El concepto de varianza

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Presentación introductoria al razonamiento estadístico vinculado a la dispersión y, específicamente, al concepto de varianza estadística, su uso en el control experimental y su uso en el proceso de estimación estadística.

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El concepto de varianza

  1. 1. El concepto de varianzay su uso en la estimación estadísticaEnrique MorosiniUniversidad Nacional de AsunciónFacultad de FilosofíaPsicología Especialidad Clínica – Cátedra Psicometría Aplicada IIAsunción - 2012
  2. 2. Advertencia Este material intenta introducir los principios lógico-conceptuales del razonamiento estadístico relacionado con la varianza y los procesos relacionados con la estimación estadística. Las precisiones técnicas, los aspectos críticos y los planteamientos estadísticos estrictos deben ser consultados en la bibliografía recomendada. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 2
  3. 3. La varianza Uno de los conceptos más importantes en el análisis estadístico y el control experimental de variables es la varianza. En principio, la varianza es una medida de variabilidad que da cuenta del grado de homogeneidad de un grupo de observaciones, la fórmula de cálculo es la siguiente: N 2 ∑ ( X i − µ X )2 i =1 σX = N 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 3
  4. 4. APROXIMACIÓNCONCEPTUALY ESTADÍSTICA 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 4
  5. 5. Características colectivas Supongamos un grupo de personas que comparten características comunes, obviamente, observaremos también características diferenciales. Supongamos, además, que estamos realizando la tarea de cuantificar esas respectivas características. Más o menos podríamos representar la situación de la siguiente manera: 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 5
  6. 6. Características individuales 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 6
  7. 7. Cuantificación de variables Denominemos estas variables evaluadas o cuantificadas “X”, asignándole valores según un sistema específico de asignaciones. En la gráfica anterior el grupo de personas se conformaría con asignaciones diferentes de “X”, lo cual podríamos representar de la siguiente manera: 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 7
  8. 8. Cuantificación de variables 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 8
  9. 9. Medidas “promedio” El conjunto de medidas podrían ser resumidas mediante promedios o medidas de tendencia central. En este caso utilizamos la media aritmética (pudo haber sido la mediana o la moda). Ese valor está representado por un valor central y un “caso modelo” que representaría las características promedio del grupo: 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 9
  10. 10. La media como referencia 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 10
  11. 11. La dispersión de la media Una vez calculada la medida promedio resulta fácil notar que existe una diferencia (distancia) entre las medidas individuales y el promedio. Cuanto mayor dispersión se observe (distancia respecto a la media) menos homogéneas son las observaciones. La dispersión puede cuantificarse calculando la diferencia entre las medidas individuales y el promedio. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 11
  12. 12. La distancia respecto a la media 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 12
  13. 13. El cálculo de la varianza La varianza como medida de dispersión es el promedio de las diferencias cuadráticas de las diferencias individuales respecto de la media (tal como se anticipó). A partir de las observaciones registradas, se aplica la siguiente fórmula: n 2 ∑(X i − X) 2 SX = i =1 n −1 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 13
  14. 14. El cálculo de la varianza Observaciones x1 = 19 x2 = 27 x3 = 20 x4 = 22 x5 = 18 x6 = 21 x7 = 27 x8 = 18 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 14
  15. 15. El cálculo de la varianza Observaciones x1 = 19 x2 = 27 x3 = 20 x4 = 22 x5 = 18 x6 = 21 x7 = 27 x8 = 18 Suma = 172 Promedio = 21,5 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 15
  16. 16. El cálculo de la varianza Observaciones Media Diferencia x1 = 19 21,5 -2,5 x2 = 27 21,5 5,5 x3 = 20 21,5 -1,5 x4 = 22 21,5 0,5 x5 = 18 21,5 -3,5 x6 = 21 21,5 -0,5 x7 = 27 21,5 5,5 x8 = 18 21,5 -3,5Suma = 172Promedio = 21,5 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 16
  17. 17. El cálculo de la varianza Observaciones Media Diferencia x1 = 19 21,5 -2,5 x2 = 27 21,5 5,5 x3 = 20 21,5 -1,5 x4 = 22 21,5 0,5 x5 = 18 21,5 -3,5 x6 = 21 21,5 -0,5 x7 = 27 21,5 5,5 x8 = 18 21,5 -3,5Suma = 172 Suma = 0,0Promedio = 21,5 Promedio = 0,0 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 17
  18. 18. El cálculo de la varianza Observaciones Media Diferencia Cuadrado x1 = 19 21,5 -2,5 6,25 x2 = 27 21,5 5,5 30,25 x3 = 20 21,5 -1,5 2,25 x4 = 22 21,5 0,5 0,25 x5 = 18 21,5 -3,5 12,25 x6 = 21 21,5 -0,5 0,25 x7 = 27 21,5 5,5 30,25 x8 = 18 21,5 -3,5 12,25Suma = 172 Suma = 0,0Promedio = 21,5 Promedio = 0,0 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 18
  19. 19. El cálculo de la varianza Observaciones Media Diferencia Cuadrado x1 = 19 21,5 -2,5 6,25 x2 = 27 21,5 5,5 30,25 x3 = 20 21,5 -1,5 2,25 x4 = 22 21,5 0,5 0,25 x5 = 18 21,5 -3,5 12,25 x6 = 21 21,5 -0,5 0,25 x7 = 27 21,5 5,5 30,25 x8 = 18 21,5 -3,5 12,25 Suma = 172 Suma = 0,0 94 Promedio = 21,5 Promedio = 0,0 13,43 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 19
  20. 20. COMPONENTESDE LA VARIANZA 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 20
  21. 21. Varianza conocida Supongamos que el grupo de personas representado anteriormente pertenecen a un grupo dentro del cual comparten características comunes. Entendemos que estos aspectos comunes hacen que sean más similares entre sí que con otras personas en determinados aspectos. Teóricamente, si sus características dependieran únicamente de ese factor común las características deberían ser iguales a la media. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 21
  22. 22. Varianza explicada Supongamos, además, que conocemos otros factores que influyen en las diferencias individuales: el sexo y la edad. Dicho de otro modo, las puntuaciones varían conforme fueran hombres o mujeres, más jóvenes o mayores que la edad promedio. Estas variables explican parte de las variaciones o desviaciones de la media. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 22
  23. 23. Agregar símbolo de la mediaVarianza explicada 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 23
  24. 24. Varianza error Aún conociendo estas variables responsables de la variación, es posible observar que las puntuaciones presentan algunas variaciones respecto a los valores medios o esperados. Este grado de variación se conoce como varianza error. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 24
  25. 25. Varianza error 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 25
  26. 26. DISTRIBUCIÓNDE PROBABILIDADES 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 26
  27. 27. Probabilidades Durante muchos años el azar y la posibilidad de establecer suposiciones que permitan comprender las leyes que le subyacen fueron objeto de interés por científicos y matemáticos. El concepto que ha permitido acercarse a comprensión del azar es el estudio sistemático de la manera en cómo se distribuyen empíricamente los sucesos y el análisis de las probabilidades de ocurrencia de un fenómeno. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 27
  28. 28. Distribución de probabilidades La forma en cómo se distribuyen las probabilidades de ocurrencia de un determinado fenómeno ha generado modelos que facilitan mecanismos de estimación. Uno de estos modelos cuyo uso se ha extendido (en forma peculiar en las ciencias sociales, del comportamiento y la salud) es el de la distribución normal, cuya forma intuitiva se representa a continuación: 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 28
  29. 29. La distribución de observaciones 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 29
  30. 30. La distribución de observaciones Aquí se puede observar que la mayoría de los casos observados presentan valores cercanos a la media. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 30
  31. 31. La distribución normal 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 31
  32. 32. ESTIMACIÓNESTADÍSTICA 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 32
  33. 33. Aproximación conceptual El principio fundamental en el proceso de estimación estadística es la necesidad de conocer los parámetros de una población a partir de las observaciones de valores en una muestra. Un conjunto de datos obtenidos de una muestra, utilizando el concepto de varianza y la distribución de probabilidad, representa un valor con cierta probabilidad de representar el parámetro de la población. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 33
  34. 34. Aproximación conceptual Si utilizamos el modelo de distribución normal, que como lo habíamos adelantado es uno de los más utilizados (atendiendo que existen críticas importantes respecto a esta suposición), es posible conocer de antemano la distribución teórica de probabilidades para una distribución similar. 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 34
  35. 35. La distribución normal -2,58 -1,96 -1,68 1,68 1,96 2,58 5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 35
  36. 36. Error de estimación Las observaciones distribuidas conforme al modelo de distribución normal, presenta una dispersión cuya unidad de medida es el error de estimación. Este error de estimación, cuya unidad de medida es sigma (σ), se basa en el cálculo de la raíz cuadrada de la varianza: 2 σ σx σε = = x n n 5/7/2012 La varianza y la estimación estadística - Enrique Morosini 36
  37. 37. El proceso de estimación La estimación propiamente se realiza aplicando un margen de error a la medida muestral objeto de estimación (θ). El margen de error aplicado es el valor del error de medición multiplicado por el valor z correspondiente a la probabilidad de ocurrencia del suceso, también llamado confianza de estimación. θ ± σ .z 5/7/2012 La varianza y la estimación estadística - Enrique Morosini 37

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