Apuntes de fisica 1

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Apuntes de fisica 1

  1. 1. e. Desarrollo del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALESEn este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, ladirección y el sentido de las cantidades físicas.Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad;por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud y tiempo reciben elnombre de magnitudes escalares.Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar sucantidad expresada en números y la unidad de medida.Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidadexpresada en números y el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramentela dirección y sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudesvectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nospregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremosaproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo sucede cuando sehabla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debeespecificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda,hacia el frente o hacia atrás.Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y sentido.Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.Como se señaló anteriormente, una cantidad vectorial es aquel que tiene unamagnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva una velocidad de80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40° al Suroeste.Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de unaflecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar unamagnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define porejemplo: aFdvy,, representan cada una un vector como son la velocidad, eldesplazamiento, la fuerza y la aceleración, respectivamente.REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTORUn vector tiene las siguientes características Punto de aplicación u origen Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de acuerdo conuna escala convencional. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal, vertical uoblicua. Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha oa la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se establece deacuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar.1
  2. 2. Vectores Coplanares y no CoplanaresLos vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo planoo en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos.Sistema de vectores colinealesSe tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se encuentran en lamisma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia laderecha o hacia arriba y negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.Sistema de vectores concurrentesUn sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de losvectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto de aplicación. Aestos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos.Sistema de vectores paralelos.Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se pueden unir.Resultante y equilibrante de un sistema de vectoresLa resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismoefecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz desustituir un sistema de vectores.La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vectorencargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud y dirección que laresultante, pero con sentido contrario.Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de los vectoreslibres.Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como “ El efectoexterno de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su misma dirección, esdecir sobre su propia línea de acción”. Por ejemplo si se desea mover un cuerpohorizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá el mismo si empujamos el cuerpo osi lo jalamos,Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladanparalelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por los métodosgráficos del paralelogramo y del polígono.SUMA DE VECTORES.Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemosaritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7 horas= 10 horas, 200 km + 3002
  3. 3. km = 500 km. Sin embargo para sumar magnitudes vectoriales, que como ya se mencionóaparte de magnitud tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a unasimple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.SUMA GRÁFICA de VECTORESPara realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo".Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al vector B y viceversa. Ambasparalelas y los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo,que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver unejemplo en el gráfico que va a continuación:Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior,sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero tambiénpodemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en módulo,dirección y sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos un vector equivalenteal tercero y así sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con elextremo del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma.http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htmMETODO PARALELOGRAMOEn este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la"cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). Elvector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que tambiénestá libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.Figura 13
  4. 4. En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño delvector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y elazul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador elángulo que forma con una línea horizontal.Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Paraello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un triángulo rectángulo se utilizará elteorema de Pitágoras.En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes:Ejemplo:Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entrelos vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus módulos son respectivamente 100 dinas(rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante.Para ello empleemos la relación:su dirección sería:SUMA ANALITICA DE VECTORES.Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendoque camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar elresultado grafico y analíticamente.4
  5. 5. N YV2 = -19 km v1 = 13 kmO E-6 13 XSDATOS ∑ VX = V1 + V2V1 = +13 KM ∑ VX = 13+(-19)V2 = -19 KM ∑ VX = 13-19 = -62.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle ladistancia o el punto donde Norma se encuentra?15 km. al norte V110 km. al sur V212 km. al oeste V3∑ƒy = V1 + V2∑ƒy = 15 + (-16)∑ƒy = 5∑ƒx = V3∑ƒy = .12a2= b2+ C2R= (Fy)2= (Fx)2R= (Fy)2+ (Fx)2R= (5)2+ (-12)2R= 25 + 144R= 169R= 13 km.Problema por el método del PolígonoUn barco viaja 100 km hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 km hacia elnoreste en el segundo día y 120 km al este en el tercer día. Encuéntrese eldesplazamiento resultante por el método del polígono.El método del polígono para la adiciónDe vectores5
  6. 6. Solución del método del polígono1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a cada vector.2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la dirección del primer vector.3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el extremodel primer vector.4.-Continué el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo delvector procedente, hasta que todos los vectores del problema hayan sido dibujados.5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen del primervector) y terminando en el extremo del ultimo vector.6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ángulo que forma el vector resultantepara determinar su magnitud y su dirección.Solución: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm. Lo cual quiere decir que para eldesplazamiento de 100 km al norte se trazan 5 cm, para el desplazamiento de 60 km, setrazan 3 cm y finalmente para el desplazamiento de 120 km al este se trazan 6 cm.Realizando la medición con una regla, a partir de un diagrama a escala, se observa que laflecha resultante del punto de partida hasta el final del desplazamiento de 120 km al este,tiene 10.8 cm de longitud. Por lo tanto la magnitud del vector resultante en km es:10.8 cm x 20 km/1 cm =216 km100 kmNorte60 km Noreste120 km EsteVector resultante Rángulo θ Eje XEje Y6
  7. 7. Si se mide el ángulo θ con un transportador, situando el centro del mismo en el origen departida (origen de los ejes coordenados X y Y) resulta que la dirección es de 41°.Por lo tanto, el desplazamiento resultante es:R = 216 km, 41°.El método gráfico del polígono y en general los métodos gráficos aportan resultadosaproximados, los métodos analíticos como el Teorema de Pitágoras dan resultados másprecisos. A continuación se resolverá el problema por el Teorema de Pitágoras:Primeramente se trazan los desplazamientos a partir de los ejes coordenados:El primer desplazamiento de 100 km al Norte se traza sobre el eje Y hacia arriba,el segundo desplazamiento de 60 km al noreste al no especificar el ángulo, se trazaexactamente a la mitad del primer cuadrante, es decir a 45° del eje X y Y, y el tercerdesplazamiento de 120 km al Este, se traza sobre el eje X a la derecha.A continuación se construye un cuadro de fuerzas, aplicando las fórmulas de lascomponentes rectangulares de un vector, y tomando en cuenta los signos de lascoordenadas en los cuadrantes respectivos:Fx = F cos θ. Fy = F sen θ.F Angulo Componente X Componente Y100 km 0° 0 + 100 km100 km Norte60 kmNoresteθ = 45°120 kmEste7
  8. 8. 60 km 45° 60 km cos 45° 60 km sen 45°120 km 0° 120 km________________ ______________ΣFx = 60 km cos 45°+ 120 km ΣFy= 100 km + 60 km sen45°ΣFx = 60 km (0.7071) + 120 km ΣFy = 100 km + 60 km(0.7071).ΣFx = 42.42 km + 120 km= 162.42 km ΣFy = 100 km + 42.42 km = 142.42 kmUna vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y la sumatoria de fuerzas Y, se aplicala fórmula del Teorema de Pitágoras que es la raíz cuadrada de la sumatoria de fuerzas Xal cuadrado y la sumatoria de fuerzas Y al cuadrado.R = √ (Fx)2+ (Fy)2.Sustituyendo valores tenemos:R = √ (162.42 km)2+ (142.42 km)2.R = √ 46663.7128R = 216 km.Ahora para obtener el ángulo del vector resultante, se aplica la funcióntrigonométrica tangente mediante la siguiente fórmula:θ = tan-1Fy θ = tan-1= 142.42 = 0.8768. θ = tan-10.8768 = 41.24°.Fx 162.42Como se puede observar, tanto por el método gráfico del polígono como por el métodoanalítico del Teorema de Pitágoras, los resultados son los mismos.R = 216 km θ = 41.24°.Método del paralelogramo.8
  9. 9. El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores a la vez, consisteen dibujar dos vectores a escala con sus orígenes coincidiendo en su origen común, losvectores forman de esta manera dos lados del paralelogramo, los otros dos lados seconstruyen dibujando líneas paralelas a los vectores y de igual longitud, formándose asíel paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo apartir del origen común de las dos flechas que representan los vectores y el ángulo semide con el transportador.1. Una cuerda se enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo de 120º. Side uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y del otro con unafuerza de 20 N ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?Solución: utilizando una escala 1 cm = 10 N se tiene:60 N x 1 cm = 6 cm. 20 N x 1 cm = 2 cm10 N 10 NEn la figura anterior, se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas apartir de un origen común y con un ángulo de 120° entre ellas. Al completar elparalelogramo se puede dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir Ry θ con una regla y un transportador se obtienen 52.9 Newtons para la magnitud y 19.1°para la dirección. Por consiguiente,R = (52.9 N, 19.1°).Ahora al igual que como se hizo con el método del polígono, se realizará la obtencióndel vector resultante del problema anterior con el método analítico del teorema dePitágoras.θ= 120°20 N VectorresultanteR60 N9
  10. 10. Primeramente se trazan los dos vectores, teniendo como origen común el origen delos ejes X y Y.A continuación se procede a construir el cuadro de fuerzas. Nótese en el bosquejodel problema, que el vector de 20 Newtons, forma un ángulo de 60° respecto al eje X en elsegundo cuadrante, ya que éste ángulo es suplementario al de 120° que es el ángulo que hayentre los 2 vectores, por lo cual trabajaremos con el ángulo de 60°. Recuerde los signos delos ejes X y Y en el primer y segundo cuadrantes, (+,+ y -,+ respectivamente).Fuerza Angulo Componente X Componente Y20 N 60° - 20 N cos 60° 20 N sen 60°60 N 0° + 60 N 0_______________ _______________ΣFx = - 20 N cos 60° + 60 N ΣFy = 20 N sen 60°ΣFx = - 20 N (0.5) + 60 N ΣFy = 20 N (0.8660).ΣFx = -10 N +60 N ΣFy = 17.32 NΣFx = 50 N ΣFy = 17.32 NUna vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y fuerzas Y se aplica el Teorema dePitágoras.R = √ (Fx)2+ (Fy)2R = √ (50 N)2+ (17.32 N)2θ = 60 °20 N60 N10
  11. 11. R = √ (2500 N) + (300 N)R = √ 2800 NR = 52.91 NA continuación se obtiene el valor del ángulo de la resultante con la función trigonométricatangente.θ = tan-1Fy = θ = tan-1= 17.32 N = 0.3464 = θ = tan-10.3464 = 19.1°.Fx 50 NComo se ve de nueva cuenta, los resultados tanto por el método gráfico como por el métodoanalítico son iguales:R = 52.91 N, θ = 19.1°.SUMA ANALITICA DE VECTORES.1.- Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este.Hallar el resultado grafico y analíticamente.N YV2 = -19 km v1 = 13 kmO E-6 13 XSDATOS ∑ VX = V1 + V2V1 = +13 KM ∑ VX = 13+(-19)V2 = -19 KM ∑ VX = 13-19 = -62.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle ladistancia o el punto donde Norma se encuentra?15 km. al norte V111
  12. 12. 10 km. al sur V212 km. al oeste V3∑ƒy = V1 + V2∑ƒy = 15 + (-16)∑ƒy = 5∑ƒx = V3∑ƒy = .12a2= b2+ C2R= (Fy)2= (Fx)2R= (Fy)2+ (Fx)2R= (5)2+ (-12)2R= 25 + 144R= 169R= 13 km.θ= Tan-1Fy/Fx = tan-15/12= tan-10.4166= 22.61°.3.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste.Determine la fuerza resultante de forma analítica.Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:12
  13. 13. Primeramente se construye el cuadro de fuerzas.F ángulo Componentes X Componentes Y20 lb 0° 20 lb 030 lb 30° -30 lb cos 30° 30 lb sen 30°40 lb 52° -40 lb cos 52° -40 lb sen 52°_____________________ ____________________ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°- 40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lbsen 52°ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb(0.7880).ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy= 15 lb- 31.52 lbΣFx = 20 lb- 50.6 lb ΣFy= -16.52 lbΣFx = - 30.6 lb ΣFy= -16.52 lbUna vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teoremade Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambosnegativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante.R = √ (Fx)2+(Fy)2.R = √ (- 30.6 lb)2+ (- 16.56 lb)2.R = √ 1210.59 lbR = 34.8 lbPara obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente:A = 20 lb EB = 30 lb30° NOθ = 30°C = 40 lb, 52°SOθ = 52°.13
  14. 14. θ = tan-1Fy θ = tan-1│-16.52 lb │ = tan-10.5398 = 28.36°.Fx - 30.6 lbR = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vectorresultante también se puede expresar como 208.36° al sumar los 180° correspondientes alos dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puedeexpresar como:R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el primer cuadrante.θ= Tan-1Fy/Fx = tan-15/12= tan-10.4166= 22.61°.COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN EL PLANO.Componentes rectangulares de una fuerza.Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales seles denomina componentes.Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentesrectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vectorrojo.Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones14
  15. 15. Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. yLas 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de suscomponentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a(ángulo) con la función trigonométrica tangente.Ejemplo:Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre lascomponentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo iguala 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X . La componente en Y tiene móduloigual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.15
  16. 16. SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTESRECTANGULARES.Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en suscomponentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial de estas. El vectorresultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direccionesx e y.Ejemplo:Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentesrectangulares.16
  17. 17. Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta formaorientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las componentes enY:DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUSCOMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIOConsidere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadasrectangulares X, Y, Z.Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a F(véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación estádefinida por el ángulo Ø que este formo con el plano XY. La dirección de F dentro del planoestá definido por el ángulo Øy que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponeren una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolarescorrespondiente son:yhyy senFFFF θθ == cos17
  18. 18. FFFsenFFFsenyyyhhy===θθθcossen Ø =hzFFsenFF hz = ØFsenFz = Ø y sen ØFh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de losejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene lassiguientes expresiones para los componentes escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.θθθθθθSenSenFSenFFCosSenFCosFFyhyhx====2Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes vectorialesrectangulares Fx y Fy Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD se escribe:F2= (OA) 2= (OB)2+ (BA)2= F2y+ F2hF2= (OC)2= (OD)2+ (DC)2= F2x+ F2zEliminando F2h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la siguienterelación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares.2222222222)()()()()(zFFyFxFyFzFxFFFhFhF++=++=+=cos Ø=hxFFFx = Fh cos ØFx Fsen Øy cos ØLa relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fz sevisualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja que tenga Fx y18
  19. 19. Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha caja. Lafigura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para derivar primera de lasfórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras 2,31a y c, también se han dibujado otros dostriángulos rectángulos. OAD y OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la cajaposiciones comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Øx y Øz, como los ángulosque F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similaresa Fy = F cos Øy entonces se escribe.Los tres ángulos zyx yθθθ ,, definen la dirección de fuerza F; éstos son los que seutilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente que los ángulos yyθØ introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de zyx yθθθ ,, se conocen comolos cosenos directores de la fuerza F.19
  20. 20. Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largode los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.Donde los componentes escalares Fx y Fy Fz están definidas por las relaciones (2.19).Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con los ejes x y yz, respectivamente. Encuentre los componentes Fx y Fy Fz de la fuerza.Sustituyendo F = 500 N, º120º45,º60,º60 ==== zyyx yθθθθ en las formulas seescribe.zzyyxx FFFFFF θθθ coscoscos ==Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a la ecuación(2.20) se tiene.F = Fxi + Fyj + FzkComo en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que lacomponente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo indicaque esta tiene un sentido opuesto al del eje.El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a parir dellado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo xθ menos que 90º(agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0x está en el mismo lado del plano yzque el eje x positivo; entonces cos xθ y Fx serán positivos. Un ángulo xθ mayor que 90º(obtuso) indica que F está en el otro lado del plano yz; entonces cos xθ y Fx serán20
  21. 21. negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos yx yθθ son agudos, mientras que yθ es obtuso;consecuentemente Fx y Fy son positivos mientras que Fz es negativo.Sustituyendo las expresiones obtenidas para Fx y Fy Fz en (2.19) se obtiene lasiguiente expresión.La cual muestra que la fuerza F puede ser expresada como el producto del escalar Fy un vector.Obviamente, el vector λes un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya dirección esla misma que la de F (figura 2.33). El vector λ se conoce como el vector unitario a lo largode la línea de acción de F. A partir de (2.22) se observa que las componentes del vectorunitario λ son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción deF:Se debe señalar que los valores de los tres ángulos zyx yθθθ ,, no sonindependientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las componentes de un vectores igual a su magnitud elevada al cuadrado se escribe.21
  22. 22. En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores,º45º60 == yx yθθ el valor de zθ debe ser igual a 60º o a 120º para que se cumpla laidentidad (2.24)Cuando se conocen las componentes Fx y Fy Fz de una fuerza F, la magnitud F de lafuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver para los cosenos directores.Y se pueden encontrar los ángulos zyx yθθθ ,, que caracterizan la dirección de lafuerza F.Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las componentes Fx = 20Ib, Fy=-30Ib y Fz = 60Ib.Determine su magnitud F y los ángulos zyx yθθθ ,, que está forma con los ejescoordenados.A partir de la fórmula (2.18) se obtiene.2222222)()()( zyxyzx FFFFFFFF ++=++=Sustituyendo los valores de las componentes y la magnitud F en las ecuaciones seescribe.FFCosFFCosFF zzyyxx === θθθcosCalculando sucesivamente cada uno de los cocientes y su respectivo arco coseno seobtiene.Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una calculadora.Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se dan como datos,solamente 2 de los ángulos directores, y una sola de las componentes, y se pide hallar laFuerza resultante F, las otras dos componentes y el ángulo restante. Para ilustrar como seresuelven este tipo de problemas considere el siguiente ejemplo.1.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dadapor los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x(Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de lafuerza y b) el valor de Θx.22
  23. 23. Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.cos2Θx+cos2Θy+ cos2Θz= 1 despejando cos2Θx tenemos:cos2Θx= 1- (cos2Θy+ cos2Θz).sustituyendo valores: cos2Θx= 1- (cos255°+ cos245°)cos2Θx= 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado delcoseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener elvalor del coseno de Θx:cos Θx= √0.1711= 0.4136.Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valorde la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valorabsoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:Fx= F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos ΘxSustituyendo valores: F= 500/0.4136= 1209 lb.Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar lasotras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas:Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz.Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55° Fy= 1209 N x 0.5735Fy= +694 NFz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cosΘx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.Θx= cos-1-0.4135. Θx= 114.4°.Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signonegativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.Recapitulando: las respuestas son:a) Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4e. Evaluación del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.1.- Se aplica una fuerza de 260 libras a 75° al Noroeste. ¿Cuál es la componente y dedicha fuerza.A. 240 NB. 245 NC. 248 ND. 251 NE. 255 N2.- Con los siguientes datos, calcula la resultante del sistema de fuerzas todos a partirdel sistema de coordenadas, considerando los ángulos a partir del eje x positivo. F1=100N,a 0°, F2=50 N, a 30°, F3=40 N a 120°, F4=50 N a 210°.A. R =94.43 N, 65.2°B. R =78.2 N, 63.18°C. R =95.55 N, 44.2°D. R =82.17 N, 47.7°23
  24. 24. E. R =87.17 N, 23.41°3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx =-1060 N, Fy =+2120 N, Fz =+795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, conrespecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz)A. 135.3°, 60°, 85.6°B. 118°, 75°, 65.4°C. 115.1°, 32°, 71.5°D. 120.2°, 45°, 77.7°E. 145.1°, 50°, 75.2°4.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca se van aunir.A. PerpendicularesB. ConcurrentesC. ColinealesD. ParalelosE. Libres5.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es aplicable a sólo2 vectores a la vez.A.- ParalelogramoB.- PolígonoC.- Ley de SenosD.- Ley de cosenosE.- Teorema de Pitágorase. Bibliografía específica del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en elespacio1.- Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte reimpresión dela Segunda Edición 2004.2.- Mecánica vectorial para Ingenieros. Ferdinand Beer, Russell Johnstons. Estática.Ed. McGraw-Hill. Sexta edición 2002.24
  25. 25. d. Desarrollo del Tema 4.2. Equilibrio de una partícula.La palabra estática se deriva del griego statikós que significa inmóvil. En virtud deque la dinámica estudia las causas que originan el reposo o movimiento de los cuerpos,tenemos que la estática queda comprendida dentro del estudio de la dinámica y analizalas situaciones que permiten el equilibrio de los cuerpos. Los principios de la estática sesustentan en la primera y tercera ley de Newton.En general, la estática estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos a la acciónde varias fuerzas no se mueven, toda vez que se equilibran entre sí. También consideralos casos en que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimientoes nula y el cuerpo sigue desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme.En esta sección nos ocuparemos del estudio del equilibrio de los cuerpos rígidos,aquellos cuya deformación provocada por una fuerza es mínima al compararla con sutamaño. Ejemplos: vigas de madera, armaduras de acero o hierro colado. bolas de aceroo vidrio, herramientas metálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas, motocicletasentre otros.Aquí se supone que los cuerpos son perfectamente rígidos, aunque en realidad lasestructuras y máquinas no son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de lascargas a que están sometidas; pero al ser tan pequeñas estás deformaciones, no afectan lascondiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración.Un Cuerpo Rígido.- es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de loscuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras ymaquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargasque actúan sobre ellos. A pesar de esto generalmente estas deformaciones son pequeñas yno afectan considerablemente las condiciones de equilibrio o de movimiento de laestructura que se esté considerando.Otra de las Leyes de Newton que sirven de base al estudio de la estática es laTercera Ley de Newton conocida como la Ley de la acción y la reacción, la cual seenuncia de la siguiente forma:“para cada fuerza llamada acción debe de haber otra fuerza llamada reacción, quees de la misma magnitud, pero es opuesta”,Se conocen y se han estudiado diferentes métodos para determinar la resultante dediferentes fuerzas que actúan sobre un cuerpo, pero es posible que estas fuerzas seaniguales entre si o que su resultante sea cero, en este caso el efecto de estas fuerzas darácomo resultado que el cuerpo en cuestión esté en estado de equilibrio, según la ley antesmencionada. Por tanto se puede enunciar que: “Cuando la resultante de todas las fuerzasque actúan sobre un cuerpo es igual a cero, dicho cuerpo estará en equilibrio”.El enunciado anterior corresponde a la primera condición del equilibrio que tambiénse puede enunciar como: “Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo sila suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectoresdeslizantes.25
  26. 26. Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre uncuerpo rígido son el momento de una fuerza con respeto a un punto y el momento de unafuerza con respecto a un eje.Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productosescalares y vectoriales de dos vectores cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre uncuerpo rígido puede ser remplazado por un sistema equivalente que consta una fuerza, queactúa en cierto punto, un par este sistema recibe el nombre de sistema fuerza-parLas fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos grupos: 1)fuerzas externas y 2) fuerzas internas.Las fuerzas externas representan la acción que ejerce otros cuerpos sobre elcuerpo rígido. Ellas son las responsables del comportamiento del cuerpo rígido, las fuerzasexternas causaran que el cuerpo se mueva o aseguraran que este permanezca en reposo.Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas las queconforman el cuerpo rígido .si el cuerpo rígido esta constituido estructuralmente por variaspartes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzasinternas.Como ejemplos de fuerzas externas imaginase y considere las fuerzas que actúansobre un camión descompuesto que esta siendo jalado hacia delante por varios hombresmediante cuerdas unidas ala defensa delantera. Las fuerzas externas que actúan sobre esecamión se muestran en un diagrama de cuerpo libre.Un cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio, si las dos fuerzastienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero en sentidos opuestos. Entonces, laresultante de las dos fuerzas será cero, un ejemplo de este caso lo podemos explicar en lasiguiente. Fig.Otro caso de equilibrio de una partícula en equilibrio esta representado en lasiguiente. Fig. Donde se muestran cuatro fuerzas actuando sobre un punto A. En elsiguiente. Ejemplo la resultante que se obtiene es igual a cero por lo tanto el cuerpo A estaen equilibrio.100 Lib.-100 Lib.26
  27. 27. º30)400(º30)200(300 senLibsenLibLibFx −−=∑0200100300 =−− LibLibLibº30cos)400(º30cos)200(2.173 LibLibLibFy +−−=∑-173.2 Lib.-173.2 Lib. + 346.4 Lib. = 0EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES1.- Isaías quiere colocar un foco en su casa, utilizando una de las paredes y el techo paracolgar 2 cuerdas tomando en cuenta que la segunda tiene un ángulo de 40º y el peso delfoco es de 2 kg, como lo indica la figura.Sen θ = 0HSen 40º = VyV2Cos θ = CAHCos 40º = VxV2F4 = 400 lib.F1 = 300 lib.F2 = 200 lib.F3 = 20lib.30º30º274 0 ºW = p e s o = 2 k gV 2V= 22
  28. 28. ∑ Fy= F1 (COS 40O) –W= 0 ∑Fx= F1 (SENO 40O) –F2=0F (.7660)-2Kg=0 F2= (2.610)(.6427)F(.7660)=2Kg F2=1.677 Kg.F=2Kg/.7660F= 2.610 Kg2.- Rubisel quiere colocar un ventilador en su casa, utilizando 2 cuerdas, la primera unángulo de 60º y el segundo sobre el eje de las X teniendo el peso del ventilador un valor de10 kg. Calcular los valores de F1 y F2.seno C.oHSen 40º VyX2Vy= (seno60º) (V2)Coseno C.oH∑Fy=F1 (COS 60)-W=0 ∑ Fx= f1 (SENO 60) –F2=0F1 (.5)-10Kg=0 (20)(.8660)-F2=0F1(.5)= 10Kg F2=17.32KgF1=10/.5F1=20 Kg3.- Un peso de 200 libras, es suspendido con una estructura metálica, como se muestra enla figura, ¿Calcular la tensión de la cuerda y la comprensión de la varilla supuesta sin más.286 0 º6 0 º1 0 k g1 0 k gV 2V 2V 1V 1V 1X 2
  29. 29. Sen Q= C.OHSen 20º VyHCOS C.AHCOS 20º VxHH= (seno 20º)/ (CO)Vx=(coseno 20º) (H)200lb/ .3420 ( 9396)(584.79)Vy= 584.79 lb Vx= 549.47 lb4.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordelB y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30° con la pared vertical. Dibuje el Diagrama de cuerpo libre y halle los valores de las cuerdas A y B.BA292 0 ºC2 0 0 b1
  30. 30. Para las componentes horizontales:Σ fx =0Σ fx =-A cos 60° + B = 0Σ fx = -A 0.5 + B = 0B = 0.5 A.........1Componentes verticalesΣfy =0Σfy= A sen 60°-100 N=0(A 0.8660) – 100N=0A= 100N/0.8660= 115.47 NSustituyendo en la fórmula 1B = 0.5 AB = 0.5 (115.47)B = 57.73 N30°90°60°AB30100 N
  31. 31. 5.- Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anulado a otros dos cordeles encuéntreselas tensiones en los cordeles a, b, c de acuerdo a la siguiente figura.Componentes horizontalesΣfx =0Σfx = B cos 45°-A cos 60° = 0Σfx = B 0.7071–A 0.5=0Σfx= B 0.7071= A 0.5Despejando A:A =B 0.7071/0.5A = B 1.4142 ecuación 1.A = 1.4142 B ........1Componentes verticales:Σfy=A sen 60° + B sen 45°- 200 N = 0Σfy=A 0.8660 + B 0.7071- 200N=0Σfy= A 0.8660 + B 0.7071 = 200NSustituyendo el valor de A de la ecuación 1:Σfy= B 1.4142 (0.8660) + B 0.7071=200 NΣfy= B 1.2246 + B 0.7071= 200NΣfy= B 1.9317= 200 NDespejando B tenemos:Σfy=B= 200/1.9317= 103.53 NA= 103.53 x 1.4142= 146.41 NLos resultados de las tensiones son:A = 103.53 N; B = 146.41 N; C= peso del objeto = 200 N.AB60° 45°C200 N31
  32. 32. 6.- Dos niños sostienen una piñata cuyo peso es de 196 Newtons, formando un ángulo de140° con ambas cuerdas. Calcular la fuerza aplicada por cada niño.Diagrama de cuerpo libre140°T1T220°20°T1T232196N196N
  33. 33. Como el cuerpo está en equilibrio tenemos que:ΣFx = 0 = T1x+ (-T2x)ΣFy = 0 = T1y +T2y-PSustitución :ΣFx = T1 cos 20°- T2 cos 20° = 0ΣFx = T1 cos 20° = T2 cos 20°.T1 = T2.ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20°-196 N = 0ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20° = 196 Ncomo T1= T2= T2 T sen 20° = 196 NT = 196 N = 196 N = 286.54 N2 sen 20° 2 x 0.3420Donde la fuerza aplicada por cada niño es de 286.54 N.7.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como se ve en lafigura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra.Como el cuerpo está en equilibrio:ΣFx = 0 = E + (-Tx)ΣFy = 0 = Ty + (-P)Sustitución:TE35°500NETTxT y35°33P
  34. 34. ΣFx = E – T cos 35°= 0E = T cos 35°.ΣFy = T sen 35°- P = 0T sen 35° = PT = P_____ = 500 N = 871.68 Nsen 35° 0.5736Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.8.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x: Vemos quela componente y del triángulo rectángulo es de 3 metros y la componente x es de 5metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en cuestiónpor lo cual se puede utilizar la función trigonométrica tangente: (cateto opuesto entreadyacente):tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-10.6 = 31°.5 mUna vez hallado el ángulo ya podemos hallar la tensión y el empuje:ΣFx = E- T cos 31°= 0ΣFx = E = T cos 31°.ΣFx = E = T 0.8571ΣFy = T sen 31°- P = 0ΣFy = T 0.5150-900 N = 0TEθ= ¿900NETTxT yθ= ¿3m5 m900 N34
  35. 35. ΣFy = T 0.5150 = 900 Ndespejando a T tenemos:T = 900 N = 1747.57 N0.5150Ahora sustituimos el valor de la tensión para hallar el empuje:E = T 0.8571. E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 N.e. Evaluación del tema. 4.2. Equilibrio de una partícula1. Dos cuerdas A y B sostienen a un peso de 420 newtons, la cuerda A forma un ángulo de45° respecto al techo en el primer cuadrante y la cuerda B está atada al muro vertical alotro extremo con un ángulo de 60° en el cuarto cuadrante. Calcule las tensiones de lascuerdas A y B.A. A= 1325 N, B= 1275 NB. A= 1210 N, B= 1340 NC. A= 1410 N, B= 1150 ND. A= 1320 N, B= 1575 NE. A= 1567 N, B= 1785 N2.- Dos cables A y B sostienen un peso de 340 Newtons y ambas penden del techo. Lacuerda A se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 30° respecto deltecho, la cuerda B se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 60° respectodel techo. Encuentre las tensiones de las cuerdas A y B.A. A= 160 N, B= 285 NB. A= 190 N, B= 222 NC. A= 150 N, B= 278 ND. A= 170 N, B= 294 NE. A= 190 N, B= 280 N3.- Encuentre las tensiones de dos cuerdas A y B que sostienen a un peso de 80 Newtons.La cuerda A se encuentra sobre el eje x en el segundo cuadrante y la cuerda B, forma unángulo de 40° respecto al techo en el primer cuadrante.A.- A = 85.2 N, B =120 NB.- A = 95.3 N, B =124 NC.- A = 78.8 N, B = 98 ND.- A = 89.5 N, B = 90 NE.- A =75.3 N, B =95 N4.- Las ecuaciones que representan la primera condición de equilibrio son:A. ΣM=0B. ΣFz=0C. ΣFy=0D. ΣFx=0E. ΣFx=0 ΣFy=035
  36. 36. 5.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 de dos cuerdas que sostienen un peso de100 Newtons y ambas forman ángulos de 10° con respecto al techo, en el primer ysegundo cuadrantes respectivamente.A. T1 y T2=50 NB. T1 y T2=33.33 NC. T1 y T2=288.03 ND. T1 y T2=75.5 NE. T1 y T2=83.33 Nf. Bibliografía específica del tema 4.2. Equilibrio de una partícula.Física General, Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.Cuarta reimpresión de la Segunda Edición. 2004.d. Desarrollo del tema 4.3. Momento de una fuerza.Como se vio anteriormente la primera condición del equilibrio llamada equilibriotraslacional, se enunciaba de la siguiente forma: “Un cuerpo se encuentra en equilibriotraslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero”.Cuyas ecuaciones son las siguientes:ΣFx= 0 y ΣFy= 0.Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo puede estargirando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por ejemplo, la rotación delvolante de un automóvil se debe a la capacidad que tiene cada fuerza para hacerlo girar.Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la segundacondición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, lasuma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto acualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta ley se expresa con laecuación:ΣM=0.Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la segunda condicióndel equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con el:Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, talvez exista equilibrio trasnacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otraspalabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni haciaabajo, pero puede seguir girando.La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiendeindefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de acción delas fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un puntollamado eje de rotación.La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se llama brazode palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar elmovimiento rotacional. Por ejemplo, si reejerce una fuerza F a distancias cada vez mayoresdel centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relacióncon su centro.Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar unmovimiento. El momento de torsión o torca M se define como la tendencia a producir uncambio en el movimiento rotacional. En algunos libros se le llama también momento de lafuerza, como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la36
  37. 37. magnitud de la fuerza F como por su brazo de palanca r, Por lo tanto definiremos elmomento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.Momento de torsión = fuerza x brazo de palanca.M = F rEs preciso entender que en la ecuación anterior r se mide en forma perpendicular ala línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de torsión son las unidades defuerza por distancia, por ejemplo Newton-metro N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).Cuando una fuerza tiende a girar a un objeto en el sentido de las manecillas delreloj, se le asigna un signo negativo, y cuando tiende a girar al objeto en el sentidocontrario a las manecillas del reloj se le asigna un signo positivo.El momento de una fuerza cuando dicha fuerza aplicada a un objeto también puedecalcularse con la siguiente ecuación:M = F sen θ r.Se utiliza el seno del ángulo, puesto que la componente vertical de la fuerza (Fy) esla componente por la cual el objeto tiende a girar.Ejercicios1.- Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda de una llave de perico aplicándole unafuerza de 850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar a la tuerca. Calcular el momentode la fuerza si la llave mide 35 cm y se aplica en el sentido contrario a las manecillas delreloj.DatosF = 850 Nθ = 60°r = 35 cm = .35 mM = ?M = F sen θ rM = (850 N) (sen 60°) (0.35 m)M = 257.64 N. m376 0 º8 5 0 N
  38. 38. 2.- Se ejerce una fuerza de 20 Newtons sobre un cable enrollado alrededor de un tamborde 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente alcentro del tambor, si la fuerza se aplica en el sentido de las manecillas del reloj?.Datos: Fórmula: SustituciónF = -20 N M = Fr M = -20 N x 0.06 m.r = 0.06 m M = -1.20 N.m = -1.20 JM=Momento de torsión resultante.En ocasiones los cuerpos están sometidos a 2 o más fuerzas que lo mantienen enequilibrio, por lo tanto se debe hallar un momento de torsión resultante que se obtiene alsumar los momentos de torsión de cada una de las fuerzas, que se determina con laecuación:120 mmF = 20 N38
  39. 39. MR = M1 + M2 + M3 + M4 + ….. MnDonde MR= Momento de torsión resultante.M1, M2. M3, M4= Momentos de torsión de las fuerzas 1, 2, 3, 4 y n fuerzas que seaplican al cuerpo.En este tipo de problemas se deben aplicar las 2 condiciones del equilibrio(trasnacional y rotacional), para que el cuerpo esté totalmente en equilibrio. Al aplicar laprimera condición de equilibrio, las fuerzas que actúan hacia arriba se consideranpositivas y las que actúan hacia abajo negativas.Para calcular el momento de torsión resultante en un cuerpo siga los siguientespasos:1.- Lea el problema y luego dibuje la figura y marque los datos.2.- Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias y el ejede rotación. Cuando se considere el peso del cuerpo, este recaerá en el centro geométricodel mismo (a la mitad). En ocasiones hay problemas en los cuales se desprecia el peso delcuerpo, en este caso los cálculos se harán con las fuerzas que estén sobre el objeto.3.- Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.4.- Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.5.- Calcule los brazos de palanca si es necesario.6.- Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente de las otrasfuerzas, asegúrese de asignar el signo apropiado (+ ó -).7.- El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión decada fuerza.Ejercicios:2.- Karina quiere colocar 2 floreros en el jardín de su casa con la ayuda de una varilla unidaa la pared y el otro extremo colgada de una cuerda que tiene un valor de 70 kg. Conociendoque pesan 12 y 25 kg. Calcular la torsión de la barra, con respecto a la pared si ésta mide 4metros.398 0 º1 mW = 1 2 K1 W = 2 5 K g .22 m 1 m
  40. 40. DatosW1 = 12 KgW2 = 25 KgF = 70 KgR1 = 1 mR2 = 3 mR3 = 4 mθ1 = 90°θ2 = 90°θ3 = 80°Solución: el peso de los floreros con respecto a la pared, tenderían a rotar a la varilla en elsentido de las manecillas del reloj, por lo tanto se les asigna un signo negativo, y la tensiónde la cuerda, que es la que sostiene a la varilla (fuerza de reacción), tendería a rotarla en elsentido contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo positivo. El senode 90° es igual a uno, por lo cual con sólo multiplicar la fuerza o peso de los 2 floreros porsu brazo de palanca a la pared da el mismo resultado.M = -(1 m)(12kg)(sen 90°)–(25kg)(3m)(sen 90°) + (70kg)(4m)(sen 80°)M = -87 kg.m+ 275.74 kg.mM = 188.74 kg.m.3.- Calcula las reacciones en la viga, según nos indica el dibujo.402 m 3 mF = 4 T2F = 5 T3F = 6 T1R 1 R 2
  41. 41. En el caso de R1, y R2 al ser fuerzas dirigidas hacia arriba setoman como positivos y las fuerzas F1, F2 y F3 al estar dirigidashacia abajo se toman como negativos.Aplicando la primera condición de equilibrio:∑ƒy = R1 + R2– F1 – F2 – F3 = 0∑ƒy = R1 + R2-6 T-4 T- 5 T= 0∑ƒy = R1+R2 -15 T= 0despejando tenemos :∑ƒy = R1 + R2 = 15 T ecuación 1.Aplicando la segunda condición de equilibrio: eligiendo el punto R1 como paramedir los brazos de palanca de las otras fuerzas tenemos: En este caso la fuerza F1 alaplicarse en el mismo punto que R1, no tiene brazo de palanca, por lo tanto no tienemomento de torsión, en el caso de F2 y F3, con respecto a R1 tenderían a rotar a laviga en el sentido de las manecillas del reloj, por lo cual se les asigna un signonegativo. R2 es una fuerza dirigida hacia arriba, tendería a rotar a la viga en elsentido contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signopositivo.∑MR1= (R2) (5 m) – (F2) (2 m) – (F3) (5 m)= 0= (R2) (5 m)- (4 T) (2 m)- (5 T) (5 m)= 0= (R2) (5 m)- 8 T.m- 25 T.m= 0= (R2) (5m) – 33 T.m= 0= (R2) (5m)= 33 T.m.Despejando R2 tenemos:R2 = 33 T.m5 mR2 = 6.6 TSustituyendo el valor de R2 en la ecuación 1 tenemos:R1 + R2 = 15 T. Por lo tanto R1 = 15 T- R2.R1= 15 T- 6.6 T = R1= 8.4 T.4.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3 metros del puntode apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se debe aplicar en el otro extremopara que la barra quede en equilibrio. b) La Tensión que soporta el cable que sujeta labarra. considere despreciable el peso de la barra.41
  42. 42. Diagrama de cuerpo libre.60 N3 mP2 = ¿2 m42
  43. 43. a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos que:ΣF = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)ΣMo =0 = Mp1 + (-Mp2) = 0…. (2)Sustituyendo en la ecuación 1 :ΣF = T- 60 N-P2= 0T = 60 N+ P2.b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que equilibrará alsistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos en elpunto O es igual a:ΣMo= P1r1-P2r2= 0P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 Nr2 2 mPor lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensión del cable es:T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N5.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas como se ve en la figura.Calcular a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción R que se ejerce para equilibrar laviga? b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de reacción respecto al punto A?.P2 = ¿T = ¿r1 = 3 m r2 = 2 mO¿P1 = 60N43
  44. 44. Diagrama de cuerpo libre:Solución: Para que el cuerpo esté en equilibrio:ΣF = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1)ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2)Sustituyendo en 1:ΣF = R – 300 N- 400 N= 0R = 700 NC2 = 400 NR6 mA6 mr R = ¿AC2 =400 N44C1 = 300 NBC1 = 300NR = ¿B
  45. 45. b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A:ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0ΣMA = 700 N (rR) = 24400 N.mdespejando rR tenemos:rR = 2400 N.m = 3.43 m700 Npor lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de las doscargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.e. Evaluación del tema 4.3. Momento de una fuerza1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de 400 Ncomo se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reacción a que se encuentransujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la viga.A.- RA = 450 N RB = 150 NB. RA = 350 N, RB = 250 NC. RA = 200 N, RB = 400 ND. RA = 150 N RB = 450 NE. RA = 250 N, RB = 350 N2.- Considere la situación que se muestra en la figura siguiente. Una viga uniforme quepesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. De acuerdo con las distancias y200 N400 N1 m2 m1 m45A B
  46. 46. fuerzas que aparecen en la figura, ¿cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes Ay B?A. A = 717 N, B = 183 NB. A = 183 N. B = 717 NC. A = 246 N, B = 555 ND. A = 278 N, B = 478 NE. A = 432 N , B = 134 N3.- Una viga de 6 metros de longitud, cuyo peso es de 700 N, soporta una carga de 1000N que forma un ángulo de 60° y otra de 500 N, como se ve en la figura. Determinar lasfuerzas de reacción de los soportes A y B.300 N400 N10 m 4 mBA12 m46
  47. 47. A.- A = 234.5 N. B = 498.9 NB.- A = 994.3 N, B = 1071.7 NC.- A = 546.2 N, B = 135.2 ND. - A = 456.3 N. B = 765.4 NE.- A= 1071.7 N, B = 994.3 N4.- El enunciado “La suma algebraica de todos los momentos de torsión en relación concualquier eje debe ser cero”. Pertenece a:A. Segunda Ley de NewtonB. Primera Ley de NewtonC. Segunda condición de equilibrioD. Primera condición de equilibrioE. Tercera Ley de Newton5.- El _____________________ se define como la tendencia a producir un cambio enel movimiento rotacional de un cuerpo.A. Brazo de palancaB. Cantidad de movimientoC. FuerzaD. Momento de torsiónE. Impulsof. Bibliografía específica del tema 4.3. Momento de una fuerza. Física General.Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.7.- Evaluación de la Unidad temática IV. Introducción a la estática de la partícula y delcuerpo rígido.60°A B1 mF1 = 1000 NF2 = 500 N6 m47
  48. 48. a. Trabajo documental.- Los 3 primeros equipos investigarán en otros libros y sitios deinternet los conceptos de cantidades escalares y vectoriales y ejemplos, y resolver 5problemas cada equipo hallando el vector resultante, tanto por los métodos gráficoscomo por el método analítico.Los equipos 4, 5 y 6 buscarán más información en libros y en sitios de internet, loscomponentes rectangulares de una fuerza en el plano y resolverán 8 problemas cadaequipo, hallando las componentes rectangulares de los vectores Fx y Fy. Resolviendopara 2 vectores en cada cuadrante.Los equipos 8, 9 y 10, buscarán más información y en sitios de internet vectores enel espacio y cada equipo resolverá 4 problemas, hallando el vector resultante dadas lascomponentes, hallando los cosenos directores dada la fuerza resultante y lascomponentes, hallando las componentes, dada la fuerza resultante y las distancias delas componentes (dx, dy, y dz) y Hallando uno de los cosenos directores, la fuerzaresultante y las dos componentes restantes de la fuerza, cuando sólo se dan dos de losángulos y una sola de las componentes de la fuerza.Los equipos 11, 12 y 13, buscarán más información sobre la primera y segundacondición de equilibrio en libros y sitios de internet y resolverán 6 ejercicios, 3aplicando la primera condición de equilibrio hallando tensiones de cuerdas y 3 aplicandolas 2 condiciones de equilibrio hallando soportes que sostienen a una viga o una barraligera.b. Reactivos de Evaluación de la unidad Temática IV1.-Una cantidad ____________ se especifica totalmente por su magnitud, que constade un número y una unidad. Por ejemplo: rapidez (15 millas/hora), distancia (12 km) yvolumen (200 cm3).A. AbsolutaB. RelativaC. EspecíficaD. VectorialE. Escalar2.- Una cantidad _______________ se especifica totalmente por una magnitud y unadirección y consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo,desplazamiento (20 metros, norte) y velocidad (40 millas/hora, 30° Noroeste)A. EspecíficaB. Vectorial48
  49. 49. C. EscalarD. AbsolutaE. Relativa3.- Son 2 métodos gráficos para sumar vectoresA. Teorema de Pitágoras y Ley de cosenosB. Polígono y paralelogramoC. Ley de senos y Teorema de PitágorasD. Ley de senos y ley de cosenosE. Ley de senos y de tangentes4.- Es la parte de la física que estudia a los cuerpos en equilibrio.A. DinámicaB. TermodinámicaC. TermologíaD. EstáticaE. Mecánica5.- Tres embarcaciones ejercen fuerzas ejercen sobre un gancho de amarre. La fuerza1= 420 N a 60° Noreste, la fuerza 2= 150 N al norte y la fuerza 3= 500 N a 40° alNoroeste. Halle la resultante de de estas 3 fuerzas y su dirección.A. 900 N, 95°B. 853 N, 101.7°C. 820 N, 91°D. 755 N, 78°E. 730 N, 75°6.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definidapor los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de-174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y lamagnitud de la fuerza F.A. a) 134.4°, b)Fx=89.9 lb, Fz=144.2 lb, F=245 lbB. a) 135.5°. b)Fx=85.5 lb, Fz=145.5 lb, F=240 lbC. a) 150.4°, b)Fx=96.6 lb, Fz= 140.4 lb, F=250 lbD. a) 160.2°, b)Fx= 92.8 lb, Fz=130.3 lb, F=250 lbE. a) 140.3°, b) Fx= 79.9 lb, Fz= 120.1 lb, F=226 lb7.- Una plataforma de 10 ft que pesa 40 libras, está apoyada por los extremos enescaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 libras se ha colocado a 4 ft del extremoderecho. Encuentre las fuerzan que ejercen los soportes A y B.A. A = 128 lb, B =92 lbB. A= 140 lb, B =80 lbC. A =120 lb, B =100 lbD. A =92 lb, B =120 lbE. A =80 lb, B = 200 lb49
  50. 50. 8.- Encontrar las tensiones de 2 cuerdas T1 y T2 que sostienen un peso de 50 Newtons.T1 se encuentra sobre el eje x en el primer cuadrante y T2 forma un ángulo de 35° conrespecto al muro vertical en el segundo cuadrante.A. T1=52 N y T2=65.5 NB. T1=38 N y T2=72.04 NC. T1=44 N y T2=68.02 ND. T1=35N y T2=61.03 NE. T1=50 N y T2=75.68 N9.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 que sostienen un peso de 300 Newtons.T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 56° respecto al techo, T2se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 34° respecto al techo en elsegundo cuadrante.A. T1=125.55 N y T2=233.3 NB. T1=248.71 N y T2=167.77 NC. T1=167.77 N y T2=248.71D. T1=140.8 N y T2=288.88 NE. T1=206.3 N y T2=125.8 N10.- Encontrar las tensiones T1 y T2 de 2 cuerdas, que sostienen un peso de 400Newtons, T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 40° conrespecto al techo, T2 se encuentra sobre el eje x en forma horizontal en el segundocuadrante.A. T1=622.28 N, T2=476.67 NB. T1=602.32 N T2=422.3 NC. T1=588.2 N, T2=408.2 ND. T1=570.8 N, T2=444.4 NE. T!=615.55 N, T2=435.5 N.50

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