Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4

771 views

Published on

.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 1 ΠΛΗ30 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 Ονοµατεπώνυµο:………………………………………………………………… Ηµεροµηνία: ……………………………………………………………………… ∆ιάρκεια: 180΄ Ερώτηµα Μονάδες Βαθµολογία 1 10 10 2 15 5 3 10 3+3+4 4 4+4 12 5 10 10 6 3+3 7+7 Σύνολο 120
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 2 ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 10+10) (Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους καθώς το n τείνει στο άπειρο: n 3 4 n 2 !
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 3 (Β) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων: 32 5 4 2/33 23 2 )()4( 3 3)()3( 100 1000)()2(log 3 27)()1( n n T n TnTn n TnT n n TnTnn n TnT +      +      =+      ⋅= +      =+      = Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους. Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: log log ( ) ( ), ( )b ba a (1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−− = Θ= Θ= Θ= Θ log log ( ) ( ), ( log )b ba a (2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ log ( ) ( ), , ( ( )). b a 0 0 (3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια n ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n b εεεε++++ = Ω= Ω= Ω= Ω      ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ         
  4. 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 4 ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 15+5) Μας δίνουν µια σειρά από αντικείµενα 1, 2, 3, … , n, µε αντίστοιχες αξίες: a[1], a[2], a[3], …, a[n]. ∆ιαθέτουµε συνολικό κεφάλαιο Κ χρηµάτων. Πρέπει να επιλέξουµε υποσύνολο αντικειµένων από το {1, 2, …, n} ξοδεύοντας συνολικά το µεγαλύτερο δυνατό ποσό από το διαθέσιµο κεφάλαιο µας Κ, χωρίς όµως να το υπερβούµε. (Α) Αν όλα τα αντικείµενα έχουν ίδια αξία, υπάρχει βέλτιστος άπληστος αλγόριθµος; (Β) Αν τα αντικείµενα έχουν αξίες που διαφέρουν, σχεδιάστε αλγόριθµο ∆υναµικού Προγραµµατισµού.
  5. 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 5 ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 10+10) 1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*(01+10)* (A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L (Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
  6. 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 6 2. Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση. A = {0n 14 | n<5} Β = {0m 1n | m>2, n<2} Γ = "# ∈ "0,1(∗|+ ,-./0ό1 234 0 5.4,. 056,7ύ25-+1 ,8ό 2+ 2-.87,9.+ 2+: ,-./0+: 234 ,9934( ∆ = {0n 10m | n∈ ;, m∈ ; } Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες: Έστω < µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός = (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε > ∈ < µε |?| @ = να µπορεί να γραφεί στην µορφή > ABC όπου για τις συµβολοσειρές A, B και C ισχύει: |AB| D = B E F ABG C ∈ < για κάθε φυσικό G @ H
  7. 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 7 ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 4+4+12) (Α) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα: L1 = {bbam bm+1 | m≥2}. (B) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα: L={am bn cp dq : m + n = p + q} (Γ) ∆ώστε ένα ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας Μ που να αναγνωρίζει τη γλώσσα: L3 = {a2n cn bm am | n,m ∈ }. (1) Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ. (2) ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα. Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών
  8. 8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 8 ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 10+10) Α: Έστω αλφάβητο Σ={a,b,c} και η γλώσσα: I ", J K | @ 1(. Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε αλφάβητο Σ0={α,b,c,#,$,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο # ∈ L∗ . (1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ. (2) ∆ώστε τα βήµατα της εκτέλεσης µε είσοδο #aaabbbc#
  9. 9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 9 Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M,q | η µηχανή Turing Μ δεν διέρχεται ποτέ από την κατάσταση q}. ∆είξτε ότι η L δεν είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
  10. 10. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 10 ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 5+15) Α. Στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δίνεται µια φόρµουλα φ σε κανονική συζευκτική µορφή και ερωτάται αν υπάρχουν τουλάχιστον 2 αποτιµήσεις που την ικανοποιούν. Εξετάστε αν η ∆ΙΠΛΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ανήκει στην NP. B. ∆ώστε πολυωνυµική αναγωγή του προβλήµατος της ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ.

×