UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ÁNDRES  FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES         CARRERA DE ESTADÍSTICA       INTRODUCCIÓN ...
TABLA DE MATERIAS                                                                              PRESENTACIÓNPARTE A: .........
CAPÍTULO IV.      FORMAS BILINEALES .........................................................................................
6.  VARIABLE DE FISHER ......................................................................................................
CAPITULO XIX.      ANÁLISIS FACTORIAL........................................................................................
PRESENTACIÓNEl presente trabajo es el resultado del acopio y ordenamiento de notas de los cursos dictados por suautor entr...
PARTE A:ELEMENTOS BÁSICOS DE   ALGEBRA LINEAL         1
CAPÍTULO I.               CONCEPTOS BÁSICOS1.        INTRODUCCIÓNEn matemáticas aplicadas, sobre todo en varias de las ram...
2.      ESPACIOS VECTORIALESEl juego de ajedrez (o todo otro juego) tiene un soporte, las fichas y el tablero, y un conjun...
La ley de composición interna en V asocia a 2 o más de sus elementos un tercer elemento          también en V con las cara...
La ley de composición externa está definida como sigue:    Para todo X en V y para todo escalar a en K, a.X es un elemento...
n3.      ESPACIOS VECTORIALES "V=K EN K" DONDE K ES UN CUERPO nK es una abreviación para identificar el conjunto de n-upla...
nCada n-upla en V=K es denominada vector o punto. Cada elemento de la n-upla es denominadocomponente o también coordenada....
e2                                                        e1Cualquier punto del primer eje puede representarse como un múl...
Obviamente que un mismo vector puede representarse en otros sistemas de ejes y en consecuencia, conotras coordenadas. Imag...
Z                                          X                                                                  YSi a y b so...
Un caso muy importante de representación gráfica de vectores es el de la representación de conjuntosdefinidos por medio de...
Esta tabla recibe el nombre de matriz. Independientemente de la forma de escribirla, no se puede perder devista de que el ...
Cuando una matriz A es tal que sus líneas son iguales a las columnas de una matriz B se dice que A es lamatriz transpuesta...
3Ejemplo:        Sea V=R y H={xεV/ x= ae1 +be2, para todo a,b en R}. El conjunto H es un subconjunto de                V y...
7.      DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALEl vector X del espacio vectorial V es linealmente dependiente de un subconjunto...
c.      Consecuencias de las definicionesi)      Un vector X es linealmente dependiente de un conjunto de vectores LIN (X1...
8.     DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIALEl número máximo de vectores LIN en un conjunto de vectores S en V es igual a M si...
Obsérvese que una base es un conjunto generador del espacio vectorial con la propiedad suplementaria decontener sólo vecto...
Sea B ={X1, X2,...Xs} una base inicial y,        sea B*={X1, X2,...Xr} la nueva base.Supóngase que la representación del v...
En efecto:Considérese la siguiente tabla denominada de Tucker:                                             Vectores fuera ...
Algoritmo.        A partir de una tabla inicial de Tucker es posible realizar sucesivos cambios de base y obtener        l...
Vectores fuera de la base EVectores en     Xm+1                        Xm+j            .        Xm+n la base E            ...
CAPÍTULO II.             APLICACIONES LINEALES Y MATRICES1.      DEFINICIÓNSean E y F dos espacios vectoriales sobre un mi...
2.   ALGUNAS CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LA DEFINICIÓNa.   f(E) es un subespacio vectorial en F     En efecto:           ...
El resultado anterior implica que:                                               dim f(E) ≤ dim E        Para cualquier ap...
f.         El conjunto de aplicaciones lineales {f} de E en F constituye un espacio vectorial en K.3.         APLICACIONES...
n       mEsta expresión pone en evidencia que una aplicación lineal de E=K en F=K de matriz A es unacombinación lineal de ...
c.      Suma de aplicaciones lineales y suma de matricesSi f y g son 2 aplicaciones lineales de E en F de matrices A y B, ...
Por otra parte, las imágenes en G de los ej, j=1,2,,n, en E, son los vectores columna cj de la matriz C=BA.Luego:         ...
Obsérvese, en primer lugar, que gf(E) está contenido en g(F) luego dim gf(E) ≤ dim g(F), lo que a su         vez implica q...
n                                              f( X i ) = ∑ aik X k                                      (6)              ...
Por otra parte, reemplazando la expresión (5) en (6), se tiene:                                                 n         ...
6.      ALGORITMO DE INVERSIÓN DE UNA MATRIZA partir de los desarrollos anteriores, emerge, naturalmente, la idea de calcu...
Si después de k < n iteraciones, han entrado dentro de la base k vectores aj, siendo      imposible introducir en ella los...
Luego, a lo máximo, la matriz A contiene k vectores LIN, es decir, a lo máximo su rango es igual a k. Pero,por otra parte,...
1992 descripcion e inferencia lineal en estadistica
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1992 descripcion e inferencia lineal en estadistica

  1. 1. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ÁNDRES FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES CARRERA DE ESTADÍSTICA INTRODUCCIÓN A LADESCRIPCIÓN E INFERENCIA LINEAL EN ESTADÍSTICA POR: DR. ROLANDO MORALES A. LA PAZ, ENERO 1992
  2. 2. TABLA DE MATERIAS PRESENTACIÓNPARTE A: ..................................................................................................................................................... 1ELEMENTOS BÁSICOS DE ........................................................................................................................ 1ALGEBRA LINEAL ...................................................................................................................................... 1 CAPÍTULO I. CONCEPTOS BÁSICOS .................................................................................................................................. 2 1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................................... 2 2. ESPACIOS VECTORIALES ......................................................................................................................................... 3 3. ESPACIOS VECTORIALES "V=Kn EN K" DONDE K ES UN CUERPO ........................................................................ 6 4. ESPACIOS VECTORIALES DE MATRICES .............................................................................................................. 11 5. SUB-ESPACIOS VECTORIALES ............................................................................................................................... 13 6. SUBESPACIOS GENERADOS POR UN CONJUNTO DE VECTORES ..................................................................... 14 a. Combinaciones lineales de vectores ..................................................................................................................... 14 b. Conjuntos generadores, espacios generados por un conjunto de vectores............................................................ 14 7. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL ........................................................................................................... 15 a. Dependencia lineal................................................................................................................................................ 15 b. Independencia lineal ............................................................................................................................................. 15 c. Consecuencias de las definiciones........................................................................................................................ 16 8. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.............................................................................................................. 17 9. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL ........................................................................................................................ 17 10. CAMBIOS DE BASE................................................................................................................................................... 18 11. DUALIDAD EN LOS CAMBIOS DE BASE .................................................................................................................. 21 CAPÍTULO II. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES............................................................................................... 25 1. DEFINICIÓN............................................................................................................................................................... 25 2. ALGUNAS CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LA DEFINICIÓN........................................................................ 26 3. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES: MATRIZ DE UNA APLICACION LINEAL f. ............................................ 28 4. APLICACIONES LINEALES CUANDO E=Kn Y F=Km EN K ........................................................................................ 28 a. Una aplicación lineal como una combinación lineal en F ....................................................................................... 28 b. Producto de una matriz por un vector .................................................................................................................... 29 c. Suma de aplicaciones lineales y suma de matrices ............................................................................................... 30 d. Composición de aplicaciones lineales y producto de matrices............................................................................... 30 e. Caracterizaciones relativas al rango de una matriz................................................................................................ 31 5. APLICACIONES LINEALES INVERSAS E INVERSOS DE MATRICES ..................................................................... 32 6. ALGORITMO DE INVERSIÓN DE UNA MATRIZ ....................................................................................................... 35 7. INVERSIÓN DE MATRICES PARTICIONADAS ......................................................................................................... 37 8. DETERMINANTES..................................................................................................................................................... 38 a. Definición .............................................................................................................................................................. 38 b. Algoritmo de cálculo de un determinante............................................................................................................... 38 c. Determinantes de matrices particionadas .............................................................................................................. 39 d. Determinante del producto de 2 matriz de rango máximo...................................................................................... 39 9. FACTORIZACIÓN DE UNA MATRIZ SINGULAR ....................................................................................................... 40 10. NUCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL Y NUCLEO DE UNA MATRIZ.................................................................... 42 11. INVERSOS GENERALIZADOS DE MATRICES ......................................................................................................... 44 12. ALGUNAS APLICACIONES LINEALES PARTICULARES.......................................................................................... 46 CAPÍTULO III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES............................................................................................... 51 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ......................................................................................................................... 51 2. CARACTERIZACIONES INICIALES DEL ESPACIO DE SOLUCIONES..................................................................... 51 a. Consistencia.......................................................................................................................................................... 51 b. Redundancia ......................................................................................................................................................... 52 c. Soluciones múltiples.............................................................................................................................................. 53 d. Número máximo de vectores LIN en S .................................................................................................................. 53 3. SOLUCIONES BASICAS A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES .................................................................. 54 4. UN ALGORITMO DE RESOLUCION Y ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.......................... 55 a. Rango de A. .......................................................................................................................................................... 57 b. Consistencia.......................................................................................................................................................... 57 c. Soluciones básicas................................................................................................................................................ 57 d. Solución única....................................................................................................................................................... 57 e. Soluciones múltiples.............................................................................................................................................. 58 5. SISTEMAS DE ECUACIONES CON LA RESTRICCION DE QUE LAS SOLUCIONES SEAN NO NEGATIVAS ........ 58 ii
  3. 3. CAPÍTULO IV. FORMAS BILINEALES ............................................................................................................................. 62 1. DEFINICIÓN............................................................................................................................................................... 62 2. FORMAS BILINEALES Y MATRICES ........................................................................................................................ 63 3. DISTANCIAS.............................................................................................................................................................. 64 4. NORMAS Y ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS .............................................................................................. 66 5. PRODUCTOS ESCALARES ...................................................................................................................................... 67 6. EXTENSIONES DEL PRODUCTO ESCALAR CLÁSICO EN Rn ................................................................................. 68 a. Norma euclidiana .................................................................................................................................................. 68 b. Distancia euclidiana .............................................................................................................................................. 69 c. Ángulo entre dos vectores..................................................................................................................................... 70 d. Ortogonalidad........................................................................................................................................................ 72 7. BASES ORTOGONALES Y BASES ORTONORMADAS EN Rn ................................................................................. 73 8. MATRICES Y PRODUCTO ESCALAR CLASICO EN Rn ............................................................................................ 74 9. PRODUCTO ESCALAR GENERALIZADO EN Rn ...................................................................................................... 74 CAPITULO V. LA ESPERANZA MATEMATICA COMO OPERADOR LINEAL ................................................................ 76 1. ESPERANZAS MATEMÁTICAS ................................................................................................................................. 76 2. VARIANZAS Y COVARIANZAS.................................................................................................................................. 78 3. ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA FORMA QUADRÁTICA .................................................................................. 81 CAPÍTULO VI. DERIVACIÓN CON VECTORES Y MATRICES ........................................................................................ 82 1. CONVENCIONES GENERALES ()............................................................................................................................. 82 2. DERIVADAS DE FORMAS LINEALES ....................................................................................................................... 85 3. DERIVADAS DE FORMAS CUADRÁTICAS............................................................................................................... 86 4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................................................. 87 CAPÍTULO VII. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES SIMÉTRICAS ......................................................... 93 1. DEFINICIONES .......................................................................................................................................................... 93 2. POLINOMIO CARACTERÍSTICO ............................................................................................................................... 94 3. LA PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS VECTORES PROPIOS ................................................................ 95 4. LA DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE UNA MATRIZ SIMÉTRICA....................................................................... 96 5. CARACTERIZACIONES POR MEDIO DE LOS VALORES PROPIOS ....................................................................... 97 6. FORMAS CUADRÁTICAS Y VALORES PROPIOS .................................................................................................... 98 7. VALORES SINGULARES Y DESCOMPOSICIÓN SINGULAR DE UNA MATRIZ RECTANGULAR ......................... 100 8. EL INVERSO GENERALIZADO DE PENROSE DE UNA MATRIZ RECTANGULAR................................................ 102 9. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR MEDIO DEL INVERSO ............................................................ 103 GENERALIZADO DE PENROSE. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES ....................................................................... 103 CAPÍTULO VIII. LA DESIGUALDAD DE SCHWARTZ Y OTRAS DESIGUALDADES UTILES EN ESTADISTICA .......... 104 1. LA DESIGUALDAD DE SCHWARTZ Y SUS EXTENSIONES .................................................................................. 104 2. LA DESIGUALDAD TRIANGULAR Y SUS EXTENSIONES ..................................................................................... 106 3. IGUALDADES Y DESIGUALDADES UTILIZANDO TRANSFORMACIONES ORTOGONALES. .............................. 108 4. OTRAS DESIGUALDADES UTILES......................................................................................................................... 109 5. LOS PROBLEMAS DE PROCUSTE......................................................................................................................... 110 ANEXOS DE LA PARTE A. ..................................................................................................................................................... 112 PROGRAMACIÓN LINEAL EL ALGORITMO DEL SIMPLEX ................................................................................................ 112 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 112 2. REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA. ...................................................................... 114 3. CARACTERIZACIÓN DE LAS SOLUCIONES A UN PROGRAMA LINEAL .............................................................. 126 4. ALGORITMO DEL SIMPLEX.................................................................................................................................... 135PARTE B: ................................................................................................................................................. 138MODELOS LINEALES ............................................................................................................................. 138 CAPITULO IX. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................... 139 1. MODELOS LINEALES Y CAUSALIDAD EN ESTADÍSTICA ..................................................................................... 139 2. EL MODELO LINEAL. NOTACION Y DEFINICIONES.............................................................................................. 141 CAPÍTULO X. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS DE UN MODELO LINEAL ............................................... 142 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 142 2. EL CRITERIO DE ESTIMACION DE MINIMOS CUADRADOS DE p........................................................................ 142 3. LA SOLUCIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS............................................................................................................ 144 4. EL TEOREMA DE LA PROYECCIÓN....................................................................................................................... 147 5. DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA.-................................................................................................................. 149 DESCOMPOSICIÒN TRIANGULAR DE LA NORMA .............................................................................................................. 151 6. CORRELACION PARCIAL ....................................................................................................................................... 155 CAPÍTULO XI VECTOR ALEATORIO NORMAL Y VARIABLES ALEATORIAS QUE LE SON DEDUCIDAS............... 157 1. EL VECTOR NORMAL ESTÁNDAR ......................................................................................................................... 157 2. NOTA SOBRE LOS CAMBIOS DE VARIABLE EN LA INTEGRACION .................................................................... 158 3. FUNCIONES LINEALES DE VARIABLES NORMALES ........................................................................................... 159 4. FUNCIONES CUADRATICAS DE VARIABLES NORMALES ESTANDAR ............................................................... 165 5. VARIABLE DE STUDENT ........................................................................................................................................ 165 iii
  4. 4. 6. VARIABLE DE FISHER ............................................................................................................................................ 165 7. EXTENSIONES CON VECTORES NORMALES QUE NO SON ESTÁNDAR........................................................... 166 a. Variable Chi-Cuadrado con n grados de libertad ................................................................................................. 166 b. Variables Chi-Cuadrado y formas cuadráticas XQX donde la matriz Q es un proyector de rango r. .................... 167 8. INDEPENDENCIA DE FORMAS LINEALES Y CUADRATICAS DE VECTORES NORMALES ESTANDAR ............ 168 a. Independencia de dos formas lineales................................................................................................................. 168 b. Independencia de una forma lineal y de una forma cuadrática ............................................................................ 169 c. Independencia de dos formas cuadráticas........................................................................................................... 170 CAPÍTULO XII. HIPOTESIS ALEATORIAS EN EL MODELO LINEAL ............................................................................ 171 1. LAS HIPOTESIS SIMPLES: NORMALIDAD, INDEPENDENCIA Y HOMOCEDASTICIDAD..................................... 171 ESQUEMA DE CAUSALIDAD............................................................................................................................................. 171 2. FUNCIONES DE DISTRIBUCION DEDUCIDAS DE LA HIPOTESIS SIMPLE PARA LOS ESTIMADORES Y OTROS ESTADISTICOS.................................................................................................................................................................. 172 3. TESTS DE HIPOTESIS SIMPLE PARA LOS ESTIMADORES DE CADA UNO DE LOS PARAMETROS ................ 176 4. ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y TEST COMPUESTO PARA UN CONJUNTO DE HIPOTESIS SIMULTÁNEAS ..... 176 CAPÍTULO XIII. LA ESTIMACIÓN MÁXIMO VEROSIMIL DE UN MODELO LINEAL....................................................... 180 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 180 2. LA ESTIMACIÓN DEL MODELO CON Ω CONOCIDA.............................................................................................. 181 3. LA ESTIMACIÓN DEL MODELO CON Ω DESCONOCIDA ...................................................................................... 182 CAPITULO XIV. ASPECTOS PRÁCTICOS RELATIVOS A LA REGRESIÓN LINEAL ..................................................... 184 1. LA REGRESIÓN POR ETAPAS ............................................................................................................................... 184 2. AUTOMATICIDAD DE LOS CÁLCULOS DE REGRESIÓN ...................................................................................... 186PARTE C................................................................................................................................................... 188DISEÑO DE EXPERIMENTOS................................................................................................................. 188 CAPITULO XV. INTRODUCCIÒN..................................................................................................................................... 189 CAPITULO XVI. LOS MODELOS LINEALES SINGULARES ............................................................................................ 191 1. DEFINICIONES Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.......................................................................................... 191 2. TÈCNICAS DE ESTIMACIÒN DE FUNCIONES LINEALES DE LOS PARÀMETROS .............................................. 191 a. Inversos generalizados........................................................................................................................................ 191 b. Base para un espacio vectorial............................................................................................................................ 192 c. Restricciones líneales sobre los parámetros........................................................................................................ 192 CAPÍTULO XVII. ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA CON RESTRICCIONES LINEALES SOBRE LOS PARÁMETROS 193 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 193 2. CARACTERIZACION DE LAS SOLUCIONES AL PROBLEMA DE REGRESION LINEAL CON RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROS.............................................................................................................................................. 195 a. Condiciones de rango para la existencia de una solución única .......................................................................... 195 b. Condiciones de rango para que exista una solución única e igual al punto óptimo sin restricciones .................... 197 CAPÍTULO XVIII. PROYECCIONES Y PROYECTORES ................................................................................................ 198 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 198 2. SUMA DIRECTA ...................................................................................................................................................... 198 3. PROYECCIÓN ......................................................................................................................................................... 199 4. PROYECTOR........................................................................................................................................................... 199 5. PROYECTORES ORTOGONALES .......................................................................................................................... 202 6. EXPRESIÓN EXPLICITA DE UN PROYECTOR ORTOGONAL ............................................................................... 203 7. LAS ECUACIONES NORMALES ............................................................................................................................. 204 8. SECUENCIA DE PROYECTORES ORTOGONALES Y PROPIEDADES ................................................................. 204 9. UNA SECUENCIA PARTICULAR DE PROYECTORES ORTOGONALES ............................................................... 207 10. OTRAS PROPIEDADES DE LOS PROYECTORES................................................................................................. 208 11. DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIANZA EN EL MARCO DE LOS MODELOS DE "ANÁLISIS DE LA VARIANZA" CORRIENTES EN LOS DISEÑOS DE EXPERIMENTOS ................................................................................................... 210 TABLA DE ANÁLISIS DE LA VARIANZA ............................................................................................................................... 211 ANEXOS DE LA PARTE C ...................................................................................................................................................... 213 A. UNA CLASE PARTICULAR DE INVERSOS GENERALIZADOS .............................................................................. 213 1. PRESENTACIÓN ............................................................................................................................................... 213 2. ALGUNAS CONSECUENCIAS ........................................................................................................................... 214 3. DEMOSTRACIÓN ............................................................................................................................................... 214 B. SOBRE UNA CLASE PARTICULAR DE SOLUCIONES A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ................. 217 1. PRESENTACIÓN................................................................................................................................................ 217 2. COMPROBACIÓN .............................................................................................................................................. 217 3. EXTENSIÓN ....................................................................................................................................................... 218PARTE D................................................................................................................................................... 219ELEMENTOS DE...................................................................................................................................... 219ANALISIS MULTIVARIANTE ................................................................................................................... 219 iv
  5. 5. CAPITULO XIX. ANÁLISIS FACTORIAL........................................................................................................................... 220 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 220 2. NOCION DE INERCIA DE UNA NUBE DE PUNTOS ............................................................................................... 221 3. EL MODELO DE MINIMOS CUADRADOS............................................................................................................... 225 4. LA DUALIDAD DE LOS ANALISIS POR LINEAS Y POR COLUMNAS DE UNA MATRIZ DE OBSERVACIONES ... 229 CAPÍTULO XX. ANÁLISIS EN CORRELACIONES CANÓNICAS .................................................................................... 231 1. EL MARCO GENERAL DEL CONCEPTO DE CORRELACION EN ESTADÍSTICA.................................................. 231 a. Correlación como medida de dependencia lineal................................................................................................. 231 b. El coeficiente de correlación Lineal Simple.......................................................................................................... 231 c. Correlación Múltiple............................................................................................................................................ 233 d. Correlación parcial .............................................................................................................................................. 234 e. Correlación canónica........................................................................................................................................... 235 2. LA BATERIA DE CORRELACIONES CANONICAS.................................................................................................. 235 CAPÍTULO XXI. ANÁLISIS EN CORRESPONDENCIAS PRINCIPALES ......................................................................... 240 1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................................... 240 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................................................................................... 240 3. DESCOMPOSICIÓN SINGULAR ............................................................................................................................. 241 4. PROPIEDADES DE LA DESCOMPOSICIÓN SINGULAR DE C=P-½TQ-½ ............................................................... 242 5. MEDIAS, VARIANZAS, COVARIANZAS, CORRELACIONES .................................................................................. 244 6. LOS EFECTOS CRUZADOS DE LINEAS Y COLUMNAS ........................................................................................ 247 7. REPRESENTACIONES GRÁFICAS......................................................................................................................... 251 8. CONCENTRACIÓN O COMPACTACIÓN................................................................................................................. 252 9. COMENTARIOS FINALES ....................................................................................................................................... 254BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................ 255 v
  6. 6. PRESENTACIÓNEl presente trabajo es el resultado del acopio y ordenamiento de notas de los cursos dictados por suautor entre 1976 y 1990 en la Carrera de Estadística de la Facultad de Ciencias Puras y Naturales.Estas notas han podido concretizarse en el presento texto gracias al apoyo que la Universidad deSan Andrés de La Paz prestó al autor concediéndole un año sabático entre abril 1990 y abril 1991.Este texto está dedicado, en primera instancia, a los alumnos sin los cuales sería muy difícil que losprofesores puedan cristalizar sus conocimientos, siendo, de todas maneras obvio que lo contrario noes forzosamente cierto...El texto está organizado para hacer parte de 4 cursos diferentes de 1 semestre. El primeroconstituye una introducción al Algebra Lineal con una orientación particular hacia sus aplicacionesen estadística. Contiene además un capítulo relativo a la Programación Lineal. El segundo curso esde modelos lineales, el tercero, de diseño de experimentos y el cuarto de análisis multivariante.Rolando MoralesUniversidad de San AndrésLa Paz - Bolivia vi
  7. 7. PARTE A:ELEMENTOS BÁSICOS DE ALGEBRA LINEAL 1
  8. 8. CAPÍTULO I. CONCEPTOS BÁSICOS1. INTRODUCCIÓNEn matemáticas aplicadas, sobre todo en varias de las ramas de estadística y de investigación operativa, elinvestigador trabaja con grandes cantidades de datos que, en general, se presentan en la forma de tablas den líneas y m columnas de números reales.Los elementos de cualquier columna (o línea) de esta tabla pueden ser interpretados como las coordenadas n mde un punto en R (o en R ).La distancia de uno de estos puntos al origen, como se verá posteriormente, puede ser asociada al concepto 1de varianza en estadística y el ángulo que dos de estos puntos forman con el origen al concepto decorrelación. La regresión lineal puede considerarse come una proyección ortogonal de un punto sobre unespacio vectorial.De manera a conceptualizar correctamente el enfoque geométrico de algunas ramas de la estadística asícomo de la investigación operativa conviene considerar esos puntos como elementos de un espacio vectorialy las tablas de números como matrices. Esta observación lleva naturalmente a introducir los espaciosvectoriales.Las reflexiones anteriores ponen el acento en la importancia de espacios vectoriales conformados por n-uplas de números reales.Sin embargo, muchas aplicaciones necesitan también la consideración de espacios vectoriales de n-uplasde números complejos.El presente texto supone que los estudiantes han seguido previamente un curso de Algebra Lineal, limitandomuchos de los desarrollo posteriores a espacios vectoriales conformados por n-uplas de reales o complejos. 1 La distancia es múltiplo de la varianza 2
  9. 9. 2. ESPACIOS VECTORIALESEl juego de ajedrez (o todo otro juego) tiene un soporte, las fichas y el tablero, y un conjunto de reglas quedefinen las "operaciones" o jugadas posibles. Aún si es banal, cabe señalar que ninguna ficha puede jugarfuera del tablero y que todas ellas pueden desplazarse sólo según las reglas predefinidas del juego (porejemplo, un caballo no puede desplazarse en línea recta).La expresión "puede" en este caso no significa una limitación absoluta, mas implica que toda violación a lasreglas significa que ya no se trata de un juego de ajedrez.... Un espacio vectorial es definido a través de: -un conjunto de elementos V -un cuerpo K y un conjunto de reglas o de operaciones que se ejecutan al interior de V. Estas operaciones son de dos tipos: -las que se refieren sólo a los elementos de V (reglas o leyes de composición interna) -las que combinan elementos del cuerpo K con los de los elementos del conjunto V para dar lugar a otros elementos de V (reglas o leyes de composición externa)En el recuadro, se introduce V como un conjunto de elementos cualquiera. No es el caso de K, el cual tieneuna estructura de cuerpo. En matemáticas aplicadas, K con frecuencia es el cuerpo de reales R o el decomplejos C.La ley de composición interna asocia a 2 ó más elementos de V un tercer elemento, también en V. Confrecuencia se la denomina suma y se la abrevia + por que en los espacios vectoriales compuestos por todaslas n-uplas de números reales, esta ley equivale a la suma en los reales. No obstante, si V es un conjuntocualquiera, esta abreviación puede prestar a confusión. 3
  10. 10. La ley de composición interna en V asocia a 2 o más de sus elementos un tercer elemento también en V con las características siguientes: 1. Es una ley conmutativa en el sentido en que si X+Y = Z también Y+X = Z 2. Es una ley asociativa en el sentido en que si X+Y = A y Y+Z=B, se tiene A+Z = X+B 3. En relación a la ley de composición interna, para que V sea un espacio vectorial 4. tiene que existir en V un elemento neutro 0 común a todos sus elementos tal que para cualquier X en V, X+0 = X 5. En forma simétrica al punto anterior, para que V sea un espacio vectorial, para * * cada X en V tiene que existir un elemento simétrico X tal que X+X = 0La ley de composición externa asocia a uno (ó varios) elementos de V y a uno (ó varios) elementos de K(denominados escalares) un elemento de V. Con frecuencia se la denomina "multiplicación por un escalar" yse la abrevia con un punto (.) por que en los espacios vectoriales compuestos por todas las n-uplas denúmeros reales, esta ley equivale a la multiplicación en los reales.No obstante, como en el caso de la ley de composición interna, si V es un conjunto cualquiera, esta 2abreviación puede presta a confusión ( ). 2 ) Desde el momento en que se usa el símbolo suma, el estudiante tiene la tendencia a asimilar esta operación a la suma de los reales y se pregunta por qué complicar tanto una operación tan simple...que la conocía desde el primer año básico. 4
  11. 11. La ley de composición externa está definida como sigue: Para todo X en V y para todo escalar a en K, a.X es un elemento de V. La ley de composición externa verifica los axiomas siguientes: 1. La ley de composición externa es asociativa en el sentido siguiente: si A=a.X y B =b.X se tiene b.A = a.B 2. En K, con relación a V, existe un elemento u, denominado neutro tal que para todo X en V, u.X= X (u es entonces el elemento neutro en relación a la multiplicación) 3. La ley de composición externa es distributiva en relación a la suma definida en V en el sentido siguiente: a.(X+Y) = a.X + a.Y , con a en K y X,Y en V 3 4. La ley de composición externa es también distributiva en relación a la suma( ) definida en el cuerpo K: (a+b).X = a.X + b.X , con a, b en K y X en V Vocabulario: Un conjunto V donde se ha definido una regla de composición interna y otra de composición externa en relación a un cuerpo K se denomina "espacio vectorial V en el cuerpo K". Los elementos de un espacio vectorial son denominados vectores.3) La suma en K y en V no se refiere, necesariamente, a las mismas operaciones. Así el signo + en a+b en relación a K no es el mismo que en X+Y en V. 5
  12. 12. n3. ESPACIOS VECTORIALES "V=K EN K" DONDE K ES UN CUERPO nK es una abreviación para identificar el conjunto de n-uplas de escalares del cuerpo K. Utilizando la suma y nla multiplicación definidas en K para definir las leyes de composición interna y externa en K (en el sentido nque se verá posteriormente), se puede demostrar que "K es un espacio vectorial en K".Las n-uplas de K, por convención son presentadas en la forma de una lista vertical de escalares de K (o"vector columna) :Ejemplo: ⎡α ⎤ ⎢ ⎥ ⎢β ⎥ n - upla en K n = ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣δ ⎦La ley de composición interna está definida como la suma (en K) "término a término" de los componentes de nlas n-uplas de V=K .Ejemplo: ⎡ a⎤ ⎡α ⎤ ⎡ a +α ⎤ ⎢ ⎥ ⎢β ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ b ⎥+⎢ ⎥ ⎢ b+ β ⎥ ⎢ c⎥ ⎢ γ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c +γ ⎥ ⎢d ⎥ ⎢δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ d +δ ⎥ ⎦La ley de composición externa está definida como la multiplicación (en K) de un escalar de K "por cada uno nde las componentes de le n-upla que constituye un elemento de V=K "Ejemplo: ⎡ x ⎤ ⎡ b.x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ b.y ⎥ b.⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ b.z ⎥ ⎢ w ⎥ ⎢ b.w ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 6
  13. 13. nCada n-upla en V=K es denominada vector o punto. Cada elemento de la n-upla es denominadocomponente o también coordenada.Un vector ei tal que todas sus componentes son nulas salvo la i-ésima que es igual al elemento neutro parala multiplicación en el cuerpo K es denominado "vector unidad-i".Ejemplo, si K=R : ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ei = ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ nEl conjunto de n vectores ei, para i=1,2,..n, es denominado "base canónica usual para K ". El término "base"tiene una importancia particular en Algebra Lineal y será explicado posteriormente. Por el momento, nobsérvese que todo vector X en K puede escribirse en la forma: X = x1e1 + x2e2 + ... + ......xnenComo puede observarse por la expresión precedente, el término "coordenada" para identificar la i-ésimacomponente xi del vector X está relacionado a su representación en términos de la base canónica usual.Si R=K y n=2, los vectores e1 y e2 pueden representarse por 2 puntos ubicados sobre dos ejes ortogonalesen forma equidistante a su intersección. 7
  14. 14. e2 e1Cualquier punto del primer eje puede representarse como un múltiplo de e1 así como cualquier punto delsegundo eje como un múltiplo de e2.Por otra parte, cualquier punto X del plano puede representarse como la suma de un punto x1e1 ubicadosobre el primer eje y de otro punto x2e2 situado sobre el segundo eje. x2e2 X x1e1En relación a la geometría elemental, se comprende entonces por que las componentes xi de un vector X sedenominan coordenadas.Pero, obsérvese también que esta denominación se refiere a la representación gráfica de un punto en unsistema de ejes ortogonales definido por los vectores de la base canónica. 8
  15. 15. Obviamente que un mismo vector puede representarse en otros sistemas de ejes y en consecuencia, conotras coordenadas. Imagínese solamente la rotación de los ejes del gráfico anterior en 30 grados oposibilidad de rotar solamente uno de ellos en 45 grados. nLa representación gráfica en ejes ortogonales de un vector o conjunto de vectores en R será utilizada confrecuencia en lo que sigue por lo que vale la pena prestarle alguna atención. nObsérvese que un vector X en R es, en consecuencia, un "punto" en el plano cuando n=2 y un punto en elespacio cuando n=3. Para n cualquiera, se seguirá identificando gráficamente un vector X por un punto. nUn conjunto de vectores X,Y,Z,...en R forma, entonces, una "nube de puntos" en el espacio. Cuando n=2,estos vectores pueden ser representados como una nube de puntos en un plano. nObsérvese que si X es un punto en R y a es un número, el vector aX se encuentra en la misma direcciónque X en relación al origen. Haciendo variar a entre -infinito y +infinito, el conjunto de vectores aX generauna línea que pasa por el origen. Intuitivamente, se puede observar la relación de dependencia lineal quetiene todo vector aX con X. Este concepto tiene gran importancia en estadística y será tratado con detalleposteriormente. aX XSe puede determinar el valor del vector Z=X+Y gráficamente, como lo muestra el ejemplo siguiente: 9
  16. 16. Z X YSi a y b son dos escalares no negativos que suman 1, el vector Z=aX+bY se encuentra sobre la línea queune los vectores X e Y; es denominado "combinación lineal convexa" de X e Y. Obsérvese que lascoordenadas de Z son medias aritméticas ponderadas de las coordenadas de X e Y.Ejemplo: Combinación Lineal Convexa X aX 0<a<1 - (1 -a) Y Y 10
  17. 17. Un caso muy importante de representación gráfica de vectores es el de la representación de conjuntosdefinidos por medio de desigualdades lineales. nCabe, en primera instancia señalar que si y y x son dos vectores en K , la expresión x≤y significa que cadauna de las componentes del vector x es inferior o igual a cada una de las componentes del vector y. 2 2Por ejemplo S{xεR / x≥0} recubre la totalidad del primer cuadrante en R . 2El conjunto S={xεR /0≤x≤a, con a=[1,1]} esta conformado por todos los puntos que se encuentran sobre uncuadrado de lado igual a 1, sobre el primer cuadrante, comenzado en el origen [0,0]. n ALGUNOS VECTORES PARTICULARES EN R : -VECTOR CERO : Sus componentes son iguales a cero -VECTOR UNO o SUMA : Sus componentes son iguales a uno -VECTOR PONDERACION : Sus componentes son no negativos y suman 1. -VECTOR DE CONTRASTE : Sus componentes suman cero4. ESPACIOS VECTORIALES DE MATRICES nEn la sección precedente, se ha visto que el conjunto de n-uplas de K (conjunto K ) es un espacio vectorial. nA su vez, las m-uplas de vectores de K conforman un espacio vectorial sobre K, como se veráposteriormente. nAsí como se señaló anteriormente que, por convención, los vectores de K se escriben en forma de una lista nvertical de escalares, las m-uplas de K se representan en forma de una lista horizontal de m vectorescolumna, es decir, en la forma de una tabla de n líneas y m columnas compuesta por escalares en K.Ejemplo: ⎡a b c⎤ ⎢ ⎥ A= ⎢ d e f ⎥ ⎢ ⎥ ⎢g ⎣ h i⎥ ⎦ 11
  18. 18. Esta tabla recibe el nombre de matriz. Independientemente de la forma de escribirla, no se puede perder devista de que el espacio de matrices de n líneas y m columnas no es otras cosa que el espacio de nxm-uplas nxmde K y que, en consecuencia, se trata del espacio vectorial K en K.Luego, la suma de 2 matrices está definida en forma similar a la suma de dos vectores: "término por término"Ejemplo: ⎡a b⎤ ⎡ e f ⎤ ⎡ a+e b+ f ⎤ ⎢ ⎥+⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣c d⎦ ⎢g ⎣ h ⎥ ⎢ c+ g ⎦ ⎣ d +h ⎥ ⎦De igual manera la multiplicación por un escalar equivale a multiplicar todos los términos de la matriz por elescalar.Ejemplo: ⎡a b ⎤ ⎡ λ .a λ .b ⎤ λ .⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣c d ⎦ ⎣ λ .c λ .d ⎦ ALGUNAS MATRICES PARTICULARES: MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada con 1 en su diagonal principal siendo ceros todas sus otras componentes MATRIZ CERO: Es una matriz llena de ceros MATRIZ UNO O MATRIZ SUMA Es una matriz llena de unos MATRIZ SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada nxn en la cual la i-ésima línea es idéntica la i-ésima columna, con i=1,2,..n 12
  19. 19. Cuando una matriz A es tal que sus líneas son iguales a las columnas de una matriz B se dice que A es lamatriz transpuesta de B y vice-versa. Obsérvese que una matriz simétrica es igual a su transpuesta.TRAZA DE UNA MATRIZ nxnSe denomina traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal. n traza(A) = ∑ aii i=1 La traza tiene las siguientes propiedades: i. Traza (A+B) = Traza(A) + Traza (B) ii. Traza (µA ) = µ.Traza. (A) iii. Traza (ABC) = Traza(BCA) = Traza(CAB) (circularidad).5. SUB-ESPACIOS VECTORIALESUn sub-espacio vectorial no vacío del espacio vectorial V es un subconjunto de éste que a su vez es unespacio vectorial en relación al mismo cuerpo K y las mismas leyes de composición interna y externa que V.Luego, una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio vectorial V en K sea, asu vez, un espacio vectorial es que para todo X,Y en W y para todo par de escalares a,b en K, el vector (a.X + b.Y) pertenezca a W.Como consecuencia de la definición se remarcará que:a. Todo subespacio vectorial W de V contiene al elemento neutro 0 de V en relación a la ley de composición interna.b. Un subconjunto de V conteniendo solo al vector neutro 0 es un subespacio vectorial de V 13
  20. 20. 3Ejemplo: Sea V=R y H={xεV/ x= ae1 +be2, para todo a,b en R}. El conjunto H es un subconjunto de V y es fácil de demostrar que si x,y son elementos de H, también lo son cx+dy para todo c,d 3 en R. Luego H es un subespacio vectorial en R . Geométricamente, V representa un espacio de 3 dimensiones. H constituye un plano de este espacio.6. SUBESPACIOS GENERADOS POR UN CONJUNTO DE VECTORESa. Combinaciones lineales de vectoresUna combinación lineal de los vectores X1, X2,...Xn del espacio vectorial V en relación a un conjunto deescalares λ1,λ2,...,λn en K es un vector Z en V tal que: Z = λ1.X1 + λ2.X2 +.....λn.XnZ es una combinación lineal convexa de estos vectores si los escalares λi, i=1,2,..n son no negativos y susuma es igual al elemento neutro en K en relación a la ley de composición externa (si K=R, este elemento esigual a 1).b. Conjuntos generadores, espacios generados por un conjunto de vectoresSea S un subconjunto de un espacio vectorial V. Se dirá que S genera o engendra el subespacio vectorial{S} en V si todo elemento de {S} puede escribirse como combinación lineal de los elementos de S.S es denominado el conjunto generador del espacio vectorial {S} en V y {S} el espacio vectorial engendradopor el conjunto de vectores S. 14
  21. 21. 7. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALEl vector X del espacio vectorial V es linealmente dependiente de un subconjunto S de vectores en V, si Xpertenece al conjunto engendrado por S, es decir, si X es una combinación lineal de vectores contenidos enS.De manera simétrica, X es linealmente independiente de S, si X no pertenece al espacio vectorialengendrado por los vectores de S, es decir, si X no es una combinación lineal de los vectores contenidos enS.Un conjunto D en V está formado por vectores linealmente independientes, si cada uno de sus vectores eslinealmente independiente del conjunto de vectores formado por los vectores restantes.De manera semejante: un conjunto D en V está formado por vectores linealmente dependientes, si por lomenos uno de sus vectores es linealmente dependiente de algún subconjunto de vectores formado por losvectores restantes.Las definiciones anteriores pueden traducirse de la siguiente manera:a. Dependencia linealUn conjunto de vectores (X1,X2,...,Xn) en V es un conjunto de vectores linealmente dependientes si existenescalares ui no todos simultáneamente nulos tales que: u1X1 + u2X2 + ... + unXn = 0b. Independencia linealUn conjunto de vectores (X1,X2,...,Xn) en V es un conjunto de vectores linealmente independientes (LIN) si laigualdad: u1X1 + u2X2 + ... + unXn = 0implica que todos los escalares ui son simultáneamente nulos. 15
  22. 22. c. Consecuencias de las definicionesi) Un vector X es linealmente dependiente de un conjunto de vectores LIN (X1, X2,... Xn) en V si el conjunto S=( X1, X2,..., Xn;X) está formado por vectores linealmente dependientesii) Si S es conjunto de vectores LIN, cada uno de sus subconjuntos será también LIN.Demostración (por absurdo)Sea S=(X1,X2,...,Xr,Xr+1,...,Xn) un conjunto formado por vectores LIN. Supongamos que S1=(X1,X2,...,Xr) es unsubconjunto de S formado por vectores que no son LIN; es decir, supongamos que existen escalaresu1,u2,...ur no simultáneamente nulos tales que: u1X1 + u2X2 + ... + urXr = 0Pero en tal caso: (u1X1+...+urXr) + (ur+1Xr+1+...+umXm)= 0con ur+1=ur+2=...un=0, expresión que contradice el supuesto inicial de que S está formado por vectores LIN.iii. Si un conjunto S está formado por vectores que no son LIN, todo conjunto para el cual S sea un subconjunto estará formado por vectores que no son LIN.iv. Si X1, X2,...Xn son LIN y si para dos conjuntos de escalares (v1, v2,..vn) y (w1, w2,..wn) se tiene: v1.X1 + v2.X2 +...vn.Xn = w1.X1 + w2.X2 + ...wn.Xn entonces, vi=wi, para todo i=1,2,...n. Demostración: Con ui=vi-wi la expresión precedente puede escribirse: u1.X1 + u2.X2 + ..unXn = 0, Si uno o más de los coeficientes ui fuesen diferentes de cero, los vectores Xi no serían independientes, lo que contradice la hipótesis inicial. Luego ui=0, i=1,2,..n.En consecuencia: La representación de un vector X en términos de una combinación lineal de vectores LIN X1, X2,...Xn es única. Es decir, existe un solo juego de escalares vi, i=1,2,..n, tal que X=v1.X1 + v2.X2 + ...vnXn. En particular, si X=Xi, entonces, vi=1, y vj=0 para todo i≠j) 16
  23. 23. 8. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIALEl número máximo de vectores LIN en un conjunto de vectores S en V es igual a M si en S existe algúnsubconjunto conformado por M vectores LIN y si todo otro vector en S puede escribirse como combinaciónlineal de los vectores de ese subconjunto. Consecuentemente con la definición anterior, se denomina "dimensión de un espacio vectorial" al número máximo de vectores LIN que contiene el espacio vectorial.Obsérvese que en todo espacio vectorial puede definirse una infinidad de conjuntos diferentes de vectoresconteniendo todos ellos el número máximo de vectores LIN.Obsérvese que si un conjunto de vectores S engendra {S} y si T es un subconjunto de S conteniendo elmáximo número de vectores LIN, T también genera {S}. En ese caso T es el conjunto en S con menosvectores capaz de generar {S}. Si W es un subespacio vectorial del espacio vectorial V, es evidente que no puede contener más vectores LIN que V, luego: dim W ≤ dim V9. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Sea V un espacio vectorial en K y B un subconjunto de V. El conjunto de vectores B es una BASE para V si: i. Esta compuesto de vectores LIN ii. Todo otro vector en V es una combinación lineal de los vectores de B. 17
  24. 24. Obsérvese que una base es un conjunto generador del espacio vectorial con la propiedad suplementaria decontener sólo vectores LIN.Puesto que todo otro vector en V es una combinación lineal de los vectores de B, el número de vectores quecontiene es igual al número máximo de vectores LIN en V; luego, consecuentemente con la definiciónanterior ese número es igual a la dimensión del espacio vectorial V.Si n es la dimensión del espacio vectorial V, todo conjunto de n vectores LIN {X1, X2,...Xn} es una base paraV. Esto muestra que para cada espacio vectorial existe una infinidad de bases diferentes.En la sección 3 se señaló que el conjunto de vectores unidad-i, para i=1,2,..n constituía una base para el nespacio vectorial K . Con las definiciones anteriores queda en evidencia por qué este conjunto esefectivamente una Base para ese espacio vectorial.10. CAMBIOS DE BASEA partir de una Base se puede construir nuevas Bases para V reemplazando sucesivamente algunos (otodos) los vectores de la base inicial por nuevos vectores en V. Esta operación se denomina "cambio debase".Obviamente que si se reemplaza un vector de la Base por otro que se encuentra fuera de ella, el nuevoconjunto es todavía una Base sólo si el nuevo vector es linealmente independiente de los demás.Sea, por ejemplo, B={X1,X2,...Xs} una base para V y Xr un vector en V fuera de B. Si se introduce Xr≠[0] en *lugar de Xs, obteniendo un nuevo conjunto B*={X1, X2,..,Xr}, B es todavía una base sólo si Xr es linealmenteindependiente de los Xi, i=1,2,,,s-1.La reflexión anterior nos lleva a platear el resultado siguiente: i. Puesto que B es una Base para V existen escalares ui, i=1,2,..s tales que Xr= u1.X1 +u2.X2...+usXs, ii. Si us=0, la expresión precedente muestra que Xr es una combinación lineal de X1, X2,..Xs-1, * luego B no podría ser una base. En consecuencia, us≠0 es una condición necesaria para * que B pueda ser una base. * iii. Supóngase que con us diferente de cero, B no contiene vectores LIN. Fácilmente se puede demostrar que en ese caso, B tampoco contiene vectores LIN. Luego, us diferente de cero es también una condición suficiente para que B* sea una base para V.Para muchos algoritmos, por ejemplo, el del SIMPLEX en el marco de la programación lineal o el de lainversión de matrices o el de la regresión lineal por etapas, es importante el algoritmo que permiterepresentar un vector cualquiera como una combinación lineal de los vectores de una nueva Base partiendode la representación relativa a una base anterior. 18
  25. 25. Sea B ={X1, X2,...Xs} una base inicial y, sea B*={X1, X2,...Xr} la nueva base.Supóngase que la representación del vector Xr en términos de B tiene la estructura siguiente: s -1 X r = ∑ a kr X k + a sr X s (9) k =1De donde: s -1 1 X s=( ) X r - ∑ ( a kr ) X k (10) a sr k =1 a srSi, inicialmente, la representación de un vector Xs+j cualquiera en términos de la base B era: s -1 X s+ j = ∑ a kj X k + a sj X s (11) k =1Reemplazando Xs en (11) por su expresión determinada en (10), se tiene la representación siguiente del *vector Xs+j en términos de la nueva base B : s -1 ) X r + ∑ ( a kj - sj kr ) X k a sj a a X s+ j = ( (12) a sr k =1 a srLas relaciones (10) y (12) proporcionan los elementos básicos para los cambios de representación de unvector cualquiera Xs+j en términos de una nueva base. 19
  26. 26. En efecto:Considérese la siguiente tabla denominada de Tucker: Vectores fuera de la base B Vectores en Xs+1 Xs+j . Xr la base B . X1 . . . . Xk akj akr . Xs asj asrEn esta tabla, la representación de los vectores que se encuentran fuera de la base se la hace con losescalares que se encuentran en las columnas de estos vectores. Estos escalares son los coeficientesasociados a cada uno de los vectores que se encuentran en la Base B.Obsérvese cómo esta tabla se modifica con la introducción del vector Xr dentro de la base, en lugar delvector Xs: Vectores fuera de la base B* Vectores en Xs+1 Xs+j . Xr la base B* . X1 . . . . Xk akj-(asjakr)/asr -akr/asr . Xr asj/asr 1/asrLas expresiones que se encuentran en esta tabla corresponden a los coeficientes de las relaciones (10) y(11). Recuérdese que los coeficientes sobre una misma columna se interpretan, en cada una de lasiteraciones, como los coeficientes asociados a los vectores de la base correspondientes a la representacióndel vector que se encuentra fuera de la base en la misma columna. 20
  27. 27. Algoritmo. A partir de una tabla inicial de Tucker es posible realizar sucesivos cambios de base y obtener las nuevas representaciones de los vectores que se encuentran fuera de ellas en términos de combinaciones lineales de sus vectores de las bases. 1. Se denomina pivote al elemento que se encuentra en la intersección de la columna del vector que entra en la base y en la línea del que sale de la base. Consecuentemente con los desarrollo anteriores, el pivote debe ser diferente de cero. El valor orignal del pivote será reemplazado por su inverso. 2. Los elementos de la columna del pivote se dividen por el pivote y cambian de signo 3. Los elementos de la línea del pivote se dividen por el pivote 5. El resto de los elementos se calculan de la siguiente manera: al elemento que se encontraba en la celda (i,j) se le sustrae el producto de los elementos que se encuentran en la línea i y la columna del pivote y en la columna j y la línea del pivote dividido por el valor del pivote. Las tablas anteriores ilustran estas operaciones.11. DUALIDAD EN LOS CAMBIOS DE BASEEn matemáticas aplicadas reviste particular importancia, como se señaló anteriormente, los espacios nvectoriales del tipo K en K, particularmente, cuando K=R. m mSean Xj, j=1,2,..n, n-vectores en R y reténgase como base inicial para R la base canónica usual E = {e1,e2,..em} en este espacio vectorial.Los vectores Xj pueden considerarse como vectores columna de una matriz X con m-líneas y n-columnas.La transpuesta de esta matriz, X, tiene n-líneas y m-columnas; cada uno de sus vectores columna Yj,j=1,2,..m puede ser representado en términos de los vectores B = {bi,i=1,2,..n}, de la base canónica usual de nR.Obsérvese que sin esfuerzo adicional de cálculo, se puede realizar cambios de base simultáneamente en labase E y en la base B así como lograr las representaciones respectivas de los vectores en los espacios m nvectoriales R y R : 21
  28. 28. Vectores fuera de la base EVectores en Xm+1 Xm+j . Xm+n la base E . e1 . . Yn+1 . . . ek akj akn Yn+k . em amj amn Yn+mVectores en b1 . bj bn Vectoresla Base B fuera de la base BObsérvese que todo cambio de base en E implica un cambio automático de base en B. Se dice que E y Basí como las bases siguientes son bases duales. 22
  29. 29. CAPÍTULO II. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES1. DEFINICIÓNSean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Sean X, W dos elementos cualesquiera de Ey µ algún escalar en K.Una aplicación lineal f de E en F es una aplicación tal que: i. f(X + W) = f(X) + f(W) ii. f(µX) = µ.f(X)En muchos textos, ambas propiedades de una aplicación lineal son resumidas en una sola: Se dice que f es una aplicación lineal de E en F si para todo X, W en E y todo par de escalares η,µ se tiene: f(ηX+µW) = η.f(X) + µ.f(W)Vocabulario:f(E) es el subconjunto de F con las imágenes de todos los elementos de E por la aplicación f.Cuando f(E)=F, se dice que f es una aplicación sobre F; si no, f es una aplicación en F.Se denomina rango de la aplicación lineal f al número máximo de vectores linealmente independientescontenidos en f(E)Posteriormente, se verá que f(E) es un espacio vectorial, en consecuencia, el rango de la aplicación lineal fes la dimensión del espacio vectorial f(E)). 25
  30. 30. 2. ALGUNAS CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LA DEFINICIÓNa. f(E) es un subespacio vectorial en F En efecto: Obsérvese que si Y1=f(X1) y Y2=f(X2) son dos elementos de f(E), para todo par η,µ en K se tiene: ηf(X1)+µf(X2) = f(ηX1+µX2) ε f(E) Puesto que f es una aplicación lineal de E en F. Se puede concluir, por otra parte, que si 0E es el elemento neutro en E, se tiene f(0E) = OF, donde este último es el elemento neutro en F.b. Si f(X1),f(X2),..f(Xr) son LIN en F, entonces X1, X2,..Xr son LIN en E. En efecto: Partiendo de que f(X1), f(X2),..f(Xr) son LIN en F, supóngase que X1, X2,..Xr no son LIN en E y que en consecuencia existen escalares λi tales que: λ1.X1 + λ2.X2 +....λr.Xr = 0E Utilizando a la izquierda y a la derecha de esta expresión la aplicación lineal f, se tiene: f(1.X1 + λ2.X2 +....λr.Xr)= f(0E) y, puesto que f es una aplicación lineal: λ1.f(X1) + λ2.f(X2) + ....λr.f(Xr) = f(0E) = 0F Lo que implicaría que los vectores f(X1), f(X2),..f(Xr) en F tampoco son LIN, contradiciendo la hipótesis inicial. 26
  31. 31. El resultado anterior implica que: dim f(E) ≤ dim E Para cualquier aplicación lineal f de E en F.Y, puesto que f(E) es un subespacio vectorial de F, se tiene que dim f(E) ≤ dim F, juntando ambos resultadosse concluye que: dim f(E) ≤ min {dim E, dim F} Para cualquier aplicación lineal f de E en F.c. Si f y g son dos aplicaciones lineales de E en F, f+g es también una aplicación lineal de E en F.d. Sean E, F, G tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y sea f una aplicación lineal de E en F y g una aplicación lineal de F en g: E → F → G f g La aplicación lineal compuesta f.g es una aplicación lineal de E en G. Obviamente que la composición de funciones lineales no es conmutativa (salvo pocas excepciones).e. Si E es igual a F y si el rango de la aplicación lineal f es igual a la dimensión de E, existe una aplicación lineal g, tal que para todo X en E : g(f(X)) = X f(g(X)) = X Se dice que f es la aplicación inversa de g o que g es la aplicación inversa de f. (ver sección 5 de este mismo capítulo). La composición de estas aplicaciones lineales f.g=g.f es uno de los pocos casos donde se observa la conmutatividad. 27
  32. 32. f. El conjunto de aplicaciones lineales {f} de E en F constituye un espacio vectorial en K.3. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES: MATRIZ DE UNA APLICACION LINEAL f.Sea B = {b1, b2,..bn} una base para el espacio vectorial E y sea D= {d1, d2,,,dm} una base para el espaciovectorial F y f una aplicación lineal de E en F de rango m.Los vectores f(bj), j=1,2,..n, se encuentran en f(E) ε F, en consecuencia, para cada uno de estos vectoresexisten escales aij en K que permiten representarlos como combinaciones lineales de los vectores di de labase D del espacio vectorial F: m f( b j ) = ∑ aij .d i j = 1,2,..n i=1Se denomina "matriz de la aplicación lineal f de E en F relativa a las bases B y D de E y F respectivamente,a la tabla A, de m líneas y n columnas cuyos elementos son los escalares aij, i=1,2,..m y j=1,2,..,n, de larepresentación anterior. n m4. APLICACIONES LINEALES CUANDO E=K Y F=K EN Ka. Una aplicación lineal como una combinación lineal en F n mSi E=K y F=K y D es la base canónica usual de F, se tiene, según el recuadro precedente, que f(bj) = aj, esdecir, el vector f(bj) es igual a la columna j de la matriz A. Este resultado pone en evidencia, también, que lascolumnas de la matriz A pertenecen al subespacio vectorial f(E).Sea X = Σxjbj, algún vector en E, con B={b1, b2,..bn} la base canónica usual de E.Obsérvese que para todo X en E se tiene: n n n f(X) = f( ∑ x j b j ) = ∑ x j f( b )= ∑ x j j aj j=1 j=1 j=1 28
  33. 33. n mEsta expresión pone en evidencia que una aplicación lineal de E=K en F=K de matriz A es unacombinación lineal de los vectores columna de esta matriz (es decir, que la imagen de todo vector X en E esuna combinación lineal en F de las columnas de la matriz A). La expresión precedente, muestra que las columnas de la matriz A constituyen un conjunto generador de f(E).En consecuencia, el número máximo de vectores columna LIN en A es igual a la dimensión del subespaciovectorial f(E), de donde, emerge, la expresión de rango de una matriz por asociación a la de rango de unaaplicación lineal: rango(A) = número máximo de vectores LIN en A = número máximo de vectores LIN en f(E) = dim f(E) = rango de la aplicación lineal f de E en Fb. Producto de una matriz por un vector n mSi f es una aplicación lineal de E=K en F=K de matriz A relativa a las bases canónicas de ambos espacios,se acaba de mostrar que f(X), para todo X en E, puede escribirse como una combinación lineal de lascolumnas de la matriz A.Por convención, esa combinación lineal se escribe como el producto de la matriz A por el vector X: Producto de una matriz A por un vector x: f(X) = AX= Σxjaj es una combinación lineal de los vectores columna de la matriz A. 29
  34. 34. c. Suma de aplicaciones lineales y suma de matricesSi f y g son 2 aplicaciones lineales de E en F de matrices A y B, la aplicación (f+g)(X) = f(X) + g(X) es unaaplicación lineal de E en F de matriz A+B, donde la suma de matrices está definida de la misma manera quefue introducida en el capítulo I.d. Composición de aplicaciones lineales y producto de matricesSean E, F, G tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y sea f una aplicación lineal de E en F dematriz A de rango r y sea g una aplicación lineal de F en G de matriz B y de rango t.La aplicación compuesta g.f de E en G es, como se mencionó anteriormente, una aplicación lineal de E enG. n m s Obsérvese que, cuando E=K , F=K y G=K : la matriz A tiene m líneas y n columnas y rango r la matriz B tiene s líneas y m columnas y rango t y, que: todo elemento Y=f(X) en F se escribe f(X) = AX todo elemento Z=g(Y) en G se escribe g(Y) = BY ó, en forma equivalente: g(f(X)) = BAX Luego, C=BA es la matriz de la aplicación compuesta g.fLa matriz BA es denominada producto de B por A. Es un producto no conmutativo. Recibe la interpretaciónsiguiente: nConsidérese en E=K , los vectores ej, j=1,2,,,n de la base canónica usual.Las imágenes en F de los ej, j=1,2,,,n, en E, son, como se vio anteriormente, los vectores columna aj de lamatriz A. 30
  35. 35. Por otra parte, las imágenes en G de los ej, j=1,2,,n, en E, son los vectores columna cj de la matriz C=BA.Luego: Cj = Baj , j=1,2,..,nComo se explicó anteriormente, para todo Y en F, el vector g(Y)=BY es una combinación lineal de losvectores columna de la matriz B. De donde, los vectores columna de la matriz C=BA, producto de B por A, están definidos como las siguientes combinaciones lineales de los vectores columna de la matriz B : m C j = ∑ aij Bi j = 1,2, , , n i=1 De la expresión precedente, se deduce la definición clásica del producto de una matriz por un vector. En efecto, si cij es el elemento de la línea i y columna j de la matriz C=BA se tiene: n cij = ∑ bik akj k =1e. Caracterizaciones relativas al rango de una matrizReuniendo varios de los resultados anteriores, se llega a resultados muy útiles en la práctica en lo queconcierne el rango de una matriz.Estos resultados son:i. rango(A) ≤ min {m,n } donde m es el número de líneas de A y n es el número de columnas Esta es una consecuencia directa de: dim f(E) ≤ min {dim E, dim F}ii. rango(BA) ≤ min {rango(B), rango(A)} 31
  36. 36. Obsérvese, en primer lugar, que gf(E) está contenido en g(F) luego dim gf(E) ≤ dim g(F), lo que a su vez implica que rango(BA) ≤ rango(B). Por otra parte, recuérdese que en la sección I se ha mostrado que el espacio imagen tiene una dimensión menor o igual al espacio raíz, de donde: dim g(f(E)) ≤ dim f(E), de donde, rango(BA) ≤ rango(A) En consecuencia, rango(BA) ≤ min {rango(B), rango(A)}iii. Como consecuencia de los dos puntos anteriores, se tiene el resultado siguiente: rango(BA) ≤ min {m,n,s} , donde B es una matriz sxm y, A una matriz mxn iv. Si B es una matriz con m columnas y rango(B)=m, entonces rango(BA)=rango(A) y Si A es una matriz con m columnas y rango(A)=m, entonces rango(BA)=rango(B)5. APLICACIONES LINEALES INVERSAS E INVERSOS DE MATRICESEn la sección 2, se enunció de que si f es una aplicación lineal de E en F y que si F=E con el rango de f iguala la dimensión de E, existía una aplicación g, denominada inversa de f, tal que gf(X)=fg(X)=X para todo X enE.En la presente sección se demostrará este resultado y se introducirá la noción de inverso de una matriz.Si el rango de f es igual a la dimensión n de E y E=F, se tiene que f(E)=F=E y existen n vectores f(X1),f(X2),..f(Xn) en E que son LIN y que forman una base para E. Luego todo X en E, en particular, los Xj, j=1,2,,,npueden escribirse como combinaciones lineales de estos vectores, es decir, existen escalares bij tales que: n X j = ∑ b ji f( X ) i j = 1,2,..n (5) i=1Por otra parte, si A={aij} es la matriz asociada a la aplicación lineal f, se tiene: 32
  37. 37. n f( X i ) = ∑ aik X k (6) k =1Reemplazando la expresión (6) en (5), se tiene: n X j = ∑ δ jk X k donde : k =1 (7) n δ jk = ∑ b ji aik i=1Teniendo en cuenta que X1, X2,..Xn forman también una base en E en virtud del resultado b. de la sección 2y puesto que la representación de cualquier vector en términos de los vectores de una base es única, setiene que existen coeficientes bij tales que: δij = 1. si i = j δij = 0. si i ╪ jpuesto que Xj=Xj es la representación única del vector Xj en términos de la base X1, X2,...XnEl anterior resultado muestra que bajo las condiciones anteriormente enunciadas en relación a la aplicaciónlineal f, existe una relación "uno-a-uno" entre los vectores Xi y los vectores f(Xi), es decir, que para cadavector Xi existe un vector f(Xi) y vice-versa. ésta admite una inversa g en el sentido en que se cumpleg.f(X)=X para todo X en E.En términos de las matrices A y B y de sus vectores columnas, los resultados anteriores pueden escribirseen la forma siguiente: Baj = ej , j=1,2,...n BA = I , Con I la matriz identidad nxn 33
  38. 38. Por otra parte, reemplazando la expresión (5) en (6), se tiene: n f( X j ) = ∑ ω jk f( X ) k donde : k =1 (8) n ω jk=∑ a ji bik j,k =1,2,..n i=1Nuevamente, teniendo en cuenta que f(X1), f(X2),..f(Xn) forman también una base en E en virtud del resultadob. de la sección 2 y puesto que la representación de cualquier vector en términos de los vectores de unabase es única, se tiene que los coeficientes bij verifican también : ωij = 1. si i = j ωij = 0. si i ╪ jpuesto que f(Xj)=f(Xj) es la representación única del vector Xj en términos de la base f(X1), f(X2),...f(Xn)En términos de las matrices A y B y de sus vectores columnas, los resultados anteriores pueden escribirseen la forma siguiente: Abj = ej , j=1,2,...n AB = I , Con I la matriz identidad nxnCon lo que se ha demostrado la existencia para toda matriz A de rango completo de otra matriz B, tambiénde rango completo, denominada inversa de A, tal que AB= y BA=I. Definición: Sea A una matriz nxn. La nxn-matriz B es la matriz inversa de A si: AB = I BA = I 34
  39. 39. 6. ALGORITMO DE INVERSIÓN DE UNA MATRIZA partir de los desarrollos anteriores, emerge, naturalmente, la idea de calcular el inverso de una matriz A apartir de sucesivos cambios de base, con un algoritmo similar al que fue propuesto en el capítulo I.En efecto, en la sección precedente se ha demostrado que los coeficientes bij de la matriz B inversa de A npermiten representar los vectores de la base canónica usual ej de K en términos de los vectores columna na1, a2,..an de la matriz A, los que constituyen una base para K : n e j = Ab j = ∑ bij ai i=1Recordando los puntos fundamentales del algoritmo de cambios de base expuesto en el Capítulo I, sepuede diseñar un algoritmo para invertir una matriz: i. Planteando como base inicial la base canónica usual, ii. Representando los vectores aj, j=1,2,..n en esta base, iii. Introduciendo sucesivamente los vectores aj, j=1,2,..n, en la base hasta sacar de ella, todos los vectores de la base canónica usual ei,i=1,2,..nLos coeficientes bij, obtenidos en la última tabla, permiten representar los vectores ej en términos decombinaciones lineales de los vectores columna de la matriz A, luego la matriz B={bij } es la matriz inversa deA, acorde con los desarrollos anteriores.Algunos puntos prácticos en relación a este algoritmo:i. Un vector aj puede reemplazar dentro de la base un vector ei sólo si el pivote respectivo (elemento de la celda {i,j}) es diferente de cero.ii. Si inicialmente los vectores de la base e1, e2,..en están ordenados, al igual que los que se encuentran fuera de ella, a1, a2,..an, la tabla inicial es idéntica a la matriz A.iii. Si en cada etapa del algoritmo ha sido posible intercambiar vectores en el mismo orden, es decir, utilizando como pivotes los elementos de la diagonal principal de la tabla, la última tabla es idéntica a la matriz B inversa de A.iv. Si se utiliza pivotes que se encuentran fuera de la diagonal principal, la última tabla contiene todos los coeficientes de la matriz B inversa de A pero, para identificarla con la matriz B, es necesario reordenar sus columnas, de manera a tener e1, e2,..en y, en su caso, también, las líneas de manera a tener a1, a2,..an. 35
  40. 40. Si después de k < n iteraciones, han entrado dentro de la base k vectores aj, siendo imposible introducir en ella los vectores restantes por que todos los posibles pivotes son nulos, la matriz no es inversible, su rango es igual a k < n.La tabla siguiente ilustra esta situación, cuando los k-vectores que se han podido introducir son a1, a2,..ak:Considérese las particiones siguientes: A = [a1,..ak | ak+1....an] = [ A1 | A2] E = [e1,..ek | ek+1,...en] = [ E1 | E2]Con las cuales se construirá la siguiente tabla de Tucker: Vectores fuera de la base Vectores en la Base E1 A2 A1 C G E2 R D=0En este caso, los vectores que componen A2 no pueden reemplazar en la base a los que componen E2puesto que todos los posibles pivotes, que se encuentran reagrupados en la matriz D, son nulos.Obsérvese que utilizando las convenciones usuales, los coeficientes de la matriz G contienen los escalaresque permiten representar los vectores columna de A2 en términos de los vectores columna de A1 y puestoque D es igual a cero, se tiene: A2 = A1GEsta expresión muestra que los n-k vectores columna de A2 son linealmente dependientes de los de k-vectores columna que contiene la submatriz A1. 36
  41. 41. Luego, a lo máximo, la matriz A contiene k vectores LIN, es decir, a lo máximo su rango es igual a k. Pero,por otra parte, obsérvese que los k-vectores columna de la submatriz A1 se encuentran en la base, luego sonLIN, en consecuencia, k es igual al rango de la matriz A.7. INVERSIÓN DE MATRICES PARTICIONADASEs fácil demostrar que la inversión por bloques de una matriz A sigue reglas semejantes a las del algoritmoanterior.Considérese la siguiente partición de la nxn matriz A: A11 A12 A21 A22Donde A11 es una matriz kxk. Supóngase que, en una primera etapa, es posible introducir dentro de la baselos k primeros vectores columna aj, j=1,2,..k, de la matriz A en lugar de los k primeros vectores ej, j=1,2,..k,de la base canónica usual para Rn. Se tendrá una tabla del tipo siguiente: -1 -1 A11 A11 A12 -1 -1 -A21A11 D= [A22 - A21A11 A12]Si en una segunda etapa es posible introducir dentro de la base los n-k vectores restantes de la matriz A, latabla siguiente contendrá la matriz inversa de A: -1 -1 -1 -1 -1 -1 A11 - A11 A12D A11 A21 -A11 A12D -1 -1 -1 -D A21A11 D 37

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