Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo diferencial e integral para una clase de Análisis Matemático I. Incluye ejercicios sobre determinar el signo de expresiones, escribir enunciados como desigualdades, clasificar funciones como inyectivas o sobreyectivas, estudiar la continuidad de funciones, calcular límites de sucesiones y series, y resolver integrales mediante sustituciones adecuadas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
FAC. DE FILOSOF´IA, HUMANIDADES Y ARTES
DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA
PROF. Y LIC. EN MATEM´ATICA
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AN´ALISIS MATEM´ATICO I
Pr´actico 1
Ejercicio 1 Sean a, b y c n´umeros reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Determine el signo de
cada expresi´on.
a) − a b) − b c) bc
d) a − b e) c − a f) a + bc
g) ab + ac h) − abc i) ab2
Ejercicio 2 Escriba cada enunciado en t´erminos de desigualdades.
a) x es positivo. b) a es mayor o igual a π.
c) y es negativo. d) La distancia desde p hasta 3 es cuando mucho 5.
e) b es a lo sumo 8. f) w es positivo y es menor o igual a 17.
g) z es mayor que 1. h) y esta por lo menos a dos unidades de π.
Ejercicio 3 Demuestre que las siguientes relaciones son funciones:
a) f : R → R definida por: f(x) = 5x − 3
b) f : R − {1} → R definida por f(x) =
x2
− 2x + 1
x − 1
c) f : R → R definida por: f(x) = 3
√
−x + 6
Ejercicio 4 Dadas las siguientes funciones,
i) f : R+
0 → R; con f(x) =
√
x − 2
ii) f : R → R; con f(x) = cosx
iii) f : R → R; con f(x) = ex
iv) f : R → R; con f(x) = x3
+ 2
se pide:
a) Realice una gr´afica aproximada de cada una.
b) Clasif´ıquelas en inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva. Demuestre e interprete gr´aficamente.
c) Modif´ıquelas (en caso de ser posible) para que resulten biyectivas.
Ejercicio 5
1. Verificar por definici´on que: l´ım
n→0
2n + 4
n
= 2
1

2. 2. Demuestra que la sucesi´on Sucesi´on
an =
4n + 2
n n∈N
tiene por l´ımite 4 y averiguar cu´antos t´erminos de la sucesi´on est´an fuera del entorno
(4 − 0, 001, 4 + 0, 001).
3. Demuestra que la sucesi´on
an =
n2
n2 + 3 n∈N
tiene por l´ımite 1 y averiguar cu´antos t´erminos de la sucesi´on est´an fuera del E(1, 0, 001)
Ejercicio 6 Probar que l´ım
n→0
3n + 8
4n + 1
=
3
4
. Averigua los t´erminos cuya distancia al l´ımite es
menos que 0,01.
Ejercicio 7 Estudiar anal´ıtica y gr´aficamente la continuidad de las siguientes funciones:
a) f(x) = 1
x
en x = 2 b) f(x) = 1
x
en x = 0
c) f(x) =



3x + 1 si −2 < x < 0
ex
+ 2 si 0 < x < 2
(x − 4)3
si x ≥ 2
d) f(x) =



−1
4
x si x < 2
(x + 2)2
si −2 ≤ x ≤ 0
ln x si 0 < x < 1
−|x| si x > 1
e) f(x) =
−(x − 1)3
si x ≤ 1
|x − 1| si x > −1
f) f(x) =



−2x + 3 si x < 1
3x − 2 si 1 < x < 2
ln x si 0 < x < 1
2 + x si x ≥ 2
g) f(x) =



|x| + 2 si x > 1
ln (x) + 3 si |x − 1
2
| < 1
2
1
x−1
si x ≤ 0
h) f(x) =
2sin (x) si x ∈ ER (0, π
2
)
−1 si x = 0
i) f(x) =



x + 5 si x < −3√
9 − x2 si −3 ≤ x < 3
|x − 3| si x > 3
Ejercicio 8 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, en los casos de discontinuidad
evitable redefinir la funci´on o ampliar el dominio seg´un corresponda.
a) f(x) = 4−x2
3−
√
x2+5
b) f(x) = |x−3|
x−3
c) f(x) = x2−x
x2−5x+4
d) f(x) = tan(x−3)
(
√
x−
√
3)
Ejercicio 9 Resolver las siguientes integrales utilizando sustituciones adecuadas.
1) (6x3
+ 2x)2
(18x2
+ 2)dx 2) x4
√
1 + x5dx 3)
5x3
(x4 − 5)6
dx 4)
x3
5
√
4 − x4
dx
5)
cos(ln(x))
x
dx 6) esin(x)
cos(x)dx 7) tan(x)dx 8) cot(x)dx
2