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Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

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Este Trabajo esta dedicado a todos los estudiantes de Segundo Semestre de Preparatoria.

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Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

  1. 1. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría1 Ing. Edison VillacrésGeometría y TrigonometríaCuaderno de TrabajoNombre: _________________________El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumnoel trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que sellevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinantemundo de las matemáticas.2013
  2. 2. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría2 Ing. Edison VillacrésPrimer ParcialSecuencia 1 Actividad IPrueba de DiagnósticoNombre: ______________________________ Grupo: ___________Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas.1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. ¿qué es un punto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguenuna misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica lassiguientes líneas:____________________________________________________________4. ¿Qué entiendes por superficie?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas sonperpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Escribe el significado de hipótesis:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7. ¿Cuáles son las rectas paralelas?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de untriángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________9. ¿Qué es un segmento?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees túque influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?
  3. 3. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría3 Ing. Edison Villacrés________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
  4. 4. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría4 Ing. Edison VillacrésPuntos y RectasPuntosUn punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas.RectasUna recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letraminúscula. Dos puntos determinan una recta.Dos rectas que se cortan determinan un punto.Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derechao de derecha izquierda.Semirrectas
  5. 5. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría5 Ing. Edison VillacrésUna semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.PlanosUn plano posee dosdimensiones: longitudyanchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β(beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta.Un plano viene determinado por:Tres puntos no alineados.Dos Rectas que se Cortan.DosRectasParalelas.Por unPunto y unaRecta.Semiplanos
  6. 6. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría6 Ing. Edison VillacrésUn semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.Posiciones Relativas de Rectas en un PlanoRectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.SegmentosDefinición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.Tipos de SegmentosSegmento Nulo.- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.Segmentos Concatenados.- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.
  7. 7. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría7 Ing. Edison VillacrésSegmentos Consecutivos.- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo encomún pertenecen a la misma recta.Mediatriz de un Segmento.- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio delsegmento y es perpendicular a él.Operaciones con SegmentosSuma de Segmentos.- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen delprimer segmento y como final el final del segundo segmentoLa longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.Resta de Segmentos.- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final delsegmento menor y por final el final del segmento mayor.
  8. 8. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría8 Ing. Edison VillacrésLa longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.Producto de un Número por un Segmento.- El producto de un número con un segmento es otrosegmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplicaLa longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.División de un Segmento por un Número.- La división de un segmento por un número es otro segmentotal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento originalLa longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.División de un Segmento en Partes.- Dividirel segmentoAB en 3 partes iguales.1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partirde A.
  9. 9. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría9 Ing. Edison VillacrésPor cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B conla última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3partes iguales en que se divide.
  10. 10. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría10 Ing. Edison VillacrésSecuencia 1 Actividad II1. Observen la figura y respondan lo que se les pide:a. Determina tres segmentos_______________________________b. Determina cinco puntos _________________________________c. Determina una figura plana_______________________________d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________f. Determina un ángulo ___________________________________.2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda.a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales,los resultados son iguales.b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar unarecta y solo una.c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valenun ángulo recto.d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostradamediante un conjunto de razonamientos que conducen a laevidencia de la verdad.e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, soloposición.f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección lellamamos.g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y quetiene dos dimensiones (largo y ancho).h. Fin y término del procedimiento deductivo, que estableceabsolutamente convincente una verdad.i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dospuntos señalados en una recta.j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando alprolongarse no tienen ningún punto en común?k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando unángulo de 90°.l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par deángulos más grandes que otro par.m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajohacia arriba.n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte alatardecer.o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas quesignifican "medir la Tierra".( ) Geometría( ) Axioma( ) Vertical( ) Corolario( ) Superficie( ) Paralelas( ) Punto( ) Teorema( ) Demostración( ) Perpendiculares( ) Horizontal( ) Segmento( ) Oblicuas( ) Línea recta( ) Postulado
  11. 11. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría11 Ing. Edison Villacrés3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes:a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario que:__________________b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________e. Si fueran perpendiculares¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de: _______________________h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata.A con B _______________F con C _______________F con A _______________E con B _______________E con D _______________D con B _______________A con D _______________A con E _______________B con F _______________D con F _______________5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:a. Dos parejas de segmentos perpendicularesb. Una pareja de segmentos paralelosc. Una pareja de segmentos paralelosd. Una pareja de segmentos perpendiculares
  12. 12. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría12 Ing. Edison Villacrése. Dos parejas de segmentos paralelosf. Tres puntosg. Cuatro puntos6. Tracen lo que se pide en cada caso:a. Dos rectas paralelasb. Un punto Pc. Un planod. Dos rectas perpendicularese. Una semirrectaf. Un segmento ABg. Una recta mh. Un segmento RS de 3 cmi. Un sólido geométrico
  13. 13. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría13 Ing. Edison Villacrésj. Una recta horizontalk. Es una parte del plano limitada por una rectal. Es la porción de recta limitada por dos puntosm. Es la recta perpendicular al horizonte7. Resuelvan los problemas siguientes:a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentosb. Tracen un plano y en él tres puntos no colinealesc. Representen la intersección de dos planosd. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan8. Completen cada enunciadoa. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto9. Realicen lo que se pide en cada caso:a. Dibujen algo que esté formado por planos.b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.
  14. 14. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría14 Ing. Edison Villacrés10.Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas sonperpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?11.Escribe el significado de hipótesis12.¿Cuáles son las rectas paralelas?13.El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de untriángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:14.¿Qué es un segmento?15.En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees túque influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?
  15. 15. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría15 Ing. Edison VillacrésÁngulosUn ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas selas llama lados y al origen común vértice.Medición de ángulosPara medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.Radián.- Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincidecon la longitud de su radio.Operaciones con ángulosSuma de Ángulosa. GráficaLa suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes delos dos ángulos iniciales.b. Numérica1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de losminutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.+
  16. 16. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría16 Ing. Edison Villacrés2. Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán lossegundos y el cociente se añadirán a los minutos.603. Se hace lo mismo para los minutos.60Resta de Ángulosa. GráficaLa resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplituddel ángulo mayor y la del ángulo menor.b. Numérica1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de losminutos y los segundos debajo de los segundos.-2. Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.-3. Hacemos lo mismo con los minutos.-Multiplicación de Ángulosa. GráficaLa multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulosiguales al dado como indique el número.
  17. 17. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría17 Ing. Edison Villacrésb. Numérica1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.*2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos yel cociente se añadirán a los minutos.603. Se hace lo mismo para los minutos.60División de ángulosa. GráficaLa división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número dacomo resultado el ángulo original./4 =b. NuméricaDividir 37º 48 25 entre 51. Se dividen los grados entre el número.52. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.53. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
  18. 18. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría18 Ing. Edison Villacrés54. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.5Tipos de ángulosClasificación de ángulos según su medidaAgudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0ºMayor de 360°Tipos de Ángulos Según su Posicióna. Ángulos Consecutivos
  19. 19. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría19 Ing. Edison VillacrésÁngulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.b. Ángulos AdyacentesÁngulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados unoen prolongación del otro.Forman un Ángulo Llano.a. Ángulos Opuestos por el VérticeSon los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.Losángulos 1 y 3 son iguales.Los ángulos 2 y 4 son iguales.Clases de Ángulos según su Sumaa. Ángulos ComplementariosDos ángulos son complementarios si suman 90°.b. Ángulos SuplementariosDos ángulos son suplementarios si suman 180°.Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversala. Ángulos Correspondientes
  20. 20. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría20 Ing. Edison VillacrésLos ángulos 1 y 2 son iguales.b. Ángulos Alternos InternosLos ángulos 2 y 3 son iguales.c. Ángulos Alternos ExternosLos ángulos 1 y 4 son iguales.Ángulos en la Circunferenciaa. Ángulo CentralEl ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.b. Ángulo Inscrito
  21. 21. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría21 Ing. Edison VillacrésEl ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.c. Ángulo SemiinscritoEl vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.d. Ángulo InteriorSu vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.Mide la mitad de la suma delas medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.e. Ángulo ExteriorSu vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, ouno tangente y otro secante, o tangentes a ella:Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre lacircunferencia.
  22. 22. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría22 Ing. Edison Villacrésf. Ángulos de un polígono regularg. Ángulo central de un polígono regularEs el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono:Ángulo central =360°: nÁngulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72ºh. Ángulo interior de un polígono regularEs el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior delpentágono regular = 180° − 72º = 108ºi. Ángulo exterior de un polígono regularEs el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interioresson suplementarios, es decir, que suman 180º.j. Ángulo exterior = Ángulo centralÁngulo exterior del pentágono regular = 72ºBisectrizDefinición de bisectrizLa bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.Trazar la bisectriz1. Se traza un arco correspondiente al ángulo2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos quehan de cortarse en un punto.3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferenciascon el mismo radio.3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es labisectriz.
  23. 23. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría23 Ing. Edison VillacrésIncentroEl incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
  24. 24. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría24 Ing. Edison VillacrésSecuencia 1 Actividad III1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas:Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes,consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.2. Contesta brevemente lo que se te pide.a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?c. ¿Qué es un ángulo?d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?
  25. 25. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría25 Ing. Edison Villacrés3. Halla el Conjugado de los siguientes ÁngulosÁngulo Conjugado Gráfica300º20º150º359º180º4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”
  26. 26. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría26 Ing. Edison Villacrés5. Calcula el valor de los siguientes ángulos.ÁNGULOS SOLUCIÓN
  27. 27. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría27 Ing. Edison Villacrés6. En la siguiente figura obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, tambiéndemostrar queÁNGULOS SOLUCIÓN7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pideGrados a Radianes Radianes a Grados
  28. 28. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría28 Ing. Edison Villacrés8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue:10. Complete cada enunciado:a. Ángulo equivalente a dos rectasb. Si mide , entonces es un Ánguloc. Si el Angulo es un Ángulod. Si es un Ánguloe. ¿Qué sucede si ?11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.
  29. 29. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría29 Ing. Edison Villacrésa. Nombren tres ángulos rectosb. Nombren cinco ángulos agudosc. Nombren cuatro ángulos obtusosd. Nombren tres ángulos llanose. Nombren dos ángulos convexos12. Resuelvan los problemas siguientes:a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase deángulos serán los otros dos?b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande comolado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes dondese formen ángulos rectos.13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:
  30. 30. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría30 Ing. Edison Villacrés∆ Es rectánguloΑ=
  31. 31. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría31 Ing. Edison VillacrésΒ=ϒ=ϴ=abc1
  32. 32. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría32 Ing. Edison Villacrés14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α?b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β?c.d.e. _______ y _______ ¿Qué puede concluir?15. Calcule la medida de los ángulos indicados:α=β=ϒ=========16. Completar correctamente:a. El Complemento deb. El Complemento dec. El Complementod. El Suplemento dee. El Suplemento def. El Suplemento de
  33. 33. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría33 Ing. Edison VillacrésPolígonosDefinición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.Elementos de un polígonoLados.-Son los segmentos que lo limitan.Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados.Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos.Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de unpolígono: La suma de losángulos de un polígono = (n − 2) · 180°Diagonal.- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivosNúmero de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono:El Número de diagonales= n · (n − 3) : 24 · (4 − 3) : 2 = 25 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
  34. 34. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría34 Ing. Edison VillacrésTipos de polígonosSegún sus ladosTriángulosTienen 3 ladosCuadriláterosTienen 4 ladosPentágonosTienen 5 ladosHexágonosTienen 6 ladosHeptágonosTienen 7 ladosOctágonosTienen 8 ladosEneágonoTiene los 9 ladosDecágonoTiene 10 lados.EndecágonoTiene 11 ladosDodecágono Tridecágono Tetradecágono
  35. 35. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría35 Ing. Edison VillacrésTiene 12 lados Tienen 13 lados Tiene 14 lados.PentadecágonoTiene 15 ladosHexadecágonoTiene 16 ladosHeptadecágonoTiene 17 ladosOctadecágonoTiene 18 ladoEneadecágonoTienen 19 ladosIcoságonoTiene 20 ladosSegún sus ángulosConvexosTodos sus ángulos menores que 180°.Todas sus diagonales son interiores.
  36. 36. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría36 Ing. Edison VillacrésCóncavosSi un ángulo mide más de 180°.Si una de sus diagonales es exterior.Elementos de un Polígono RegularPolígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.Elementos de un polígono regularCentro.- Punto interior que equidista de cada vérticeRadio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice.Apotema.-Distancia del centro al punto medio de un lado.Ángulos de un polígono regularClases de ángulos de un polígono regularÁngulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n.Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72ºÁngulo interior de un polígono regular
  37. 37. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría37 Ing. Edison VillacrésEs el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior delpentágono regular= 180° − 72º = 108ºÁngulo exterior de un polígono regularEs el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interiores sonsuplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior= Ángulo centralÁngulo exterior del pentágonoregular = 72ºClasificación de Polígonos RegularesTriángulo EquiláteroTiene los 3 lados y ángulosigualesCuadradoTiene 4 lados y ángulos igualesPentágono RegularTiene 5 lados y ángulos igualesHexágono RegularTiene 6 lados y ángulos igualesHeptágono RegularTienen 7 lados y ángulos igualesOctágono RegularTiene 8 lados y ángulos iguales.Eneágono RegularTiene los 9 lados y ángulosigualesDecágono regularTiene 10 lados y ángulos iguales.Endecágono RegularTiene 11 lados y ángulos igualesDodecágono regular Tridecágono Regular Tetradecágono Regular
  38. 38. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría38 Ing. Edison VillacrésTiene 12 lados y ángulos iguales. Tienen 13 lados y ángulos iguales Tiene 14 lados y ángulos iguales.Pentadecágono RegularTiene 15 lados y ángulos iguales.Hexadecágono RegularTiene 16 lados y ángulos igualesHeptadecágono RegularTiene 17 lados y ángulos iguales.Octadecágono RegularTiene 18 lados y ángulos iguales.Eneadecágono RegularTienen 19 lados y ángulos igualesIcoságono RegularTiene 20 lados y ángulos igualesPolígono InscritoUn polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.Circunferencia CircunscritaEs la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radiodel polígono.Circunferencia Inscrita
  39. 39. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría39 Ing. Edison VillacrésEs la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radioes laapotemadel polígono.Tipos de triángulosUn triángulo es un polígono con tres lados.Propiedades de los triángulos1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.Según sus LadosTriángulo EquiláteroTres lados igualesTriángulo IsóscelesDos lados igualesTriángulo EscalenoTres lados desigualesSegún sus ÁngulosTriángulo AcutánguloTres ángulos agudosTriángulo RectánguloUn ángulo recto. El lado mayor esla hipotenusa. Los lados menoresson los catetosTriángulo ObtusánguloUn ángulo obtuso.Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un TriánguloAlturas de un triángulo
  40. 40. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría40 Ing. Edison VillacrésAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o suprolongación).OrtocentroEs el punto de corte de las tres alturas.Medianas de un TriánguloMediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianasEl baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vérticemide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG= 2GAMediatrices de un TriánguloMediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.CircuncentroEs el punto de corte de las tres mediatrices.Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.Bisectrices de un TriánguloBisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Incentro
  41. 41. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría41 Ing. Edison VillacrésEs el punto de corte de las tres bisectrices.Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Recta de EulerCuadriláterosLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.Clasificación de CuadriláterosParalelogramosCuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:CuadradoTiene los 4 lados iguales y los 4ángulos rectosRectánguloTiene lados iguales dos a dos y los4 ángulos rectosRomboTiene los cuatro lados igualesRomboideTiene lados iguales dos a dosTrapeciosCuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:
  42. 42. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría42 Ing. Edison VillacrésTrapecio RectánguloTiene un ángulo rectoTrapecio IsóscelesTiene dos lados no paralelosigualesTrapecio EscalenoNo tiene ningún lado igual niángulo rectoTrapezoidesCuadriláteros que no tiene ningúnlado igual ni paralelo
  43. 43. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría43 Ing. Edison VillacrésCircunferenciaUna circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un puntofijo llamado centro.Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de lamisma.Elementos de la circunferenciaCuerdaSegmento que uneñ. dos puntosde la circunferenciaDiámetroCuerda que pasa por el centroArcoCada una de las partes en que unacuerda divide a la circunferencia.Se suele asociar a cada cuerda elmenor arco que delimitaSemicircunferenciaCada uno de los arcos iguales queabarca un diámetro.CírculoEs la figura plana comprendida enel interior de una circunferenciaElementos de un círculoSegmento circularPorción de círculo limitada poruna cuerda y el arcoSemicírculoPorción del círculo limitada por undiámetro y el arco correspondiente.Zona circularPorción de círculo limitada pordos cuerdas.
  44. 44. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría44 Ing. Edison Villacréscorrespondiente Equivale a la mitad del círculo.Sector circularPorción de círculo limitada pordos radiosCorona circularPorción de círculo limitada por doscírculos concéntricos.Trapecio circularPorción de círculo limitada pordos radios y una coronacircular.Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferenciaInteriorSu distancia al centro esmenor que el radio.Punto sobre la circunferencia. Punto exterior a la circunferenciaSu distancia al centro es mayor que elradioPosiciones relativas de una recta y una circunferenciaRecta SecanteLa recta corta a la circunferenciaen dos puntosRecta TangenteLa recta corta a la circunferenciaen un puntoRecta ExteriorNo tiene ningún punto de cortecon la circunferenciaPosiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en comúnExterioresLa distancia entre los centros esmayor que la suma de las radios.InterioresLa distancia entre los centros esmenor que la diferencia de losConcéntricasLos centros coinciden.
  45. 45. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría45 Ing. Edison Villacrésradios.Un punto comúnTangentes ExterioresLa distancia entre los centros esigual a la suma de los radios.Tangentes InterioresLa distancia entre los centros esigual a la diferencia de los radios.Dos puntos en comúnSecantesLa distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.Ángulos en la CircunferenciaÁngulo centralEl ángulo central tiene su vérticeen el centro de la circunferencia ysus lados son dos radios.La medida de un arco es la de suángulo central correspondiente.Ángulo InscritoEl ángulo inscrito tiene su vérticeestá en la circunferencia y suslados son secantes a ella.Mide la mitad del arco queabarca.Ángulo SemiinscritoEl vértice de ángulosemiinscritoestá en la circunferencia, un ladosecante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco queabarca.Ángulo Interior Ángulo ExteriorSu vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de susángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, otangentes a ella:
  46. 46. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría46 Ing. Edison VillacrésSu vértice es interior a lacircunferencia y sus ladossecantes a ella.Mide la mitad de la suma de lasmedidas de los arcos que abarcansus lados y las prolongaciones desus lados.Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos queabarcan sus lados sobre la circunferencia.ÁreasLongitud de una circunferencia Longitud de un arco decircunferenciaÁrea de un círculoÁrea de un sector circular Área de una corona circularEs igual al área del círculo mayormenos el área del círculo menor.Área de un trapecio circularEs igual al área del sectorcircular mayor menos el área delsector circular menor.
  47. 47. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría47 Ing. Edison VillacrésÁrea de un segmento circularÁrea del segmento circular AB =Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOBLúnula de HipócratesConstrucción de una lúnula de HipócratesPartimos de un triángulo isósceles rectángulo.Con centro en O se traza el arco AB.Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.La parte enmarcada por elcolor verde se llama lúnula de Hipócrates.
  48. 48. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría48 Ing. Edison VillacrésSecuencia 1 Actividad IVCircunferencia y círculo. Ejercicios1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado100 vueltas?2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál esla longitud máxima en metros del arco correspondiente?1 milla = 1 852 m3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
  49. 49. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría49 Ing. Edison Villacrés4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y lalongitud de la circunferencia.5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cmel radio de la circunferencia.6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA yOB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
  50. 50. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría50 Ing. Edison Villacrés7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también deforma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dossemicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculospequeños miden 2 cm.
  51. 51. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría51 Ing. Edison Villacrés10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos decircunferencia de centros B y D.11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amigaLaura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada unacuando la plataforma ha dado 50 vueltas.12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°.Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es elmáximo.
  52. 52. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría52 Ing. Edison Villacrés13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio dela circunferencia.14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
  53. 53. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría53 Ing. Edison VillacrésTriángulosDefinición de triánguloUn triángulo es un polígono de tres lados.Propiedades de los triángulos1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.Clasificación de triángulosSegún sus ladosTriángulo EquiláteroTres lados IgualesTriángulo IsóscelesDos lados iguales.Triángulo EscalenoTres lados desigualesSegún sus ÁngulosTriángulo AcutánguloTres ángulos agudosTriángulo RectánguloUn ángulo recto. El lado mayor esla hipotenusa. Los lados menoresson los catetosTriángulo obtusánguloUn ángulo obtusoElementos notables de un triánguloAlturas de un triánguloAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o suprolongación).OrtocentroEs el punto de corte de las tres alturasOrtocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas
  54. 54. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría54 Ing. Edison VillacrésMedianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con elvértice opuesto.Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianasEl baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vérticemide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.BG = 2GAMediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado porsu punto medio.Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferenciacircunscrita al triángulo.Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulosiguales.IncentroEs el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Rectade Euler
  55. 55. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría55 Ing. Edison VillacrésEl ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir,pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.Teorema del catetoEn todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobreella.a hipotenusab y c catetosm proyección del cateto b sobre la hipotenusan proyección del cateto c sobre la hipotenusaLa hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallarel otro cateto.Teorema de la altura
  56. 56. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría56 Ing. Edison VillacrésEn un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentosque dividen a ésta.En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.Calcular la altura relativa a la hipotenusa.Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Aplicaciones del teorema de Pitágoras1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusaLos catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide lahipotenusa?2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
  57. 57. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría57 Ing. Edison VillacrésLa hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otrocateto?3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectánguloPara que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de losdos menores.Determinar si el triángulo es rectángulo.Aplicaciones del teorema de PitágorasDiagonal del cuadradoDiagonal del rectángulo
  58. 58. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría58 Ing. Edison VillacrésAplicaciones del teorema de Pitágoras ILado oblicuo del trapecio rectánguloAltura del trapecio isósceles
  59. 59. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría59 Ing. Edison VillacrésAltura del triángulo equiláteroAplicaciones del teorema de Pitágoras IIApotema de un polígonoregularApotema del Hexágono Inscrito
  60. 60. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría60 Ing. Edison VillacrésAplicaciones del teorema de Pitágoras IIILado de un triángulo equilátero inscrito
  61. 61. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría61 Ing. Edison VillacrésLado de un Cuadrado InscritoSecuencia 1 Actividad VAplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m.Calcular:a. Los catetos.b. La altura relativa a la hipotenusa.c. El área del triángulo.2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre lahipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo cm.
  62. 62. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría62 Ing. Edison Villacrés3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de lapared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm delado. ¿Serán iguales sus áreas?5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
  63. 63. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría63 Ing. Edison Villacrés7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otrocírculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente.Calcular los lados no paralelos y el área.9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra.Hallar el área de la corona circular así formada.10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
  64. 64. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría64 Ing. Edison Villacrés11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmentocircular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arcocorrespondiente.13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por lacircunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.14. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita aun cuadrado de 8 m de diagonal.
  65. 65. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría65 Ing. Edison Villacrés15. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triánguloequilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcularel área del trapecio.16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismoperímetro.17. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y haciael exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
  66. 66. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría66 Ing. Edison VillacrésTrigonometríaMedida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A lassemirrectas se las llama lados y al origen común vértice.El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo encaso contrario.Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:1. Grado sexagesimal (°).- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo centralcorrespondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.Un grado tiene 60minutos () y un minuto tiene 60 segundos ().2. Radián (rad).- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.EjemplosRazones TrigonométricasSenoSeno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.Se denota por .CosenoCoseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.Se denota por .
  67. 67. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría67 Ing. Edison VillacrésTangenteTangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.Se denota porCosecanteCosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.Se denota por .SecanteSecante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.Se denota por .CotangenteCotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.Se denota por .Razones Trigonométricas de Cualquier ÁnguloSe llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es launidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que senumeran en sentido contrario a las agujas del reloj.QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y TOS′ son triángulos semejantes.El seno es la ordenada.El coseno es la abscisa.
  68. 68. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría68 Ing. Edison VillacrésSigno de las Razones Trigonométricas0 1 0 -11 0 -1 00 0Razones Trigonométricas deSeno, coseno y tangente de 30º y 60ºSi dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura delmismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno.Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:Seno, coseno y tangente de y= = = =Seno, coseno y tangente de
  69. 69. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría69 Ing. Edison VillacrésRazones Trigonométricas de Ángulos Notables0 1 0 -11 0 -1 00 0Identidades Trigonométricas FundamentalesSabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo.
  70. 70. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría70 Ing. Edison VillacrésIdentidades TrigonométricasÁngulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es radianes.Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es .
  71. 71. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría71 Ing. Edison VillacrésÁngulos que se diferencian en .- Son aquéllos cuya resta es radianes.Ángulos OpuestosSon aquéllos cuya suma es radianes.
  72. 72. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría72 Ing. Edison VillacrésÁngulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.Mayores de .- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en
  73. 73. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría73 Ing. Edison VillacrésÁngulos que sumanÁngulos que difieren en
  74. 74. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría74 Ing. Edison Villacrés
  75. 75. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría75 Ing. Edison VillacrésSecuencia 2 Actividad 1Trigonometría1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:a.b. .c. .2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:a.b.c.
  76. 76. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría76 Ing. Edison Villacrés3. Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas delángulo α.4. Sabiendo que , y que Calcular las restantes razones trigonométricas delángulo α.5. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas.6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:a.b.c.d.
  77. 77. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría77 Ing. Edison Villacrés7. Comprobar las identidades:a.b.c.d.e.
  78. 78. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría78 Ing. Edison Villacrés8. Demostrar las siguientes identidades:a)b)c)d)e)
  79. 79. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría79 Ing. Edison Villacrésf)g)h)i)j)
  80. 80. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría80 Ing. Edison Villacrésk)l)m)n)o)
  81. 81. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría81 Ing. Edison Villacrésp)q)r)s)t) –
  82. 82. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría82 Ing. Edison Villacrésu)v)w) –x)
  83. 83. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría83 Ing. Edison Villacrés
  84. 84. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría84 Ing. Edison VillacrésResolución de Triángulos RectángulosResolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien unlado y un ángulo distinto del recto.1. Se conocen la hipotenusa y un catetoResolver el triángulo conociendo:2. Se conocen los dos catetos
  85. 85. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría85 Ing. Edison VillacrésResolver el triángulo conociendo:3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudoResolver el triángulo conociendo:4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
  86. 86. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría86 Ing. Edison VillacrésResolver el triángulo conociendo:
  87. 87. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría87 Ing. Edison VillacrésSecuencia 2 Actividad 29. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen Resolver el triángulo10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo.11. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo.12. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo.13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del solen ese momento.
  88. 88. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría88 Ing. Edison Villacrés14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.¿A qué distancia del pueblo se halla?15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondienteuno de 70°16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y formanentre ellos un ángulo de 70°.17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulode 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita ycircunscrita.
  89. 89. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría89 Ing. Edison VillacrésSecuencia 2 Actividad 3Ejercicios de Trigonometría19. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas.20. Calcula las razones de los siguientes ángulos:a.b.21. Simplificar las fracciones:a.b.
  90. 90. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría90 Ing. Edison Villacrésc.22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49centímetros de radio.23. Tres pueblos están unidos por carreteras. La distancia de y la de . Elángulo que forman estas carreteras es . ¿Cuánto distan ?24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco sealeja se observa bajo un ángulo de . Calcula la altura del acantilado. Solución.
  91. 91. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría91 Ing. Edison Villacrés25. Resuelve el triángulo conociendo y el cateto b = 25 cm. Solución: , la hipotenusay el otro cateto26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desiguales de 120º. Solución: Los lados iguales miden , y el lado desigual,27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a de su pie se ve bajo un ángulode . Solución:28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí80m, se ve bajo ángulos de , respectivamente. Solución:
  92. 92. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría92 Ing. Edison VillacrésSecuencia 2 Actividad 429. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de . En uno de ellos, a del cruce, hay unagasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino.30. Una carretera asciende 3m por cada de recorrido. ¿Qué ángulo forma con lahorizontal? Solución:31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su alturamide y que el ángulodesigual es de .32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de de altura. Desde un puntoA situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de y el extremo superior cbajo un ángulo de . Hallar la altura del montículo:
  93. 93. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría93 Ing. Edison Villacrés33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro.34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, conángulo de depresión igual a . Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde Fbajo un ángulo de . Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria es perpendiculara la , siendo P el pie del35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamenteHalla las medidas de sus ángulos.
  94. 94. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría94 Ing. Edison Villacrés36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobrelahipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B.¿Qué anchura tiene elrío?38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7centímetros de radio?
  95. 95. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría95 Ing. Edison VillacrésSecuencia 2 Actividad 539. Resuelve estos triángulos.a.b.c.40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferenciasinscrita y circunscrita.
  96. 96. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría96 Ing. Edison Villacrés41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.a) Calcula la longitud de la diagonal menor.b) Halla el área del paralelogramo.42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si losradios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de con el suelo?
  97. 97. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría97 Ing. Edison Villacrés44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.45. Halla el volumen de estos cuerpos.
  98. 98. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría98 Ing. Edison Villacrés46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y lageneratriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos48. Resuelve los triángulos sabiendo que es un ángulo recto.a)b)c)
  99. 99. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría99 Ing. Edison Villacrés49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medidadela altura sobre este lado?
  100. 100. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría100 Ing. Edison VillacrésSecuencia 3 Actividad 151. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6centímetros.Halla la longitud de los lados.52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetossobreella, 4 centímetros.Resuelve el triángulo.53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de26¿Cuánto mide el lado del rombo?54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.
  101. 101. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría101 Ing. Edison Villacrés55. Resuelve estos triángulos56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso.a)
  102. 102. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría102 Ing. Edison Villacrésb)c)d)57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?58. Resuelve los siguientes triángulos.a)
  103. 103. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría103 Ing. Edison Villacrésb)59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura
  104. 104. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría104 Ing. Edison VillacrésSecuencia 3 Actividad 261. Longitudes y áreas de figuras planasLas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulorectángulo miden 14,4 y 25,6centímetros. Calcula el área del triángulo.62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de .Halla su perímetro y su área.63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área delOctógono.64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetrosyforman un ángulo de .
  105. 105. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría105 Ing. Edison Villacrés65. Halla el área de este paralelogramo.66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos67. Calcula el volumen del cilindro
  106. 106. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría106 Ing. Edison Villacrés68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida,¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?70. Responde a las siguientes preguntas.a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?
  107. 107. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría107 Ing. Edison Villacrésb) ¿Y de un triángulo cualquiera?c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.
  108. 108. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría108 Ing. Edison VillacrésSecuencia 3 Actividad 371. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona turespuesta.72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazaruna diagonal, dos triángulos.74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?
  109. 109. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría109 Ing. Edison Villacrés75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes:76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulosdesconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos,¿cuál es el más conveniente?79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales ados puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntosdeterminados por las visuales?
  110. 110. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría110 Ing. Edison Villacrés80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes detrasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas.81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: laimagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia.Calcula el ángulo a que mide la paralaje.82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objetopesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningúnángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triánguloque hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos demodo que formen triángulos no solapados.
  111. 111. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS YTECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCOGeometría y Trigonometría111 Ing. Edison Villacrés

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