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Geometria en el plano 01

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En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el plano.

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Geometria en el plano 01

  1. 1. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL Visita los vídeos de integrales En este vídeo vas a aprender a resolver un problema de geometría analítica en el plano
  2. 2. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano Enunciado: La recta 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 es la mediatriz del lado AB del triángulo ABC siendo el vértice A(-2,0). La ecuación de la altura paralela a m es ℎ: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 y la ecuación de la altura que pasa por A es ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0. Calcula las coordenadas de B y C.
  3. 3. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano En primer lugar vamos a realizar una gráfica que nos aclare la situación del problema: 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 h: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 𝐴(−2,0) 𝑀𝐴𝐵
  4. 4. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano Se puede observar que la recta que une los vértices A y B que denotaremos por 𝑟𝐴𝐵 es perpendicular a la recta m (o a la recta h ya que h y m son paralelas). Por lo tanto el vector director de la recta 𝑟𝐴𝐵 es el vector normal de la recta m. Como la ecuación de m es 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0, el vector normal de m viene dado por: 𝑛 = (2, −1) Podemos calcular ahora la ecuación de 𝑟𝐴𝐵, ya que conocemos su vector director 𝑛 = 2, −1 y el punto A(-2,0). Por lo tanto la ecuación de la recta que une A con B, viene dada por: 𝑟𝐴𝐵: 𝑥 + 2 2 = 𝑦 − 0 −1 Y su ecuación general o implícita vendrá dada por: 𝑟𝐴𝐵: 𝑥 + 2𝑦 = −2
  5. 5. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 h: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 𝐴(−2,0) 𝑀𝐴𝐵 Si observamos el dibujo, la intersección de la recta 𝑟𝐴𝐵 y m, nos da el punto 𝑀𝐴𝐵 que es el punto medio de A y B. Calculamos entonces esta intersección, para ello resolvemos el sistema de ecuaciones: 𝑥 + 2𝑦 = −2 2𝑥 − 𝑦 = 6
  6. 6. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano Este sistema de ecuaciones nos da como solución: 𝑥 = 2, 𝑦 = −2 Por lo tanto tenemos determinado el punto 𝑀𝐴𝐵= (2, −2) Como hemos comentado anteriormente el punto 𝑀𝐴𝐵 es el punto medio de A y B, por lo tanto: 𝑀𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵 2 𝐵 = 2𝑀𝐴𝐵 − 𝐴 De donde al sustituir los valores de 𝑀𝐴𝐵 y de A, se tiene: 𝐵 = 2 2, −2 − −2,0 𝐵 = (6,4)
  7. 7. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 ℎ: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 𝐵(6, −4) A(−2,0) 𝑀 𝑎𝑏 Calculamos a continuación, la recta que une B y C. Esta recta es perpendicular a la recta ℎ 𝐴 y pasa por el punto B(6,-4). Por tanto el vector director de la recta 𝑟𝐵𝐶 es el vector normal de ℎ 𝐴. Como ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0, entonces su vector normal será 𝑚(3, −4)
  8. 8. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano Por tanto la recta 𝑟𝐵𝐶 tiene como vector director 𝑚(3, −4) y pasa por el punto 𝐵 6, −4 𝑟𝐵𝐶: 𝑥 − 6 3 = 𝑦 + 4 −4 Si la expresamos en ecuación implícita o general nos quedaría: 𝑟𝐵𝐶: 4𝑥 + 3𝑦 = 12 Calculo a continuación el vértice C como intersección de las rectas 𝑟𝐵𝐶 y h. 2𝑥 − 𝑦 = 1 4𝑥 + 3𝑦 = 12
  9. 9. Vídeo tutorial FdeT: Problemas resueltos: geometría en el plano La solución al sistema anterior es: 𝑥 = 3 2 , 𝑦 = 2 Por tanto el vértice C viene dado por 𝐶 3 2 , 2

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