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Banach Tarski

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Une pseudo-démonstration d'un paradoxe géométrique hallucinant donnée en XKE lors de la session TedXebia

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Banach Tarski

  1. 1. TedX: Banach Tarski Pseudo démonstration d’un paradoxe géométrique hallucinant @flornt
  2. 2. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 2 • Je ne suis pas un matheux ! • Mais …. • J’adore les maths ! DISCLAIMER !
  3. 3. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 3 • Il s’agit d’une pseudo-démonstration ! • Mettez de côté la rigueur mathématique ! DISCLAIMER !
  4. 4. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 4 Banach-Tarski
  5. 5. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 5 • Un théorème, démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski Banach-Tarski
  6. 6. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 6 • Il est possible de couper une boule de l'espace usuel R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près. Banach-Tarski
  7. 7. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 7 • WTF !? • Oui, mais les morceaux ne doivent pas être mesurables ! • Ouf ! :) Banach-Tarski
  8. 8. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 8 • Dans la vraie vie, une sphère contient un nombre fini d’atomes • Dans l’ensemble des nombre réels, il y’a une infinité de nombres entre [0 - 1] Non mesurable ?
  9. 9. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 9 • Soit une fonction f : f(x)= x * 2 • Appliquée pour chaque réel x de [0 - 1] • On obtient un réel y de [0 - 2] • On peut dire qu’il y’a autant de réels x que de réels y, vu qu’il existe une relation entre les deux. • Il y’a donc autant de réels dans [0 - 1] que dans [0 -2] Non mesurable ?
  10. 10. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 10 • Mais d’un autre côté, on peut dire aussi qu’il y’a deux fois plus de réels dans [0 - 2] que dans [0 -1] • C’est un paradoxe, de la même espèce que Banach-Tarski Non mesurable ?
  11. 11. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 11 • Prenons une sphère: par exemple la terre • Deux axes de rotation • L’axe de rotation classique du pôle nord au pôle sud • Un autre axe traversant l’équateur depuis le point de longitude 0° au point de longitude 180° Une sphère !
  12. 12. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 12 • Faisons tourner cette sphère: • De façon à ne jamais retomber à la position initiale en appliquant N fois la rotation • Pour ça, on va choisir un angle irrationnel • Irrationnel: On ne peut pas l’exprimer sous forme de fraction relative à un tour complet ! • Par exemple : Racine(2), Pi, Log(7) Une sphère !
  13. 13. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 13 • Ainsi en faisant tourner la sphère N-fois avec un angle irrationnel, on ne peut pas retomber sur la position de départ ! • Et ceci est valable pour les rotations sur les deux axes ! • On fixe donc un valeur irrationnelle à cet angle, sa valeur n’est pas intéressante. Une sphère !
  14. 14. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 14 • Introduisons une notation : • A : une rotation sur l’axe normal dans le sens des aiguilles • B : une rotation sur l’autre axe dans le sens des aiguilles • A-1 : une rotation sur l’axe normal dans le sens inverse des aiguilles • B-1 : une rotation ur l’autre axe dans le sens inverse des aiguilles Une notation
  15. 15. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 15 • Ainsi on peut désigner les mouvements • A B A-1 A-1 : • une rotation sur l’axe normal dans le sens des aiguilles, suivie de: • une rotation sur l’autre axe dans le sens des aiguilles, suivie de: • deux rotations sur l’axe normal dans le sens inverse des aiguilles Une notation
  16. 16. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 16 • On peut simplifier quand une rotation annule la précédente : • A B A B B-1 A-1 • A B AA-1 • A B Une notation
  17. 17. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 17 • Par contre: ABA-1 != B • On ne peut pas annuler deux rotations inverses si il y’a une rotation entre les deux ! Une notation
  18. 18. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 18 • Soit S l’ensemble (infini) des successions de rotations possibles à partir de notre position de départ en utilisant l’angle irrationnel choisi. • Dans S, on a pris soin de simplifier les rotations. • Ainsi pour chaque élément de S, on aura une orientation différente de notre sphère. Démonstration
  19. 19. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 19 • On peut découper S en 4 sous-ensembles : • (set 1) : Toutes les rotations commençant par A • (set 2) : Toutes les rotations commençant par B • (set 3) : Toutes les rotations commençant par A-1 • (set 4) : Toutes les rotations commençant par B-1 Démonstration
  20. 20. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 20 • Si on prend (set 3) : toutes les rotations commençant par A-1 • On sait que la première opération est A-1 • On sait donc que la deuxième opération ne peut pas être A • On a simplifié les écritures des rotations, on ne peut pas écrire A-1 A • C’est donc forcément A-1,B ou B-1 • Ce sont donc les sets 3, 2 et 4 Démonstration
  21. 21. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 21 • Autrement dit: • (A suivi de(set 3)) s’écrit AA-1 suivi des sets 2, 3 et 4 • (A suivi de (set 3)) = (set 2) + (set 3) + (set 4) • S = (set 1) + (set 2) + (set 3) + (set 4) • S = (set 1) + (A suivi de (set 3)) Démonstration
  22. 22. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 22 • On a écrit S, pour qu’il ne dépende que des sets 1 et 3 • S = (set 1) + (A suivi de (set 3)) • On peut faire de même avec B : • S = (set 2) + (B suivi de (set 4)) Démonstration
  23. 23. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 23 • Pour l’instant on a réussi à exprimer l’ensemble des rotations S comme la somme de deux des sous-ensembles des rotations • S = (set 1) + (A suivi de (set 3)) • S = (set 2) + (B suivi de (set 4)) Démonstration
  24. 24. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 24 • Ainsi l’ensemble des rotations S est la somme de seulement 2 des 4 sous- ensembles des rotations • Ça ressemble au paradoxe, mais … Démonstration
  25. 25. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 25 • Mais ce ne sont que des rotations, on ne parle pas de surface • Il s’agit juste de successions de rotations appliquées avec l’angle irrationnel choisi Démonstration
  26. 26. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 26 • Depuis un point sur la surface, en appliquant toutes les rotations de S, on obtient un nombre infini de points. • Mais cela ne forme pas toute la surface de la sphère ! • Il manque tous les points accessibles depuis: • Les autres valeurs d’angle irrationnels • Les angles rationnels Démonstration
  27. 27. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 27 • On appelle réseau l’ensemble des points que l’on peut connecter par les rotations S • Il existe un nombre infini de réseaux • L’ensemble de tous les points de tous réseaux forme la surface de la terre Démonstration
  28. 28. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 28 • On choisit pour chaque réseau un point au hasard • (L’axiome du choix nous le permet) • On appelle M l’ensemble de ces points Démonstration
  29. 29. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 29 • En appliquant l’ensemble S des rotations à l’ensemble des points M, on obtient la surface de la terre ! Démonstration
  30. 30. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 30 • Du coup on peut diviser la surface en 4: • L’ensemble des points atteignables depuis tout point de M par (set 1) -> (section 1) • L’ensemble des points atteignables depuis tout point de M par (set 2) -> (section 2) • L’ensemble des points atteignables depuis tout point de M par (set 3) -> (section 3) • L’ensemble des points atteignables depuis tout point de M par (set 4) -> (section 4) Démonstration
  31. 31. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 31 • On peut exprimer la surface de la terre : • Surface = (section 1) + (section 2) + (section 3) + (section 4) Démonstration
  32. 32. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 32 • On a déjà vu que : • A suivi de (set 3) == (set 2) + (set 3) + (set 4) • De façon identique • (section 3 tournée de A) == (section 2) + (section 3) + (section 4) Démonstration
  33. 33. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 33 • Surface = (section 1) + (section 3 tournée de A) • Surface = (section 2) + (section 4 tournée de B) Démonstration
  34. 34. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 34 • C’est généralisable aux volumes • En prenant tout l’espace en dessous de la surface jusqu’au centre • Volume = (volume 1) + (volume 3 tourné de A) • Volume = (volume 2) + (volume 4 tourné de B) Démonstration
  35. 35. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 35 • Une démonstration simplifiée (en anglais) : http://www.irregularwebcomic.net/ 2339.html • La démonstration complète : http:// www.madore.org/~david/math/bantar.pdf • L’axiome du choix : https://fr.wikipedia.org/ wiki/Axiome_du_choix • h t t p s : / / f r . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / Paradoxe_de_Banach-Tarski Références
  36. 36. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 36 Conclusion
  37. 37. • EBIA ALLIANCE = XEBIA + XEBIALABS + THIGA + UX REPUBLIC + AKAMIS 37 Pas de temps pour les questions ?
  38. 38. Merci!

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