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Programación lineal

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Considere el problema de asignación de 3 tipos diferentes (tamaños) de aviones a 4 rutas. La siguiente tabla da la máxima capacidad (el número de aviones disponibles de cada tipo, el número de viajes diarios que cada avión puede hacer en una ruta dada y el número diario de pasajeros esperados para cada ruta, los costos de operación asociados por viaje en las diferentes rutas y se incluye un costo penal (pérdida de utilidad) por no poder otorgarle el servicio al pasajero.
Se tiene un flujo de 6 componentes, A, B, C, D, E y F; siendo el total del flujo 750 unidades, conteniendo respectivamente 100, 150, 120, 90 y 170 unidades de A a E; la propiedad explotable solo es una y tiene los siguientes valores para cada componente: 320, 300, 290, 250, 215 y 190 respectivamente.

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Programación lineal

  1. 1. Considere el problema de asignación de 3 tipos diferentes (tamaños) de aviones a 4 rutas. La siguiente tabla da la máxima capacidad (el número de aviones disponibles de cada tipo, el número de viajes diarios que cada avión puede hacer en una ruta dada y el número diario de pasajeros esperados para cada ruta, los costos de operación asociados por viaje en las diferentes rutas y se incluye un costo penal (pérdida de utilidad) por no poder otorgarle el servicio al pasajero. avión tipo Capacidad pasajeros No. aviones No. vuelos diarios a cada ruta 1 2 3 4 1 50 5 3 2 2 1 2 30 8 4 3 3 2 3 20 10 5 5 4 2 Pasajeros esperados diarios 100 200 90 120 avión tipo Costo de operación por vuelo ($/vuelo) 1 2 3 4 1 1000 1100 1200 1500 2 800 900 1000 1000 3 600 800 800 900 Costo penal por pasajero 40 50 45 70 a) Formular el problema como un modelo de programación lineal, tal que, determine la asignación del número de aviones a las rutas el cual deberán minimizar los costos totales del sistema. b) Resolver con Solver. Resolución 1. ¿Qué se desea hacer, minimizar o maximizar? Se desea minimizar los costos de operación de manera simultánea con la cantidad de pasajeros para cada avión. 2. Identificación de las variables de decisión. Sea Xij el número de aviones tipo i asignado a la ruta j 3. Suposiciones 1. Cada avión asignado a cada ruta estará a su capacidad máxima de pasajeros. 2. Cada avión asignado a la ruta correspondiente, hará el número de vuelos completo. Así, se identifica la matriz que conforma las variables de decisión para la formulación de la función objetivo: Ruta Avión 1 2 3 4 1 X11 X12 X13 X14 2 X21 X22 X23 X24 3 X31 X32 X33 X34
  2. 2. Función Objetivo (F.O.) a minimizar: 3 4 0 1 1 min ij ij i j X C X = =   =     ∑∑ Donde Cij es el costo de operación de cada avión tipo i asignado a la ruta j X0=1000X11+ 1100X12+ 1200X13+ 1500X14+ 800X21+ 900X22+ 1000X23+ 1000X24+ 600X31+ 800X32+ 800X33+ 900X34 Restricciones: De disponibilidad, 4 1 ij ij X e= ≤∑ Donde ei es la disponibilidad de cada avión tipo i X11+ X12+ X13+ X14<=5 X21+ X22+ X23+ X24<=8 X31+ X32+ X33+ X34<=10 De demanda diaria por ruta, 4 1 2 31 50 30 20j j j jj X X X d= + + ≥∑ Donde dj es la demanda de cada ruta j 50X11 + 30X21 + 20X31>=100 50X12 + 30X22 + 20X32>=200 50X13 + 30X23 + 20X33>=90 50X14 + 30X24+ 20X34>=120 De número de viajes diarios por ruta, ij ijX m ij≤ ∀ Donde mij es el número máximo de vuelos de cada avión tipo i asignado a la ruta j X11<=3 X12<=2 X13<=2 X14<=1 X21<=4 X22<=3 X23<=3 X24<=2 X31<=5 X32<=5 X33<=4 X34<=2 De factibilidad
  3. 3. 0ijX ij≥ ∀ Estructurar el problema para resolver mediante el método de las grandes M’s para las restricciones mayor o igual que, O mediante el programa PL03 Solución X11=0 X12=4 X13=0.6 X14=0.4 X21=0 X22=0 X23=0 X24=2 X31=5 X32=0 X33=3 X34=2 1000X1 +1100X2 +1200X3 +1500X4 +800X5 +900X6 +1000X7 +1000X8 +600X9 +800X10 +800X11 +900X12 +0S1 +0S2 +0S3 +0S4 +0S5+0S6+0S7+0S8 +0S9+0S10+0S11+0S12 +0S13 +0S14 +0S15 +0S16 +0S17 +0S18 +0S19 +1MA1 +1MA2 +1MA3 +1MA4 +1MA5 1X1 +1X2 +1X3 +1X4 +1S1 = 5 +1X5 +1X6 +1X7 +1X8 +1S2 = 8 +1X9 +1X10 +1X11 +1X12 -1S3 +1A1 = 10 50X1 +30X5 +20X9 -1S4 +1A2 = 100 +50X2 +30X6 +20X10 -1S5 +1A3 = 200 +50X3 +30X7 +20X11 -1S6 +1A4 = 90 +50X4 +30X8 +20X12 -1S7 +1A5 = 120 1X1 +1S8 = 3 +1X2 +1S9 = 2 +1X3 +1S10 = 2 +1X4 +1S11 = 1 +1X5 +1S12 = 4 +1X6 +1S13 = 3 +1X7 +1S14 = 3 +1X8 +1S15 = 2 +1X9 +1S16 = 5 +1X10 +1S17 = 5 +1X11 +1S18 = 4 +1X12 +1S19 = 2 Sujeto a:
  4. 4. Costo mínimo: 10940 Se tiene un flujo de 6 componentes, A, B, C, D, E y F; siendo el total del flujo 750 unidades, conteniendo respectivamente 100, 150, 120, 90 y 170 unidades de A a E; la propiedad explotable solo es una y tiene los siguientes valores para cada componente: 320, 300, 290, 250, 215 y 190 respectivamente. (a) No teniendo más información que la dada en el punto anterior, y aplicando métodos algorítmicos, obtenga una propuesta de la mejor secuencia para separar este flujo en cada uno de sus componentes. (b) Determine: +) El número de flujos totales, +) El número de flujos totales a manejar algorítmicamente, +) El número de secuencias de separación a analizar, +) El número de separadores a calcular el costo. (c) Recientemente, obtuvo información adicional que para este tipo de flujo se ha desarrollado una correlación para el costo que es la siguiente: Co = 130 + 5X + 7X2 - 67/X – lnX. En donde la X es igual a la suma de Falim dividida entre la Delta de separación elevada (la delta) a la 0.6. Determine la mejor secuencia de separación. (d) Compare las dos soluciones (a y c) comentando sus conclusiones. (a) Tomando como punto de partida las reglas heurísticas de separación: • Hacer la separación más difícil hasta el final • Remueva el componente más abundante o la más fácil • Favorecer diagramas que efectúan separaciones directas. Componente Cantidad Propiedad explotable Δsep D 170 215 85 A 150 300 10 F 120 290 100 C 120 190 130 B 100 320 70 E 90 250 Sea c el número de componentes c=6 El número de separaciones mínima es c-1; 6-1=5
  5. 5. (b) Número de flujos totales, ( )1 NFT 2 c c + = Número de flujos totales a manejar algorítmicamente, ( )1 NFaMA 2 c c − = ( )6 6 1 NFaMA 15 2 − = = Número de secuencias de separación a analizar, ( )( ) ( ) 2 1 ! NSec ! 1 ! c c c − = − ( )( ) ( ) 2 6 1 ! NSec 42 6! 6 1 ! − = = − Número de separadores a calcular el costo. ( )( )1 1 NSepCA 6 c c c− + = ( )( )6 6 1 6 1 NSepCA 35 6 − + = = D A F C B E B E D A F C B E A F C D C A F A F 1 2 3 4 5
  6. 6. (c) Teniendo la información del costo, se puede determinar una mejor secuencia de separación El valor del costo para cada separación es: 2 0 67 130 5 7 ln( )C X X X X = + + − − Donde: 0.6 alim Sep F X = ∆ ∑ 1 ( ) 00.6 750 47.3218 16036.806 100 X C= = = 2 ( ) 00.6 440 30.6056 6834.34986 85 X C= = = 3 ( ) 00.6 310 16.7107 2161.47007 130 X C= = = 4 ( ) 00.6 190 14.8489 1740.46688 70 X C= = = 5 ( ) 00.6 270 67.8209 32661.6532 10 X C= = = D A F C B E B E B E C A F A F 1 2 3 4 5 D A F D C E B
  7. 7. Ahora, comparando con la primera secuencia propuesta, 1 ( ) 00.6 750 40.4292 11768.4363 130 X C= = = 2 ( ) 00.6 560 38.9526 10940.5268 85 X C= = = 3 ( ) 00.6 190 14.8489 1740.46688 70 X C= = = 4 ( ) 00.6 390 24.6073 4485.75792 100 X C= = = 5 ( ) 00.6 270 67.8209 32661.6532 10 X C= = = La segunda secuencia de separación propuesta es mejor, debido a que el costo es el mínimo. D A F C B E B E B E C A F A F 1 2 3 4 5 D A F D C E B 0 16036.806C = 0 6834.34986C = 0 2161.47007C = 0 1740.46688C = 0 32661.6532C = 59434.746 Costo Total D A F C B E B E D A F C B E A F C D C A F A F 1 2 3 4 5 0 11768.4363C = 0 10940.5268C = 0 1740.46688C = 0 4485.75792C = 0 32661.6532C = 61596.8411 Costo Total

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