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Kruskal - Newton - Diagramme
0,01x2 + 3x - 4 = 0
-0,1x3 + 8,2x2 – 115,5x – 264,4 = 0
 „Mitternachtsformel“
??? sehr hoher numerischer Aufwand
Kruskal - Newton - Diagramme
- Einfaches Lösungsverfahren für kompliziertere
Funktionstypen, wie z. B.
f(x) = ax2 + εbx + ...
Erklärung des Verfahrens
-4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0
Ausgangsgleichung:
εx2 + 3x – 4 = 0 wobei 0 < ε << 1
1. Umstellen der ...
2. Darstellung der Terme als Punkte in der pq – Ebene
-4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0
-4 ε0 x0 => Punkt A (0|0);
3 ε0 x1 => Pun...
3.1. Lineal von unten an das pq-Koordinatensystem
heranführen bis ein Punkt berührt wird,
hier A (0|0)
3. Ermittlung der K...
A B
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1
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L1
L2
KN-Linien L1 und L2
(im KRUSKAL-NEWTON-DIAGRAMM)
Für L1 und L2 ergeben sich folgende Gleichungen:
4. Errechnung der Näherungslösungen für Ausgangsgleichung
εx2 + 3x – 4 = ...
5. Genauigkeit der Näherungslösungen mit
KN-Diagramm
für Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0
ε Exakte Lösung KN-Näherungslö...
Graph der Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0
für ε = 0,1
6. Anwendbarkeit für unterschiedliche
Gleichungstypen
6.1. Quadratische Gleichungen
z.B. ε3ax2– εbx + c = 0 oder ax2 + εbx...
7. Grenzen des Verfahrens
7.1. Funktionen vom Typ
f(x) = ε3ax3 + ε2bx2 + ε1cx1 + ε0dx0 (a, b, c, d ≠ 0)
Bei diesem Gleichu...
8. Bewertung des KN-Verfahrens
KN-Diagramme sind - von einigen Ausnahmen
abgesehen - ein sehr einfach anzuwendendes und
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Kruskal-Newton-Diagramme #SciChallenge2017

Viele Gleichungen und höhergradige Polynome kann man in Anwendungssituationen nicht exakt oder nur mit großem numerischen Aufwand lösen. Oft enthalten sie einen (sehr) kleinen Parameter. Dann können häufig Kruskal-Newton-Diagramme weiterhelfen. Wir erklären diese Diagramme und zeigen ihre Möglichkeiten und Vorteile wie auch Grenzen auf. #SciChallenge2017

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Kruskal-Newton-Diagramme #SciChallenge2017

  1. 1. Kruskal - Newton - Diagramme
  2. 2. 0,01x2 + 3x - 4 = 0 -0,1x3 + 8,2x2 – 115,5x – 264,4 = 0  „Mitternachtsformel“ ??? sehr hoher numerischer Aufwand
  3. 3. Kruskal - Newton - Diagramme - Einfaches Lösungsverfahren für kompliziertere Funktionstypen, wie z. B. f(x) = ax2 + εbx + c oder f(x) = εax3 – bx2 + cx + d - liefert Näherungslösungen, die bei immer kleineren ε immer besser werden
  4. 4. Erklärung des Verfahrens -4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0 Ausgangsgleichung: εx2 + 3x – 4 = 0 wobei 0 < ε << 1 1. Umstellen der Ausgangsgleichung  Jeder Term hat die Form: Zahl ∙ εq xp
  5. 5. 2. Darstellung der Terme als Punkte in der pq – Ebene -4ε0x0 + 3ε0x1 - 1ε1x2 = 0 -4 ε0 x0 => Punkt A (0|0); 3 ε0 x1 => Punkt B (1|0); -1 ε1 x2 => Punkt C (2|1)
  6. 6. 3.1. Lineal von unten an das pq-Koordinatensystem heranführen bis ein Punkt berührt wird, hier A (0|0) 3. Ermittlung der Kruskal - Newton - Linien 3.2. Drehen des Lineals um diesen Punkt bis ein zweiter Punkt berührt wird, hier B (1|0) 3.3. Verbinden von A und B -> Kruskal-Newton-Linie L1 Hinweise: + Unter L1 dürfen keine markierten Punkte liegen + Punkt C (2|1) liegt darüber -> vernachlässigbar! 3.4. KN-Linie L2 mit B (1|0) und C (2|1) analog konstruieren (-> A (0|0) vernachlässigbar, weil darüber liegend)
  7. 7. A B C -1 0 1 2 3 0 1 2 3 q p L1 L2 KN-Linien L1 und L2 (im KRUSKAL-NEWTON-DIAGRAMM)
  8. 8. Für L1 und L2 ergeben sich folgende Gleichungen: 4. Errechnung der Näherungslösungen für Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0 Durch KN-Linie verbundene Terme auswählen und gleich Null setzen L1: 3x - 4 = 0 => x1 ~ 4/3 L2: εx2 + 3x = 0 | : x *1 εx + 3 = 0 *1 Dividieren durch x erlaubt, weil x = 0 keine Lösung der Ausgangsgleichung => x2 ~ -3/ε
  9. 9. 5. Genauigkeit der Näherungslösungen mit KN-Diagramm für Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0 ε Exakte Lösung KN-Näherungslösung Relativer Fehler ε=0,5 X1= 1,123 X2= -7,123 X1= 4/3 X2= -6 15,8% 18,7% ε=0,1 X1= 1,279 X2= -31,279 X1= 4/3 X2 = -30 4,1% 4,3% ε=0,01 X1= 1,327 X2= -301,327 X1= 4/3 X2= -300 0,5% 0,4% ε=0,001 X1= 4/3 X2= -3001 1/3 X1= 4/3 X2= -3000 0% 0,04%
  10. 10. Graph der Ausgangsgleichung εx2 + 3x – 4 = 0 für ε = 0,1
  11. 11. 6. Anwendbarkeit für unterschiedliche Gleichungstypen 6.1. Quadratische Gleichungen z.B. ε3ax2– εbx + c = 0 oder ax2 + εbx - ε3c = 0 , bei denen ε in anderen Termen als x2 und/oder in mehreren Termen der Gleichung enthalten ist 6.2. Kubische Gleichungen z.B. εax3 + bx2 - cx - d = 0
  12. 12. 7. Grenzen des Verfahrens 7.1. Funktionen vom Typ f(x) = ε3ax3 + ε2bx2 + ε1cx1 + ε0dx0 (a, b, c, d ≠ 0) Bei diesem Gleichungstyp liegen alle Punkte in der pq-Ebene auf einer Geraden, weshalb das Verfahren nicht sinnvoll anwendbar ist. 7.2. Doppelte Nullstelle Das Vorhandensein einer doppelten Nullstelle, z.B. bei der Funktion f(x) = εx3 – 0,6x2 + 6x für ε = 0,015 , erkennt das KN-Verfahren nicht, sondern gibt fälschlicherweise eine dritte Nullstelle an.
  13. 13. 8. Bewertung des KN-Verfahrens KN-Diagramme sind - von einigen Ausnahmen abgesehen - ein sehr einfach anzuwendendes und gleichzeitig vergleichsweise sehr genaues Verfahren, um quadratische Gleichungen und sogar höhergradige Polynome bei Vorliegen (sehr) kleiner ε ohne Numerik zu lösen.

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