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MÓDULO 7
TÉCNICAS DE FREQÜÊNCIA E DURAÇÃO
7.1 – Conceitos Básicos sobre Freqüência e Duração
O uso de técnicas de freqüência e duração permite calcular índices adicionais de confiabilida-
de para sistemas que alternam estados de funcionamento e reparo. Tais índices são compostos
pela freqüência com que se encontra um determinado estado do sistema e pelo tempo médio
de residência em tal estado.
Considere para isso um componente reparável cujo modelo de espaço de estados é mostrado
na figura abaixo.
λ
1 2
F F
μ
A próxima ilustra um possível histórico de operação para o referido componente. Observe
como o componente transita entre os estados de funcionamento e falha (reparo).
Estado
r1 r2 r3 r4
2
m1 m2 m3 m4
1
Tempo
A idéia básica consiste em se representar de maneira aproximada o histórico acima como uma
função periódica do tipo:
Estado
r r
2
m m
1
Tempo
T
Neste caso, os parâmetros do ciclo médio são:
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2. Módulo 7 – Página 2/13
• m=
∑ mi → Tempo médio de funcionamento.
N
• r=
∑ ri → Tempo médio de reparo.
N
• N → Número de falhas observadas (idêntico ao número de reparos).
• T =m+r → Período da função (ciclo).
1 1
• f = = → Freqüência da função.
T m+r
A freqüência “f” indicada acima se refere ao número de vezes que a função (ciclo onde ocorre
o sucesso e a falha) se repete por unidade de tempo, o que também pode ser interpretado co-
mo a freqüência média de ocorrência dos estados de funcionamento e falha (reparo).
7.2 – Relação entre Freqüência, Duração e Probabilidade Estacionária
Freqüência
Do módulo anterior, tem-se que as probabilidades estacionárias dos estados de funcionamento
e falha para um componente de dois estados são dadas por:
μ
P1S = (1)
μ+λ
λ
P2S = (2)
μ+λ
Tomando (1):
1 1
μ m 1 1
P1S = = r = r = = m× = ×f → f = P1S × λ (3)
μ+λ 1 1 m+r m+r m+r λ
+
r m mr
Tomando (2):
1 1
λ r 1 1
P2S = = m = m = = r× = ×f → f = P2S × μ (4)
μ+λ 1 1 m+r m+r m+r μ
+
r m mr
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3. Módulo 7 – Página 3/13
Pode-se notar que a freqüência da pode ser calculada com base em duas expressões diferentes
que resultam no mesmo valor numérico. No entanto, observe que a expressão (3) representa a
freqüência com que o sistema sai do Estado 1 e entra no Estado 2, sendo, conceitualmente,
uma freqüência de falha. Ao contrário, a expressão (4) representa uma freqüência de reparo,
i.e. a freqüência com que o sistema deixa o Estado 2 para entrar no Estado 1.
Observe que:
tempo total de funcionamento número de falhas
f = P1S × λ = ×
tempo total de observação tempo total de funcionamento
número de falhas
f = . (5)
tempo total de observação
Note ainda:
tempo total de reparo número de reparos
f = P2S × μ = ×
tempo total de observação tempo total de reparo
número de reparos
f = . (6)
Tempo total de observação
Como, ao longo do tempo, o número de reparos tende a se igualar ao número de falhas, tem-
se que a freqüência de reparo e a freqüência de falhas tornam-se iguais.
De uma forma geral:
freqüência = probabilidade estacionária × taxa .
Duração
1 1
De (3): f = P1S × λ → f = P1S × → m = P1S × = D1 .
m f
P
D1 = 1S . (7)
f
1 1
De (4): f = P2S × μ → f = P2S × → r = P2S × = D2 .
r f
P
D 2 = 2S . (8)
f
De uma forma geral:
probabilidade estacionária
duração = .
freqüência
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4. Módulo 7 – Página 4/13
7.3 – Freqüência de um Estado: Generalização
Se houver mais de dois estados, como mostra a figura abaixo, a freqüência dos estados pode
ser calculada de duas formas diferentes, como será demonstrado a seguir.
j
a b
c e
k i m
d f
Para calcular, por exemplo, a freqüência de saída do estado i:
f Si = PiS × a + PiS × c + PiS × e = PiS × (a + c + e) . (9)
A freqüência de entrada no estado i vale:
f Ei = P jS × b + PkS × d + PmS × f . (10)
De uma forma geral:
f Si = PiS × ∑ λ ij . (11)
j≠i
f Ei = ∑ PjS × λ ji . (12)
j≠i
Embora calculadas por expressões diferentes, a freqüência de entrada em um estado é numeri-
camente igual à sua freqüência de saída. Assim, tem-se:
freqüência de entrada = freqüência de saída = freqüência do estado.
7.4 – Freqüência e Duração de um Conjunto de Estados
Em estudos de confiabilidade, muitas vezes será conveniente agrupar estados que apresentam
alguma característica em comum para formar um estado equivalente. Nestes casos, torna-se
importante calcular a probabilidade estacionária, a freqüência e a duração média do referido
estado acumulado.
Para ilustrar este conceito, considere que os estados 1 e 2 da figura a seguir sejam estados de
sucesso (estado acumulado M), enquanto 3, 4 e 5 representam falha (estado acumulado N).
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5. Módulo 7 – Página 5/13
g
1 2 M
f
j a b i h
c
3 4 5 N
d e
Note que as probabilidades estacionárias dos estados acumulados M e N são:
PMS = ∑ PmS = P1S + P2S (13)
m∈M
PNS = ∑ PnS = P3S + P4S + P5S . (14)
n∈N
Diferentemente das probabilidades, as freqüências dos estados acumulados nem sempre cor-
respondem à soma das freqüências de seus estados simples. Isto ocorre porque existem transi-
ções internas aos próprios estados acumulados, como se pode notar na figura acima. Neste
caso, para o cálculo das freqüências dos estados acumulados, devem ser consideradas apenas
as taxas que cruzam a fronteira. Observe as freqüências de entrada e de saída do estado M:
FEM = P3S × j + P4S × a + P5S × i (15)
FSM = P1S × b + P2S × h . (16)
As duas expressões acima fornecem o mesmo valor, i.e. a freqüência do estado M.
Analogamente, pode-se calcular a freqüência de entrada e a freqüência de saída do estado N:
FEN = P1S × b + P2S × h (17)
FSN = P3S × j + P4S × a + P5S × i . (18)
A freqüência do estado N pode ser calculada por (17) ou (18), resultando no mesmo valor
numérico. Como só existem dois estados acumulados, a freqüência de saída do estado M é
igual à freqüência de entrada no estado N. Analogamente, a freqüência de saída do estado N é
igual à freqüência de entrada no estado M. De forma genérica:
⎡ ⎤
FMN = ∑ ⎢PmS × ∑ λ mn ⎥ . (19)
m∈M ⎢
⎣ n∈N ⎥
⎦
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6. Módulo 7 – Página 6/13
Para o cálculo da duração média dos estados acumulados, basta fazer:
P
D M = MS (20)
fM
P
D N = NS . (21)
fN
7.5 – Exercícios Propostos – Parte 1
1) Considere o espaço de estados abaixo, onde as taxas estão em transições por ano.
A
0,2 30 10 0,1
B C
0,4
a) As probabilidades estacionárias dos estados.
b) A freqüência e a duração média de cada estado.
c) Considerando que B e C sejam estados de falha, calcule a freqüência e a duração média
das falhas do sistema.
2) A matriz estocástica de taxas de transição apresentada a seguir representa o modelo de um
determinado sistema.
− 0,15 0,1 0,05 0
10 − 10,2 0,2
A=
2 − 2,2 0,2
5 4 −9
Sabendo que as taxas informadas estão em transições por ano, calcule:
a) A freqüência e a duração média de cada estado do sistema.
b) A freqüência e a duração média do estado acumulado formado pelos estados 3 e 4.
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7. Módulo 7 – Página 7/13
7.6 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Paralelo – Fórmulas Exatas
A figura abaixo mostra o sistema, bem como o modelo aplicável aos seus dois componentes.
1 λi
i i i=1,2
2 μi
Espaço de Estados do Sistema
O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura abaixo. Observe que em cada estado tem-
se informação sobre todos os componentes do sistema.
λ1
1 2
12 12
μ1
λ2 μ2 μ2 λ2
λ1
3 4
12 12
μ1
Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema
O cálculo das probabilidades estacionárias pode ser feito através da solução do sistema
Ps = 0m × Am −1 (22)
já apresentado no Módulo 6. Contudo, no caso particular deste sistema, como os componentes
são independentes, as probabilidades dos estados podem ser calculadas em função das proba-
bilidades individuais dos estados de cada componente. Assim:
μ1 μ2
P1S = P(1 ∩ 2) = P(1) × P(2) = × (23)
μ1 + λ1 μ 2 + λ 2
λ1 μ2
P2S = P( 1 ∩ 2) = P( 1 ) × P(2) = × (24)
μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2
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8. Módulo 7 – Página 8/13
μ1 λ2
P3S = P(1 ∩ 2 ) = P(1) × P( 2 ) = × (25)
μ1 + λ1 μ 2 + λ 2
λ1 λ2
P4S = P( 1 ∩ 2 ) = P( 1 ) × P( 2 ) = × . (26)
μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2
Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha
Como o sistema é completamente redundante, ele falha apenas no estado 4. Assim, a fronteira
pode ser representada na figura abaixo.
λ1
1 2
12 12
μ1
λ2 μ2 μ2 λ2
λ1
3 4
12 12
μ1
SF
PSF = P1S + P2S + P3S (27)
λ1λ 2
PSF = P4S = . (28)
(μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 )
A expressão (28) fornece a probabilidade estacionária de falha do sistema em função das ta-
xas de falha e de reparo e seus componentes. Contudo, em estudos de confiabilidade é mais
comum deixar as fórmulas em função das taxas de falha e tempos médios de reparo. Como o
tempo médio de reparo “r” corresponde ao inverso da taxa de reparo “μ”, tem-se:
λ1λ 2 λ1λ 2 λ1λ 2 r1r2
PSF = P4S = = = . (29)
(μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 / r1 + λ1 )(1 / r2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )
Freqüência Média de Falha
Como o espaço de estados foi dividido em duas partes (funcionamento e falha), sabe-se que as
freqüências dos dois estados acumulados serão numericamente iguais. Calculando-se então a
freqüência de saída do estado de falha:
λ1λ 2 (μ1 + μ 2 ) λ1λ 2 (r1 + r2 )
f SF = P4S (μ1 + μ 2 ) = = . (30)
(μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )
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9. Módulo 7 – Página 9/13
Duração Média das Falhas
Do exposto anteriormente, tem-se que a duração é sempre dada pela relação entre probabili-
dade estacionária e freqüência (que pode ser a de entrada ou de saída). Assim:
P P4S 1 rr
D SF = SF = = = 12 . (31)
f SF P4S (μ1 + μ 2 ) μ1 + μ 2 r1 + r2
7.7 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Série – Fórmulas Exatas
A figura abaixo mostra o sistema e o modelo aplicável aos dois componentes.
λi
1 2 i i i=1,2
μi
Espaço de Estados do Sistema
O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura a seguir. Diferentemente do modelo ante-
rior, este sistema apresenta apenas três estados.
λ1
1 2
12 12
μ1
λ2 μ2
3
12
SF
Por se tratar de um arranjo série, quando ocorre a falha de um componente, o sistema fica
inoperante. Assim, durante a ação de reparo de um componente, é usual assumir que o outro
componente não possa falhar. Daí a não-existência do estado onde os dois componentes apa-
receriam avariados. Note que a premissa adotada neste exemplo torna evidente a dependência
entre os componentes.
Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema
Neste caso, onde os componentes são dependentes, o cálculo das probabilidades estacionárias
deve ser feito, obrigatoriamente, através da solução do sistema:
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10. Módulo 7 – Página 10/13
Ps = 0m × Am −1 . (32)
Para este exemplo:
− ( λ1 + λ 2 ) λ1 λ2
A= μ1 − μ1 0 .
μ2 0 − μ2
Dessa forma, deve-se resolver o seguinte sistema
1 λ1 λ2
1 0 0 = P1S P2S P3S × 1 − μ1 0
1 0 − μ2
cuja solução é:
μ1μ 2
P1S = (33)
μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2
λ1μ 2
P2S = (34)
μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2
μ1λ 2
P3S = . (35)
μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2
Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha
De acordo com a fronteira definida na figura anterior, tem-se:
λ1μ 2 + μ1λ 2 λ1r1 + λ 2 r2
PSF = P2S + P3S = = . (36)
μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2
Freqüência Média de Falha
μ1μ 2 (λ1 + λ 2 ) λ1 + λ 2
f SF = P1S (λ1 + λ 2 ) = = . (37)
μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2
Duração Média das Falhas
P λ r + λ 2 r2
D SF = SF = 1 1 . (38)
f SF λ1 + λ 2
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11. Módulo 7 – Página 11/13
7.8 – Exercícios Propostos – Parte 2
Montar o espaço de estados dos seguintes sistemas e, em seguida, obtenha expressões para o
cálculo da probabilidade, freqüência e duração média das falhas. Neste caso, deixe as expres-
sões em função das probabilidades estacionárias dos estados e das taxas.
a)
2
1
3
b)
1
2
3
c)
1 2 3
Considere, nos três casos, que o modelo dos componentes é do tipo:
λi
i i i=1,2,3.
μi
7.10 – Fórmulas Aproximadas para os Sistemas Série e Paralelo
As fórmulas para probabilidade estacionária, freqüência e duração média das falhas deduzidas
anteriormente (Seções 7.5 e 7.6) foram chamadas de exatas, pois são obtidas diretamente dos
espaços de estados dos respectivos sistemas. Contudo, em sistemas de transmissão e distribui-
ção, os tempos médios de funcionamento dos componentes são, em geral, muito maiores que
os tempos médios de reparo, como se ilustra na figura a seguir.
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12. Módulo 7 – Página 12/13
Estado
r
F
m
F
T Tempo
1
Observe que: m >> r → >> r → 1 >> λr → 1 + λr ≅ 1 . (39)
λ
A presente simplificação pode ser aplicada nas fórmulas exatas, originando as seguintes fór-
mulas aproximadas:
Sistema Paralelo
λ1λ 2 (r1 + r2 )
f SF = ≅ λ P = λ1λ 2 (r1 + r2 ) (40)
(1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )
r1r2
D SF = rP = . (41)
r1 + r2
Sistema Série
λ1 + λ 2
f SF = ≅ λ S = λ1 + λ 2 (42)
1 + λ1r1 + λ 2 r2
λ r + λ 2 r2
D SF = rS = 1 1 . (43)
λ1 + λ 2
Caso haja n componentes em série:
n
λS = ∑ λi (44)
i =1
n
∑ λ i ri
rS = i =1 . (45)
n
∑ λi
i =1
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13. Módulo 7 – Página 13/13
7.11 – Exercícios Propostos – Parte 3
1) Calcule a probabilidade, freqüência e duração média das falhas do sistema abaixo, consi-
derando as seguintes taxas de falha e tempos médios de reparo: λ1 = 0,2 f/ano, r1 = 3 horas
λ2 = 5 f/ano e r2 = 10 horas.
1 2
2) Admita que o sistema anterior seja reforçado com a adição de um componente em paralelo
com o componente 2. Considere que λ3 = λ2 = 5 f/ano e r3 = r2 = 10 horas. Nessa nova
configuração, recalcule a probabilidade de falha, freqüência e duração média das falhas.
1 2
3
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