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Metodo de 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales

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Este es el artículo que publique en mi Blog con el nombre:

Cómo resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias con el método del factor integrante. Método de 4 pasos

Lles dejo el link para visiten mi Blog:

http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/como-resolver-ecuaciones-diferenciales-metodo-factor-integrante-metodo-4-pasos

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Metodo de 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales

  1. 1. CÓMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ORDI- NARIAS CON EL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE. MÉTODO DE 4 PASOS.
  2. 2. Al terminar este artículo podrás resolver todas las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y entenderás con exactitud, de una vez por todas, de donde sale la la estrategia para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) lineal. Dicha estrategia es de donde se deriva el método de 4 pasos que utilizamos en este blog para resolver las EDO’s lineales de 1er orden. Como se cita en «Métodología activa» -un articulo que podemos encontrar en la red-, es importante para el aprendizaje, de cualquier materia, contar con una metodología ordenada que nos permita sistematizar los pasos y las técnicas necesarios para llevar a cabo el proceso de dicho aprendizaje. Es por esto que te propongo este método. Además, el aprender haciendo, que es la filosofía que en este blog fomentamos, es el enfoque para la enseñanza, llamado constructivista, que más aceptación actualmente tiene por su alta efectividad, este enfoque también es conocido como aprendizaje basado en competencias, pues desarrolla conocimientos y habilidades entre otras cosas. Ver «Metodología del aprendizaje, Ministerio de Educación de Guatemala», que es un estudio del Ministerio de Educación de Guatemala que se encuentra en formato PDF en la red. 2
  3. 3. Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con el método de 4 pasos, utilizaremos la siguiente metodología: 1.- Partiremos de la exposición de los 4 pasos mencionados para resolver ecua- ciones diferenciales lineales ordinarias. 2.- Explicaremos el por qué de cada paso, su origen y su relación entre si. 3.- Utilizaremos el razonamiento deductivo para comprender de donde sale las formulas usadas para construir la solución de una ecuación diferencial lineal de 1er orden, las cuales son: Función complementaria (solución del sistema homegéneo asociado) yc = Ce − P (x)dx Función particular (solución del sistema no homogeneo) yp = 1 e P (x)dx e P (x)dx f(x)dx 3
  4. 4. METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN El metodo consiste de los siguietes 4 pasos: 1. Escribir la Ecuacion Diferencial Lineal en su forma estandar dy dx + P(x)y = f(x) 2. Calcular el Factor Integrante e P (x)dx Forma de la solucion: 3. yc = Ce − P (x)dx 4. yp = 1 e P (x)dx e P (x)dx f(x)dx 4 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  5. 5. Explicación del porque de cada uno de los pasos anteriores, su origen y su relación mutua Paso 1. Forma Estandar de una Ecuación Diferencial Lineal de 1er orden dy dx + P(x)y = f(x) (1) Para poder resolver una Ecuación Diferencial de cualquier tipo, debido a la gran variedad de formas en las que se pueden presentar, es importante poder identificar si ésta es una Ecuación Diferencial Lineal y el orden de la misma. Este paso permite poder aplicar los métodos conocidos para resolver la ED’s. En el caso de una Ecuación Diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden, vasta con redistribuir los términos de la ED estudiada para comprobar si tiene la forma de un ED lineal; recordando que esta forma implica las siguietes condi- ciones de linealidad de un ED. Condiciones para establecer la linealidad de una Ecuación Diferencial de primer orden: La variable dependiente (y o culaquier otra) y su derivada (y′ ) son de primer grado, es decir estan elevadas a la potencia 1. 5 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  6. 6. El coeficiente P(x), como la notación lo indica, debe de depender solo de la varaible independiente (para este caso es x). IMPORTANTE. A veces una Ecuación Diferencial de primer orden no es lineal en x pero si lo es en y, como en el ejemplo: dy dx = 1 x + y3 (2) es lineal en x pero no en y es decir, si despejamos para una u otra variable veremos que: dx dy = x + y3 ⇒ dx dy − x = y3 si es lineal mientras (2) no lo es. En general, es importante checar cuando es no lineal, una ED en una variable pero es lineal en la otra variable. Un ejemplo de como acomodar los terminos de una ED para ver si es lineal se desarrolla a continuacion: x2 y′ + x(x + 2)y = ex ⇒ xy′ + (x + 2)y = ex x ⇒ x dy dx + (x + 2)y = ex x 6 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  7. 7. ⇒ dy dx + (x + 2) x y = ex x2 (3) Donde (3) tiene la forma estándar (1). La solución de esta ecuación la puedes ver dando click al siguiente link: Solución de la Ecuación Diferencial (2). La forma estandar de una Ecuación Diferencial nos indica que podemos utilizar un factor integrante para resolverla, al corroborar su linealidad. Paso 2. Factor integrante e P (x)dx (4) El Factor Integrante es el factor que permite que una ecuación Diferencial se pueda integrar mediante las fórmulas conocidas del cálculo integral o diferencial. Su origen se puede entender si comparamos una de las formas estandar utilizadas para derivar funciones (La Regla del Producto) con la forma estándar de una Ecuación Diferencial Lineal y deducimos, a partir de sus similitudes, el factor faltante para que la Forma Estándar para al Ecuación Diferencial Lineal pueda 7 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  8. 8. ser igual a la forma estándar de la ecuación utilizada para desarrollar la derivada de un producto de funciones, conocida como «La Regla del Producto». A con- tinuación desarrollamnos dicha comparación: udv + vdu = d(uv) (5) y′ + P(x)y = f(x) Haciendo v = y dv = y′ d(uv) = f(x) Vemos que solo faltaria la u, por lo que si multiplicamos la u en la Forma Estandar de la Ecuacion Diferencial Lineal (1) y despejamos u, podemos obtener un factor que nos permita integrar la Forma Estandar de la ED, ya que ese factor al multiplicarlo por la forma estandar nos daria la forma facilmente integrable de 8 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  9. 9. la Ecuacion para la derivada de un producto de funciones (5), conocida como, Regla del Producto. Es decir: y′ + P(x)y = f(x) ⇒ uy′ + uP(x)y = uf(x) (6) Donde comparando (6) con (5), tenemos que u′ es igual a: u′ = uP(x)dx (7) E integrando esta última ecuacion tenemos: u = e P (x)dx Ahora, si multiplicamos este resultado en la Forma Estandar de una Ecuacion Diferencial: y′ + P(x)y = f(x) Tenemos: e P (x)dx y′ + e P (x)dx P(x)y = e P (x)dx f(x) (8) 9 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  10. 10. La cual se convierte en la forma de la Regla del Producto, donde el primer miembro de (8) es igual a la derivada del producto de las funciones: e P (x)dx y y y se puede escribir en la forma reducida que sugiere el segundo miembro de la ecuación (5), es decir: d e P (x)dx y = e P (x)dx f(x) (9) Esto hace fácilmente integrable la ecuación diferencial, al menos en el primer miembro, pues desconocemos el valor de f(x). Obviamente la solución de nuestra Ecuacion Diferencial Lineal al integrar (9), será: e P (x)dx y = C + e P (x)dx f(x)dx (10) De donde podemos ver que es fácilmente despejable y (como lo haremos más adelante). Con esto podemos ver el por qué de la utilización de este factor (factor integrante) e inclusive su relación con la solución yp, si despejamos y de la ecuación anterior (10). 10 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  11. 11. Una explicación más detallada del origen del Factor Integrante, la puedes encon- trar dando click aquí. FORMA DE LA SOLUCIÓN La forma de la solución de una ecución diferenciale de primer orden: y = yc + yp Nos dice que podemos encontrar DOS soluciones que se complementan al sumarse matemáticamente para formar una solución general de la Ecuación Dife- rencial. El porque de esta forma para la solución se puede entender si ejemplificamos una ED con un circuito electrico donde están conectados en serie 3 componentes, digamos un inductor, una resistencia y una fuente de alimentación de corrinte electrica, la Ecuación Diferencial que representa dicha conexión es: L di dt + iR = E(t) donde: 11 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  12. 12. L: es el inductor R: es la resistencia E(t): es la fuente de alimentación de corriente Si observas la corriente i, es la varaible dependiente, que es la que se desco- noce. Esta corriente será al calcularla muy diferente si la fuente de alimentación se desconecta, es decir si su valor es cero (0), o si la fuente de alimentación tiene un valor constante (k) o si la fuiente de alimentación varía con el tiempo (E(t)). Para el primer caso habrá que resolver la ecuación: L di dt + iR = 0 Para el segundo caso habría que resolver la ecuación L di dt + iR = K Para el tercer caso habrá que resolver la ecuación: L di dt + iR = E(t) Podría parecer ilógico que exista un valor para la corriente i(t) en un circuito si una fuente de alimentación, pero no lo es. Los indutores (y no se digan los capacitores) son elemnetos que almacenan corriente y en un circuito como el del ejemplo las corrientes circulantes no solo dependen de la alimentación de corriente sino de lo almacenado en sus elementos. 12 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  13. 13. Por esa razon cuando recien se cierra un interruptor de un circuito ocurre una variación de corriente antes de que se estabilice. De acuerdo a esto es necesario para conocer la corriente total de un circuito eléctrico, calcular su corriente en el instante en que se cierra el interruptor y sumarla a la coriente que resulta despues de que pase un tiempo y se estabilice la misma en el circuito, si este tiene una fuente de alimentación constante o variable. Un ejemplo de el cálculo de un circuito conectado en serie tipo RL lo pueden ver en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a circuitos (da click aquí). De esta forma, tal como en los circuitos eléctricos, los sistemas dinamicos o cual- quiera sistema que se represente mediante una ED lineal tendrá como solución general a la suma de dos soluiciones. Una obtenida de la Ecuación Diferencial igualada a cero, o mejor conocida como solución del sistema homogeneo asociado: dy dx + P(x)y = 0 (11) 13 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  14. 14. que se escribe como: yc Mas otra solución obtenida del la ecuación no homegénea (en este caso escrita igual que la forma estándar): dy dx + P(x)y = f(x) (12) que se escribe como: yp. Paso 3. yc = Ce− P (x)dx El origen específico de esta solución se obtiene al resolver el sistema homogeneo asociado de la ecuación (11). Su solución es muy sencilla pues se trata de una Ecuación Diferencial separable. Acontinuación resolvemos la ecuación (11): dy dx + P(x)y = 0 dy dx = −P(x)y dy y = −P(x)dx 14 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  15. 15. dy y = − P(x)dx + k ln (y) = − P(x)dx + k eln (y) = e− P (x)dx+k yc = e− P (x)dx ek yc = Ce− P (x)dx Donde el subíndice c se lo colocamos a la y para saber que esa solución proviene del sistema homogeneo asociado. Paso 4. yp = 1 e P (x)dx e P (x)dx f(x)dx La solución particular del sistema no homogéneo: dy dx +P(x)y = f(x), se obtiene precisamente siguiendo la lógica de igualar ésta forma de la Ecuacion Diferencial a resolver con alguna forma de integración o derivación conocida que podamos fácilmente integrar posteriormente. 15 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  16. 16. El desarrollo seguido en la justificación del por que utilizar un Factor Integrante, que hemos hecho más arriba, en realidad resuelve este sistema no homogeneo. Es decir, si encontramos un facor que multiplicado por la ecuación dy dx +P(x)y = f(x), nos dé la forma de la Regla del Producto, podremos integrar facilmente la ecuación y encontrar el valor de la variable dependiente y (o yp). Por tanto, si seguimos los pasos hechos para la optención de las ecuaciones (8),(9) y(10), utilizando el factor integrante µ(x) = e P (x)dx , tenemos: Sistema No Homogéneo: dy dx + P(x)y = f(x) Multiplicandolo por el factor integrante: µ(x) = e P (x)dx . µ(x)y′ + µ(x)P(x)y = µ(x)f(x) Esto implica que la ecuación tiene la forma de la derivada de un producto de funciones en su primer miembro, la cual se puede anotar como d(µ(x)y) y solo 16 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  17. 17. restaría integrar ambos miembros, del siguiente modo: d(µ(x)y) = µ(x)f(x)dx d(µ(x)y) = µ(x)f(x)dx + C µ(x)y = µ(x)f(x)dx + C y = 1 µ(x) µ(x)f(x)dx + C Y sustituyendo este resultado con el Factor Integrante encontrado, tenemos: yp = C e P (x)dx + e P (x)dx f(x)dx = Ce− P (x)dx + e P (x)dx f(x)dx La cual es la fórmula utilizada para encontrar la solución particular yp. 17 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/
  18. 18. 17 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/ Manual para simular con MATHEMATICA y SAGE Ecuaciones Diferenciales, Adquiere mayor seguridad en tus resultados, y Desarrolla tus habilidaes, Da click en el siguiente enlace: CÓMO ENTENDER y RESOLVER CUALQUIER ECUAION DIFERENCIAL LINEAL y SIMULARLA CON SOFTWARE EN 4 PASOS Una fórmula para la relización es: - Desarrollar tus habilidades - Vivir de ellas - Servir a los demás con ellas Te invito a desarrollarlas. Visitanos en: Sitio WEB: ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com Google +: Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos MAVR Facebook: Ecuacion Diferencial Ejercicios y Aplicaciones

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