos (n - 1)/2 vigilantes y
en la siguiente (n + 1)/2 como hay (n + 1)/2 calles de (n - 1)/2
vigilantes y (n - 1)/2 calles de (n + 1)/2 vigilantes la hipótesis
correcta es:
v = (n2 - 1)/2 cuando n es impar.
María Molero y Adela Salvador
“Los vigilantes”. Revisión:
• Después de comprobar que la solución encontrada
es efectivamente la que nos pide el problema
intentamos generalizarlo.
• Entre las ideas que suelen surgir en clase, esta la
de considerar una ciudad rectangular con n y m
calles respectivamente en cada uno de los lados.
• Aunque también podemos olvidarnos de la ciudad
y los vigilante e intentar trasladar nuestro problema
a una malla de puntos triangular, exagonal, o
pentagonal.
• A partir de ahora vuelve a comenzar el problema.
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
EJEMPLO 2: “La tira de papel”
Con una tira de papel, pliégala por la mitad
y luego por la mitad otra vez, doblando
siempre en el mismo sentido. Si la
desdoblas, observas que hay tres marcas
una "hacia arriba" y dos "hacia abajo". Si la
doblas n veces y luego la desdoblas
completamente. ¿Cuántas marcas tendrás
en total? ¿Cuántas de ellas son "hacia
arriba" y cuántas "hacia abajo"?
María Molero y Adela Salvador
“La tira de papel”. Abordaje. 1
• Después de leer detenidamente el problema, la primera acción
es coger una tira de papel para doblarla y desdoblarla
sucesivamente, señalando una de las caras para doblarla en
el mismo sentido.
• A veces es necesario indicar la necesidad de hacer una tabla
que agrupe de modo sistemático los resultados obtenidos.
• La tabla se puede realizar de diferentes formas, contando sólo
el número de marcas, determinando las marcas hacia arriba y
hacia abajo, o mucho mejor estableciendo el orden en el que
aparecen, para lo que es necesario elegir una notación
adecuada para diferenciar las marcas, por ejemplo, a para las
marcas hacia arriba y b para las que están hacia abajo.
• Normalmente hay que coger varias tiras de papel doblarlas
varias veces y una buena idea es nombrarlas como a o b en
cada doblez.
• A partir del quinto doblez es difícil determinar las marcas en
una tira de papel de medida A4 por lo que conviene formular
hipótesis a partir de los resultados y encontrar una regla para
determinar las marcas sin necesidad de plegar la tira
María Molero y Adela Salvador
“La tira de papel”. Abordaje. 2
Doblez Nº de marcas
hacia arriba
Nº de marcas
hacia abajo
Nº de marcas
totales
Marcas
1 0 1 1 b
2 1 2 3 bba
3 3 4 7 bbabbaa
4 7 8 15 bbabbaab
bbaabaa
5 15 16 31
Tabla:
María Molero y Adela Salvador
“La tira de papel”. Ataque
• Con respecto al número total de marcas 1, 3, 7,
15, 31, …, una buena hipótesis es que si n es el
número de dobleces el número total de marcas
es: 2n – 1.
• Se observa también que el número de marcas
hacia arriba es una menos que el número de
marcas hacia abajo.
• Además si para n dobleces el número de
marcas hacia abajo es 2n-1 y el número de
marcas hacia arriba es 2n-1 – 1, su suma, el
número total de marcas, es: 2n – 1.
María Molero y Adela Salvador
“La tira de papel”. Revisión
• Se trata de demostrar que la hipótesis sugerida es
cierta, en el primer doblez la tira queda dividida en
dos partes, en los sucesivos cada parte sin marcas
del doblez anterior queda dividida en 2, por lo tanto
después de n dobleces la tira queda dividida en 2n
partes separadas por 2n – 1 marcas.
• Una buena experimentación permite determinar el
orden en el que aparecen las diferentes marcas, se
trata de intercalar las marcas del doblez anterior
simbolizadas por (*) en la serie: b*a*b*a*b*a … b*a
• Esta regla nos permite explicitar el tipo de marca que
ocupa un lugar para un número de dobleces dado,
por ejemplo, cómo es la marca, hacia arriba o hacia
abajo, que ocupa el lugar 25 cuando se realizan 7
dobleces.
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
RESUMEN
• La resolución de problemas es una actividad mental que
incluye los diversos procesos que rigen el pensamiento
matemático, modulada por ciertos estados emocionales que
interfieren, obstaculizando o facilitando dichos procesos.
• El éxito en la resolución de problemas mejora con la práctica
y mediante la reflexión sobre el estudio del proceso en sí
mismo, examinando las estrategias que proporcionan
herramientas para afrontarlo con confianza, y las pautas o
sugerencias heurísticas que son indicaciones o preguntas
que sirven para fijar la atención en aspectos concretos del
problema y nos permiten avanzar en su resolución.
• En el proceso de resolución de problemas resulta útil
considerar varias fases que son similares en los distintos
modelos. Así en el de G. Polya son: Comprender del
problema, Concebir un plan, Ejecutar el plan y Examinar la
solución y en el modelo de Mason-Burton-Stacey: Abordaje,
Ataque y Revisión.
María Molero y Adela Salvador
RESUMEN. MODELO POLYA
En el modelo de resolución de problemas que
propone G. Polya podemos considerar 4 fases:
La primera es comprender el problema, lo que
significa saber cuáles son los datos, la incógnita y la
condición.
A continuación es necesario concebir un plan
utilizando las estrategias de resolución de problemas
y con la ayuda de las pautas o sugerencias
heurísticas.
Después tenemos que ejecutar dicho plan intentando
justificar la solución.
Por último hay que examinar y generalizar la solución
obtenida.
María Molero y Adela Salvador
RESUMEN. MODELO
MASON - BURTON - STACEY
• El modelo de resolución de problemas de Mason-
Burton-Stacey considera tres fases.
• En la fase de abordaje además de comprender el
problema y familiarizarnos con el, se representa y
organiza la información.
• En la fase de ataque intervienen procesos
matemáticos fundamentales como son, hacer
conjeturas y justificarlas, asociados a estados
emocionales.
• La fase de revisión consiste en comprobar los
resultados de forma reflexiva y generalizarlos a un
contexto más amplio
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
AUTOEVALUACIÓN
1. Redacta el proceso de resolución, estableciendo las
distintas fases del siguiente problema:
Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un
cliente gracioso se levanta por la noche y las abre
todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer
cliente modifica las que son múltiplo de tres, si está
abierta la cierra y si está cerrada la abre. El cuarto lo
mismo de cuatro en cuatro y así sucesivamente.
¿Cómo están las puertas por la mañana?.
2. Establece la relación que existe entre las fases del
modelo de Polya y las del modelo de Mason-Burton-
Stacey.
3. Indica dos pautas o sugerencias heurísticas en cada
una de las fases del modelo de Polya.
4. Indica tres características generales del modelo de
Mason-Burton-Stacey.
María Molero y Adela Salvador
AUTOEVALUACIÓN: SOLUCIÓN 1
1. :
• Abordaje: Consiste en ir considerando las puertas que van
quedando abiertas, hasta observar que estas son: 1, 4, 9 ...
• Ataque: Por una parte parece que la solución es que se
quedan abiertas las puertas cuyos números son cuadrados
perfectos. Por otra parece que para que una puerta quede
abiertas es necesario que su número tenga un número impar de
divisores.
• Revisión: Esta ambivalencia desaparece si demostramos que
los cuadrados perfectos son los únicos números con un número
impar de divisores
2. La relación entre las fases de los dos modelos es la siguiente:
la fase de Abordaje se corresponde con la fase de Comprender
el problema y de la parte preparatoria de Concebir un plan en la
que se representa la información mediante gráficos, tablas o
diagramas. La fase de Ataque coincide con el final de la fase de
Concebir un plan y con la de ejecutarlo y la fase de revisión
coincide con la de revisar la solución.
María Molero y Adela Salvador
AUTOEVALUACIÓN: SOLUCIÓN 2
3. :
• Comprender el problema. Sugerencias : ¿Qué datos tengo
para encontrar la solución?, ¿Qué es lo que quiero
conseguir?.
• Concebir un plan. Sugerencias: Pongo ejemplos concretos.
Empiezo por lo más fácil.
• Ejecutar el plan. Sugerencias: ¿Qué consigo con hacer esto?,
¿Puedo justificar lo que estoy haciendo?.
• Examinar la solución. Sugerencias: ¿Tiene sentido el
resultado?, ¿Puede haber otra solución?.
4. :
• El importante papel que juegan las emociones en el
razonamiento matemático y que podemos expresar mediante
rótulos al resolver un problema.
• Lo positiva que puede resultar la situación de estar atascado.
• La necesidad de desarrollar un monitor interior que vigile y
critique nuestros razonamientos.
VOLVERVOLVER
María Molero y Adela Salvador
BIBLIOGRAFÍA.
• BRANSFORD J. D., STEIN B. S. (1986): Solución ideal de
problemas. Labor, Barcelona
• J. BRIHUEGA; M. MOLERO; A. SALVADOR. (1994) (2002)
Didáctica de las Matemáticas. Formación de Profesores de
Educación. Secundaria. Editorial Complutense. Madrid.
• GRUPO CERO. (1985): De 12 a 16: Un proyecto de Curriculum
de Matemáticas. Mestral. Valencia
• GRUPO DECA (1991): Didáctica de la resolución de problemas.
Cep de Burgos. Burgos.
• GUZMÁN M. de (1991): Para pensar mejor. Labor, Barcelona.
• MASON J., BURTON L., STACEY K. (1989): Pensar
matemáticamente. Labor-M.E.C., Barcelona.
• POLYA G. (1981): Cómo plantear y resolver problemas. Trillas,
México.
VOLVERVOLVER

More Related Content

What's hot

Importancia de la Operacionalización de las Variables
Importancia de la Operacionalización de las VariablesImportancia de la Operacionalización de las Variables
Importancia de la Operacionalización de las VariablesIlka Liliana Corella Rovira
 
La evaluación según su funcionalidad
La evaluación según su funcionalidadLa evaluación según su funcionalidad
La evaluación según su funcionalidad0401866546
 
Tipos de variables
Tipos de variablesTipos de variables
Tipos de variablesk4rol1n4
 
Todo sobre evaluacion sumativa
Todo sobre evaluacion sumativaTodo sobre evaluacion sumativa
Todo sobre evaluacion sumativaalfredosmart27
 
Variables dependientes e independientes en el método científico
Variables dependientes e independientes en el método científicoVariables dependientes e independientes en el método científico
Variables dependientes e independientes en el método científicoSofia Paz
 
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de pruebaDia Liz
 
Tipos de hipótesis
Tipos de hipótesisTipos de hipótesis
Tipos de hipótesiseduholding
 
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO NGARZABAL
 
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINAL
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINALInvestigacion no experimental DISENO LONGITUDINAL
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINALrujanaty18
 
Método hipotetico deductivo (1)
Método hipotetico   deductivo (1)Método hipotetico   deductivo (1)
Método hipotetico deductivo (1)Erika Cruz
 
Fases de la investigación
Fases de la investigaciónFases de la investigación
Fases de la investigacióndulcec_16
 

What's hot (20)

Importancia de la Operacionalización de las Variables
Importancia de la Operacionalización de las VariablesImportancia de la Operacionalización de las Variables
Importancia de la Operacionalización de las Variables
 
La evaluación según su funcionalidad
La evaluación según su funcionalidadLa evaluación según su funcionalidad
La evaluación según su funcionalidad
 
Tipos de variables
Tipos de variablesTipos de variables
Tipos de variables
 
Todo sobre evaluacion sumativa
Todo sobre evaluacion sumativaTodo sobre evaluacion sumativa
Todo sobre evaluacion sumativa
 
Población y Muestra
Población y MuestraPoblación y Muestra
Población y Muestra
 
Variables dependientes e independientes en el método científico
Variables dependientes e independientes en el método científicoVariables dependientes e independientes en el método científico
Variables dependientes e independientes en el método científico
 
Postpositivismo
PostpositivismoPostpositivismo
Postpositivismo
 
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba
8 Recolección de datos primarios experimentación y mercado de prueba
 
Tipos de hipótesis
Tipos de hipótesisTipos de hipótesis
Tipos de hipótesis
 
Variables
VariablesVariables
Variables
 
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
Para enviar. clasificación jerárquica HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
 
Cambios y Secuencias
Cambios y SecuenciasCambios y Secuencias
Cambios y Secuencias
 
Confiabilidad 2.0
Confiabilidad   2.0Confiabilidad   2.0
Confiabilidad 2.0
 
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINAL
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINALInvestigacion no experimental DISENO LONGITUDINAL
Investigacion no experimental DISENO LONGITUDINAL
 
Identificación de Variables - Tema 5
Identificación de Variables - Tema 5Identificación de Variables - Tema 5
Identificación de Variables - Tema 5
 
Método hipotetico deductivo (1)
Método hipotetico   deductivo (1)Método hipotetico   deductivo (1)
Método hipotetico deductivo (1)
 
Variables
VariablesVariables
Variables
 
Fases de la investigación
Fases de la investigaciónFases de la investigación
Fases de la investigación
 
Variable tiempo
Variable tiempoVariable tiempo
Variable tiempo
 
Hipotesis y variables
Hipotesis y variablesHipotesis y variables
Hipotesis y variables
 

Viewers also liked

Características principales de las teorías de enfermeria
Características principales de las teorías de enfermeriaCaracterísticas principales de las teorías de enfermeria
Características principales de las teorías de enfermeriaEurilys
 
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]Alba Lissette Peguero
 
Características de los modelos teóricos
Características de los modelos teóricosCaracterísticas de los modelos teóricos
Características de los modelos teóricosLaura Moreno
 
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍA
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍACARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍA
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍAModelos09
 
¿Qué es un modelo teórico?
¿Qué es un modelo teórico?¿Qué es un modelo teórico?
¿Qué es un modelo teórico?beeere99
 

Viewers also liked (7)

Características principales de las teorías de enfermeria
Características principales de las teorías de enfermeriaCaracterísticas principales de las teorías de enfermeria
Características principales de las teorías de enfermeria
 
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]
Caracteristicas que debe cumplir un buen modelo]
 
Características de los modelos teóricos
Características de los modelos teóricosCaracterísticas de los modelos teóricos
Características de los modelos teóricos
 
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍA
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍACARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍA
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS MODELOS Y TEORÍAS DE ENFERMERÍA
 
¿Qué es un modelo teórico?
¿Qué es un modelo teórico?¿Qué es un modelo teórico?
¿Qué es un modelo teórico?
 
Teorías de la enfermería
Teorías de la enfermeríaTeorías de la enfermería
Teorías de la enfermería
 
Modelos y teorías de enfermería
Modelos y teorías de enfermeríaModelos y teorías de enfermería
Modelos y teorías de enfermería
 

Similar to Modelos teóricos

El proceso de resolución de problemas
El proceso de resolución de problemasEl proceso de resolución de problemas
El proceso de resolución de problemasMARITO426
 
Estrategias de resolución de problemas
Estrategias de resolución de problemasEstrategias de resolución de problemas
Estrategias de resolución de problemasalfonsogg75
 
RESOLUCION DE PROBLEMAS
RESOLUCION DE PROBLEMASRESOLUCION DE PROBLEMAS
RESOLUCION DE PROBLEMASAnghela Paz
 
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdfLeticiaAlva3
 
Estrategias resolucion de problemas fases (1)
Estrategias resolucion de problemas fases (1)Estrategias resolucion de problemas fases (1)
Estrategias resolucion de problemas fases (1)jamimcol
 
Proceso de solucion de problemas
Proceso de solucion de problemasProceso de solucion de problemas
Proceso de solucion de problemasSalvador Mata Sosa
 
Proyecto Formulación Estrategica de Problemas
Proyecto  Formulación Estrategica de ProblemasProyecto  Formulación Estrategica de Problemas
Proyecto Formulación Estrategica de ProblemasDaniela Arevalo
 
1 Resolucion de Problemas.pptx
1 Resolucion de Problemas.pptx1 Resolucion de Problemas.pptx
1 Resolucion de Problemas.pptxJessicaCanto3
 
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
 
Estrategiasi 2
Estrategiasi 2Estrategiasi 2
Estrategiasi 2jhordy2000
 
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASLA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASadrixmusic
 

Similar to Modelos teóricos (20)

Papa 4
Papa 4Papa 4
Papa 4
 
El proceso de resolución de problemas
El proceso de resolución de problemasEl proceso de resolución de problemas
El proceso de resolución de problemas
 
Estrategias de resolución de problemas
Estrategias de resolución de problemasEstrategias de resolución de problemas
Estrategias de resolución de problemas
 
Taller de-problemas-en-pdf
Taller de-problemas-en-pdfTaller de-problemas-en-pdf
Taller de-problemas-en-pdf
 
RESOLUCION DE PROBLEMAS
RESOLUCION DE PROBLEMASRESOLUCION DE PROBLEMAS
RESOLUCION DE PROBLEMAS
 
Resolucion De Problemas
Resolucion De ProblemasResolucion De Problemas
Resolucion De Problemas
 
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf
6967-Texto del artículo-9551-1-10-20130124.pdf
 
SEMANA 02.pptx
SEMANA  02.pptxSEMANA  02.pptx
SEMANA 02.pptx
 
Estrategias resolucion de problemas fases (1)
Estrategias resolucion de problemas fases (1)Estrategias resolucion de problemas fases (1)
Estrategias resolucion de problemas fases (1)
 
Resolucion de problemas1
Resolucion de problemas1Resolucion de problemas1
Resolucion de problemas1
 
Proceso de solucion de problemas
Proceso de solucion de problemasProceso de solucion de problemas
Proceso de solucion de problemas
 
Proyecto Formulación Estrategica de Problemas
Proyecto  Formulación Estrategica de ProblemasProyecto  Formulación Estrategica de Problemas
Proyecto Formulación Estrategica de Problemas
 
Algunas ideas sobre la resolucion de problemas
Algunas ideas sobre la  resolucion de problemasAlgunas ideas sobre la  resolucion de problemas
Algunas ideas sobre la resolucion de problemas
 
1 Resolucion de Problemas.pptx
1 Resolucion de Problemas.pptx1 Resolucion de Problemas.pptx
1 Resolucion de Problemas.pptx
 
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007La Resolución de Problemas en Matemática  ccesa007
La Resolución de Problemas en Matemática ccesa007
 
02_numeros_guia.pdf
02_numeros_guia.pdf02_numeros_guia.pdf
02_numeros_guia.pdf
 
Estrategiasi 2
Estrategiasi 2Estrategiasi 2
Estrategiasi 2
 
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASLA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
 
Fpmm92 SesióN N°2
Fpmm92 SesióN N°2Fpmm92 SesióN N°2
Fpmm92 SesióN N°2
 
F.u. 1 11
F.u. 1 11F.u. 1 11
F.u. 1 11
 

More from Francisco Augusto de Junito (11)

Metodos quantitativos e_qualitativos_um_resgate_teorico
Metodos quantitativos e_qualitativos_um_resgate_teoricoMetodos quantitativos e_qualitativos_um_resgate_teorico
Metodos quantitativos e_qualitativos_um_resgate_teorico
 
Apontamentos
ApontamentosApontamentos
Apontamentos
 
6. anexos
6. anexos6. anexos
6. anexos
 
5. bibliografia
5. bibliografia5. bibliografia
5. bibliografia
 
4. corpo teses final
4. corpo teses final4. corpo teses final
4. corpo teses final
 
3. indice final fleitas
3. indice final fleitas3. indice final fleitas
3. indice final fleitas
 
2. resumo e agradecimento
2. resumo e agradecimento2. resumo e agradecimento
2. resumo e agradecimento
 
1. capa
1. capa1. capa
1. capa
 
Modelo de artigo de revisao
Modelo de artigo de revisaoModelo de artigo de revisao
Modelo de artigo de revisao
 
Minipauta2011
Minipauta2011Minipauta2011
Minipauta2011
 
Lista nominal cemar.2006
Lista nominal cemar.2006Lista nominal cemar.2006
Lista nominal cemar.2006
 

Recently uploaded

Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxArs Erótica
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosAgrela Elvixeo
 
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdfRecursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdfNELLYKATTY
 
sociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercerosociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre terceroCEIP TIERRA DE PINARES
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialeshanda210618
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Ivie
 
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaTatiTerlecky1
 
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didáctica
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didácticaLa poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didáctica
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didácticaIGNACIO BALLESTER PARDO
 
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docxProgramación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docxJhordanBenitesSanche1
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionCarolVigo1
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAJoaqunSolrzano
 
la forma de los objetos expresión gráfica preescolar
la forma de los objetos expresión gráfica preescolarla forma de los objetos expresión gráfica preescolar
la forma de los objetos expresión gráfica preescolarCa Ut
 
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptxPresentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptxNabel Paulino Guerra Huaranca
 
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdf
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdfU2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdf
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdfJavier Correa
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptjosemanuelcremades
 
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er gradoAnaMara883998
 

Recently uploaded (20)

Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptxHerbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
Herbert James Drape. Erotismo y sensualidad.pptx
 
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES MonelosXardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
Xardín de San Carlos (A Coruña) IES Monelos
 
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdfTema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
Tema 5.- BASES DE DATOS Y GESTIÓN DE LA INF. PARA EL MARKETING.pdf
 
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdfRecursos Tecnológicos, página  AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
Recursos Tecnológicos, página AIP-CRT 2 0 2 4.pdf
 
sociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercerosociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercero
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Tema 6.- La identidad visual corporativa y el naming.pdf
Tema 6.- La identidad visual corporativa y el naming.pdfTema 6.- La identidad visual corporativa y el naming.pdf
Tema 6.- La identidad visual corporativa y el naming.pdf
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
 
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
Presentación contribuciones socioeconómicas del SUPV 2023
 
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA                   _
VISITA DE ESTUDO À CRUZ VERMELHA _
 
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
 
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didáctica
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didácticaLa poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didáctica
La poesía del encarcelamiento de Raúl Zurita en el aula: una propuesta didáctica
 
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docxProgramación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
 
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacionUNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
UNIDAD DE APRENDIZAJE MARZO 2024.docx para educacion
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
 
la forma de los objetos expresión gráfica preescolar
la forma de los objetos expresión gráfica preescolarla forma de los objetos expresión gráfica preescolar
la forma de los objetos expresión gráfica preescolar
 
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptxPresentación: Actividad de  Diálogos adolescentes.pptx
Presentación: Actividad de Diálogos adolescentes.pptx
 
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdf
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdfU2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdf
U2_EA2_descargable TICS PRESENCIAL 2.pdf
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
 
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er gradoSECUENCIA  DIDÁCTICA Matemática 1er grado
SECUENCIA DIDÁCTICA Matemática 1er grado
 

Modelos teóricos

  • 1. María Molero y Adela Salvador RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MODELOS TEÓRICOS DATOSDATOS INICIOINICIO MODELO DE MASON - BURTON - STACEY EJEMPLOSEJEMPLOSMODELO DEMODELO DE POLYAPOLYA RESUMENRESUMEN AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
  • 2. María Molero y Adela Salvador DATOS • Título: Resolución de problemas. Modelos teóricos • Autoras: María Molero y Adela Salvador • Nivel educativo: Secundaria, Bachillerato y Universidad • Descripción:  Se definen conceptos básicos: Heurística, problema, fases de los modelos.  Se estudian diferentes modelos de resolución de problemas.  Se consolidan los conceptos teóricos con ejemplos prácticos.  Se realiza un breve resumen  Se incluye una breve bibliografía
  • 3. María Molero y Adela Salvador ÍNDICE • MODELOS TEÓRICOS • ¿QUÉ ES UN PROBLEMA • ¿QUÉ ES LA HEURÍSTICA? • FASES DE LOS MODELOS. CARACTERÍSTICAS • MODELO DE POLYA FASES • MODELO DE MASON - BURTON - STACEY FASES • EJEMPLOS • RESUMEN • BIBLIOGRAFÍA VOLVERVOLVER
  • 4. María Molero y Adela Salvador MODELOS TEÓRICOS • Modelo de G. POLYA • Modelo de MASON – BURTON – STACEY Otros modelos: • Modelo de M. GUZMÁN • Modelo de BRANSFORD - STEIN • Modelo del GRUPO CERO
  • 5. María Molero y Adela Salvador ¿QUÉ ES UN PROBLEMA? Un problema matemático es una situación en la que hay un objetivo que conseguir superando una serie de obstáculos siempre que el sujeto que afronta la situación no conozca procedimientos o algoritmos que le permitan, de inmediato, alcanzar el objetivo. • Diferencias entre ejercicio, problema e investigación. • La importancia de los conocimientos de la persona que se plantea el problema.
  • 6. María Molero y Adela Salvador ¿QUÉ ES LA HEURÍSTICA? La heurística como "arte de resolver problemas" trata de desvelar el conjunto de actitudes, procesos generales, estrategias y pautas que favorecen la resolución de problemas en general y en particular de los problemas matemáticos. • Los procesos generales son los ejes que articulan la resolución de problemas como son la generalización, la inferencia, la deducción, la simbolización, la particularización ...; • Las estrategias heurísticas son herramientas que nos permiten transformar el problema en otra situación que nos acercan hacia la solución; • Las pautas heurísticas son sugerencias que nos prestan una gran ayuda en aspectos muy concretos del problema y en momentos de bloqueo. • Hay actitudes que facilitan el proceso como son la flexibilidad, la perseverancia, el gusto por el riesgo y por afrontar situaciones que supongan un reto, y la práctica de reflexionar sobre la experiencia acumulada.
  • 7. María Molero y Adela Salvador FASES DE LOS MODELOS. CARACTERÍSTICAS: • Las fases que plantean los distintos modelos, no siempre se presentan explícitamente, depende en parte del tipo de problema y de su dificultad. • Hay problemas muy sencillos que se resuelven al comprender el enunciado, y puede haber enunciados muy simples que esconden problemas de verdadera dificultad. • Tampoco se presentan separadas sino que normalmente cada fase interfiere con la anterior o con la siguiente.
  • 8. María Molero y Adela Salvador MODELO DE POLYA El modelo teórico que G. Polya desarrolla, incluye un diccionario de heurística que agrupa, las estrategias, las pautas, los procesos generales, los métodos de demostración, las emociones, ... que intervienen en la resolución de problemas. Considera que el razonamiento heurístico aunque poco riguroso resulta un método muy plausible para resolver un problema. Compara la intuición y la demostración formal con la percepción de un objeto por dos sentidos diferentes.
  • 9. María Molero y Adela Salvador FASES DEL MODELO DE POLYA 1. Comprender el problema. 2. Concebir un plan. 3. Ejecutar un plan. 4. Examinar la solución obtenida. • En cada una de estas fases hay pautas o sugerencias heurísticas que pretenden fijar la atención sobre aspectos concretos del problema, para sugerir ideas que permitan avanzar en su resolución. • No todas las pautas sirven para todos los problemas, sino que forman un conjunto de posibilidades entre las que debemos elegir aquellas que se adaptan a cada problema determinado. • No se pretende enfrentarnos a un problema con una lista de sugerencias heurísticas, sino interiorizarlas para que posteriormente surjan de forma espontánea.
  • 10. María Molero y Adela Salvador FASE 1: Comprender el problema Es una fase de preparación donde • Se examina la situación • Se manipula para entenderla mejor • Se relaciona con situaciones semejantes En esta fase se pretende que después de leer el enunciado del problema y aceptar el reto de resolverlo seamos capaces de contestar las siguientes preguntas:  ¿Cuáles son los datos?  ¿Cuál es la incógnita?  ¿Cuál es la condición?  ¿La condición permite determinar la incógnita?
  • 11. María Molero y Adela Salvador FASE 2: Concebir un plan Consiste en determinar las estrategias que • Transforman el problema. • Facilitan la solución. • Determinan las conexiones entre los datos y las incógnitas. Si nos encontramos atascados las preguntas que nos pueden ayudar a superar el bloqueo son:  ¿Conoces algún problema parecido a este? ¿En qué se parece? ¿En qué se diferencia?  ¿Qué relación tienen los datos entre sí?  ¿Qué puedo deducir a partir de los datos?  ¿Puedo dividir el problema en partes?  ¿Puedo enunciar el problema de forma diferente?  ¿Y si el problema no tiene solución? ¿Hay algún dato contradictorio en el problema?  ¿Has utilizado todos los datos? ¿Hay alguno redundante o irrelevante?
  • 12. María Molero y Adela Salvador FASE 3. Ejecutar un plan. En esta fase Se realizan los cálculos y operaciones necesarias para aplicar los procedimientos y estrategias elegidos en la fase anterior. Es importante tener en cuenta las siguientes sugerencias:  Comprueba cada uno de los pasos.  ¿Puedes justificar que cada paso es correcto?  ¿Puedes demostrarlo?  Si tienes dificultades no desistas hasta que veas claramente que tu plan no es válido y en ese caso debes ser flexible, abandonarlo y volver a la fase anterior de búsqueda.
  • 13. María Molero y Adela Salvador FASE 4: Examinar la solución Consiste en examinar a fondo el camino seguido: • Comprobar cálculos, razonamientos, y que la solución corresponde al problema propuesto. • Localizar rutinas útiles. • Resolverlo de una forma más sencilla o más elegante. • Intentar generalizarlo a un contexto más amplio. • Buscar problemas relacionados, y la posible transferencia de resultados, métodos y procesos. Las pautas heurísticas asociadas a esta fase son:  ¿Puedes verificar el resultado?  ¿Puedes verificar el razonamiento?  ¿Te parece lógica la solución? ¿Puede haber otra solución?  ¿Eres capaz de transformar el problema resuelto en otro similar?  ¿Puedes resolverlo de otra forma?  ¿Puedes generalizar el resultado?  ¿Puedes plantearlo con datos más generales? VOLVERVOLVER
  • 14. María Molero y Adela Salvador MODELO DE MASON - BURTON - STACEY • Este modelo analiza el pensamiento y la experiencia matemática en general, que engloba como un caso particular la resolución de problemas. • Muestra la influencia que tiene el desarrollo del razonamiento matemático en el conocimiento de nosotros mismos y del mundo que nos rodea. • Las emociones de quien resuelve el problema, son elementos indispensables en el proceso de razonar matemáticamente, que considera motivado por una situación en la que se mezclan contradicción, tensión y sorpresa en una atmósfera de preguntas, retos y reflexiones. • El enfoque positivo que se concede al hecho de estar atascado o atascada, que considera una situación muy digna y constituye una parte esencial del proceso de mejora del razonamiento, valorando más un intento de resolución fallido que una cuestión resuelta rápidamente y sin dificultades ya que lo que importa no son las respuestas sino los procesos.
  • 15. María Molero y Adela Salvador MODELO DE MASON - BURTON - STACEY • Una sugerencia importante es dejar por escrito todo el proceso de resolución con objeto de poder recordar y reconstruir un momento determinado del problema y como un método para superar el bloqueo, cuando el resolutor/a se encuentra sin saber que hacer. • Las notas, también son importantes los rótulos que son símbolos que indican los estados de ánimo por los que se pasa, las ideas felices, los bloqueos, las situaciones delicadas en las que hay peligro de equivocarse, ... • La actividad de razonar se describe, como si hubiera un agente externo dentro de nosotros mismos, que nos aconseja lo que tenemos que hacer, lo denominan monitor interior y actúa como un tutor que vigila los cálculos y los planes a ejecutar, identifica los estados emocionales sugiriendo alternativas, examina críticamente los razonamientos y el proceso, y nos recuerda que hay que revisar y generalizar resultados, en definitiva controla el proceso de resolución desde fuera.
  • 16. María Molero y Adela Salvador FASE 1: Abordaje. Esta fase está encaminada a comprender, interiorizar y familiarizarnos con el problema. Después de leer cuidadosamente el problema es necesario contestar las siguientes preguntas: • ¿Qué es lo que sé? • ¿Qué es lo que quiero? • ¿Qué es lo que puedo usar? La fase puede darse por concluida cuando somos capaces de representar y organizar la información mediante símbolos, diagramas, tablas, o gráficos.
  • 17. María Molero y Adela Salvador FASE 2: Ataque. Es la fase más compleja ya que en ella se trata de asociar y combinar toda la información de la fase anterior. Es en esta fase donde intervienen las distintas estrategias heurísticas que nos permiten acercarnos a la solución del problema. • Los estados de ánimo más característicos son el de estar ¡Atascado! y el de las ideas ¡Aja! • Los procesos matemáticos fundamentales, que aparecen en esta fase son:  La inducción, que se materializa en el hecho de hacer conjeturas orientadas a conseguir la solución del problema,  La deducción que pretende justificar dichas conjeturas mediante las leyes lógicas a través de los teoremas matemáticos.
  • 18. María Molero y Adela Salvador FASE 3: Revisión Cuando se consigue una solución es conveniente revisarla e intentar generalizarla a un contexto más amplio, para esto es necesario: • Comprobar la solución, los cálculos, el razonamiento y que la solución corresponde al problema. • Reflexionar en las ideas, en los momentos clave, en las conjeturas y en la resolución. • Generalizar a un contexto más amplio, buscar otra forma de resolverlo o modificar los datos iniciales. • Redactar la solución dejando claro qué es lo que se ha hecho y porqué. VOLVERVOLVER
  • 19. María Molero y Adela Salvador EJEMPLO 1: “Los vigilantes” Las calles de una ciudad forman una malla de horizontales y verticales en cuadrados de 100 m de lado. En cada cuadrado hay una manzana de casas. Se pretende montar un servicio de vigilancia. Cada guardia colocado en una esquina puede vigilar como máximo una distancia de 100 m en cada una de las cuatro direcciones. Busca el menor número de vigilantes necesarios para vigilar una ciudad con forma de cuadrado y n calles en cada lado.
  • 20. María Molero y Adela Salvador “Los vigilantes”. Abordaje 1: • Después de leer detenidamente el problema, lo primero que hacen es realizar un gráfico que represente la información: Contar calles, esquinas y vigilantes. • A continuación consideran casos particulares, y cuando no se les ocurre, es necesario indicarles la necesidad de hacer una tabla que agrupe de modo sistemático los resultados obtenidos al particularizar. • La forma de realizar la tabla es muy variada, hay quien relaciona el número de vigilantes con el número de manzanas en cada lado de la ciudad, otros con el número de esquinas y otros con el número de calles en cada lado, no sabemos si estos últimos lo hacen por casualidad, aunque posiblemente se han leído mejor el problema y saben que es el dato que tienen que utilizar.
  • 21. María Molero y Adela Salvador “Los vigilantes”. Abordaje 2: Manzanas Calles Esquinas Vigilantes 1 2 4 2 2 3 9 5 3 4 16 8 4 5 25 13 5 6 36 18 6 7 49 25 7 8 64 32 En nuestra tabla recogeremos todos estos datos.
  • 22. María Molero y Adela Salvador “Los vigilantes”. Ataque 1: • A partir de los resultados, buscamos una regla que nos permita relacionar el número de calles en cada lado de la ciudad con el número mínimo de vigilantes necesarios. • Lo normal es que observen que necesitan un regla diferente para las ciudades que tienen un número par de calles por lado y las que tienen un número impar, y los que han considerado el número de esquinas enseguida concluyen que para "los pares la mitad de las esquinas y para los impares la mitad del numero de esquinas más uno". • En este momento es necesario hacerles ver que el dato del problema es el número de calles en cada lado de la ciudad por lo que es necesario expresar la solución en función de ese dato que llamaremos n.
  • 23. María Molero y Adela Salvador “Los vigilantes”. Ataque 2: • Con más o menos ayuda son capaces de plantear la siguiente hipótesis: si n es el número de calles en cada lado y v es el número de vigilantes: v = n2/2 si n es par y v =(n2 + 1)/2 si n es impar • Lo difícil es conseguir que justifiquen las conjeturas incluso en el caso de un número par de calles. • Esta falta de justificación les impide darse cuenta de que si el número de calles es impar la conjetura no es válida por que hemos comenzado suponiendo un vigilante en la esquina superior izquierda y observamos que si lo suprimimos de tal forma que esta esquina quede vigilada por los de las esquinas contiguas necesitamos menos vigilantes. • En la primera calle horizontal necesitamos (n - 1)/2 vigilantes y en la siguiente (n + 1)/2 como hay (n + 1)/2 calles de (n - 1)/2 vigilantes y (n - 1)/2 calles de (n + 1)/2 vigilantes la hipótesis correcta es: v = (n2 - 1)/2 cuando n es impar.
  • 24. María Molero y Adela Salvador “Los vigilantes”. Revisión: • Después de comprobar que la solución encontrada es efectivamente la que nos pide el problema intentamos generalizarlo. • Entre las ideas que suelen surgir en clase, esta la de considerar una ciudad rectangular con n y m calles respectivamente en cada uno de los lados. • Aunque también podemos olvidarnos de la ciudad y los vigilante e intentar trasladar nuestro problema a una malla de puntos triangular, exagonal, o pentagonal. • A partir de ahora vuelve a comenzar el problema. VOLVERVOLVER
  • 25. María Molero y Adela Salvador EJEMPLO 2: “La tira de papel” Con una tira de papel, pliégala por la mitad y luego por la mitad otra vez, doblando siempre en el mismo sentido. Si la desdoblas, observas que hay tres marcas una "hacia arriba" y dos "hacia abajo". Si la doblas n veces y luego la desdoblas completamente. ¿Cuántas marcas tendrás en total? ¿Cuántas de ellas son "hacia arriba" y cuántas "hacia abajo"?
  • 26. María Molero y Adela Salvador “La tira de papel”. Abordaje. 1 • Después de leer detenidamente el problema, la primera acción es coger una tira de papel para doblarla y desdoblarla sucesivamente, señalando una de las caras para doblarla en el mismo sentido. • A veces es necesario indicar la necesidad de hacer una tabla que agrupe de modo sistemático los resultados obtenidos. • La tabla se puede realizar de diferentes formas, contando sólo el número de marcas, determinando las marcas hacia arriba y hacia abajo, o mucho mejor estableciendo el orden en el que aparecen, para lo que es necesario elegir una notación adecuada para diferenciar las marcas, por ejemplo, a para las marcas hacia arriba y b para las que están hacia abajo. • Normalmente hay que coger varias tiras de papel doblarlas varias veces y una buena idea es nombrarlas como a o b en cada doblez. • A partir del quinto doblez es difícil determinar las marcas en una tira de papel de medida A4 por lo que conviene formular hipótesis a partir de los resultados y encontrar una regla para determinar las marcas sin necesidad de plegar la tira
  • 27. María Molero y Adela Salvador “La tira de papel”. Abordaje. 2 Doblez Nº de marcas hacia arriba Nº de marcas hacia abajo Nº de marcas totales Marcas 1 0 1 1 b 2 1 2 3 bba 3 3 4 7 bbabbaa 4 7 8 15 bbabbaab bbaabaa 5 15 16 31 Tabla:
  • 28. María Molero y Adela Salvador “La tira de papel”. Ataque • Con respecto al número total de marcas 1, 3, 7, 15, 31, …, una buena hipótesis es que si n es el número de dobleces el número total de marcas es: 2n – 1. • Se observa también que el número de marcas hacia arriba es una menos que el número de marcas hacia abajo. • Además si para n dobleces el número de marcas hacia abajo es 2n-1 y el número de marcas hacia arriba es 2n-1 – 1, su suma, el número total de marcas, es: 2n – 1.
  • 29. María Molero y Adela Salvador “La tira de papel”. Revisión • Se trata de demostrar que la hipótesis sugerida es cierta, en el primer doblez la tira queda dividida en dos partes, en los sucesivos cada parte sin marcas del doblez anterior queda dividida en 2, por lo tanto después de n dobleces la tira queda dividida en 2n partes separadas por 2n – 1 marcas. • Una buena experimentación permite determinar el orden en el que aparecen las diferentes marcas, se trata de intercalar las marcas del doblez anterior simbolizadas por (*) en la serie: b*a*b*a*b*a … b*a • Esta regla nos permite explicitar el tipo de marca que ocupa un lugar para un número de dobleces dado, por ejemplo, cómo es la marca, hacia arriba o hacia abajo, que ocupa el lugar 25 cuando se realizan 7 dobleces. VOLVERVOLVER
  • 30. María Molero y Adela Salvador RESUMEN • La resolución de problemas es una actividad mental que incluye los diversos procesos que rigen el pensamiento matemático, modulada por ciertos estados emocionales que interfieren, obstaculizando o facilitando dichos procesos. • El éxito en la resolución de problemas mejora con la práctica y mediante la reflexión sobre el estudio del proceso en sí mismo, examinando las estrategias que proporcionan herramientas para afrontarlo con confianza, y las pautas o sugerencias heurísticas que son indicaciones o preguntas que sirven para fijar la atención en aspectos concretos del problema y nos permiten avanzar en su resolución. • En el proceso de resolución de problemas resulta útil considerar varias fases que son similares en los distintos modelos. Así en el de G. Polya son: Comprender del problema, Concebir un plan, Ejecutar el plan y Examinar la solución y en el modelo de Mason-Burton-Stacey: Abordaje, Ataque y Revisión.
  • 31. María Molero y Adela Salvador RESUMEN. MODELO POLYA En el modelo de resolución de problemas que propone G. Polya podemos considerar 4 fases: La primera es comprender el problema, lo que significa saber cuáles son los datos, la incógnita y la condición. A continuación es necesario concebir un plan utilizando las estrategias de resolución de problemas y con la ayuda de las pautas o sugerencias heurísticas. Después tenemos que ejecutar dicho plan intentando justificar la solución. Por último hay que examinar y generalizar la solución obtenida.
  • 32. María Molero y Adela Salvador RESUMEN. MODELO MASON - BURTON - STACEY • El modelo de resolución de problemas de Mason- Burton-Stacey considera tres fases. • En la fase de abordaje además de comprender el problema y familiarizarnos con el, se representa y organiza la información. • En la fase de ataque intervienen procesos matemáticos fundamentales como son, hacer conjeturas y justificarlas, asociados a estados emocionales. • La fase de revisión consiste en comprobar los resultados de forma reflexiva y generalizarlos a un contexto más amplio VOLVERVOLVER
  • 33. María Molero y Adela Salvador AUTOEVALUACIÓN 1. Redacta el proceso de resolución, estableciendo las distintas fases del siguiente problema: Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un cliente gracioso se levanta por la noche y las abre todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer cliente modifica las que son múltiplo de tres, si está abierta la cierra y si está cerrada la abre. El cuarto lo mismo de cuatro en cuatro y así sucesivamente. ¿Cómo están las puertas por la mañana?. 2. Establece la relación que existe entre las fases del modelo de Polya y las del modelo de Mason-Burton- Stacey. 3. Indica dos pautas o sugerencias heurísticas en cada una de las fases del modelo de Polya. 4. Indica tres características generales del modelo de Mason-Burton-Stacey.
  • 34. María Molero y Adela Salvador AUTOEVALUACIÓN: SOLUCIÓN 1 1. : • Abordaje: Consiste en ir considerando las puertas que van quedando abiertas, hasta observar que estas son: 1, 4, 9 ... • Ataque: Por una parte parece que la solución es que se quedan abiertas las puertas cuyos números son cuadrados perfectos. Por otra parece que para que una puerta quede abiertas es necesario que su número tenga un número impar de divisores. • Revisión: Esta ambivalencia desaparece si demostramos que los cuadrados perfectos son los únicos números con un número impar de divisores 2. La relación entre las fases de los dos modelos es la siguiente: la fase de Abordaje se corresponde con la fase de Comprender el problema y de la parte preparatoria de Concebir un plan en la que se representa la información mediante gráficos, tablas o diagramas. La fase de Ataque coincide con el final de la fase de Concebir un plan y con la de ejecutarlo y la fase de revisión coincide con la de revisar la solución.
  • 35. María Molero y Adela Salvador AUTOEVALUACIÓN: SOLUCIÓN 2 3. : • Comprender el problema. Sugerencias : ¿Qué datos tengo para encontrar la solución?, ¿Qué es lo que quiero conseguir?. • Concebir un plan. Sugerencias: Pongo ejemplos concretos. Empiezo por lo más fácil. • Ejecutar el plan. Sugerencias: ¿Qué consigo con hacer esto?, ¿Puedo justificar lo que estoy haciendo?. • Examinar la solución. Sugerencias: ¿Tiene sentido el resultado?, ¿Puede haber otra solución?. 4. : • El importante papel que juegan las emociones en el razonamiento matemático y que podemos expresar mediante rótulos al resolver un problema. • Lo positiva que puede resultar la situación de estar atascado. • La necesidad de desarrollar un monitor interior que vigile y critique nuestros razonamientos. VOLVERVOLVER
  • 36. María Molero y Adela Salvador BIBLIOGRAFÍA. • BRANSFORD J. D., STEIN B. S. (1986): Solución ideal de problemas. Labor, Barcelona • J. BRIHUEGA; M. MOLERO; A. SALVADOR. (1994) (2002) Didáctica de las Matemáticas. Formación de Profesores de Educación. Secundaria. Editorial Complutense. Madrid. • GRUPO CERO. (1985): De 12 a 16: Un proyecto de Curriculum de Matemáticas. Mestral. Valencia • GRUPO DECA (1991): Didáctica de la resolución de problemas. Cep de Burgos. Burgos. • GUZMÁN M. de (1991): Para pensar mejor. Labor, Barcelona. • MASON J., BURTON L., STACEY K. (1989): Pensar matemáticamente. Labor-M.E.C., Barcelona. • POLYA G. (1981): Cómo plantear y resolver problemas. Trillas, México. VOLVERVOLVER