Successfully reported this slideshow.
Botime shkollore AlbasShefik SefaLibër për mësuesin“Matematika 9”Përgatitur nga:
Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe ShkencësBotues:Latif AJRULLAIRita PETRORedaktore:Sevi LAMIRedaktore letrare:Vasilika ...
HYRJELibri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orëtmësimore, me qëllim që të zbërthehen s...
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
10Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
11Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.1Tema: Numrat natyrorë, veprimet me toObjektivat: Nxënësi në fund të orës së...
12Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Paraqiten në boshtin numerik:Shuma 3 + 2Shuma 3 + 0Shuma (3 + 2) + 2, 3 + (2 + 2)Pas...
13Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra: ... -3...
14Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.3Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realëObjektivat: Nxënësi në f...
15Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjenndërm...
16Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit.Në këtë moment mësuesi/ja u drej...
17Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike:P.sh.: A = ...
18Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimine vetive:1. ...
19Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë...
20Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:Gjeni:Krahasoni:Gjeni:Krahasoni:Nga dhe tregoni se:n...
21Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembullii mësipërm...
22Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja pyet klasën:- Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse?Gjeni zgjidhjet...
23Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Skema e qortimit të Testit (faqe 26)Ushtrimi 1:Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. (1 pi...
24Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Ushtrimi 6:Qarkimi i alternativës së saktë R I Q= ∪ 	 (1 pikë)Ushtrimi 7:a. Shkrimi i...
25Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë vetitë d...
26Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/jat`i shk...
27Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Kujtoni përkufizimin m n.Mësuesi/ja pyet nxënësit: - A janë të barabarta këto shpreh...
28Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të kujtojë vetitë e...
29Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”P.sh.:a b a bababa a a an n n nnnmnmn nn• = • == = për n-çiftZhvillimi i temës së re:...
30Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!b. Kështu shkruajnë: 1501    1 1 − − + = − − + •			Mësuesi/ja jep punë të pavarur. T...
31Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: •;   •	dhe kërkon ng...
32Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabelat me f...
33Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në fa...
34Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të llogaritë me mak...
35Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur.Llogarit: 1.    − +, ; 2. 1    +...
36Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Shprehja e 	 = 	 (1 pikë)b. Paraqitjaa ba ba b a ba b a b−+=−( ) −( )+( ) −( )	 (1 pi...
37Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me figura (s...
38Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësimi 3.2Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katroritObjektivat: Nxënësi në fund t...
39Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”b. Ktheni syprinën në mm2.c. Ktheni syprinën në m2.Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12...
40Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një pa...
41Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 3.4Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e HeronitObjektivat: Nxënësi në fund ...
42Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja jep punë të pavarur:Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a,...
43Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi me tabela.3. Punë e pav...
44Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 3.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë...
45Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50.Detyrë shtëpie. ...
46Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmëshum...
47Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metoda që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (me figura, tab...
48Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!- Çfarë vëreni?- A mund të themi seSSrr11= dheVVrr11= ?Mësuesi/ja organi...
49Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga n...
50Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Ta...
51Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë romb...
52Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kupt...
53Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremë...
54Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesorevetë t...
55Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme.Më pas kalohet te puna e...
56Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëseniveli ...
57Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (figura, tabel...
58Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ngjas...
59Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa3 dhe 6 cm.Në kët...
60Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësimi 4.10Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i af...
61Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Puna përgatitore është mirë të ndryshohet.Jepet trekëndëshi ...
62Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufi...
63Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 4.13Tema: Teoremat e EukliditObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të...
64Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Korda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme epërpjess...
65Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi:AC AD A...
66Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teorem...
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Udhezues-matematika-9
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Udhezues-matematika-9

24,386 views

Published on

Udhezues-matematika-9

  1. 1. Botime shkollore AlbasShefik SefaLibër për mësuesin“Matematika 9”Përgatitur nga:
  2. 2. Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe ShkencësBotues:Latif AJRULLAIRita PETRORedaktore:Sevi LAMIRedaktore letrare:Vasilika DINIArti grafik:Emanuela LUMANI© Albas, Tiranë 2008Ribotim, 2010Të gjitha të drejtat janë të rezervuaraShtëpia Botuese AlbasNë Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Classic Construction”, zyra nr. 2Tel/Fax: ++ 355 4 2379184e-mail: albas_tr@yahoo.comNë Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105Tel: 044 344047e-mail: albas_te@yahoo.comNë Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47Tel: 038 5457139e-mail: albas_pr@yahoo.com
  3. 3. HYRJELibri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orëtmësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe tëndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelete mëtejshme të shkollimit.Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve(OA).Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirënga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditenduke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit,prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes tëbëhet me ushtrimet e vështira!Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, dotë gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhetnë çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin eQendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për Arsimin (Grupi qendror për formulimin eobjektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë,II. Mesatar, III. I Lartë.Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumëmateriale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër tërekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatitenme kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës.Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, “kjo duhettheksuar”, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testido të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi nëçdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi,Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore,Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi).Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohensipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin nëshkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni mëtë suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime.
  4. 4. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  5. 5. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  6. 6. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  7. 7. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  8. 8. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  9. 9. Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  10. 10. 10Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”
  11. 11. 11Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.1Tema: Numrat natyrorë, veprimet me toObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeveme numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë.II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë.Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregullapraktike.III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejëPMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi.Metoda që rekomandohet:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesi grafik.3. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:1. Shkruani një numër natyror.Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet ikujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8.Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit sipunojnë.- Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm?Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1.Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5më e madhe se 4.U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra.2. Veprimet me numrat natyrorë.Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave:5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + 2Ndaluni te 5 = 2 + 3.Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = 2 + 1 + 1 + 1Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit 2me numrin 3.Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja:Shuma e numrit 2 me 3 është numri që fitohet nga numri 2, duke shtuar në mënyrëtë njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohinpërkufizimin në tekst.KREU IKUPTIMI I NUMRITMjetet ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.
  12. 12. 12Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Paraqiten në boshtin numerik:Shuma 3 + 2Shuma 3 + 0Shuma (3 + 2) + 2, 3 + (2 + 2)Pas këtyre ilustrimeve do të formulohen vetitë duke kërkuar më parë mendimine nxënësve.Pas formulimit të vetive me nxënësit përgatitet vërtetimi i tyre.3. Në të njëjtën mënyrë (duke u mbështetur në tekst) përgatiten përkufizimet eveprimeve të tjera.4. PMP-ja dhe SHVP-ja.Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- A mund të shkruhen numrat 3, 5 si prodhim faktorësh të ndryshëm nga 1? (Jo)- Po numrat 6 dhe 18? (6 = 2 • 3, 18 = 2 • 32)Numrat 2, 3, 5 etj., do t’i quajmë numra të thjeshtë.Nxënësit shkruajnë dy numra të thjeshtë (7, 11, 13...).Në fund mësuesi/ja duhet të tregojë rregullën praktike për të gjetur PMP-në dheSHVP-në.Këtu ka rëndësi të theksohet formula SHVP (m, n) =m nPMP m n•( , )Punë e pavarur.Kjo mund të përdoret dhe në formën e minitestit.Plotësoni tabelën në tekst. Shkruani 7 si shumën e dy numravetë njëpasnjëshëm.Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e numrave 42, 63Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e 288, 360, 432Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3/a, 5/d, 9/a, faqe 12.Mësimi 1.2Tema: Numrat racionalë. Bashkësia e numrave racionalëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë numrat racionalë. Të shënojë në boshtin numerik të paktën dynumra racionalë. Të përkufizojë bashkësinë e numrave racionalë.II. Të shkruajë si numra dhjetorë të paktën dy thyesa. Të shkruajë një numërthyesor si numër dhjetor.III. Të vërtetojë të paktën dy vetitë e numrave racionalë.Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesit grafikë.3. Punë individuale.Mjetet ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.
  13. 13. 13Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....dhe pyet nxënësit: - Si emërtohen këta numra?Paraqitini në boshtin numerik.- A ka kuptim shënimi ?- Po −?Përmendni disa veti të thyesave, më pas paraqitini në boshtinnumerik thyesat dhe .Mësuesi/ja kërkon përkufizimin, i cili gjendet në tekstin e nxënësit.2. Shkruani numrin e plotë -3 në formën e numrit racional.Theksohet se: për çdo m z mm∈ ⇒ =1,( )1∈N , pra çdo numër i plotëështë racional, domethënë Z Q⊂ (bashkësia e numrave të plotë ështëpjesë e bashkësisë së numrave racionalë).3. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të shkruajnë 4 thyesa, një me emërues 2,një me emërues 5, një me emërues 10 dhe një me emërues çfarëdo, sipasdëshirës (jo 2, 5, 10). P.sh.:U kërkohet nxënësve të bëjnë pjesëtimet 3 : 2; 4 : 5; 11 : 10; 4 : 3.Një nxënës shkruan në tabelë:15= , ,0 8= , ,111011= , ,1= , .....Duhet theksuar se çdo numër racional (thyesë) shkruhet si numër mepresje dhjetore dhe anasjellas. (shiko Matematika 9, faqe 14)Kujdes duhet pasur në zgjedhjen e thyesave (të jenë sa më të thjeshta që tëdalë qartë ideja).Punë e pavarur.Nxënësit shkruajnë tre numra racionalë.- Cilët janë numra racionalë? -3, −, 0,15, −0 2,Shkruani si thyesa numrat: 0,15; ; -12; ; 121+ .Shkruani si numra me presje thyesat:12; ; .Gjeni x që:x + 1dhetë paraqitin të njëjtin numër racional.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2/a, 6, faqe14-15.−xx‘ II I II11I I I I I I I0−−0 2,1110, , ,1+
  14. 14. 14Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.3Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dynumra irracionalë.Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimine nënbashkësisë.II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë.III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste).Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Diagrami i Venit.3. Ilustruesi grafik.4. Puna individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Pse themi se = ; 0 16 0 , ,= ?Gjeni ; .- A mund të themi se 3 1= , ? Po 3 1= , ?Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se ,17 3 1, , sepse ( , )17 dhe( , )18 për të njëjtat arsye.17 17, , 1 3 1, , 17320 3 17321, , Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se është një numër që nukmund të paraqitet në formën e një thyesemn(thyesë e pathjeshtueshme).Kujdes! Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë.Më pas kalohet te përkufizimi 1:Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I.Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U IMësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit:- Cilat nga pohimet janë të sakta?N Q Z N Z R Q I Q I I R⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ = ⊂, , , , ,ϕMjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Kompas.4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese,mnku m Z n N∈ ∈,quhet numër irracional (joracional).
  15. 15. 15Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjenndërmjet N, Q, I, R.U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik. Çdo numër real paraqitetnë boshtin numerik me një pikë të vetme.Mësuesi/ja jep për punë të pavarur:- Cilat nga shënimet janë të sakta?⊄ ⊂ ⊂ ∩ =Z Z I I Q R Q I, , ,Tregoni se nuk është numër racional. Paraqitni në boshtin numerik 3.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b, 2, faqe 16.Mësimi 1.4Tema: Nënbashkësia. Intervalet, segmentet numerikeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e bashkësive duke e paraqitur me anë të ndryshoreve.Të formulojë vetitë e përfshirjes. Të shkruajë me simbole intervalet numerike.II. Të paraqesë në boshtin numerik intervalet numerike.III. Të vërtetojë vetitë e përfshirjes (së paku vetinë e kalimit).Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesit grafikë.3. Diagrami i Venit.4. Punë individuale.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë dy bashkësi numerike.P.sh.: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe B = {2, 4, 6, 8, 10}.Pyeten nxënësit: - A mund të themi se B-ja është pjesë e A-së?E njëjta kërkesë është për A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}.- A mund të përkufizoni kuptimin e nënbashkësisë?Kujdes! Këtu ka rëndësi përkufizimi që paraqitet me anë të implikimit:Më pas kalohet te vetitë e përfshirjes. E domosdoshme është të vërtetohetvetia e kalimit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.4. Tabela ndihmëse të parapërgatitura(paraqitja e intervaleve numerike në bosht).( ) (B A⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈çdo x B x A)N Z Q IRI
  16. 16. 16Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit.Në këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X Q ose X I}(kujto bashkësinë e numrave realë)A x R x= ∈ − ≤{ / } Paraqite në boshtin numerik.Për më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit.Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo haptë ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mendduhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi.Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën:A = {x R / a x b}∈ ≤ ≤ dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë:]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë:A B CA B dhe B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂NëseIB2x 0I I IIIA = {x N / x }∈A = {x R / - x 5}∈ ≤ ≤ B = {x R / - x 2}∈ C = {x R / -30 x 32}∈ ∈ ∈!Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 4, faqe 18.Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse A B⊂ dhe B A⊂ ,atëherë A = B.Mësimi 1.5Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësueseObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë tëndryshorit. Të formulojë vetitë.II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive tëdhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike.Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë.III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktënnjërën veti të bashkësive plotësuese.
  17. 17. 17Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike:P.sh.: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të A-së dhe B-së.Po t’i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje seKëtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive.Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera.P.sh.:Gjeni A B∩ , nëse A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B C∩ nëseC = {4, 5, 9, 10}.Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes:1. A ∩ ϕ 2. A A A∩ = 3. A B B A∩ = ∩ të cilat janë rrjedhime të përkufizimit.Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit:Te bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}.- Cilat elemente të A-së nuk janë në B?- Cilat elemente të B-së nuk janë në A?Shënoni me D bashkësinë D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.- Çfarë mund të thoni për D-në?Kujdes! Shumë nxënës përgjigjen: “Bashkësia D ka elementet e bashkësisëA dhe të bashkësisë B”, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza “dhe”është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive.Përgjigjja e saktë është: “Bashkësia D ka për elemente ato që janë nëbashkësinë A ose në bashkësinë B”.Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë.1234 65xx xxxx ∈A dhe ∈Bdhe ∈A e . ∈BMjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimindhe plotësin e bashkësive (me ngjyra).A BA BA BA B AEAEMetodat që rekomandohen:1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.2. Ilustruesit grafikë.3. Diagrami i Venit.4. Punë individuale.
  18. 18. 18Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimine vetive:1. A A∪ =ϕ 2. A A A∪ = 3.Punë e pavarur.Jepet A = −] ; ] ,Gjeni A B∪ dheZgjidhje:Shënoni në B elementet e sipërpërmendura.Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia mundtë flasim për plotës të A-së në lidhje me E-në.Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre.P.sh.: A EEA∪ ⊂ = (kujdes A E⊂ ).Vërtetim: 1. E zëmëse,ose2. E zëmë se x E∈ (meqenëse A E⊂ ) ⇒ ( )x A ose x A∈ ∉ ,ose x x AEAEA∈⊂ ⇒ ∈ ∪ ⊂Këto vërtetime tregojnë seDetyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), 2 dhe 3.Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dheA = {1, 2, 3, 4} pyet nxënësit.- Cilat elemente të E-së nuk janë në A?A B B A∪ = ∪B = − ∞] ; ]A B∩A B∩ = ] ; ] A B∪ = − ∞] ; ]I III I I I I I0-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7IA BA BAB-ooxx’A E⊂AAEIlustrohet me diagramin e Venit.Shënohet ⊂EA(dhe jo ⊂AE).Këtu jepet përkufizimi.x A x AEA∈ ∪ ⊂ ⇒ ∈x x A ose x E x A x EEA∈⊂ ⇒ ∈ ∈ ∉ ⇒ ∈( / )A EEA∪ ⊂ =
  19. 19. 19Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 1.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjenndërmjet bashkësive N, Z, Q, R.II. Të gjejë PMP-në për dy numra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dynumra 2, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive.III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive.Të provojë formulën SHVP (m, n) • PMP (m, n) = m • n duke diskutuarme shembuj.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela për gjetjen e PMP-së nëmënyrë skematike.(P.sh.: PMP (192; 80)).Herësi 2 2 2Veprimi 16Mbetja 192 :16080 :6432:3232 16 0Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrues me tabela.3. Punë individuale.4. Punë në grup.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dynumrave: m; n.Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6).Gjeni PMP (54; 162) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela.Gjeni PMP (25; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (25; 30).Gjeni SHVP (54; 162) dhe provoni se PMP (54; 162) • SHVP (54; 162) =54 • 162 ⇒ SHVP (54; 162) =Ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP m nm nPMP m n( ; )( ; )=•Gjeni SHVP (144; 216) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1).Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë:A = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 12}; B = {2, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11} 162 162•PMP ( ; )PMP (192 ; 80) = 16(1)
  20. 20. 20Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:Gjeni:Krahasoni:Gjeni:Krahasoni:Nga dhe tregoni se:n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ (2)Duke zbatuar formulën (2) gjeni n B C( )∪ .Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6.- Si do t`i ktheni në numra dhjetorë thyesat: ; ?Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5 .Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me treguesTë shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional.II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitëe rrënjëve.Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: ;ac−1 etj.)III. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla,si: a b dhe anasjellas.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela në të cilat janë shkruar formula(p.sh.: a am n mn/= etj.)Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni: = ;= ; Kujdes! Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetënumër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë.b. A mund të themi se: = , sepse 23= 8x x16 = ⇔ = ± d.m.th. 16 = , sepse 24= 16.Gjeni ⋅ dhe krahasoni meMësimi 1.7Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. VetitëA B B C A B C A B C∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩; ; ( ) , ( )( ) ( )A B C me A B C∩ ∩ ∩ ∩A B B C A B C A B C∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪; ; ( ) , ( )( ) ( )A B C me A B C∪ ∪ ∪ ∪n N n∈ ≥, Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrues me tabela.3. Punë individuale.0 1, = ⋅A B∩ A B∪
  21. 21. 21Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembullii mësipërm.Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve:- Pse 16 = (sepse 24= 16), d.m.th. 16 = = oseKështu: = = .- A mund të shkruajmë se = = = ? - Po 1212 = = = ?Vini re me kujdes!Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional.Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur,punoni ushtrimet 1 dhe 2 pas rubrikës Mbaj mend.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, 2/b, faqe 24.Mësimi 1.8Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë.II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës,x 1= − III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.: x10 ; ( )− 10a . Të shkruajërrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajërrënjët si fuqi, p.sh. a .Të krahasojë rrënjët p.sh.: meMjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula ose model ushtrimii shkurtër.P.sh. a am n mn/= etj.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione:x2= 4; x 116= ; x 1= − ; x16= -10; x5= -32; x2= -0,16; x = si p.sh.: x4= 256 12 = • • = • • = • • = =Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi me tabela.3. Punë individuale.
  22. 22. 22Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja pyet klasën:- Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse?Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë.Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi:x x x x x1010 = = = =••Thjeshtoni shprehjen:a b a 10 , ( ) , ( )−Jepen , dhe 7115.Shkruani: 11 3 15 15= = = =•• 11 5 15 15= = = =••Kështu marrim 15; 15dhe 7115ose 15; 15; 7115.- Cila nga këto është më e madhe?Renditini nga më e madhja deri te më e vogla.Punë e pavarur:Mësuesi/ja jep këto ushtrime:1. Thjeshtoni: 16; ( ) ; ( )−xy .2. Krahasoni: me ; me 16; me ;3. Shkruani më thjesht: a .Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 25.
  23. 23. 23Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Skema e qortimit të Testit (faqe 26)Ushtrimi 1:Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. (1 pikë)Nëse qarkon 2/a, fiton. (1 pikë)Ushtrimi 2:Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton. (1 pikë)Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5.Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera.Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton. (2 pikë)Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje.Ushtrimi 3:Nëse qarkon 2 numra të thjeshtë, fiton. (1 pikë)Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton. (1 pikë)Ushtrimi 4:a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton (1 pikë)p.sh.: 128 ka vetëm 1 faktorë.Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton (1 pikë)p.sh.: 128 = 27.b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë. (1 pikë). Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen. (1 pikë). Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. (2 pikë)Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në.Ushtrime 5/a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh. , = 2,2222..) 10 = 22.222.. (1 pikë)Shkrimi i numrit në thyesë ( = 20/9) (1 pikë)b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 10, .I II I I I I I0 5I8x1x+3(5+3=8)I II I I I I I0I8x1xI I I I I0Ix1x52-3 , ,
  24. 24. 24Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Ushtrimi 6:Qarkimi i alternativës së saktë R I Q= ∪ (1 pikë)Ushtrimi 7:a. Shkrimi i [ ; , ] { / , }− = ∈ − ≤ ≤7 1 15x R x (1 pikë)Paraqitja në bosht. (1 pikë)Kjo për secilën bashkësi.b. 1. Paraqitja e bashkësive A, B, C në boshtin numerik si më lart jepetpër secilën. (1 pikë)Shkrimi A B∩ ; A B∪ ; B C∩ ; A C∩ jepet për secilën. (1 pikë)2. Paraqitja në bosht e secilës. (1 pikë)Ushtrimi 9:Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë. (1 pikë)Llogaritja e rezultatit për secilën. (1 pikë)P.sh. = (1 pikë)  = = = (1 pikë)b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. (2 pikë)Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin.Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R I Q= ∪ (joR I Q⊄ ∪ ).Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar − ; që mungon.Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen:A x R x= ∈ − ≤{ / } , B x R x= ∈ − ∞ ≤{ / , }15(dhe jo si në tekst) Kujtesë për mësuesin/en! Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe tëveprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temaveështë që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, metrajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme qëmësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar nëçdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë.Kreu IIVEPRIMET ME NUMRAT REALËMësimi 2.1Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. RregullatP.sh. 11• = • = •a a a do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë.C x R x= ∈ ≥ −{ / }I II I I I I I0I1,5x1x-7
  25. 25. 25Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë vetitë dhe rregullat e mbledhjes. Të mbledhë (zbresë) dy numraduke përmendur rregullën (vetinë).II. Të thjeshtojë shprehje me kllapa që përmbajnë dy veprime.III. Të zgjidhë problema që kthehen në shprehje aritmetike me veprimet embledhjes (zbritjes).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Ilustrues grafik (figurat e tekstit, faqe 9).Këto mund të përgatiten ngamësuesi/ja në kartonë.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë bashkësitë:N = {1, 2, 3, 4, .......}Z+= {0, 1, 2, 3, 4, ......}Z = {...., -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ......}Qmnm Z n N= ∈ ∈/ ,I x x Q= ∉{ }/Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të emërtojnë këto bashkësi dhetë shkruajnë për secilën nga 2 elemente.- A jeni takuar me numrat ; ; ; ; ;− − −π π etj.?- A mund të tregoni se cilës bashkësi të përmendur më lart i përkasin?Në këtë moment mësuesi/ja pyet: - A dini të mblidhni (zbrisni) dy numra?Mësuesi/ja diskuton me një nxënës duke marrë shembuj dhe kërkon që nxënësitë ilustrojë në boshtin numerik.P.sh. 3 + 2 = 5Mësuesi/ja ndërhyn me pyetjen:- Çdo të thotë të mbledhësh dy numra? P.sh. numrat 6 me 15.- Çdo të thotë të zbresësh dy numra? P.sh. 15 me 6.Duhet theksuar se mbledhja (+) dhe zbritja (-) ne algjebër identifikohen me tënjëjtin emërtim. Mbledhje algjebrike d.m.th. a + b (mbledhje e a me b) dhe a – b(mbledhje e a me të kundërtin e b (-b).Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të gjejnë këto shuma:1+ +Metodat që rekomandohen:1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë2. Ilustruesi grafik (tabela)3. Punë individualeI I I I I0Ix1x53+2; ; ;; + −[ ]+ −( ) ( ) + − +[ ]( ) + −[ ]+( ) + −[ ]+( )
  26. 26. 26Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/jat`i shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj.Kujdes! Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullëne mbledhjes së dy numrave realë.Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën):1. -10,2 – 17,6 = 2. +21,2 + 32,3 – 20,15 =3.Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 28.Zgjidhja: 103 + (9 – 15) + (27 – 13) + (8 – 53) = 103 – 6 + 14 – 45 = [(103 – 6) + 14] – 45 = = (97 + 14) – 45 = 111 – 45 = 66Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 2 b/c.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojëvetitë e shumëzimit (pjesëtimit).II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojëshprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit.III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula(P.sh. 1.) mnpqm pn q• =•• Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike:2 + 2; 2 + 2 + 2; + + + ;- Si mund t’i shkruani ndryshe këto shprehje?(2 + 2 = 2 2, 2 + 2 + 2 = 3 2, + + + = • )Mësimi 2.2Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realëMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë individuale.4. Punë grupi. 10 5 10 1 0 8 1, , , , ,− − − + − + − + − +mnpqm qn pm qn p: =••=••2.)
  27. 27. 27Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Kujtoni përkufizimin m n.Mësuesi/ja pyet nxënësit: - A janë të barabarta këto shprehje?2 + 2 + 2; 3 + 3;- A mund të themi se: 3 2 = 2 3? - Cilën veti ju kujton?Formuloni vetitë e shumëzimit të dy numrave të plotë.Kujdes! (-2) 3 = 3(-2) = -2 + (-2) + (-2) (-2)(-3) = 2 3 = 3 2- Cili rregull zbatohet?Mësuesi/ja këtu ndërhyn për shumëzimin e numrave racionalë.Përkufizim: Prodhim i thyesavemnepq, quhet thyesa m pn q••.Vini re tabelën:mnpqm pn q• =••≠ ≠ku n 0 dhe q 0Nxënësit formulojnë vetitë e shumëzimit. Pas përkufizimit merren 2-3 shembuj.Përkufizimi i pjesëtimit:Vini re tabelënmnpqmnqp: = • ≠ ≠ ≠ku n 0, p 0, q 0Më pas vihen nxënësit në punë të pavarur:Thjeshto:− −− • − 1 3: ( )( ) ( ); ( ) ( )( ) ( )− • −− • − •16 3 1 ; .Gjeni vlerën e y yy• −−( )për .Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 b/d, 2/a, 3/b, 7 faqe 30.Mësimi 2.3Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të thjeshtojë shprehje aritmetike të plota me katër veprime. Të thjeshtojë shprehjearitmetike racionale me dy veprime.II. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me katër veprime. Të llogaritë vlerëne shprehjeve shkronjore për vlera të dhëna të shkronjave.III. Të thjeshtojë shprehje aritmetike me numra periodikë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë grupi (individuale).10− − • − −−:y =
  28. 28. 28Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të kujtojë vetitë e rrënjëve. Të përkufizojë rrënjët e ngjashme.II. Të llogaritë rrënjën e prodhimit dhe të herësit. Të reduktojë rrënjë tëngjashme.III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë që përmbajnë ann për n-çift.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula(ku shprehin vetitë e rrënjëve).Mësimi 2.4Tema: Veprimet me rrënjëtZhvillimi i temës së re:Kjo etapë e orës së mësimit ndahet në tri pjesë. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësittë rikujtojnë rregullat e veprimeve me numrat (mbledhja, zbritja, shumëzimi,pjesëtimi).Kërkohet nga nxënësit radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa, me shprehjetme kllapa.Punë e pavarur. Thjeshtoni:a. − −( ) • − +( ) • − −( ) 2 1 2 1 ;1 −( )+ ; − + −( )  • − −7 17 1: .b.131421− − + ;1214+ − • ; 111111++::;1111−− +−.c. Llogarit:0 40 30 4 0 53 0 • + − • − ( )− ( ), , , : , ,Gjeni vlerën e shprehjes:a aaa aa 2 11 + ++++ ++ : për a = 0 5, .Kujdes! Nëse nxënësit kanë vështirësi,ushtrimi c nuk duhet të punohet.Detyrë shtëpie. Ushtrimet I/2 dhe 5, II/2, III/1.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi tabelor.3. Puna e pavarur (grupi).4. Punë e udhëhequr.1314211214− − + + − •:
  29. 29. 29Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”P.sh.:a b a bababa a a an n n nnnmnmn nn• = • == = për n-çiftZhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë:1. • ; • ; 16 81 •2. 12 18• ; 10• • ; −( ) • −( ) 13.16; 125 ; ax1510 .Kujdes! - A zbatohen vetitë te: − −( ) ;−−16?Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; −( )- A mund t`i shkruani rezultatet e tyre?Vini re nga tabela kemi çift dhen na a a an n= = n tek .Duke u mbështetur nga sa thamë gjeni:( )− ( )x − ( )1 2 − .Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ; ; 50 .- A mund të thjeshtohen këto rrënjë?Vini re: 16 2 1 = • = • =Njëlloj tregohet se: = ; 50 = ;Rrënjët ; ; quhen rrënjë të ngjashme.- A mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme?Mësuesi/ja jep këtë shprehje: 1501− − + dhe kërkonthjeshtimin.a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve: = • = • = 16 2 1 = • = • =50 = • = • = = • = • =; ;( )( ) −−( )( )1 3 −−;për për
  30. 30. 30Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!b. Kështu shkruajnë: 1501 1 1 − − + = − − + • Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen:1. 0 4 18 0− + + −2. 10 5 − + +,Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet 2 dhe 3,pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37.Mësimi 2.5 Tema: Veprimet me rrënjëtObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukërrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë(si p.sh.: 11 2 =••=).II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me tëkonjuguarën (si p.sh.: 12 12 12 1 2 12 12 12 12 12 1 −=+− −=+−=+−= +( )( ) ( ))III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuarnë mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë; 2. shumëzimin me tëkonjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula:Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).P sh a a per aa b a b a b a b per a bnn. . .. ( , ).1 02 0 0 = ≥−( ) +( )= ( ) − ( ) = − ≥ ≥aa b a a b b a b a ba b a b etjn n n    �( ) • +( )= ( ) ( ) ==. .= − − + = −
  31. 31. 31Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: •; • dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë.Kujdes! Do të ketë nxënës që do të shkruajnë: 1•=; 1 •=;Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjënnga emëruesi. •=•= = •=•= =Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës:; a; aa.Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1. −( ) +( ); 2. −( ) + • +( )Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela(shih mjetet ndihmëse).Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës: −; aa−+; aa−−11 ;Kujdes! Që vlera a 0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n,duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th. a ak nn k•=P.sh.: a a = etj.Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur.Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës:10; xx−−; a ba b−+; aa−−.Mësimi 2.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë.Të nxjerrë faktorin para rrënjës.II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë.Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj.III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesii thyesave.Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37.
  32. 32. 32Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabelat me formula (shiko mësimet 2, 3, 4, 5),ku mund të shtohen formulat e rëndësishme,si: a2– b2= (a – b)(a + b)Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë:a. Gjeni: • ; a a• (a ≥ 0); x x− • −1 1;(x ≥ 1); 13 12 − ;b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x x= ; ( )x x− = − ;c. Pse themi se nuk ka kuptim: − ; −; (kujto përkufizimin)Mësuesi/ja shkruan në tabelë:x −1; − x ; − xKërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x.Kujdes! Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rastndërhyn mësuesi/ja:Le të merret x −1 dhe vlerën e x = 2.- Çfarë do të ketë? ( 2 1 1 1− = = ). Thuhet se x = 2 është vlerë e lejuar.Vini re: x – 1 = 2 – 1 = 1 0Për shprehjen x −1 dhe x = -1 do të kemi − − = −1 1 nuk ka kuptim.Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x – 1 = -1 – 1 = -2 0.Përfundimisht nëse x – 1 ≥ 0 ⇒ x 1 janë vlera të lejuara.Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera.Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja: ; ; xP.sh.: x x x x x x x= • = = • = =( ) ( ) ( )Futni faktorin brenda rrënjës: ; ; a aP.sh.: a a a a a a a = • = =aa bba ba a b b a ba b a b−−+=+ − −−( ) +( )=( ) ( )=( ) + • − • + ( )( ) − ( )=+ • − • +−=a a b b a ba ba a b a b ba b Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë e pavarur.Punë e udhëhequr.Nxënësit theshtojnë shprehjen:100 −( ) − = −b b≥
  33. 33. 33Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2/b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c,. 8/c,në faqen 37.Mësimi 2.7Tema: Veprime të kombinuara të fuqiveObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë)fuqi me baza të njëjta.II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi.III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive,me tregues të rrënjës).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula, si p.sh.:A x R x= ∈ − ≤{ / } dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shikotemat përkatëse.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u rikujton nxënësve formulën për a ≥ 0 dhe aann−=1.Këtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: 1 ; 1251 ; dhe të gjenden ato.Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen:- A mund të shkruhet si rrënjë 1 ? (shiko Matematikën 9, faqe 38).Njëlloj shkruani si rrënjë: 16−; 100 5, ; 0 3,Shkruani si fuqi me bazë 3.3, 9,1; ; ; ;Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni A B• nëse:A =••−−( )( ) ; B =••( )( ) Zgjidhni ekuacionet: 2x= 8; 1x= ; 3 1x=Kujdes! Për të zgjidhur ekuacionin 1x= , në fillim duhet që1të shkruhet sifuqi me bazë 2.Domethënë11= = −, kështu xx= = ⇒ = −−.Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera.Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Ilustrim me tabela.3. Punë e pavarur.a amnmn=P.sh.: 111• = • = =+
  34. 34. 34Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të llogaritë me makinë llogaritëse xy, kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë.II. Të llogaritë xyme makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive.III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, dukepërdorur me mënyrë të kombinuar tastet xy; M+; M-; RM .Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e njëshprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur xytë kombinuar me tastete tjera (shiko shembullin, faqe 40).3. Makinë llogaritëse që ka tastin xy.Metodat që rekomandohen:1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse).2. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse).3. Praktikë e pavarur.Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 23; 33dhe njëritë komentojë veprimet që kreu.Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni 1; 1 ; 1 . Tregoni sibëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje:1. Shkruaj ,pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për 1, sepse 1= .2. Shkruaj ,pastaj shtyp xy, më pas 0, dhe në fund shtyp = .Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën 2, është e domosdoshme qëmësuesi/ja ta shpjegojë.Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pashapi si llogaritet 1; 120 3, , (shih Matematika 9, faqe 40).Mësimi 2.8Tema: Makina llogaritëse. Tasti xyMësuesi/ja jep për punë të pavarur.1. Shkruani si rrënjë: • ;161−;2. Zgjidhni: (2x– 1)(2x– 8) = 0; 2 0 − −=x ,Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b.
  35. 35. 35Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur.Llogarit: 1. − +, ; 2. 1  + −,,Në fund të jepen 1- 2 shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat ellogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40).Test (skema e qortimit)Ushtrimi 1:Qarkimi i alternativës C. (1 pikë)Ushtrimi 2:Paraqitja e 1 2 1 = + = + . (1 pikë)Ndërtimi i figurës. (1 pikë)Sqarimet OA = 2 njësi, AB = 1 njësi, OAB trekëndësh kënddrejtë.Nga teorema e Pitagorës OB = .Ndërtojmë OC = OB. (1 pikë)Ushtrimi 3:Qarkimi i alternativës b (1 pikë)Ushtrimi 4/a:Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa. (1 pikë)Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ). (1 pikë)Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë)b. Njëlloj, si: a).Ushtrimi 5 a/b:Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë)c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. (1 pikë)Shkrimi i rezultatit të saktë. (1 pikë)Ushtrimi 6:Qarkimi i alternativës b. (2 pikë)Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si 0 4 = , por nuk ka qarkuarrezultatin i jepet. (1 pikë)Ushtrimi 7:Gjetja e një grupi (grupi I). (1 pikë)Gjetja e grupit tjetër (grupi II). (1 pikë)Ushtrimi 8/a:Zgjidhja e ushtrimit1a . (1 pikë)Shkrimi =• . (1 pikë)I I I0x1x2ABC
  36. 36. 36Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Shprehja e = (1 pikë)b. Paraqitjaa ba ba b a ba b a b−+=−( ) −( )+( ) −( ) (1 pikë)Shkrimi më tej:a ba b−( )( ) − ( ) (1 pikë)Më tej:a ba b−( )− (1 pikë)c. Vendosja në emërues të përbashkët. (1 pikë)Shkrimi i emëruesit në formën 2 1 ( )− (1 pikë)Shkrimi i rezultatit përfundimtar. (1 pikë)Ushtrimi 9/a:Shkrimi në formën 3x= 33.. (1 pikë)Shkrimi x = 3. (1 pikë)b. Shkrimi në formën12 1 =+x x (1 pikë)Shkrimi 2 1−+=xx (1 pikë)Gjetja e vlerës së x-it (1 pikë)Njëlloj për ushtrimin 1• =+x(1 pikë)Shkrimi1 = =+x (1 pikë)Shkrimi − +=( )x (1 pikë)Gjetja e vlerës së x-it (1 pikë)Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinëssë figurave.II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë emëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimifigura të njëvlershme.III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishate njësisë.Mësimi 3.1Tema: Syprina e figurave. Vetitë themeloreKreu IIIMATJA......
  37. 37. 37Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41).4. Vizore (e milimetruar).5. Fletë të milimetruar.6. Gërshërë për prerjen e figurave.Përgatita e tabelës:Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohenfigura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 42).Kujdes! Figura A duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36).Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36)Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë)dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura.Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten.- Sa katrorë të vegjël përmban figura A, po figura B?- A mund të themi se figurat A dhe B janë kongruente?Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D.Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do t`i marrim si njësipër matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sanjësi kanë syprinat e figurave A, B, C, D, F1, F2, F3?Duke shënuar: SA= 36 njësi katrore, SB= 36 njësi katrore, SC= 21 njësi katrore,SD= 21 njësi katrore.Plotëso: SF1= ; SF2= ; SF31= ;- A mund të themi se: SF= SF1+ SF2+ SF3?Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. SA= 36 njësi katrore, SB=36 njësi katrore. Themi se figura A është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nukjanë kongruente.Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme(Kujdes: jo kongruente).Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por,SC= SD= 21 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina tëbarabarta.Syprina e figurës F është e tillë që: SF= SF1+ SF2+ SF3. Pra, figura e përbërë ngafigura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë.Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave.Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m2(metrikatror):Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).
  38. 38. 38Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësimi 3.2Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katroritObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur meanë të brinjëve.II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse.III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula mbi syprinën edrejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit.4. Vizore të milimetruar.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkonnga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre.- Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit ABCD? (AB = 11 cm, AD = 5cm)- A ka lidhje syprina me prodhimin AB • AD?Përforcojmë se: SABCD= AB • AD dhe tregojmë para nxënësve tabelën.Pas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur.Jepet drejtkëndëshi ABCD me brinjë AB = 8,6 cm dhe AD = 5,4 cm.a. Njehsoni syprinën në cm2.1m2= 100 dm2= 10000 cm21m2= 102dm2= 104cm2= 106mm21km2= 102hm2= 104dam2= 106m2Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat 2, faqe 43 dhediskutohet ushtrimi 4, faqe 43.Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrim me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3,faqe 43.hbS=b h.Syprina e drejtkëndëshit
  39. 39. 39Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”b. Ktheni syprinën në mm2.c. Ktheni syprinën në m2.Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 12 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjenisyprinën.Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit tëllogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a2.Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij.Dimë nga teorema e Pitagorës:Kështu themi se: S ad= =Mësuesi/ja jep punë të pavarur:Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm2dhe në mm2.Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin mebrinjë a.Gjeni gjatësinë e brinjës a.aadKujdes!! Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 2/b, 3, faqe 45.Mësimi 3.3Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit.II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulënpërkatëse.III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuarkuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnëzbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat.Mjetet ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsame ngjyra.5. Fletë e milimetruar – kuadratuar.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Drejtkëndësh Paralelogramihbbh b hS .=b hS .=a a d a d ad + = ⇒ = ⇒ =
  40. 40. 40Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram(me fletore katrore),me brinjë AB = 8 cm dhe AD = 4 cm(ndërtimi sipas dëshirës).Mësuesi/ja drejton pyetjen:- A mund të gjeni syprinën?Kujdes! Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 • 4 = 32 cm2, por,është gabim.Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë.Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën,si ajo në faqen 45.Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b • h, b – baza(njëra brinjë e tij), kurse h – lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbibrinjën përballë).Kujdes! Nëse merret AB = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b(baza), atëherë DF = h (lartësi).Mësuesi/ja jep punën e pavarur:Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm.Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnëkënd të ngushtë 600.Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij tëbashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart).Trego se: a. ABCD romb; b. SABCD=1SMNKL; d.m.th. SABCD=1AC BD ⇒ SABCD=1d1d2Meqenëse ABCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën,faqe 16).Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2, faqe 46.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 3, 5, faqe 46.A BEDbChF..
  41. 41. 41Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 3.4Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e HeronitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit.II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse.III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinëne trekëndëshit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cmdhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij.Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë.Trego se syprina e secilit trekëndësh është .Nxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S b h=1� (shiko figurën).bh ab.bacA BEDbChS b h=1� S a b=1�S p p a p b p c= − − −( )( )( )Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi me tabelë.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Pa b c=+ + 12�= cm
  42. 42. 42Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësuesi/ja jep punë të pavarur:Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b.Zbatim numerik: a = 4, b = 5.Gjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a.Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës sëPitagorës.Zbatim numerik a = 6.Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoretformula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi:Gjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 5/a, 6 faqe 48.babac kuObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit.II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problemaformulat që rrjedhin nga Sa bh=+� .III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuarformulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizëpara zbatimit të formulave.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra.Mësimi 3.5Tema: Syprina e trapezitbahSa=S p p a p b p c= − − −( )( )( ) Pa b c=+ +Sa bh=+�
  43. 43. 43Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesi me tabela.3. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit.Shkruani emërtimet:AB = a baza e madhe (a vlera numerike e gjatësisë)DC = b baza e vogël (b vlera e gjatësisë)DE = CF = h lartësia (h vlera e gjatësisë)Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën Sa bh=+� , kështu dukezëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentiminsi mund të provohet se Sa bh=+� .Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë[DE], [BF].S S S ah bh h a b Sa bhTrapezit ABD BCD= + = + = + ⇒ =+111 ( ) �Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se AB1C1D ështëparalelogram.Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit:Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1).Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin ABCD (shiko figurën) nëse:AD = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2, 4, faqe 50 (lart).A BCDE Fh habA BCEFhabhD Vini re: S AB DEa hABD = =1 ��S DC BF b hBCD = =11� �
  44. 44. 44Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 3.6Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave.II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat.III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbisyprinat.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat mbi syprinat,shiko mësimet 3.1-3.6.Zhvillimi i temës së re:Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhetë korrigjojë gabimet e mundshme.Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata(0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (2; 10)).Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën 2, jep këtë ushtrim.Jepet ABCD romb:AC = 48 cm,BD = AC, kërkohet S =?Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën:Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50.Jepet: S = 2291 cm2 h = 58 cm a – b = ?Kërkohen: a = ? b = ?Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës.1. Sa bh=+� , meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim .Kemi të dhënë: a – b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin:a ba b− =+ =15gjejmë a = 47 cm dhe b = 32 cm.ABCDA BDaChbMetodat që rekomandohen:1. Ilustrimi tabelor.2. Analiza problemore.3. Punë e pavarur (grupi).Sd d AC BDSAC ACcm= = ⇒ = = = = =1 216 16 � � � � � ��� a bSha b+ = ⇒ + =
  45. 45. 45Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50.Mësimi 3.7Tema:Syprinaeshumëkëndëshittërregulltdheshumëkëndëshittë jashtëshkruar të rrethitObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbisyprinën e shumëkëndëshit të rregullt.II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat.III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhëproblema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshittë rregullt.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas 4. Tabela me formula.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se simund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve tëndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesëtë barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment.Në këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth.FACE DBaohMetodat ndihmëse:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).ABDCEFoMhKështu fitohet gjashtëkëndëshi irregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit.Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9.... n pjesëtë barabarta fitojmë 7, 8,....n këndësh tërregullt.S p h=1�P n a= �
  46. 46. 46Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Në qoftë se nga pikat e ndarjes ndërtohet tangjentja me rrethin, përsëri fitojmëshumëkëndësh të rregullt, por të jashtëshkruar.Në rastin e shumëkëndëshit të jashtëshkruar rrethit me rreze r kemi h = r, d.m.th.S = 1P • r.Nxënësit njehsojnë syprinën e shumëkëndëshit të rregullt të brendashkruar nërrethin me rreze 4 cm dhe me brinjë 4 cm.Zgjidhje: S =1P � h, meqenëse a = r = 4cm, atëherë kemi të bëjmë megjashtëkëndësh të rregullt (shiko figurën 1).Në ∆ AOB kemi OA = OB = AB = 4, h lartësi e trekëndëshit barabrinjës, këtejh = = domethënë S =16 � 4 � 2 ⇒ S = 24 cm2.Njehsoni syprinën e shumëkëndëshit të rregullt dhe me perimetër 25 dm tëjashtëshkruar rrethit me rreze 6 dm.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 4, 5 b/d, faqe 52.BCEDFAoNhPQRSMMësuesi/ja organizon punë përgatitore.Vini re! Në të dyja rastet formula përsyprinën do të jetë:S =1P �h, P = n � a.Mësimi 3.8Tema: Syprina dhe vëllimi i sferësObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë sipërfaqen sferike. Të përkufizojë sferën. Të shkruajë formulatpër syprinën (vëllimin) e sferës.II. Të njehsojë syprinën e sferës duke zbatuar formulën. Të njehsojë vëllimin esferës duke zbatuar formulën.III. Të shprehë me formulë lidhjen e syprinës me vëllimin e sferës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.4. Tabela me formula.
  47. 47. 47Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metoda që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja në fillim kërkon nga nxënësi të sjellin shembuj për sferën ose formatë saj (p.sh. top, gjyle, glob etj.).Nxënësit ndërtojnë një gjysmërreth me diametër [AB]. Mendoni, sikur kygjysmërreth të rrotullohet rreth diametrit do të formohet në hapësirë një sipërfaqe qëquhet sipërfaqe sferike (shiko përkufizimin 1, faqe 53).Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.Nxënësit duhet të vizatojnë një sferë me rreze 4 cm. Ata duhet të gjejnë syprinëndhe vëllimin e saj. Gjeni syprinën e sferës me vëllim 288 Π cm3.Kujdes! V r rV= ⇒ = ΠΠ....Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 53.M OSferaMësimi 3.9Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të njehsojë syprinën (vëllimin) e një sfere duke zbatuar drejtpërdrejt formulën.II. Të njehsojë rrezen e sferës duke zbatuar formulat mbi syprinën (vëllimin).III. Të vlerësojë vëllimin (syprinën) e sferës për të njehsuar elementet e tyre tësferës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas.4. Tabela me formula.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që për dy sferat, njëra me rreze 3 cm dhetjetra me rreze 6 cm.Njehsoni syprinat e tyre.Njehsoni vëllimet e tyre.Gjeni raportin e syprinave (vëllimeve).Metodat që rekomandohen:1. Punë e udhëhequr.2. Punë e pavarur (grupi).S r= ΠV r=Π
  48. 48. 48Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!- Çfarë vëreni?- A mund të themi seSSrr11= dheVVrr11= ?Mësuesi/ja organizon punën e pavarur:1. Jepetrr1= dhe r1+ r2= 52. Gjeni S1= ? S2= ? V1= ? V2= ?2. JepetVV1= dhe V1+ V2= 10080 Π cm3. Gjeni V1= ? V2= ? S1= ? S2= ?Vini re:rrr rr rr cmr r r r r11 2 1 2 1 2 1 13 = ⇒+=+⇒ = ⇒ =+ = = − = ccmS r1 1= Π Si për rastin e rrezeve veprohet dhe për V1dhe V2.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 6, faqe 54.Mësimi 4.1Tema: Shumëkëndëshat e mysët. Paralelogrami. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë shumëkëndëshat e mysët dhe paralelogramin. Të formulojë vetitëe paralelogramit.II. Të shkruajë për një paralelogram në formën, k ⇒ P, vetitë e tij.III. Të vërtetojë vetitë e paralelogramit. Të vërtetojë pohimin mbi paralelograminduke zbatuar vetitë e tyre.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela. Kreu IVGJEOMETRIA NË PLANMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).V r1 1= ΠS r = Π V r = ΠA BD CParalelogramiABCD[AB] [DC][AD] [BC]IIIIParalelogram
  49. 49. 49Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja shkruan në tabelë vija të thyera dhe kërkon nga nxënësit tëbëjnë dallimet.Më pas thekson se vija e figurës 1 quhet jo e mysët, ndërsa vija e thyer efigurës 2 quhet e mysët.Nxënësit duhet të përkufizojnë shumëkëndëshin.Mësuesi/ja ndërton një paralelogram ABCD, si në figurën 5, dhe kërkon nganxënësit të përkufizojnë paralelogramin ([AB] || [DC] dhe [AD] || [BC]) dhe elementet(brinjë, diagonale, lartësi). Më pas kalohet te vetitë e paralelogramit.Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me ushtrimin 1, faqe 57.Shënim: Teorema 1, që është vënë në tekst si punë e pavarur, të vërtetohet ngamësuesi/ja dhe nxënësit në tabelë.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4, 5, faqe 57.fig. 1 fig. 2ADBCEADBCEFfig. 3 fig. 4jo i mysët i mysëtMësimi 4.2Tema: Drejtkëndëshi. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e drejtkëndëshit. Të formulojë vetitë e drejtkëndëshit.II. Të shkruajë në një drejtkëndësh vetitë në formën k ⇒ P.III. Të vërtetojë vetitë e drejtkëndëshit. Të zgjidhë problema duke zbatuarvetitë e drejtkëndëshit.A BCDfig. 5
  50. 50. 50Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula. 5. Drejtkëndëshi ABCD,Zhvillimi i temës së re:Gjeni emërtimin e figurës ABCD dhe jepni përkufizimin.Mësuesi/ja pyet: - A mund të themi se drejtkëndëshi është paralelogram?Vërtetoni:Me nxënësit formohen vetitë e tjera të drejtkëndëshit.Mësuesi/ja organizon një punë të udhëhequr.Nxënësit duhet të vërtetojnë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm qëkatërkëndëshi ABCD të jetë drejtkëndësh.Pas kësaj kalohet në punë të pavarur.!Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.A BCD(d2)(d1)(d3)(d4)Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit tëndërtojnë dy drejtëza pingule (d1) e (d2) nëpikën A dhe në secilën të zgjedhin pikatB dhe D. Nga pikat B dhe D të ndërtohenpingulet (d3) e (d4) përkatësisht me (d1) e(d2).A BD CDetyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 59.A BD CDrejtkëndëshiABCD DrejtkëndëshA B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡Jepet paralelogrami ABCD.Në diagonalet [AC] e [BD] merren pikatM, N, P, Q, të tilla që OM = ON = OP = OQ.Vërtetoni se MNPQ është drejtkëndësh.A BCDQM NPO
  51. 51. 51Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë rombin. Të formulojë vetitë e tij.II. Të zbatojë vetitë në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë vetitë e rombit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një katërkëndësh, që ështëparalelogram dhe të formulojë vetitë e tij.Në brinjët [AB] dhe [DC] të paralelogramit zgjedhim M, N që [AM]=[AD]=[DN].- Çfarë vëreni te katërkëndëshi AMND?Përkufizohet rombi, më pas formulohen vetitë e tij.Mësuesi/ja organizon punën e pavarur.Jepet rombi ABCD. Në diagonalen [AC] merren pikat M dhe N, të tilla qëAM = CN. Vërtetoni se MBND është romb.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 60.Mësimi 4.3Tema: Rombi. VetitëAB = BC = DC = ADABCD Rombi:ABCD romb.Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (me figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).A BCDO1. AB = DC dhe AD = BC2. OA = OC dhe OB = ODABCD paralelogramMN
  52. 52. 52Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë kuptimin e katrorit. Të formulojë vetitë e katrorit.II. Të zbatojë vetitë e katrorit në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë vetitë e katrorit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re:Figura të tilla i quajmë katrorë. Kërkohet përkufizimi nga nxënësit dhe vetitë ekatrorit. Theksohet se katrori është romb.Mësuesi/ja organizon punën e pavarur me problemën 1, faqe 61.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 61.Mësimi 4.4Tema: Katrori. VetitëMësuesi/ja duhet të fillojë me punënpërgatitore, por kërkon që nxënësi të ndërtojënjë romb dhe të formulojë vetitë e tij. Drejtohet kjopyetje: - A është e mundur që një katërkëndështë ketë kongruente brinjët (si rombi) dhe të ketëkongruente këndet?Vini re figurënA BD CËshtë me shumë rëndësi të komentohet kjo bllokskemë, e cila tregon varësinëndërmjet figurave në këtë kapitull.KatërkëndëshTrapezParalelogramKatrorRombDrejtkëndëshMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Organizuesi grafik.3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.5. Bllokskema.A BCDOABCD katrorKatror1. AB = BC = DC = AD;2. A B C D d�  � �≡ ≡ ≡ ≡
  53. 53. 53Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremën e Talesit në formën k ⇒ P. Të përkufizojë vijën e mesmetë trekëndëshit.II. Të zbatojë përfundimin e teoremës së Talesit në zgjidhjen e problemave.III. Të vërtetojë teoremën e Talesit. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar teoremëne Talesit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore, duke u kërkuar nxënësve të ndërtojnëdrejtëzat çfarëdo (d1) e (d2). Në (d1) marrim pikat A, B, C të tilla që AB = BC = 2 cm.Kujdes! Mund të ketë nxënës që dalin në përfundimin se A1B1= B1C1= 2 cm, porkjo ndodh vetëm nëse (d1) || (d2).Do të kemi: A1B1= B1C1.Kështu dalim në formulimin e teoremës së Talesit.Më pas kalohet në përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe vërtetimine teoremës.Mësimi 4.5Tema: Teorema e vogël e Talesit. Teorema për vijën e mesmedhe mesoret e trekëndëshitABCd1A1B1C1d2abcNga pikat A, B, C ndërtoni (a) || (b) || (c), që presin(d2) në pikat A1, B1, C1. Matni largesat A1B1; B1C1,çfarë vërehet?Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Teorema e TalesitABCd1A1B1C1d2abc(a) II (b) II (c)Nëse pika B ndërmjet A e Cdhe AB= BC B1 ndërmjetA1 C1 dhe A1 B1= B1 C1⇒
  54. 54. 54Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Pas vërtetimit kalohet në punë të pavarur. Nxënësit vërtetojnë vetinë e mesorevetë trekëndëshit.Nga udhëzimi kemi:FL = MN ku M, N janë meset e [GA] dhe [GB], këtej rrjedh se MNLF ështëparalelogram, nga këtej kemi se GM = GL dhe GF = GN, por GM = MA dhe GN = NB,d.m.th. GL = GM = MA ⇒ GL = 1GA (shiko figurën 3, faqe 63)Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 dhe 3, faqe 63.Mësimi 4.6Tema: Trapezi. VetitëObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë trapezin. Të formulojë vetitë e trapezit.II. Të emërtojë në një trapez elementet e tij. Të zbatojë vetitë e trapezit në zgjidhjene problemave.III. Të vërtetojë teoremat mbi vetitë (vijën e mesme).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore.4. Tabela me formula. 5. Trapezi. Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojmë dy drejtëza (d1) e (d2) joparalele, qëpriten në pikat A, B, C, D nga paralelet (a) || (b).A BCDNMab[DC] || [AB][MN] vijë e mesmeMN =1(a + b)[AC] diagonale[DE] lartësiaTrapeziNë këtë rast katërkëndëshi ABCD quhet trapez.Duhet të theksohet se:[AB] është baza e madhe,[DC] është baza e vogël.E - mesi i [AD],F - mesi i [BC].[EF] - vijë e mesme,[DE] - lartësia[AC] - diagonale.A BCDFEabd1 d2EMetodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).
  55. 55. 55Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Është e rëndësishme të vërtetohet teorema mbi vijën e mesme.Më pas kalohet te puna e pavarur.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 65.Shënim: Problema 4, faqe 65 të korrigjohet: AB = 26 cm, A = 600Mësimi 4.7Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të rikujtojë vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh etj). Të rikujtojëformulat mbi syprinat e katërkëndëshave.II. Të zbatojë formulat për të llogaritur syprinat e katërkëndëshave.III. Të vërtetojë pohimet duke zbatuar vetitë e figurave.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula (shih tabelat për vetitë e figurave te mësimet emëparshme).4. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Punë e udhëhequr.3. Punë e pavarur (grupi + individuale).Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë disa veti të figurave, sidomos të atyreme të cilat lidhen problemat që mendon se duhen punuar problema 4, faqe 65).Vërtetim: Meqenëse ABCD trapez ⇒ [AB] || [DC] ⇒ EDC DEA� �≡ , si këndeZ këtej trekëndëshi ADE dybrinjënjëshëm, pra AD = AE. Njëlloj trekëndëshi BCEdybrinjënjëshëm BC = BE.Këtej AB = AE + BE = AD + BC ç.d.v.AD CBEJepet ABCD trapez. [DE] dhe [CE] janëpërgjysmore të këndeve ADE EDC� �≡ dheDCE ECB� �≡ . Kërkohet të provohet seAB = AD + BC.Zhvillimi i temës së re:
  56. 56. 56Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Për çdo hap gjatë vërtetimit duhet më parë të merret mendimi i nxënësit. Nëseniveli i klasës është i mirë, kjo problemë mund të zgjidhet nga ata.Mësuesi/ja trajton edhe problemën 6, faqe 65.Jepen: AC = 54 cm; BD = 36 cm; A1B1= 3A1D1; SABCD= SA1B1C1D1.Kërkohet PA1B1C1D1= ?Zgjidhje: Dimë se SAC BDABCD = =� � SABCD = 972 cm2SA1B1C1D1= A1B1• A1D1= 3A1D1• A1D1⇒ 972 = 3A1D12A1D12= 324 cm ⇒ A1D1= = 18cm, kurse A B = cm1 1Kështu themi se PA1B1C1D1= 2(A1B1 + A1D1) = 2(54 + 18) = 144 cmP = 144 cmPunë e pavarur mund të jepet problema 7, faqe 65.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 5, 8, faqe 65.D1B1A1C1ABCDoObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë segmentet përpjesëtimore. Të formulojë pohimet mbi segmentetpërpjesëtimore.II. Të llogaritë segmentet përpjesëtimore duke zbatuar pohimet mbi to. Të ndërtojësegmentin e përpjesshëm me segmente të dhëna, duke zbatuar pohimet mbi to.III. Të vërtetojë pohimet mbi segmentet përpjesëtimore.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula.4. VizoreMësimi 4.8Tema: Segmentet përpjesëtimore. Teorema e TalesitSegmente përpjesëtimore(AB) II (A1B1)ABoA1B1⇔ = =OAOBOAOBAABB1111
  57. 57. 57Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja organizon një punë përgatitore për t’iu rikujtuar nxënësvepërpjesëtimet.Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto barazime:=x; x=; 5 10x=; 10=+x ; U kërkohet nxënësve të gjejnë x=?Në këto barazime elementet e thyesave quhen vlera përpjesëtimore me njëra-tjetrën. Te barazimi i parë themi se 2 dhe 4 janë përpjesëtimore me 5 dhe x, ndryshethemi se 2 rri te 4 sikurse 5 rri te x (2 : 4 = 5 : x) etj.Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të përkufizojnë segmentet përpjesëtimore.Kujdes! Teorema nuk duhet vërtetuar. Nga teorema e Talesit kemi rrjedhimet 1dhe 2, të cilat duhen vërtetuar. (Një variant i thjeshtuar, që është teorema e vogël eTalesit, është vërtetuar te mësimi 4.5).Më pas, mësuesi/ja organizon punën e udhëhequr.Ndërtoni të katërtin e përpjesshëm me segmentet e dhëna a, b, c.Nga teorema e Talesit duhet që me brinjët e këndit ÆO të ndërtojnë segmentet edhëna dhe përkatësishtGjeni gjatësinë e segmentit x nëse a = 3 cm, b = 2 cm dhe c = 6 cm.Këtu jepet punë e pavarur, shiko rubrikën në faqen 67.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 4, faqe 68.Zgjidhje: Shënojmë me x segmentine kërkuar. Meqenëse segmentet a, b, c, xjanë përpjesëtimore, atëherë ato plotësojnëbarazimin abcx= .abcOA = a, OB = b dhe AA1= c.Nga pika A1ndërtojnë (A1B1) II (AB)nga teorema segmenti [BB1] është segmenti x.ABB1A1o abcx
  58. 58. 58Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të përkufizojë ngjashmërinë e shumëkëndëshave. Të formulojë rastete ngjashmërisë së shumëkëndëshave.II. Të gjejë elementet e trekëndëshave duke zbatuar rastet e ngjashmërisësë tyre.III. Të vërtetojë të paktën dy raste të ngjashmërisë së trekëndëshave.Të vërtetojë pohime mbi trekëndëshat, duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Vizore, kompas. 4. Tabela me formula.Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja e fillon këtë orë mësimi me punë përgatitore.Ai/ajo kërkon nga nxënësittë ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një romb me brinjë 5 cm.A mund te themi se :ABA BBCB CCDC DDAD A1 1 1 1 1 1 1 1= = = =Por, A A� �≠ 1 B B �≠ 1 etj.Mësimi 4.9Tema: Ngjashmëria e trekëndëshaveMetodat që rekomandohen: 1. Diskutimi problemor.2. Ilustruesit grafikë (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur.A BCD3 333A1 C1D1B15 55 5Raste të ngjashmërisë së trekëndëshaveBACA1 B1C1Rasti IABC ~ A1B1C1Rasti II Rasti IIIA A dhe B B� �  �≡ ≡1 1
  59. 59. 59Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Ndërtojnë një katror me brinjë 3 cm dhe një drejtkëndësh me përmasa3 dhe 6 cm.Në këtë rast mësuesi/ja pyet: - A mund të ndërtojmë dy katërkëndësha qëtë plotësojnë të dyja kushtet: brinjët përpjesëtimore dhe këndet kongruente?P.sh.: 2 katror, 2 romb, 2 drejtkëndësha etj.Këtu kalohet në përkufizim (shiko faqen 68)Për ngjashmërinë e trekëndëshave është e domosdoshme të kalohet në vërtetimine teoremës, faqe 69. Pas kësaj kalohet te rasti i parë i ngjashmërisë, këmbëngulet teparaqitja e pohimit (rasti 1) në formën K P⇒ . Është e domosdoshme të theksohetse ABA Bk1 1= (koeficienti i ngjashmërisë).Punë e pavarur.Trekëndëshat kënddrejtë ABC dhe A1B1C1janë të ngjashëm. Gjeni katetet,hipotenuzat dhe këndet e trekëndëshave nëse jepen:C� = 900 A1� = 300 dhe AB = 10 cm A1B1= 20 cmZgjidhje: ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1⇒ A� = A1� = 300C� = C1� = 900B = B1� = 600Dimë se në ∆ kënddrejtë kateti përballë këndit 300është sa gjysma e hipotenuzës,domethënë BC cm= =10 dhe B C cm1 12010= = , por nga teorema ePitagorës:AB2= AC2+ BC2, këtej gjejmë AC; A1B12= A1C12+ B1C12, këtej gjejmë A1C1Këtu është mirë të ndahet tema në dy orë mësimore.• Ora tjetër fillon me rastin e dytë. Megjithatë, nëse mësuesi/ja do të vazhdojë dyrastet e tjera duhet t’i shkruajë në formën K P⇒ .Punë e pavarur.∆ ABC ~ ∆ A1B1C1dhe brinjët e trekëndëshit ABC janë 5 cm, 6 cm, 7 cm, kursebrinja më e vogël e trekëndëshit ∆ A1B1C1është 10 cm.Gjeni brinjët e trekëndëshit A1B1C1.Trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A1B1C1kanë diferencën e brinjëve më tëvogla të barabartë me 6 cm, kurse raportin e tyre e kanë .Gjeni këto brinjë.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 3, 5, faqe 71.- A mund të themi se: ?A BCD33 A1C1D1B1Por, A A� �≡ 1 ,B B �≡ 1,C C� �≡ 1 , D D� �≡ 1.ABA BBCB CCDC DDAD A1 1 1 1 1 1 1 1= = =
  60. 60. 60Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Mësimi 4.10Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të dallojë trekëndëshat e ngjashëm duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.II. Të gjejë elementet e trekëndëshave të ngjashëm duke zbatuar rastete ngjashmërisë.III. Të vërtetojë pohimin mbi trekëndëshat duke zbatuar rastet e ngjashmërisë.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela, shih mësimin 3.6.Zhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Punohen nga nxënësit ushtrimet 1, 3 dhe 4, ndërsa ushtrimet 3,5, 6, 7 diskutohen së bashku me mësuesin/en duke analizuar të dhënat.Ushtrimet 2 dhe 8 duhet të punohen në klasë, sidomos ushtrimi 2 (punohet vetia evijës së mesme së trekëndëshit dhe formula e Heronit), ndërsa tek ushtrimi 8 punohetme rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave.Kujdes! Në fillim zbatohet teorema e Pitagorës, që të zbatohet rasti i tretë ingjashmërisë. Kjo problemë mund të shtrohet në rastin kur jepen katetet përpjesëtimore(zbatohet rasti i dytë i drejtpërdrejtë).Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Punë e udhëhequr.3. Punë e pavarur (grupi).4. Analizë problemore.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë raportin e perimetrave (syprinave) të trekëndëshave të ngjashëm.II. Të llogaritë perimetrat (syprinat) e trekëndëshave të ngjashëm.III. Të gjejë elementet e panjohura të trekëndëshave të ngjashëm, duke analizuartë dhënat dhe raportet e segmenteve përpjesëtimore.Mësimi 4.11Tema: Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshavetë ngjashëm∆ ABC ~ ∆ A1B1C1⇒ CDC Dk1 1= ;PPk1= ;SSk1=Metodat që rekomandohen:1. Diskutimi problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela.A BCD A1 B1C1D1Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave tëngjashëm:Detyrë shtëpie. Ushtrimet 4/1-2, 6 në faqen 72.
  61. 61. 61Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Puna përgatitore është mirë të ndryshohet.Jepet trekëndëshi ABC me brinjë 6, 8, 12 (cm).1. Gjeni brinjët e trekëndëshit ∆ A1B1C1të ngjashëm me trekëndëshin e dhënënëse brinja A1B1= 3 cm.2. Gjeni raportin e perimetrave të këtyre trekëndëshave.3. Gjeni raportin e syprinave të këtyre trekëndëshave (për syprinat zbato formulëne Heronit).Duhet theksuar seABA B1 1= = edhePP1= , kurseSS1 = = .Kështu themi se PPk1= dhe SSk1= (1)Mësuesi/ja kalon te përgjithësimi i përfundimit të mësipërm.a. Për perimetrat. Nëse ∆ ABC ~ ∆ A1B1C1⇒ =PPk1Vërtetim: Nga ngjashmëria e ∆ ABC dhe ∆ A1B1C1kemi:ABA BBCB CCAC AkAB BC CAA B B C C AABA B1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= = = ⇒+ ++ += = =.... kkPPk⇒ =1b. Para se të provojnë seSSk1= duhet të vërtetojnë teoremën mbi raportine lartësive dhe mbi raportin e syprinave.E rëndësishme është që në këtë temë, nxënësit të mbajnë mend formulat.Punë e pavarur.Trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A1B1C1 me koeficientngjashmërie k dhe raport të syprinave S : S1 = .Gjeni perimetrat, nëse shuma e tyre është 45 cm.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 /njëri rast, 2, 3, faqe 74.Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të shkruajë barazimet mbi raportin e perimetrave (syprinave) tëshumëkëndëshave të ngjashëm.II. Të njehsojë perimetrat (syprinat) e shumëkëndëshave të ngjashëm dukezbatuar formulat.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar indirekt ngjashmërinë eshumëkëndëshave dhe formulat mbi raportin e perimetrave (syprinave).Mësimi 4.12Tema: Ushtrime
  62. 62. 62Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zhvillimi i temës së re:Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore përkufizimin e ngjashmërisësë shumëkëndëshit. Pas kësaj u kërkon nxënësve të ndërtojnë dy katrorë me brinjë,i pari a = 6 cm dhe i dyti b = 12 cm.Shtrohen këto pyetje para nxënësve: - A janë të ngjashëm katrorët? Gjeni k = ?Gjeni raportin e perimetrave (syprinave).-A mund të themi sePPk1= dheSSk1= ?Këtu ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se përfundimet e pikës 3 do t’i pranojmëpër çdo shumëkëndësh të ngjashëm, d.m.th. nëse ABCDEF ~ A1B1C1D1E1F1,atëherë PPk1= dhe SSk1= .Punë e pavarur.Jepen nga mësuesi/ja ushtrimet 1 dhe 4, faqe 75.Punë e udhëhequr.Punohet nga nxënësit problema 2.Zgjidhje: Dimë se: P = 4 • 91 dhePPPPP P cm11 1 1 91= ⇒ =•⇒ =• •⇒ =SAC BDcmABCD = = =� �168 705880 ACA CA C1 11 1 168210= = = =�SSSScm1116 5880169187 = ⇒ = = =� �,Detyrë shtëpie. Ushtrimet 5, 8, faqe 75.BCoAD8491Dimë se AC = 169 ⇒ Ao = 84Nga teorema e Pitagorës OD2=AD2– OA2 ⇒OD2= 8181 – 7056 = 1225 ⇒ OD = 35 cm.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela, shih mësimet e mëparshmenë këtë kapitull.4. Vizore.Metodat që rekomandohen:1. Analiza problemore.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).S cmABCD = 5880 A C cm1 1 210=S cm1 9187 = ,
  63. 63. 63Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”Mësimi 4.13Tema: Teoremat e EukliditObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremat e Euklidit dhe rrjedhimet e tyre.II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar rrjedhimet e teoremave.III. Të vërtetojë teoremat e Euklidit. Të zgjidhë trekëndëshat kënddrejtë,duke zbatuar në mënyrë të kombinuar teoremat e Euklidit.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formulat e teoremavetë Euklidit. Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore. Mësuesi/ja sjell një shembull praktik.Jepet trekëndëshi kënddrejtë në C me elemente:Gjeni CD2, AD BD� ; AC2, AD AB•- Çfarë vëreni? (CD2= AD • BD, AC2= AD • AB)Vëmë re se CD i mesëm i përpjesshëm me segmentet AD e BD.Jepen përkufizimet 1, 2, të cilat janë në tekstin e nxënësit.Më pas formulohen teoremat e Euklidit dhe vërtetohen.Pas teoremave formulohen dy rrjedhime.A BCD1512169[CD] [AB] dhe CD = 12 cmAD = 9 cm BD = 16 cmAC = 15 cmA BCDTeoremat e Euklidit 2. ∆ ABC kënddrejtë në C: [CD] ⊥ [AB] ⇒ AC2= AD • AB dhe BC2=BD • AB1. ∆ ABC kënddrejtë në C: [CD] ⊥ [AB] ⇒ CD2= AD • DB Metodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e udhëhequr.4. Punë e pavarur (grupi).
  64. 64. 64Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Korda në skajin e diametrit dhe skajin tjetër në gjysmërreth është e mesme epërpjesshme me diametrin dhe projeksionin e saj në diametër (BC2= BD • AB).Punë e pavarur.Mësuesi/ja jep për punë të pavarur ushtrimin 2, faqe 77.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 5, faqe 77.A BCDRrjedhim 1: Në çdo gjysmërreth pingulja endërtuar nga një pikë e tij mbi diametër është emesme e përpjesshme me segmentet që caktonnë diametër, domethënë CD2= AD • BDMësimi 4.14Tema: UshtrimeObjektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të zbatojë teoremat e Euklidit në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.II. Të zgjidhë trekëndëshin kënddrejtë duke zbatuar dy teoremat e Euklidit.III. Të zgjidhë problema duke zbatuar teoremat e Euklidit në forma indirekte.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula, shih mësimete mëparshme.4. VizoreZhvillimi i temës së re:Punë e pavarur. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur këtë problemë:Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë e ndan atë (hipotenuzën) nëdy segmente me gjatësi 9 cm dhe 144 cm. Duke zbatuar teoremat e Euklidit gjeni: a.lartësinë mbi hipotenuzë, b. katetet.Punë e udhëhequr.Punohen nga nxënësit problemat 2 dhe 7.Problema 2. Shih figurën në faqen 78Metodat që rekomandohen:1. Analizë problemore.2. Ilustrimi grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).A BCDJepet CD = 8 cmAC = 10 cmKërkohet AD?BD?
  65. 65. 65Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Zgjidhje: Trekëndëshi ABC është kënddrejtë në C; nga teorema e Euklidit kemi:AC AD ABCD AD DB==��Shënojmë: AD = x dhe BD = y, AB = x + ySistemi merr formën:Duke zëvendësuar: = ⇒ = ⇒ = ⇒ =x y y y y cm� �Problema 7.Zgjidhje: Shënojmë AC = x dhe AD = y.xyx yxyx y== +⇒+== + Zgjidhje:xyy y y y cm+= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ,x = 7,5 cmNga teorema e 2 e Euklidit kemi: AC AD AB ABACAD 12 = ⇒ = = =�,,,AB cm BD cm= ⇒ = − =12 5 1 , , ,Nga teorema 1 e Euklidit kemi: CD2= AD • BD = 4,5 • 8 = 36CD cm= , prej këtej SAB CDcm=•=•=12 ,, , S cm= ,Për trekëndëshin e dytë kemi Sb h=�, ku h = 2 • CD = 12 cm. 12 12 ,,,=•⇒ =•⇒ =bb b cmDetyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 5, faqe 78.keshtu kemi:h lartësia e D-së të njëvlershëm, ku h = 2CDA BCDJepetACAD= kërkohet S = ?AC = AD + 3, h = ?101010 8 10 8 = +=⇒= +=⇒ = + ⇒ = −x x yx yx yx yx x( )� �⇒⇒ = ⇒ =x x cm AD cm BD= =
  66. 66. 66Libërmësuesipërtekstin“Matematika9”!Objektivat: Nxënësi në fund të orës së mësimit të jetë i aftë:I. Të formulojë teoremën e Pitagorës në formën k P⇒ . Të formulojë teoremëne anasjellë të Pitagorës.II. Të zbatojë teoremën e Pitagorës në zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë.III. Të vërtetojë teoremën e Pitagorës duke zbatuar teoremat e Euklidit. Të zgjidhëproblema duke zbatuar të kombinuara teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës.Mjete ndihmëse:1. Teksti Matematika 9.2. Teksti Ushtrime Matematika 9.3. Tabela me formula. Zhvillimi i temës së re:Punë përgatitore.Mësuesi/ja jep këtë shembull:Jepet trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AC dhe BC, dhe me lartësi mbihipotenuzë CD = 12 cm, që e ndan hipotenuzën në segmente AD = 9 cmdhe BD = 16 cm.Gjeni katetet AC dhe BC.Krahasoni AB2, kur AC2+ BC2⇒ Pra, AB2=AC2+ BC2.Këtu formuloni teoremën e Pitagorës dhe vërtetojeni atë,duke u mbështeturte teoremat e Euklidit. I rëndësishëm është formulimi dhe vërtetimi i teoremëssë anasjellë.Punë e pavarur.Njehsoni perimetrin e drejtkëndëshit ABCD, nëse njëra brinjë AB = 16 cmdhe diagonalja e tij BD AB=.Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2 dhe 4, faqe 80.Mësimi 4.15Tema: Teorema e Pitagorës. Teorema e anasjellë e PitagorësMetodat që rekomandohen:1. Diskutim problemor.2. Ilustrim grafik (figura, tabela).3. Punë e pavarur (grupi).A BCDTeorema e Pitagorës∆ ABC kënddrejtë në C ⇒ AB2= AC2+ BC2

×