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Actividad 6 - Rios

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Parte A y B - Unidad 5

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Actividad 6 - Rios

  1. 1. RÍOS, M. Fernanda Página 1 Parte A. Individual. Busque y seleccione en Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o búsqueda libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google académica entre otros), información sobre grupo, subgrupo, grupo finito, homomorfismo entre grupos y ejemplos. Trate de no excederse de este temario. De ser necesario presente una síntesis propia. GRUPO DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn Es un par ordenado compuesto por un conjunto, G y operación binaria cerrada en ''G'' «*» que compone dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado como a * b o ab. Deben satisfacer cuatro axiomas: ooo CCCeeerrrrrraaaddduuurrraaa ooo CCClllaaauuusssuuurrraaa Para todo a, b de G, el resultado de la operación a * b también pertenece a G. ooo AAAsssoooccciiiaaatttiiivvviiidddaaaddd Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a * b) * c = a * (b * c). ooo EEEllleeemmmeeennntttooo nnneeeuuutttrrrooo Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la ecuación e *a = a * e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a menudo como 1 o 1G, una notación heredada de la identidad multiplicativa. ooo EEEllleeemmmeeennntttooo iiinnnvvveeerrrsssooo Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a * b = b * a = e. El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras, el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el mismo que operando b con a; la ecuación a * b = b * a puede no ser siempre cierta. Esta ecuación se cumple en el grupo de enteros con la adición: a + b = b + a, para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Los grupos para los cuales la ecuación a * b = b * a se cumple siempre, se denominan abelianos. Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano. DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn aaalllttteeerrrnnnaaatttiiivvvaaa Un grupo es un sistema algebraico que no es sino un conjunto no vacío provisto de una operación binaria asociativa, donde las ecuaciones ax=b y ya=b tienen solución dentro de dicho conjunto; por ello, también cumple la clausuratividad, entre otras propiedades. MATEMÁTICA I Actividad Individual Nº 6 – Unidad 5
  2. 2. RÍOS, M. Fernanda Página 2 EEEjjjeeemmmppplllooosss  (ℤ, +), el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.  (ℝ, +) , el conjunto de los números reales con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.  (ℤ{0},∗), el conjunto de los números enteros (excluyendo al 0) con la multiplicación, no es un grupo; dado que el elemento simétrico de x es 1/x, y dicho 1/x pertenece al conjunto de racionales, no al de los enteros.  La suma de matrices define una estructura de grupo conmutativo en las matrices con coeficientes reales (digamos) con un número de columnas y filas prefijado. Las funciones reales de variable real, con la suma de funciones, también forman un grupo conmutativo, al igual que las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones. SUBGRUPO En álgebra, dado un grupo 𝐺 con una operación binaria ∗, se dice que un subconjunto no vacío 𝐻 de 𝐺 es un subgrupo de 𝐺, si H también forma un grupo bajo la operación ∗. O de otro modo, 𝐻 es un subgrupo de 𝐺 si la restricción de ∗ a 𝐻 satisface los axiomas de grupo. Un subgrupo propio de un grupo 𝐺 es un subgrupo 𝐻, que es un subconjunto propio de 𝐺 (es decir 𝐻 ≠ 𝐺). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {𝑒} que consiste solamente en el elemento identidad. El grupo 𝐺 a veces se denota por el par ordenado (𝐺,∗), generalmente para acentuar la operación ∗ cuando 𝐺 lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto 𝑎 ∗ 𝑏 o simplemente 𝑎𝑏. DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn Decimos que un subconjunto 𝐹 de un grupo 𝐺 es un subgrupo de 𝐺 cuando 𝐹 es un grupo con la operación (de adición o multiplicación) de 𝐺 restringida a los elementos de 𝐹. EEEjjjeeemmmppplllooosss Sea el grupo ({0;1;2;3;4},+5) cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la tabla: +5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se incumple el axioma del cierre de los grupos.
  3. 3. RÍOS, M. Fernanda Página 3 GRUPO FINITO Un grupo finito es un grupo cuyo conjunto fundamental 𝐺 tiene un número de elementos finito. Los grupos finitos surgen también cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. EEEjjjeeemmmppplllooosss Grupos cíclicos Un grupo cíclico ZN es un grupo en la que todos sus elementos son potencias de un determinado elemento a donde 𝑎 𝑁 = 𝑎0 = 𝑒, el elemento identidad. Un ejemplo típico de este grupo son las N-ésimas raíces de la unidad complejas. Relacionando a a una raíz primitiva de la unidad se obtiene un isomorfismo entre las dos. Esto puede ser realizado con cualquier grupo cíclico finito. HOMOMORFISMO ENTRE GRUPOS Es una función entre grupos que preserva la operación binaria. Dados dos grupos (𝐺, °) y (𝐻,∗) la aplicación 𝜑 ∶ 𝐺 → 𝐻 es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 𝜑( 𝑎°𝑏) = 𝜑( 𝑎) ∗ 𝜑(𝑏) donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (°) es la ley de composición interna en 𝑮, y la operación del lado derecho de la ecuación (*) es la ley de composición interna en 𝑯. Si la aplicación 𝜑 es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación. EEEjjjeeemmmppplllooosss La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos: 𝑓: 𝔾𝕃 𝑛( 𝑅) → (R ∗,∙) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓( 𝐴) = det( 𝐴) dado que 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 𝗑 B) = det( 𝐴) ∙ det(B) Parte B. Individual. Tome ejercicios de la autoevaluación, en especial aquellos que respondieron de manera equivocada, y aquí expliciten y fundamenten la respuesta.
  4. 4. RÍOS, M. Fernanda Página 4 DDDeeesssaaarrrrrrooollllllooo 503. Un subgrupo es un grupo más pequeño. (Verdadero) En teoría de grupos, el subgrupo generado por un subconjunto S de un grupo G es el subgrupo más pequeño que contiene a todos los elementos de S. 504. Todo subconjunto de un grupo es subgrupo si contiene al neutro y al inverso. (Falso) Sean ( 𝐺,°) un grupo y 𝐻 ⊂ 𝐺 ∶ 𝐻 ≠ ∅. El grupo ( 𝐻, °) se llama Subgrupo de ( 𝐺, °) si y sólo si:  H contiene al elemento identidad de G: 𝑒 ∈ 𝐻  la operación binaria es cerrada en H: ∀𝑎, 𝑏 𝐻 ⟹ 𝑎 ° 𝑏 ∈ 𝐻  H contiene los elementos inversos: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎−1 ∈ 𝐻

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