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Diseño de compensadores

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Material para el diseño de compensadores utilizando técnicas en el dominio de la frecuencia. Tomado del libro de K. Ogata

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Diseño de compensadores

  1. 1. Diseño de compensadores 1 Objetivo  Conocer y aplicar una técnica para el diseño de compensadores con el uso de las características de la respuesta a la frecuencia.  Tomada del libro de K. Ogata, Ingeniería de Control ModernaAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  2. 2. Diseño de compensadores 2 Se deben considerar primeramente las especificaciones de diseño y compararlas con las especificaciones que tiene el sistema original. Esto permite determinar el tipo de compensador para cada caso.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  3. 3. Diseño de compensadores 3 Al final del diseño se podrán calcular los valores de las resistencias y capacitancias del circuito con amplificadores operacionales.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  4. 4. Diseño de compensadores 4 Se toman en consideración las especificaciones dadas. En frecuencia Características En Tiempo del Sistema • Márgenes de ganancia y • Factor de fase. • Sobrepaso amortiguamie nto relativo • Pico de • Tiempos resonancia. • Frecuencias • Ancho de bandaAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  5. 5. Diseño de compensadores 5 Compensador en serie E(s) C(s) Gc(s) G(s) E(s) C(s) G1(s)Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  6. 6. Compensador de Adelanto de Fase 6 Se toma la función de transferencia ecuación 1 1 Ts + 1 s+ GC (s ) = KCα = KC T αTs + 1 s+ 1 Ec 1 αT Kc es la ganancia (1/T) y (1/αT )cero y polo respectivamente Recordando que (1/T) < (1/αT ) y para esto α < 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  7. 7. Compensador de Adelanto de Fase 7 Se sustituye: K Cα = K Ec. 2 y la ec. 1 se reescribe como Ts + 1 GC (s ) = K Ec. 3 αTs + 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  8. 8. Compensador de Adelanto de Fase 8 La F. T. L. A. del sistema compensado queda como la ec. 4 Ts + 1 GC (s )G (s ) = K G (s ) αTs + 1 Ec. 4 Donde Gc(s) es la f. t. del compensador. G(s) es la f. t. de la planta a compensar.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  9. 9. Compensador de Adelanto de Fase 9 Recordando que éste no modifica el ess, entonces las características a cambiar serán las que se relacionan directamente con el transitorio. Sin embargo es posible abatir el error aumentando o disminuyendo la ganancia del sistema.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  10. 10. Compensador de Adelanto de Fase 10 Para modificar el error agregando ganancia se debe tener en cuenta el tipo de sistema. Y entonces se utiliza la constante de error de estático correspondiente (KP, KV, Ka). Una vez definido esto se usan las ecuaciones siguientes.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  11. 11. Compensador de Adelanto de Fase 11 K P = lim s →0 G1 (s ) = lim s →0 KG (s ) KV = lim s →0 sG1 (s ) = lim s →0 sKG (s ) K a = lim s →0 s G1 (s ) = lim s →0 s KG (s ) 2 2Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  12. 12. Compensador de Adelanto de Fase 12 Una vez que se tienen las características en el dominio de la frecuencia y se ha modificado la ganancia del sistema (en su caso), se procede de la siguiente manera:Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  13. 13. Compensador de Adelanto de Fase 13 2. Se construyen los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada. G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5 3. Se calcula el ángulo de adelanto de fase necesario para cumplir con la especificación. Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 6Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  14. 14. Compensador de Adelanto de Fase 14 4. Se determina el factor de atenuación α usando la ec. 7. 1−α senΦ m = Ec. 7 1+α 5. Calcular la ganancia a atenuar utilizando la ec. 8: G1 ( jω ) = −20 log 1 Ec. 8 αAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  15. 15. Compensador de Adelanto de Fase 156. En el diagrama de Bode obtenido en el punto 2, se localiza dicha ganancia y se ubica la frecuencia a la cual se produce. Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia ( ωm ). Esta frecuencia permitirá definir el valor de las singularidades del compensador.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  16. 16. Compensador de Adelanto de Fase 16 7. Determine la posición del cero y del polo del compensador. 1 1 1 ωm ωm = ωz = = ωm α ωp = = αT T αT α 8. Se ajusta la ganancia del compensador. K Cα = KAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  17. 17. Compensador de Adelanto de Fase 179. Se arma la función de transferencia del compensador de acuerdo a la ec. 1.10. Verificar si el sistema compensado cumple las especificaciones.11. Se calculan los valores de las resistencias y capacitancias del circuito.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  18. 18. Compensador de Adelanto de Fase 18 R4 R2 R1C1s + 1 Gc ( s ) = R3 R1 R2C2 s + 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  19. 19. Compensador de Atraso de Fase 19 Se toma la función de transferencia ecuación 1 1 s+ Ts + 1 GC (s ) = K C β = KC T β >1 Ec. 1 βTs + 1 s+ 1 βT Observe la semejanza con el de adelanto pero cambia la condición. Kc es la ganancia (1/T) y (1/βT )cero y polo respectivamente Recordando que (1/T) < (1/βT ) y para esto β > 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  20. 20. Compensador de Atraso de Fase 20 Definiendo: KC β = K Ec. 2 La ec. 1 se reescribe como Ts + 1 GC (s ) = K Ec. 3 βTs + 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  21. 21. Compensador de Atraso de Fase 21 La F. T. L.A. del sistema compensado es Ts + 1 GC (s )G (s ) = K G (s ) βTs + 1 Ec. 4 Ts + 1 Ts + 1 GC (s )G (s ) = KG (s ) = G1 (s ) βTs + 1 βTs + 1 Donde Gc(s) es la f. t. del compensador. G(s) es la f. t. de la planta a compensar.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  22. 22. Compensador de Atraso de Fase 22 Al igual que el compensador de adelanto, será necesario iniciar con la modificación de la ganancia para disminuir el error en estado estable. Para ello referirse a la sección correspondiente.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  23. 23. Compensador de Atraso de Fase 23 2. Construye los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada. G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 5 3. De la especificación calcula el ángulo que se requiere para cumplir. θ1 (ωm ) = −180° + Φ m Ec. 6Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  24. 24. Compensador de Atraso de Fase 24 4. En el diagrama de Bode identifica este ángulo y determina la frecuencia donde se produce. Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia (ωm ). 5. Determina cuanto vale la magnitud en ese valor de frecuencia.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  25. 25. Compensador de Atraso de Fase 256. Determine el factor de atenuación β. Para ello se localiza la magnitud en ωm. G1 ( jωm ) = 20 log β Ec. 7Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  26. 26. Compensador de Atraso de Fase 26 7. Determine la posición del cero y del polo del compensador. ωm ωm ωz ≤ ωz ≤ ωp = 10 2 β 8. Se obtiene la ganancia del compensador. K Cα = KAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  27. 27. Compensador de Atraso de Fase 279. Se arma la función de transferencia del compensador de acuerdo a la ec. 1.10. Verificar si el sistema compensado cumple las especificaciones.11. Se calculan los valores de las resistencias y capacitancias del circuito.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  28. 28. Compensador de Atraso de Fase 28 R4 R2 R1C1s + 1 Gc ( s ) = R3 R1 R2C2 s + 1Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  29. 29. Compensador de Atraso-Adelanto 29 Se toma la función de transferencia de la ecuación 1 1 1 s+ s+ GC (s ) = K C T1 T2 α <1y β >1 Ec 1 1 1 s+ s+ αT1 βT2 Kc es la ganancia (1/T) y (1/βT) cero y polo respectivamente de atraso (1/T) y (1/αT) cero y polo respectivamente de adelantoAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  30. 30. Compensador de Atraso-Adelanto de Fase 30 Al igual que el compensador de adelanto, será necesario iniciar con la modificación de la ganancia para disminuir el error en estado estable. Para ello referirse a la sección correspondiente.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  31. 31. Compensador de Atraso-Adelanto 31 2. Dibuje los diagramas de Bode del sistema con la ganancia modificada. G1 ( jω ) = KG ( jω ) Ec. 2Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  32. 32. Compensador de Atraso-Adelanto 323. Se diseña de la parte de atraso: a. Se calcula el ángulo necesario para cumplir la especificación de margen de fase Φ m ( jω m ) = Φ mdiseño − Φ m1 Ec. 3Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  33. 33. Compensador de Atraso-Adelanto 33 b. Se busca en los D. B. la frecuencia en que se produce la fase. Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia (ωm). c. Se obtiene el valor del factor de atenuación β, utilizando la ec. 4: β −1 senΦ m = β +1 Ec. 4Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  34. 34. Compensador de Atraso-Adelanto 34 d. Determine la posición del cero y del polo del compensador de acuerdo al procedimiento del compensador de atraso. ωm ωm ωz ≤ ωz ≤ ωp = 10 2 βAsignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  35. 35. Compensador de Atraso-Adelanto 35 4. Diseñe la red de adelanto. a) En el diagrama de Bode se identifica el valor de la ganancia en la frecuencia de cruce de ganancia (ωm). b) Se calcula un punto igual a P=(ωm, -G(ωm,)).Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  36. 36. Compensador de Atraso-Adelanto 36 c. Trazamos una recta con pendiente igual a 20 dB/déc que pase por la atenuación necesaria y la frecuencia de cruce de ganancia. d. La frecuencia del cero es igual a la frecuencia de cruce con la línea de -20 dB. e. La frecuencia del polo es igual a la frecuencia de cruce con la línea de 0 dB.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García
  37. 37. Compensador de Atraso-Adelanto 375. Se obtiene la ganancia del compensador K Cα = K6. Verificar si el sistema compensado cumple las especificaciones.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. FanyRodríguez García
  38. 38. Compensador de Atraso-Adelantoe 387. Se arma la función de transferencia del compensador de acuerdo a la ec. 1.8. Verificar si el sistema compensado cumple las especificaciones.9. Se calculan los valores de las resistencias y capacitancias del circuito.Asignatura: Control 2 Profesor: Ing. Fany Rodríguez García

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