Formulario general de matematicas. Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez

1. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
ÍNDICE
MATEMÁTICAS 1
Geometría 1
Trigonometría 2
Números Complejos 2
Geometría Analítica del Espacio 3
Reglas Generales de Derivación 4
Tablas de Integrales 6
Vectores 10
Integrales Múltiples 11
Fórmulas Misceláneas 13
FÍSICA 14
Cinemática 14
Dinámica 14
Trabajo, Energía y Conservación de la Energía 15
Impulso e Ímpetu 15
Electricidad y Magnetismo 15
Constantes 18
Factores de conversión 19
QUÍMICA 20
Formulario de química 20
Tabla Periódica de los Elementos 21
Serie Electroquímica de los Metales 22
Tabla de Pesos Atómicos 23

2. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen = 4
3
3
πr
Área de la Superficie = 4 2
π r
r
Volumen = πr h2
Área de la superficie lateral = 2πrh
r
h
Volumen = 1
3
2
πr h
Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2
h
r
l
Volumen ( )= + +1
3
2 2
π h a ab b
Área de la superficie lateral
( ) ( )
( )
= + + −
= +
π
π
a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l

3. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
2
Trigonometría
sen cos2 2
1A A+ = sen cos2 1
2
1
2 2A A= −
sec tan2 2
1A A− = cos cos2 1
2
1
2 2A A= +
csc cot2 2
1A A− = sen sen cos2 2A A A=
tan
sen
cos
A
A
A
= cos cos sen2 2 2
A A A= −
cot
cos
sen
A
A
A
= ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±
sen cscA A = 1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± = m
cos secA A = 1 ( )tan A B
tanA tanB
tanAtanB
± =
±
1m
tan cotA A = 1 sen
cosA A
2
1
2
= ±
−
( )sen sen− = −A A cos
cosA A
2
1
2
= ±
+
( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +1
2
( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +1
2
( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +1
2
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,
C.
Ley de los senos
a
A
b
B
c
Csen sen sen
= =
Ley de los cosenos
c a b ab C2 2 2
2= + − cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
( )
( )
a b
a b
tan A B
tan A B
+
−
=
+
−
1
2
1
2
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
( )[ ] ( )r i r p i p
p p
cos sen cos senθ θ θ θ+ = +
Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces
( )[ ] [ ]r i r in n k
n
k
ncos sen cos senθ θ θ π θ π
+ = ++ +1 1 2 2

4. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
3
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk L
Geometría Analítica del Espacio
Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , ,
Vector que une P1 y P2 :
( ) ( ) ( ) ( )PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , ,
Distancia entre dos puntos:
( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica:
x x l t= +1 y y mt= +1 z z nt= +1
-Forma Simétrica:
t
x x
l
=
− 1
t
y y
m
=
− 1
t
z z
n
=
− 1
Cosenos Directores:
cosα =
−
=
x x
d
l
d
2 1
cosβ =
−
=
y y
d
m
d
2 1
cosγ =
−
=
z z
d
n
d
2 1
donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte
positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
→
= 1 2 3, , :
( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − =
-Forma General:
Ax By Cz D+ + + = 0
cos cos cos2 2 2
1α β γ+ + = o l m n2 2 2
1+ + =
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
d
Ax By Cz D
A B C
=
±
+ + +
+ +
0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

5. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
4
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
=
=
=





cos
sen
θ
θ o ( )
r x y
tan
z z
y
x
= +
=
=






−
2 2
1
θ
θ
r
z
y
x
y
z
P
(x,y,z)
(r,θ,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
=
=
=





sen cos
sen sen
cos
θ φ
θ φ
θ
o ( )
r x y z
tan
y
x
z
x y z
= + +
=
=











−
−
+ +
2 2 2
1
1
2 2 2
φ
θ cos
z
y
x
y
P (r,θ,{
φ
φ)
(x,y,z)
O
θ
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tanα =
−
+
m m
m m
2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
d
dx
c( ) = 0
( )
d
dx
cx c=
( )
d
dx
cx ncxn n
= −1
( )
d
dx
u v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
± ± ± = ± ±L L
( )
d
dx
cu c
du
dx
=
( )
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
= +
( )
d
dx
uvw uv
dw
dx
u w
dv
dx
v w
du
dx
= + +
( ) ( )d
dx
u
v
v du
dx u dv
dx
v





 =
−
2
( )
d
dx
u nu
du
dx
n n
= −1
dF
dx
dF
du
du
dx
= (Regla de la cadena)
du
dx dx
du
=
1
dF
dx
dF
du
dx
du
=

6. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
5
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dx
u
e
u
du
dx
a aa
a
log
log
,= > ≠0 1
d
dx
u
d
dx
u
u
du
dx
eln log= =
1
d
dx
a a a
du
dx
u u
= ln
d
dx
e e
du
dx
u u
=
d
dx
u
d
dx
e e
d
dx
v u vu
du
dx
u u
dv
dx
v v u v u v v
= = = +−ln ln
ln ln1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dx
u u
du
dx
sen cos=
d
dx
u u
du
dx
cot csc= − 2
d
dx
u u
du
dx
cos sen= −
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tan=
d
dx
u u
du
dx
tan sec= 2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cot= −
d
dx
u
u
du
dx
usen sen− −
=
−
− < <1
2 2
1
2
1
1
π π
d
dx
u
u
du
dx
ucos cos− −
=
−
−
< <1
2
11
1
0 π
d
dx
u
u
du
dx
utan tan− −
=
+
− < <1
2 2
1
2
1
1
π π
d
dx
u
u
du
dx
ucot cot− −
=
−
+
< <1
2
11
1
0 π
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
sec
sec
sec
−
−
−
=
−
=
±
−
+ < <
− < <








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0 π
π
π
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
csc
csc
csc
−
−
−
=
−
−
=
−
− < <
+ − < <








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0
0
m
π
π
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dx
u u
du
dx
senh cosh=
d
dx
u u
du
dx
coth csc= − h2
d
dx
u u
du
dx
cosh senh=
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tanhh h= −
d
dx
u u
du
dx
tanh sec= h2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cothh h= −

7. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
6
d
dx
u
u
du
dx
senh-1
=
+
1
12
d
dx
u
u
du
dx
si u u
si u u
cos
cosh ,
cosh ,
h-1
=
±
−
+ > >
− < <








−
−
1
1
0 1
0 12
1
1
d
dx
u
u
du
dx
utanh−
=
−
− < <1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u
du
dx
u o ucoth−
=
−
> < −




1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u u
du
dx
si u u
si u u
sec
sec ,
sec ,
h
h
h
-1
=
±
−
− > < <
+ < < <








−
−
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u si ucsc ,h-1
=
−
+
=
+
− > + <




1
1
1
1
0 02 2
m
Tablas de Integrales
udv uv v du= − ∫∫ csc cot cscu udu u C= − +∫
u du
n
u C nn n
=
+
+ ≠ −+
∫
1
1
11
∫ += Cuduu seclntan
du
u
u C= +∫ ln cot ln senudu u C= +∫
e du e Cu u
= +∫ Cuuduu ++=∫ tanseclnsec
a du
a
a
Cu
u
= +∫ ln
csc ln csc cotudu u u C= − +∫
sen cosudu u C= − +∫ du
a u
u
a
C2 2
1
−
= +−
∫ sen
∫ += Cuduu sencos
∫ +=
+
−
C
a
u
aua
du 1
22
tan
1
∫ += Cuduu tansec2 du
u u a a
u
a
C2 2
11
−
= +−
∫ sec
csc cot2
udu u C= − +∫ du
a u a
u a
u a
C2 2
1
2−
=
+
−
+∫ ln
∫ += Cuduuu sectansec du
u a a
u a
u a
C2 2
1
2−
=
−
+
+∫ ln
a u du
u
a u
a
u a u C2 2 2 2
2
2 2
2 2
+ = + + + + +∫ ln du
u a u a
a u a
u
C2 2
2 2
1
+
= −
+ +
+∫ ln
( )u a u du
u
a u a u
a
u a u C2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
8
2
8
+ = + + − + + +∫ ln du
u a u
a u
a u
C2 2 2
2 2
2
+
= −
+
+∫

8. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
7
a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2
+
= + −
+ +
+∫ ln ( )
du
a u
u
a a u
C2 2 3 2 2 2 2
+
=
+
+∫ /
a u
u
du
a u
u
u a u C
2 2
2
2 2
2 2+
= −
+
+ + + +∫ ln
a u du
u
a u
a u
a
C2 2 2 2
2
1
2 2
− = − + +−
∫ sen
du
a u
u a u C2 2
2 2
+
= + + +∫ ln ( )u a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2 2 2 2 2 2
4
1
8
2
8
− = − − + +−
∫ sen
u du
a u
u
a u
a
u a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2+
= + − + + +∫ ln a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2
−
= − −
+ −
+∫ ln
a u
u
du
u
a u
u
a
C
2 2
2
2 2 11−
= − − − +−
∫ sen u a du
u
u a
a
u u a C2 2 2 2
2
2 2
2 2
− = − − + − +∫ ln
u du
a u
u
a u
a u
a
C
2
2 2
2 2
2
1
2 2−
= − − + +−
∫ sen ( )u u a du
u
u a u a
a
u u a2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
8
2
8
− = − − − + − +∫ ln C
du
u a u a
a a u
u
C2 2
2 2
1
−
= −
+ −
+∫ ln
u a
u
du u a a
a
u
C
2 2
2 2 1−
= − − +−
∫ cos
du
u a u a u
a u C2 2 2 2
2 21
−
= − − +∫ u a
u
du
u a
u
u u a C
2 2
2
2 2
2 2−
= −
−
+ + − +∫ ln
( ) ( )a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2
3
2 2 2 2 2
4
1
8
2 5
3
8
− = − − − + +−
∫ sen
du
u a
u u a C2 2
2 2
−
= + − +∫ ln
( )
du
a u
u
a a u
C
2 2
3
2 2 2 2
−
=
−
+∫ ∫ +−++−=
−
Cauu
a
au
u
au
duu 22
2
22
22
2
ln
22
du
u u a
u a
a u
C2 2 2
2 2
2
−
=
−
+∫
( )
du
u a
u
a u a
C
2 2
3
2 2 2 2
−
= −
−
+∫
( )
udu
a bu b
a bu a a bu C
+
= + − + +∫
1
2 ln ( )
u du
a bu b
a b u abu a bu
2
3
2 2 22
15
8 3 4
+
= + − +∫
( ) ( )[ ]
u du
a bu b
a bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
2
4 2
+
= + − + + + +∫ ln
du
u a bu a
a bu a
a bu a
C a
+
=
+ −
+ +
+ >∫
1
0ln , si
=
−
+
−
+ <−2
01
a
a bu
a
C atan , si
( )
du
u a bu a
u
a bu
C
+
=
+
+∫
1
ln
a bu
u
du a bu a
du
u a bu
+
= + +
+
∫∫ 2
( )
du
u a bu au
b
a
a bu
u
C2 2
1
+
= − +
+
+∫ ln
a bu
u
du
a bu
u
b du
u a bu
+
= −
+
+
+
∫∫ 2
2

9. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
8
( ) ( )
udu
a bu
a
b a bu b
a bu C
+
=
+
+ + +∫ 2 2
1
ln
( )
( )[ ]u a budu
b n
u a bu na u a budun n n
+ =
+
+ − +−
∫∫
2
2 3
3
2 1
( ) ( )
du
u a bu a a bu a
a bu
u
C
+
=
+
−
+
+∫ 2 2
1 1
ln
( ) ( )
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
+
=
+
+
−
+ +
∫ ∫
−
2
2 1
2
2 1
1
( )∫ +





+−
+
−+=
+
Cbuaa
bua
a
bua
bbua
duu
ln2
1 2
32
2
( )
( )
( )
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
+
= −
+
−
−
−
− +− −∫∫ 1
2 3
2 11 1
( )( )u a budu
b
bu a a bu C+ = − + +∫
2
15
3 22
3
2
( )
udu
a bu b
bu a a bu
+
= − +∫
2
3
22
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C= − +∫ csc csc cot ln csc cot3 1
2
1
2udu u u u u C= − + − +∫
cos sen2 1
2
1
4 2udu u u C= + +∫ sen sen cos senn
n
n n
udu u u
n
n
udu= − +
−− −
∫∫ 1 1 21
∫ +−= Cuuduu tantan2
cos cos sen cosn
n
n n
udu u u
n
n
udu= +
−− −
∫∫ 1 1 21
∫ +−−= Cuuduu cotcot2
∫ ∫
−−
−
−
= duuu
n
duu nnn 21
tantan
1
1
tan
( )sen sen cos3 1
3
2
2udu u u C= − + +∫ cot cot cotn n n
udu
n
u udu=
−
−
−− −
∫∫
1
1
1 2
( )cos cos sen3 1
3
2
2udu u u C= + +∫ sec sec secn n n
udu
n
tanu u
n
n
udu=
−
+
−
−
− −
∫∫
1
1
2
1
2 2
∫ ++= Cuuduu coslntantan 2
2
13
csc cot csc cscn n n
udu
n
u u
n
n
udu=
−
+
−
−
− −
∫∫
1
1
2
1
2 2
cot cot ln sen3 1
2
2
udu u u C= − − +∫ ( )
( )
( )
( )
sen sen
sen sen
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C=
−
−
−
+
+
+∫ 2 2
sec sec lnsec3 1
2
1
2u du u tanu u tanu C= + + +∫ ( )
( )
( )
( )
cos cos
sen sen
au budu
a b u
a b
a b u
a b
C=
−
−
+
+
+
+∫ 2 2
( )
( )
( )
( )
sen cos
cos cos
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C= −
−
−
−
+
+
+∫ 2 2
u udu u u n u udun n n
cos sen sen= − −
∫∫ 1
u udu u u u Csen sen cos= − +∫
sen cosn m
u udu∫
= −
+
+
−
+
− +
−
∫
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
n
n m
u udu
1 1
21
= −
+
+
−
+
+ −
−
∫
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n m
u udu
1 1
21
u u du u u u Ccos cos sen= + +∫ u u du
u
u
u u
Ccos cos− −
=
−
−
−
+∫ 1
2
1
2
2 1
4
1
4
u udu u u n u udun n n
sen cos cos= + −
∫∫ 1
∫ +−
+
= −−
C
u
u
u
duuu
2
tan
2
1
tan 1
2
1

10. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
9
sen sen− −
= + − +∫ 1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
sen sen ,− + −
+
=
+
−
−





 ≠ −∫∫ 1 1 1
1
2
1
1 1
1
cos cos− −
= − − +∫ 1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
cos cos ,− + −
+
=
+
+
−





 ≠ −∫∫ 1 1 1
1
2
1
1 1
1
( )∫ ++−= −−
Cuuuduu 2
2
111
1lntantan
∫ ∫ −≠





+
−
+
=
+
−+−
1,
1
tan
1
1
tan
2
1
111
n
u
duu
uu
n
duuu
n
nn
u u du
u
u
u u
Csen sen− −
=
−
+
−
+∫ 1
2
1
2
2 1
4
1
4
( )ue du
a
au e Cau au
= − +∫
1
12
ln lnudu u u u C= − +∫
u e du
a
u e
n
a
u e dun au n au n au
= − −
∫∫
1 1
( )
( )[ ]u u du
u
n
n u Cn
n
ln ln=
+
+ − +
+
∫
1
2
1
1 1
( )e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
sen sen cos=
+
− +∫ 2 2
1
u u
du u C
ln
ln ln= +∫
( )e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
cos cos sen=
+
+ +∫ 2 2
senh coshudu u C= +∫ ∫ += Cuduu 2
1
tanlnsech
cosh senhudu u C= +∫ ∫ += Cuduu tanhsech2
∫ += Cuduu coshlntanh ∫ +−= Cuduu cothcsch2
coth ln senhudu u C= +∫ ∫ +−= Cuduuu sechtanhsech
∫ += −
Cutanduu senhsech 1
∫ +−= Cuduuu cschcothcsch
2
2
2
2
2 2
2
1
au u du
u a
au u
a a u
a
C− =
−
− +
−




+−
∫ cos
du
a u u
a u
a
C
2 2
1
−
=
−




+−
∫ cos
u au u du
u au a
au u
a a u
a
C2
2 3
6
2
2
2
2
2
3
1
− =
− −
− +
−




+−
∫ cos
udu
au u
a u u a
a u
a
C
2
22
2 1
−
= − − +
−




+−
∫ cos
2
2
2
2
2 1
a u u
u
du a u u a
a u
a
C
−
= − +
−




+−
∫ cos
du
u a u u
a u u
a u
C
2
2
2
2
−
= −
−
+∫
2 2 22
2
2
1
a u u
u
du
a u u
u
a u
a
C
−
= −
−
−
−




+−
∫ cos
( )
∫ +




 −
+−
+
−=
−
−
C
a
uaa
uau
au
uau
duu 1
2
2
2
2
cos
2
3
2
2
3
2

11. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
10
Vectores
A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0
donde θ es el ángulo formado por A y B
A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k= + +A A A1 2 3
$ $ $ , B i j k= + +
∧ ∧ ∧
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz: 1 2 3
1 2 3
i j k
A B A A A
B B B
∧ ∧ ∧
× =
( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA −+−+−=
Magnitud del Producto Cruz senθ× =A B A B
El operador nabla se define así:
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∧∧∧
++=∇ kji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z)
tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
∧∧∧∧∧∧
++=





++=∇= kjikji
z
U
y
U
x
U
U
zyx
U
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Divergencia de A = div A 





++•





++=•∇=
∧∧∧∧∧∧
kjikjiA 321 AAA
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
A
x
A
y
A
z
1 2 3
Rotacional de A = rot A 1 2 3A A A
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧   
= ∇× = + + + +  
  
A i j k x i j k
321
kji
AAA
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∧∧∧
=
= −





 + −





 + −






∧ ∧ ∧∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
3 2 1 3 2 1
i j k
Laplaciano de U = ( ) 2
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
UU
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=∇•∇=∇

12. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
11
Integrales Múltiples
( )( )
2
1
( )
,
b f x
x a y f x
F x y dydx
= =∫ ∫
( )( ){ }2
1
( )
,
b f x
x a y f x
F x y dy dx
= =
= ∫ ∫
donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ
respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral
también se puede escribir así:
( )( )
2
1
( )
,
d g y
y c x g y
F x y dxdy
= =∫ ∫ ( )( ){ }2
1
( )
,
d g y
y c x g y
F x y dx dy
= =
= ∫ ∫
donde x g y= 1( ), x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ
respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se
pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales
múltiples en más de tres dimensiones.
( ) ( )
t
a
s s t r t dt′= = ∫
r
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
r
r
rt t
r t
r t
( )
( )
( )
=
′
′
r r
t s r s( ) &( )=
Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×
r rr
r
r
rn s
r s
r s
( )
&&( )
&&( )
=
Vector binormal
( )
( )
( )
r r t
b t
r r t
′ ′′×
=
′ ′′×
r rr
r r
( ) ( )
( )
( )
r s r s
b s
r s
×
=
r r& &&r
r&&
Los vectores unitarios
r r r
t n b, , forman un triedo positivo ( )
r r r r r r r r r
b t n n b t t n b= = =x x x, ,
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
( ) ( ) ( )r r r
r r t r tλ λ= + ′0 0
x x
x
y y
y
z z
x
−
′
=
−
′
=
−
′
0
0
0
0
0
0
Plano osculador ( )
r r
t n, en t0
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
( )( ) ( ) ( )( )r r r r
r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
− − −
′ ′ ′
′′ ′′ ′′
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0

13. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
12
Curvatura y Torsión
3
2 2
´´
1 ( ´)
y
y
κ =
 + 
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
κ τt
r t r t
r t
t
r t r t r t
r t r t
=
′ ′′
′
=
′ ⋅ ′′ ′′′
′ ′′
r r
r
r r r
r r
x x
x
3 2
( ) ( )s r sκ =
r&& d
T kN
ds
=
ur uur d
N B kT
ds
τ= −
uur ur ur d
B N
ds
τ= −
ur uur
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
( )( ) ( )r r r
r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante ( )
r r
t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
( )( ) ( )r r r
r r t n t− ⋅ =0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0′ ′ ′
′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′
=
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
.
T
a
a Ta ν
ν
→ →
→ →
→
= • =
N
x a
a Na
ν
ν
→ →
→ →
→
= • =
Propiedades de la Divergencia
i) div (
→
F +
→
G ) = div (
→
F ) +div (
→
G )
ii) div (φ
→
F ) = φ div(
→
F ) + ( grad φ ) •
→
F
iii) div (
→
F +
→
G ) = G • [ rot (
→
F ) ] -
→
F • [rot (
→
G ) ]

14. XV Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2007 Etapa Regional
13
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t ∈ ( )ttax sen−= ( )tay cos1−=
Trabajo W ∫ •=
b
a
rdF
rr
b
ba
aComp b r
rr
r •
=
Longitud de arco de ( )y f x= en [ ] 2
, 1 ( )
b
a
a b y dx′= +∫
( )∫∫=
R
dAyxm ,ρ ( )∫∫=
R
x dAyxyM ,ρ ( )∫∫=
R
y dAyxxM ,ρ
Centro de gravedad de una región plana
∫
∫= b
a
b
a
dxxf
dxxxf
x
)(
)(
,
[ ]
∫
∫
= b
a
b
a
dxxf
dxxf
y
)(
)(
2
1 2
Longitud de arco en forma paramétrica
2 2
dx dy
L dt
dt dt
β
α
   
= +   
   
∫
Momento de inercia de R respecto al origen ( ) ( )∫∫ +==
R
o dAyxyxI ,22
ρ
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
( ) xdxfxFS
b
a
2
)(1)(2 +=∫ π
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
∫=
b
a
tdtFtV )(2 π
Cálculo del volumen ∫=
b
a
dxxAV )( ( )( )∫=
b
a
dxxfV
2
π
Ecuación diferencial de primer orden ′ + =y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx k
P x dx P x dx( ) ( )
( )∫ ∫= ∫ +
Ecuación del resorte helicoidal r t t t
t→
=( ) cos ,sen ,
2π
Derivada direccional ( ) ( )D f x y z f x y zu
r
r
, , , ,= ∇ • u (
r
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC ( )Lq Rq
C
q E t′′+ ′+ =
1
Fuerza ejercida por un fluído dyyLyF
b
a
)(⋅= ∫ γ
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g= −δ δ2 20
Ley de Torricelli v = 2gh