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ESTADISTICA UNAM SUA Material de apoyo didáctico. Aura Mélida De la Selva Menéndez
Recomendaciones <ul><li>El presente material ha sido preparado como apoyo para las clases de las materias de Estadística D...
¿ Qué significa estadística? <ul><li>Estadística   es la ciencia de recolectar,  organizar, presentar, analizar e interpre...
¿Quién usa estadística ? <ul><li>Las técnicas estadísticas se usan ampliamente por personas en áreas de ciencias sociales,...
Tipos de estadísticas <ul><li>Estadística descriptiva:  métodos para organizar, resumir y presentar datos de manera inform...
Tipos de estadísticas   <ul><li>Estadística inferencial :  una decisión, estimación, predicción o generalización sobre una...
Tipos de estadísticas (ejemplos de inferencia estadística) <ul><li>EJEMPLO 3:  el departmento de contabilidad de una empre...
Tipos de variables   <ul><li>Variable cualitativa  o de   atributos:  la característica o variable que se estudia no es nu...
Tipos de variables <ul><li>Variable cuantitativa:  la variable se puede registrar numéricamente. </li></ul><ul><li>EJEMPLO...
Tipos de variables <ul><li>Las variables cuantitativas se pueden clasificar como  discretas  o  continuas . </li></ul><ul>...
Tipos de variables <ul><li>Las variables cuantitativas se pueden clasificar como  discretas  o  continuas . </li></ul><ul>...
Resumen de tipos de variables 1-11
Fuentes de datos estadísticos <ul><li>Los problemas de investigación suelen requerir datos publicados.  Se pueden encontra...
Niveles de medición <ul><li>Nivel nominal:  los datos sólo se puede clasificar en categorías, no se pueden ordenar. </li><...
Niveles de medición <ul><li>Mutuamente excluyente :   un indivduo, objeto o artículo, al ser incluido en una categoría, de...
Niveles de medición <ul><li>Nivel ordinal:  involucra datos que se pueden ordenar, pero no es posible determinar las difer...
Niveles de medición <ul><li>Nivel de intervalo:  similar al nivel ordinal, con la propiedad adicional de que se pueden det...
Niveles de medición <ul><li>Nivel de razón:  el nivel de intervalo con un punto cero inicial inherente. Las diferencias y ...
Bibliografía  <ul><li>FERRIS J. RITCHEY,  Estadística para las Ciencias Sociales.   2da. Edición, M c Graw Hill Editores, ...
Bibliografía ...... <ul><li>John Freund y Simon Gary.  Estadística Elemental .  México, Prentice Hall-Hispanoamerica, 1994...
Estadística Descriptiva Material de Apoyo didáctico UNAM FCPyS SUA  Educación a   Distancia.   Profesora Aura Mélida De la...
Primera sesión <ul><li>UNO Organizar los datos en una distribución de frecuencias. </li></ul><ul><li>DOS   Prresentar una ...
Distribución de frecuencias <ul><li>Distribución de frecuencias:  agrupamiento de datos en categorías que muestran el núme...
Elaboración   de una distribución de frecuencias 2-3
Distribución de frecuencias <ul><li>Marca de clase (punto medio):  punto que divide a la clase en dos partes iguales. Es e...
EJEMPLO 1 <ul><li>Dr. “X”es el director de la escuela de ciencias sociales y desea determinar cuánto estudian los alumnos ...
EJEMPLO 1   continuación 2-6 Considere las clases 8-12 y 13-17. Las marcas de clase son 10 y 15. El intervalo de clase es ...
Sugerencias para elaborar  una distribución de frecuencias <ul><li>Los intervalos de clase usados en la distribución de fr...
Sugerencias para elaborar una distribución de frecuencias <ul><li>Use el intervalo de clase calculado sugerido para constr...
Distribución   de frecuencia relativa <ul><li>La frecuencia relativa de una clase se obtiene dividiendo la frecuencia de c...
Representaciones de tallo y hoja <ul><li>Representaciones de tallo y hoja:  técnica estadística para representar un conjun...
EJEMPLO 2 <ul><li>Colin logró las siguientes calificaciones en el doceavo examen de contabilidad del semestre: 86, 79, 92,...
Presentación gráfica de una distribución de frecuencias <ul><li>Las tres formas de gráficas más usadas son  histogramas, p...
Presentación gráfica de una distribución de frecuencias <ul><li>Un  polígono de frecuencias  consiste en segmentos de líne...
Histograma   para el ejemplo de horas de estudio 2-14
Polígono de frecuencias para las horas de estudio 2-15
Distribución de frecuencias acumuladas menor que para las horas de estudio 2-16
Gráfica de barras <ul><li>Una  gráfica de barras  se puede usar para describir cualquier nivel de medición (nominal, ordin...
EJEMPLO 3  continuación 2-18
Gráfica de barras para los datos de desempleados 2-19
Gráfica circular <ul><li>Una  gráfica circular  es en especial útil para desplegar una distribución de frecuencias relativ...
EJEMPLO 4  continuación <ul><li>Dibuje una gráfica circular basada en la siguiente información. </li></ul>2-21
Gráfica circular para tipos de zapatos 2-22
Descripción de los datos:  medidas de ubicación <ul><li>UNO Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y...
Media de la población <ul><li>Para datos no agrupados, la  media de la población   es la suma de todos los valores en ella...
EJEMPLO 1 <ul><li>Parámetro:  una característica de una población. </li></ul><ul><li>La familia Kiers posee cuatro carros....
Media   de una muestra <ul><li>Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos ...
EJEMPLO 2 <ul><li>Dato estadístico :  una característica de una muestra. </li></ul><ul><li>Una muestra de cinco ejecutivos...
Propiedades de la media aritmética <ul><li>Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor...
EJEMPLO 3 <ul><li>Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4.  La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) +...
Media ponderada <ul><li>La  media ponderada   de un conjunto de números  X 1 ,  X 2 , ...,  X n ,  con las ponderaciones c...
EJEMPLO 6 <ul><li>Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió cincuenta b...
Mediana <ul><li>Mediana:  es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La ...
EJEMPLO 4 <ul><li>Calcule la mediana para los siguientes datos. </li></ul><ul><li>La edad de una muestra de cinco estudian...
Propiedades de la mediana <ul><li>La mediana es única para cada conjunto de datos. </li></ul><ul><li>No se ve afectada por...
Moda <ul><li>La  moda  es el valor de la observación que aparece con más  frecuencia. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 5 :  las c...
Media geométrica <ul><li>La  media geométrica   (MG) de un conjunto de  n  números positivos se define como la raíz  n- és...
EJEMPLO 6 <ul><li>Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. </li></ul><ul><li>La media geométrica es  </li></ul>...
Media geométrica  continuación <ul><li>Otra aplicación de la media geométrica es  determinar el porcentaje promedio del in...
EJEMPLO 7 <ul><li>El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995...
Media de datos agrupados <ul><li>La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcul...
EJEMPLO 9 <ul><li>Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la s...
EJEMPLO 9  continuación 61/10 = 6.1  películas 3-20
Mediana de datos agrupados <ul><li>La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se ca...
Cálculo de la clase de la mediana <ul><li>Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados: </li></ul><ul><li>Ela...
EJEMPLO  10 <ul><li>La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor ( n /2 = 5) </li></ul>3-23
EJEMPLO 10  continuación <ul><li>De la tabla,  L  = 5,  n  = 10,  f  = 3,  i  = 2,  FA  = 3. </li></ul><ul><li>Así, median...
Moda de datos agrupados <ul><li>La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la ...
Distribución simétrica <ul><li>sesgo cero  moda = mediana = media </li></ul>3-26
Distribución con asimetría positiva <ul><li>sesgo a la derecha:  media y mediana se </li></ul><ul><li>encuentran a la </li...
Distribución con asimetría negativa <ul><li>sesgo a la izquierda :  media y mediana  </li></ul><ul><li>están a la izquierd...
NOTA <ul><li>Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede  aprox...
Descripción de los datos:  medidas de dispersión <ul><li>OBJETIVOS </li></ul><ul><li>Al terminar este capítulo podrá: </li...
Descripción de datos:  medidas de dispersión  Continuación <ul><li>CUATRO Entender el problema de Chebyshev y la regla nor...
Desviación media <ul><li>Desviación media:   media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la m...
EJEMPLO 1 <ul><li>Los pesos de una muestra de cajas con libros en una librería son (en lb) 103, 97, 101, 106 y 103. </li><...
Variancia de la población  <ul><li>La  varianza de la población  para datos no agrupados es la media aritmética de las des...
EJEMPLO 2 <ul><li>Las edades de la familia Dunn son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?  </li></u...
Variancia poblacional  continuación <ul><li>Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es:  </li></ul>4-7
Desviación estándar poblacional <ul><li>La desviación estándar poblacional (  ) es la raíz cuadrada de la variancia de la...
Varianza muestra <ul><li>La varianza muestra estima la variancia de la población.  </li></ul>4-9
EJEMPLO  3 <ul><li>Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuent...
Desviación   estándar muestral <ul><li>La  desviación estándar muestral  es la raíz cuadrada de la variancia muestral. </l...
Medidas de dispersión: datos no agrupados <ul><li>Para datos no agrupados, la  amplitud  es la diferencia entre los valore...
Varianza muestral para datos agrupados <ul><li>La fórmula de la varianza para datos agrupados usada como estimador de la v...
Interpretación y usos de la desviación estándar <ul><li>Teorema de Chebyshev:  para cualquier conjunto de observaciones, l...
Interpretación y usos de la deviación estándar <ul><li>Regla empírica:  para una distribución de frecuencias simétrica de ...
  © 2001 Alfaomega Grupo Editor Curva en forma de campana que muestra la relación entre    y       ...
Dispersión relativa <ul><li>El  coeficiente de variación  es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, exp...
Asimetría <ul><li>Asimetría (sesgo)   es la medida de la falta de simetría en una distribución. </li></ul><ul><li>El coefi...
Amplitud intercuartílica <ul><li>La  amplitud intercuartílica  es la distancia entre el tercer cuartil  Q 3  y el primer  ...
Primer cuartil <ul><li>El  primer cuartil  es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las...
Tercer cuartil <ul><li>El  tercer cuartil  es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las  o...
Desviación cuartílica <ul><li>La  desviación cuartílica  es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil,  Q 3 , y el ...
EJEMPLO 5 <ul><li>Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica?  La amplitud inte...
Amplitud cuartílica <ul><li>Cada conjunto de datos tiene 99  porcentiles , que dividen el conjunto en 100 partes iguales. ...
Fórmula para porcentiles 4-25
Diagramas de caja <ul><li>Un  diagrama de caja  es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un...
EJEMPLO 6 <ul><li>Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo =...
EJEMPLO   6   continuación <ul><li>  mediana </li></ul><ul><li>  mín  Q 1  Q 3   máx </li></ul><ul><li>12  14  16  18  20 ...
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2do material u2

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2do material u2

  1. 1. ESTADISTICA UNAM SUA Material de apoyo didáctico. Aura Mélida De la Selva Menéndez
  2. 2. Recomendaciones <ul><li>El presente material ha sido preparado como apoyo para las clases de las materias de Estadística Descriptiva e Inferencial y en ningún momento sustituye la lectura y consulta detallada de la bibliografía recomendada así como la elaboración de los ejercicios de práctica a cada una de las técnicas. </li></ul>
  3. 3. ¿ Qué significa estadística? <ul><li>Estadística es la ciencia de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos con el propósito de ayudar a una toma de decisiones más efectiva. </li></ul>1-2
  4. 4. ¿Quién usa estadística ? <ul><li>Las técnicas estadísticas se usan ampliamente por personas en áreas de ciencias sociales, economía, demografía, sociología, comercialización, contabilidad, control de calidad, consumidores, deportes, administración de hospitales, educación, política, medicina, etcétera... </li></ul>1-3
  5. 5. Tipos de estadísticas <ul><li>Estadística descriptiva: métodos para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 1: un sondeo de opinión encontró que 49% de las personas en una encuesta sabían el nombre del primr libro en la Biblia. La estadística “49” describe el número de cada 100 personas que saben la respuesta. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 2: según el Consumer Reports, los dueños de lavadoras de ropa Whirlpool reportaron 9 problemas por cada 100 máquinas durante 1995. La estadística “9” describe el número de problemas por cada 100 máquinas . </li></ul>1-4
  6. 6. Tipos de estadísticas <ul><li>Estadística inferencial : una decisión, estimación, predicción o generalización sobre una población , con base en una muestra . </li></ul><ul><li>Una población es un conjunto de todos los posibles individuos, objetos o medidas de interés. </li></ul><ul><li>Una muestra es una porción, o parte, de la población de interés. </li></ul>1-5
  7. 7. Tipos de estadísticas (ejemplos de inferencia estadística) <ul><li>EJEMPLO 3: el departmento de contabilidad de una empresa elegirá una muestra de facturas para verificar la exactitud de todas las facturas de la compañía. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 4: los catadores de vino prueban unas cuantas gotas para tomar la decisión de liberar todo el vino para la venta. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 5: las cadenas de TV monitorean la popularidad de sus programas contratando a Nielsen y otras organizaciones para muestrear las preferencias de televidentes. </li></ul>1-6
  8. 8. Tipos de variables <ul><li>Variable cualitativa o de atributos: la característica o variable que se estudia no es numérica. </li></ul><ul><li>EJEMPLOS: sexo, afiliación religiosa, tipo de automóvil que se posee, lugar de nacimiento, color de los ojos. </li></ul>1-7
  9. 9. Tipos de variables <ul><li>Variable cuantitativa: la variable se puede registrar numéricamente. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: saldo en una cuenta de cheques, minutos que faltan para que termine la clase, número de niños en una familia. </li></ul>1-8
  10. 10. Tipos de variables <ul><li>Las variables cuantitativas se pueden clasificar como discretas o continuas . </li></ul><ul><li>Variables discretas: sólo pueden adquirir ciertos valores y casi siempre hay “brechas” entre esos valores. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: el número de habitaciones en una casa (1,2,3,..., etc.). </li></ul>1-9
  11. 11. Tipos de variables <ul><li>Las variables cuantitativas se pueden clasificar como discretas o continuas . </li></ul><ul><li>Variables continuas: pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo específico. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: el tiempo que toma volar de la Ciudad de México a Nueva York. </li></ul>1-10
  12. 12. Resumen de tipos de variables 1-11
  13. 13. Fuentes de datos estadísticos <ul><li>Los problemas de investigación suelen requerir datos publicados. Se pueden encontrar estadísticas relacionadas en artículos publicados, revistas y periódicos. </li></ul><ul><li>No todos los temas disponen de datos publicados. En esos casos, la información deberá recolectarse y analizarse. </li></ul><ul><li>Una manera de recolectar datos es mediante encuestas . </li></ul>1-12
  14. 14. Niveles de medición <ul><li>Nivel nominal: los datos sólo se puede clasificar en categorías, no se pueden ordenar. </li></ul><ul><li>EJEMPLOS: color de los ojos, sexo, afiliación religiosa . </li></ul>1-13
  15. 15. Niveles de medición <ul><li>Mutuamente excluyente : un indivduo, objeto o artículo, al ser incluido en una categoría, debe excluirse de las demás . </li></ul><ul><li>EJEMPLO: color de los ojos . </li></ul><ul><li>Exhaustivo: cada persona, objecto o artículo debe clasificarse en al menos una categoría. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: afiliación religiosa. </li></ul>1-14
  16. 16. Niveles de medición <ul><li>Nivel ordinal: involucra datos que se pueden ordenar, pero no es posible determinar las diferencias entre los valores de los datos o no tienen significado. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: en una prueba de sabor de 4 refrescos de cola, el C se clasificó como número 1, el B como número 2, el A como 3 y el D como número 4. </li></ul>1-15
  17. 17. Niveles de medición <ul><li>Nivel de intervalo: similar al nivel ordinal, con la propiedad adicional de que se pueden determinar cantidades significativas de las diferencias entre los valores. No existe un punto cero natural. </li></ul><ul><li>EJEMPLO: temperatura en la escala de grados Fahrenheit. </li></ul>1-16
  18. 18. Niveles de medición <ul><li>Nivel de razón: el nivel de intervalo con un punto cero inicial inherente. Las diferencias y razones son significativas para este nivel de medición. </li></ul><ul><li>EJEMPLOS: dinero, altura de los jugadores de basquetbol de la NBA. </li></ul>1-17
  19. 19. Bibliografía <ul><li>FERRIS J. RITCHEY, Estadística para las Ciencias Sociales. 2da. Edición, M c Graw Hill Editores, ISBN 10-970-10-6699-5, Impreso en México, 2008. </li></ul><ul><li>Murray R. Spiegel y Larry J. Stephens. ESTADISTICA. 3a. Edición, McGraw-Hill, México 2002.Capítulos 6 al 12, Págs. 127 a 283. </li></ul><ul><li>Aprenda Fácil ESTADÍSTICA. Grupo Patria Cultural. Sexta reimpresión 2005. </li></ul>
  20. 20. Bibliografía ...... <ul><li>John Freund y Simon Gary. Estadística Elemental . México, Prentice Hall-Hispanoamerica, 1994, Pág. 89-383.B. </li></ul><ul><li>Jorge Padua. Técnicas de investigación aplicadas a las ciencias sociales . Colegio de México, FCE, México, 1992. </li></ul><ul><li>Hubert Blalock, Estadística Social. México, FCE, 1978.Guillermo Briones. Métodos y técnicas de investigación para las Ciencias Sociales, México, Ed. Trillas, 1990. </li></ul>
  21. 21. Estadística Descriptiva Material de Apoyo didáctico UNAM FCPyS SUA Educación a Distancia. Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez Vol.2
  22. 22. Primera sesión <ul><li>UNO Organizar los datos en una distribución de frecuencias. </li></ul><ul><li>DOS Prresentar una distribución de frecuencias en un histograma, un polígono de freucencias y un polígono de frecuencias acumuladas. </li></ul><ul><li>TRES Desarrollar una representación de tallo y hoja. </li></ul><ul><li>CUATRO Presentar datos mediante técnicas de graficación como gráficas de líneas, de barras y circulares. </li></ul>
  23. 23. Distribución de frecuencias <ul><li>Distribución de frecuencias: agrupamiento de datos en categorías que muestran el número de observacines en cada categoría mutumente excluyente. </li></ul>2-2
  24. 24. Elaboración de una distribución de frecuencias 2-3
  25. 25. Distribución de frecuencias <ul><li>Marca de clase (punto medio): punto que divide a la clase en dos partes iguales. Es el promedio entre los límites superior e inferior de la clase. </li></ul><ul><li>Intervalo de clase: para una distribución de frecuencias que tiene clases del mismo tamaño, el intervalo de clase se obtiene restando el límite inferior de una clase del límite inferior de la siguiente. </li></ul>2-4
  26. 26. EJEMPLO 1 <ul><li>Dr. “X”es el director de la escuela de ciencias sociales y desea determinar cuánto estudian los alumnos en ella. Selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y determina el número de horas por semana que estudia cada uno: 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6. </li></ul><ul><li>Organice los datos en una distribución de frecuencias . </li></ul>2-5
  27. 27. EJEMPLO 1 continuación 2-6 Considere las clases 8-12 y 13-17. Las marcas de clase son 10 y 15. El intervalo de clase es 5 (13 - 8).
  28. 28. Sugerencias para elaborar una distribución de frecuencias <ul><li>Los intervalos de clase usados en la distribución de frecuencias deben ser iguales. </li></ul><ul><li>Determine un intervalo de clase sugerido con la fórmula: i = (valor más alto - valor más bajo)/número de clases. </li></ul>2-7
  29. 29. Sugerencias para elaborar una distribución de frecuencias <ul><li>Use el intervalo de clase calculado sugerido para construir la distribución de frecuencias. Nota : este es un intervalo de clase sugerido ; si el intervalo de clase calculado es 97, puede ser mejor usar 100. </li></ul><ul><li>Cuente el número de valores en cada clase. </li></ul>2-8
  30. 30. Distribución de frecuencia relativa <ul><li>La frecuencia relativa de una clase se obtiene dividiendo la frecuencia de clase entre la frecuencia total. </li></ul>2-9 Horas
  31. 31. Representaciones de tallo y hoja <ul><li>Representaciones de tallo y hoja: técnica estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en dos partes: los dígitos principales son el tallo y el dígito siguiente es la hoja. </li></ul><ul><li>Nota : una ventaja de la representación de tallo y hoja comparado con la distribución de frecuencias es que no se pierde la identidad de cada observación. </li></ul>2-10
  32. 32. EJEMPLO 2 <ul><li>Colin logró las siguientes calificaciones en el doceavo examen de contabilidad del semestre: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. Construya una representación de tallo y hoja para los datos. </li></ul>2-11
  33. 33. Presentación gráfica de una distribución de frecuencias <ul><li>Las tres formas de gráficas más usadas son histogramas, polígonos de frecuencia y distribuciones de frecuencias acumuladas (ojiva). </li></ul><ul><li>Histograma: gráfica donde las clases se marcan en el eje horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan por las alturas de las barras y éstas se trazan adyacentes entre sí. </li></ul>2-12
  34. 34. Presentación gráfica de una distribución de frecuencias <ul><li>Un polígono de frecuencias consiste en segmentos de línea que conectan los puntos formados por el punto medio de la clase y la frecuencia de clase. </li></ul><ul><li>Una distribución de frecuencias acunulada (ojiva) se usa para determinar cuántos o qué proporción de los valores de los datos es menor o mayor que cierto valor. </li></ul>2-13
  35. 35. Histograma para el ejemplo de horas de estudio 2-14
  36. 36. Polígono de frecuencias para las horas de estudio 2-15
  37. 37. Distribución de frecuencias acumuladas menor que para las horas de estudio 2-16
  38. 38. Gráfica de barras <ul><li>Una gráfica de barras se puede usar para describir cualquier nivel de medición (nominal, ordinal, de intervalo o de razón). </li></ul><ul><li>EJEMPLO 3: construya una gráfica de barras para el número de personas desempleadas por cada 100 000 habitantes de ciertas ciudades en 1995. </li></ul>2-17
  39. 39. EJEMPLO 3 continuación 2-18
  40. 40. Gráfica de barras para los datos de desempleados 2-19
  41. 41. Gráfica circular <ul><li>Una gráfica circular es en especial útil para desplegar una distribución de frecuencias relativas. Se divide un círculo de manera proporcional a la frecuencia relativa y las rebanadas representan los diferentes grupos. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 4 : se pidió a una muestra de 200 corredores que indicaran su tipo favorito de zapatos para correr. </li></ul>2-20
  42. 42. EJEMPLO 4 continuación <ul><li>Dibuje una gráfica circular basada en la siguiente información. </li></ul>2-21
  43. 43. Gráfica circular para tipos de zapatos 2-22
  44. 44. Descripción de los datos: medidas de ubicación <ul><li>UNO Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media geométrica. </li></ul><ul><li>DOS Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación. </li></ul><ul><li>TRES Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas. </li></ul>
  45. 45. Media de la población <ul><li>Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población: </li></ul><ul><li>donde µ representa la media de la población. </li></ul><ul><li>N es el número total de elementos en la población. </li></ul><ul><li>X representa cualquier valor en particular. </li></ul><ul><li> indica la operación de sumar. </li></ul>3-2
  46. 46. EJEMPLO 1 <ul><li>Parámetro: una característica de una población. </li></ul><ul><li>La familia Kiers posee cuatro carros. Los datos son las millas recorridas por cada uno: 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de millas de los cuatro carros. </li></ul><ul><li>Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500 </li></ul>3-3
  47. 47. Media de una muestra <ul><li>Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos: </li></ul><ul><li>donde X denota la media muestral </li></ul><ul><li>n es el número total de valores en la muestra. </li></ul>3-4
  48. 48. EJEMPLO 2 <ul><li>Dato estadístico : una característica de una muestra. </li></ul><ul><li>Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y </li></ul><ul><li>$15 000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos. </li></ul><ul><li>Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es </li></ul><ul><li>(14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + </li></ul><ul><li>15 000) / 5 = $15 400 . </li></ul>3-5
  49. 49. Propiedades de la media aritmética <ul><li>Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. </li></ul><ul><li>Al evaluar la media se incluyen todos los valores. </li></ul><ul><li>Un conjunto de valores sólo tiene una media. </li></ul><ul><li>La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media. </li></ul><ul><li>La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero. </li></ul>3-6
  50. 50. EJEMPLO 3 <ul><li>Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras, </li></ul>3-7
  51. 51. Media ponderada <ul><li>La media ponderada de un conjunto de números X 1 , X 2 , ..., X n , con las ponderaciones correspondientes w 1 , w 2 , ...,w n , se calcula con la fórmula: </li></ul>3-8
  52. 52. EJEMPLO 6 <ul><li>Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. ( Precio ($), cantidad vendida ): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15). </li></ul><ul><li>La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.875 </li></ul>3-9
  53. 53. Mediana <ul><li>Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella. </li></ul><ul><li>Nota : para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios. </li></ul>3-10
  54. 54. EJEMPLO 4 <ul><li>Calcule la mediana para los siguientes datos. </li></ul><ul><li>La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. </li></ul><ul><li>Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. </li></ul><ul><li>La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores de basquetbol es 76, 73, 80 y 75. </li></ul><ul><li>Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5. </li></ul>3-11
  55. 55. Propiedades de la mediana <ul><li>La mediana es única para cada conjunto de datos. </li></ul><ul><li>No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren. </li></ul><ul><li>Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. </li></ul><ul><li>Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases. </li></ul>3-12
  56. 56. Moda <ul><li>La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. </li></ul><ul><li>EJEMPLO 5 : las calificaciones de un examen de diez estudantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81. </li></ul>3-13
  57. 57. Media geométrica <ul><li>La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n- ésima del producto de los n valores. Su fórmula es: </li></ul><ul><ul><li>La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. </li></ul></ul>3-14
  58. 58. EJEMPLO 6 <ul><li>Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. </li></ul><ul><li>La media geométrica es </li></ul><ul><li>= 5.192. </li></ul><ul><li>La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333. </li></ul><ul><li>La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%. </li></ul>3-15
  59. 59. Media geométrica continuación <ul><li>Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es: </li></ul>3-16
  60. 60. EJEMPLO 7 <ul><li>El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995. </li></ul><ul><li>Aquí n = 10, así ( n - 1) = 9. </li></ul><ul><li>Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%. </li></ul>3-17
  61. 61. Media de datos agrupados <ul><li>La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: </li></ul>3-18
  62. 62. EJEMPLO 9 <ul><li>Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas. </li></ul><ul><li> </li></ul>3-19
  63. 63. EJEMPLO 9 continuación 61/10 = 6.1 películas 3-20
  64. 64. Mediana de datos agrupados <ul><li>La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: </li></ul><ul><li>Mediana = L + [( n /2 - FA )/ f ] ( i ) </li></ul><ul><li>donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana. </li></ul>3-21
  65. 65. Cálculo de la clase de la mediana <ul><li>Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados: </li></ul><ul><li>Elabore una distribución de frecuencias acumulada. </li></ul><ul><li>Divida el número total de datos entre 2. </li></ul><ul><li>Determine qué clase contiene este valor. Por ejemplo, si n =50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana). </li></ul>3-22
  66. 66. EJEMPLO 10 <ul><li>La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor ( n /2 = 5) </li></ul>3-23
  67. 67. EJEMPLO 10 continuación <ul><li>De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3. </li></ul><ul><li>Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33 </li></ul>3-24
  68. 68. Moda de datos agrupados <ul><li>La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor. </li></ul><ul><li>Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal , como e n el ejemplo 10. </li></ul>3-25
  69. 69. Distribución simétrica <ul><li>sesgo cero moda = mediana = media </li></ul>3-26
  70. 70. Distribución con asimetría positiva <ul><li>sesgo a la derecha: media y mediana se </li></ul><ul><li>encuentran a la </li></ul><ul><li> derecha de la moda. </li></ul><ul><li>moda < mediana < media </li></ul>3-27
  71. 71. Distribución con asimetría negativa <ul><li>sesgo a la izquierda : media y mediana </li></ul><ul><li>están a la izquierda de la moda. </li></ul><ul><li>media < mediana < moda </li></ul>3-28
  72. 72. NOTA <ul><li>Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar . </li></ul><ul><li>moda = media - 3(media - mediana) </li></ul><ul><li>media = [3(mediana) - moda]/2 </li></ul><ul><li>mediana = [2(media) + moda]/3 </li></ul>3-29
  73. 73. Descripción de los datos: medidas de dispersión <ul><li>OBJETIVOS </li></ul><ul><li>Al terminar este capítulo podrá: </li></ul><ul><li>UNO Calcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la variancia, y la desviación estándar de los datos originales . </li></ul><ul><li>DOS Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la desviación estándar de datos agrupados . </li></ul><ul><li>TRES Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión . </li></ul>
  74. 74. Descripción de datos: medidas de dispersión Continuación <ul><li>CUATRO Entender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su relación con un conjuto de observaciones . </li></ul><ul><li>CINCO Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica. </li></ul><ul><li>SEIS </li></ul><ul><li>Elaborar e interpretar los diagramas de caja . </li></ul><ul><li>SIETE Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría . </li></ul>
  75. 75. Desviación media <ul><li>Desviación media: media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética. </li></ul>4-3
  76. 76. EJEMPLO 1 <ul><li>Los pesos de una muestra de cajas con libros en una librería son (en lb) 103, 97, 101, 106 y 103. </li></ul><ul><li>X = 510/5 = 102 lb </li></ul><ul><li>= 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12 </li></ul><ul><li>MD = 12/5 = 2.4 </li></ul><ul><li>Por lo común los pesos de las cajas están a 2.4 lb del peso medio de 102 lb. </li></ul>4-4
  77. 77. Variancia de la población <ul><li>La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población. </li></ul>4-5
  78. 78. EJEMPLO 2 <ul><li>Las edades de la familia Dunn son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población? </li></ul>4-6
  79. 79. Variancia poblacional continuación <ul><li>Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es: </li></ul>4-7
  80. 80. Desviación estándar poblacional <ul><li>La desviación estándar poblacional (  ) es la raíz cuadrada de la variancia de la población. </li></ul><ul><li>Para el EJEMPLO 2 , la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81). </li></ul>4-8
  81. 81. Varianza muestra <ul><li>La varianza muestra estima la variancia de la población. </li></ul>4-9
  82. 82. EJEMPLO 3 <ul><li>Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia. </li></ul><ul><li>X = 37/5 = 7.40 = 21.2/(5-1) = 5.3 </li></ul>4-10
  83. 83. Desviación estándar muestral <ul><li>La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral. </li></ul><ul><li>En el EJEMPLO 3 , la desviación estándar de la muestra es = 2.30 </li></ul>4-11
  84. 84. Medidas de dispersión: datos no agrupados <ul><li>Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos. </li></ul><ul><li>AMPLITUD = valor mayor - valor menor </li></ul><ul><li>EJEMPLO 4: una muestra de cinco graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000. </li></ul>4-12
  85. 85. Varianza muestral para datos agrupados <ul><li>La fórmula de la varianza para datos agrupados usada como estimador de la variancia poblacional es: </li></ul><ul><li>donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase. </li></ul>4-13
  86. 86. Interpretación y usos de la desviación estándar <ul><li>Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/ k , donde k 2 es una constante mayor que 1 (uno) . </li></ul>4-14
  87. 87. Interpretación y usos de la deviación estándar <ul><li>Regla empírica: para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1  de la media (  ); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2  de la media (  ); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3  de la media (  ). </li></ul>4-15
  88. 88.   © 2001 Alfaomega Grupo Editor Curva en forma de campana que muestra la relación entre  y      
  89. 89. Dispersión relativa <ul><li>El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje: </li></ul>4-17
  90. 90. Asimetría <ul><li>Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución. </li></ul><ul><li>El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula: </li></ul><ul><li>3(media - mediana) </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>desviación estándar </li></ul></ul></ul></ul>4-18 Sk =
  91. 91. Amplitud intercuartílica <ul><li>La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q 3 y el primer cuartil Q 1 . </li></ul><ul><li>Amplitud intercuartílica = tercer cuartil - primer cuartil = Q 3 - Q 1 </li></ul>4-19
  92. 92. Primer cuartil <ul><li>El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos . </li></ul><ul><li>donde L = límite de las clasese que contienen Q 1 , CF = frecuencia acumulda que precede a la clase que contiene a Q 1 , f = frecuencia de la clase que contiene Q 1 , i = tamaño de la clase que contiene Q 1 . </li></ul>4-20
  93. 93. Tercer cuartil <ul><li>El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos: </li></ul><ul><li>donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q 3 , CF = frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q 3 , f = frequencia de la clase que contiene a Q 3 , i = tamaño de la clase que contiene a Q 3 . </li></ul>4-21
  94. 94. Desviación cuartílica <ul><li>La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q 3 , y el primero, Q 1 . </li></ul><ul><li>QD = [ Q 3 - Q 1 ]/2 </li></ul>4-22
  95. 95. EJEMPLO 5 <ul><li>Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; por lo tanto, la desviación cuartílica es 14/2 = 7. </li></ul>4-23
  96. 96. Amplitud cuartílica <ul><li>Cada conjunto de datos tiene 99 porcentiles , que dividen el conjunto en 100 partes iguales. </li></ul><ul><li>La amplitud cuartílica es la distancia entre dos porcentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10 º y 90º porcentiles. </li></ul>4-24
  97. 97. Fórmula para porcentiles 4-25
  98. 98. Diagramas de caja <ul><li>Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos. </li></ul><ul><li>Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo , el primer cuartil, la mediana , el tercer cuartil , y el valor máximo . </li></ul>4-26
  99. 99. EJEMPLO 6 <ul><li>Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo = 13 minutos, Q 1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q 3 = 22 minutos, valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega. </li></ul>4-27
  100. 100. EJEMPLO 6 continuación <ul><li> mediana </li></ul><ul><li> mín Q 1 Q 3 máx </li></ul><ul><li>12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 </li></ul>4-28

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