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Geometria no ensino fundamental

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Equilíbrio entre experimentação e dedução - Exemplos de atividades experimentais em geometria - Prof. Luiz Márcio Imenes

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Geometria no ensino fundamental

  1. 1. Editora Moderna Encontro de professores de Matemática
  2. 2. Geometria no ensino fundamental Equilíbrio entre experimentação e dedução Prof. Luiz Márcio Imenes [email_address]
  3. 3. Exemplos de atividades experimentais em geometria
  4. 4. <ul><li>Montar um bloco retangular a partir de sua planificação. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Montar uma pilha de cubos e desenhar suas vistas simplificadas </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Experiências com formas espaciais: quem rola? </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Outros exemplos: </li></ul><ul><li>Transformar uma folha de papel na superfície lateral de um cilindro. </li></ul><ul><li>Montar polígonos com canudos de tomar suco. </li></ul><ul><li>Construir um esquadro de papel e usá-lo para desenhar. </li></ul><ul><li>Construir retas perpendiculares e retas paralelas dobrando papel. </li></ul><ul><li>Girar 90º para a direita ou para a esquerda (brincar de robô). </li></ul><ul><li>Construir bissetriz dobrando papel. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Desenhar itinerários em malha de quadrados obedecendo certas instruções. </li></ul><ul><li>Avance 2 </li></ul><ul><li>Esquerda 90º </li></ul><ul><li>Avance 3 </li></ul><ul><li>Esquerda 90º </li></ul><ul><li>Avance 2 </li></ul><ul><li>Direita 90º </li></ul><ul><li>Avance 3 </li></ul><ul><li>Direita 90º </li></ul><ul><li>Avance 2 </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Mais alguns exemplos: </li></ul><ul><li>Desenhar retas paralelas deslizando o esquadro na régua. </li></ul><ul><li>Desenhar uma circunferência usando barbante; ou então, só uma régua. </li></ul><ul><li>Descobrir, por meio de tentativas, com quais polígonos regulares se pode recobrir o plano. </li></ul><ul><li>Desenhando, observar que “o raio divide a circunferência em seis partes iguais”. </li></ul><ul><li>Recortando papel, observar que a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180º. </li></ul><ul><li>Com dobraduras, observar que as bissetrizes de um triângulo se encontram em um ponto. </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Desenhar quadrados e investigar (experimentalmente): as medidas das diagonais são diretamente proporcionais às medidas dos lados? </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Desenhar triângulos retângulos e investigar (experimentalmente): a medida de um cateto é diretamente proporcional à medida do ângulo agudo oposto a ele? </li></ul>
  12. 12. Exemplos de atividades envolvendo dedução em geometria
  13. 13. <ul><li>A experimentação leva a um fato: hexágonos regulares recobrem o plano. A partir desse fato, pode-se deduzir a medida dos ângulos internos de um hexágono regular. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>O fato experimental: quadrados e triângulos equiláteros recobrem o plano (daí, as respectivas malhas). </li></ul><ul><li>Partindo desse fato, podem-se deduzir as medidas dos ângulos de polígonos desenhados sobre malhas triangulares ou quadriculadas. </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Conhecimento prévio: a propriedade fundamental da circunferência </li></ul><ul><li>PROBLEMA </li></ul><ul><li>Se a circunferência de centro A tem raio 5 cm e a de centro B tem raio 3 cm, então descubra as medidas de: </li></ul><ul><li>AB, CB, AD, DB, EB e AE. </li></ul><ul><li>Dos pontos assinalados na figura, qual está: </li></ul><ul><li>a) a 5 cm de A e a 3 cm de B? </li></ul><ul><li>b) a mais de 5 cm de A e a menos de 3 cm de B? </li></ul><ul><li>c) a menos de 5 cm de A e a menos de 3 cm de B? </li></ul><ul><li>d) a 5 cm de A e a 10 cm de B? </li></ul>
  16. 16. <ul><li>A experiência de traçar retas paralelas deslizando o esquadro na régua leva à percepção de que o paralelismo preserva ângulos (retas paralelas cortadas por uma transversal formam pares de ângulos iguais). A partir desse fato, pode-se deduzir que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Premissa: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. </li></ul><ul><li>A partir desse fato, pode-se deduzir a soma das medidas dos ângulos de um quadrilátero ou de qualquer outro polígono. </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Construir um polígono regular de n lados usando transferidor (divide-se 360º por n). </li></ul><ul><li>Em seguida, deduzir a medida do ângulo interno do polígono regular. </li></ul><ul><li>Quais são os conhecimentos prévios envolvidos nesta atividade? </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Conhecendo a fórmula da área do retângulo, pode-se deduzir a fórmula da área do paralelogramo. </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Conhecendo a fórmula da área do paralelogramo, deduz-se a do triângulo. </li></ul><ul><li>E depois, a do losango e a do trapézio. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Conhecendo semelhança de triângulos, podem-se deduzir relações métricas típicas dos triângulos retângulos, entre as quais o teorema de Pitágoras. </li></ul>
  22. 22. Questões para debate: <ul><li>Até 6º ou 7º anos só abordagem experimental e, depois, só o tratamento dedutivo? </li></ul><ul><li>Até que ano pode-se usar da experimentação? </li></ul><ul><li>Que importância tem a geometria na formação das pessoas? </li></ul><ul><li>Para que deduzir se os alunos não se interessam por isso? </li></ul><ul><li>Por que não tratar a geometria só dedutivamente? </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Este livro didático, para estudantes de 13 anos, foi muito usado no Brasil nas décadas de 1950 e 1960. </li></ul><ul><li>Vejamos como o autor apresenta a geometria. </li></ul>
  24. 24. <ul><li>O autor anuncia aos estudantes que, agora, fazendo uso somente da razão, tomarão contato com a geometria dedutiva. </li></ul><ul><li>A seguir, apresenta as noções primitivas. </li></ul>
  25. 25. Nessa abordagem, a partir de alguns conceitos primitivos e de alguns postulados, demonstram-se teoremas.
  26. 26. Capa de edição em inglês de Os Elementos de Euclides (1570) <ul><li>Essa forma de tratar a Matemática foi desenvolvida pelos gregos e exposta na obra fundamental Os Elementos , de Euclides (por volta de 300 a.C.). </li></ul><ul><li>“ Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico.” </li></ul><ul><li>Introdução à História da Matemática. Eves, H. Campinas: Editora da UNICAMP, 1995. </li></ul>
  27. 27. Manfredo Perdigão do Carmo é um matemático brasileiro vinculado ao IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, do Rio de Janeiro. Em 1973, em uma conferência para professores de Matemática, dentre outras considerações, ele afirma: <ul><li>“ Um dos maiores mal-entendidos do ensino da Matemática proveio da adoção dos livros de Euclides, ou de pequenas modificações deles, no ensino da Geometria. De início, devemos absolver Euclides de toda e qualquer culpa no caso. Euclides escreveu os seus livros com uma finalidade metodológica e não didática. </li></ul>
  28. 28. <ul><li>A formalização global, por ele obtida do volume de fatos geométricos conhecidos até então foi uma obra de gênio, melhor compreendida por filósofos e pensadores do que por jovens estudantes. Em oposição a Arquimedes, que usava uma combinação de formalização local e métodos heurísticos e cujas técnicas de pesquisas continham o germe de uma forma de ensino mais efetiva, a obra de Euclides foi tomada como um modelo didático. As consequências desastrosas deste fato se fazem sentir até hoje.” </li></ul><ul><li>Considerações sobre o ensino de Matemática. Manfredo Perdigão do Carmo. Revista de Ensino de Ciências, n.2. São Paulo: FUNBEC, 1981. </li></ul>
  29. 29. Entendo que o professor Manfredo não estivesse exagerando. <ul><li>De fato, boa parte das pessoas que, naquela época, foram apresentadas à geometria dedutiva ou aprendeu muito pouco ou, o que é mais grave, aprendeu a detestar Matemática e a odiar os teoremas. </li></ul><ul><li>O problema é ainda maior: na verdade, o modelo formal inspirou todo o ensino de Matemática. Euclides não escreveu sobre combinatória, mas a maneira habitual de apresentá-la segue o modelo. </li></ul><ul><li>Por fim: Euclides e sua obra são jóias preciosas demais para serem tratadas de modo equivocado. É preciso construir a compreensão do espírito dos Elementos . </li></ul>
  30. 30. Algumas tendências e orientações atuais <ul><li>Estudar conjuntamente figuras planas e espaciais. </li></ul><ul><li>Explorar atividades experimentais e de construção (não se trata do clássico desenho geométrico!). Essa estratégia implica o uso de uma série de recursos (nenhum deles dispendioso). </li></ul><ul><li>Estabelecer conexões com: Artes e Arquitetura, atividades profissionais, forma e função de objetos do cotidiano, outras disciplinas (Geografia, Ciências) etc. </li></ul><ul><li>Incorporar programas de geometria dinâmica ao trabalho com geometria. </li></ul>
  31. 31. <ul><li>No PISA e nos PCN usa-se a expressão espaço e forma para referir-se à geometria. A intenção é destacar que, além do estudo das formas, contemplam-se também as noções relativas a posição, localização, deslocamentos e representação de formas espaciais sobre o plano (vistas, mapas e plantas, cortes, perspectiva). </li></ul><ul><li>Adotar abordagens problematizadoras, o que significa buscar sempre as justificativas para os fatos observados. </li></ul><ul><li>Tais justificativas podem ser fruto da experimentação ou da argumentação dedutiva. </li></ul><ul><li>Explorar formalizações locais. </li></ul>

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