∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ26
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
= 2 = 4 = =

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 2
(Ασκηση 2) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
33 23
1000
10)()2(
2
2)()1( n
n
TnTn
n
TnT +





=+





⋅=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)11(0+1) (00+11)(010+111)11
L2 = 11(0+10+110)*
L3 = (0+1)*1+1(0+1)*
L4 = (111+0)*000(0+11)*
L5 = (1*0*+0*1*+11*00*)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 4
Άσκηση 2:
∆ίδεται η κανονική έκφραση: (0*11)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 5
Άσκηση 3:
Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {04
1m
0n
1 | n,m ≥ 1}
B = {x∈{0,1}* | o αριθµός των µηδενικών είναι µικρότερος από το διπλάσιο του αριθµού των άσσων}
Γ = {1m
0n
1k
| n ≥ 3, m,k ≥1}
∆ = {1m
0n
1k
| n>m, k ≥1}

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = 1 0 1 0 | , ≥ 0}
L = 1 #
0 # | ≥ 0}
L = $$%| $ ∈ ', (, )}∗
}
L = $ ∈ ', (, )}∗| $ +ί-./ 0.1/-2345/6ή}
L = 8)9 | 8, 9 ∈ ', (}∗
, |8| = |9| + 2}
L; = 8)9 | 8, 9 ∈ ', (}∗
, 3|8| = |9| + 2}
L= = '( ( ) # | , ≥ 0}
L> = ' ( )?
@ > + B}

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 7
Άσκηση 2
∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {α,b}: }0,|{ ≥= mnbdcaL mmnn
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω C µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός D (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε E ∈ C µε |F| ≥ D να
µπορεί να γραφεί στην µορφή E = GHI όπου για τις συµβολοσειρές G, H και I ισχύει:
|GH| ≤ D
H ≠ L
GHM
I ∈ C για κάθε φυσικό M ≥ N

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 26 8
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, $, Y, N}, που να αποφασίζει
την γλώσσα L={w|w έχει ίσα 0 και 1}
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).