∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ24
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
)log()(
)!log()(
2
1
n
nnf
nnf
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).
Υποδειξη: Τύπος Stirling (για τον υπολογισµό του παραγοντικού): ! 2
n
n
n n
e
π
 
≈  
 

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 2
(Ασκηση 2) Να υπολογίσετε την ακριβή λύση των αναδροµικών σχέσεων:
( )
0,
0,
0
341
)()1(
=
>


 −+−
=
n
nnnT
nT





=
>+





=
1,0
1,2
3
5
)()2(
2
n
nn
n
T
nT

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)1*(0+1)0*(0+1)
L2 = (01+10+00)*
L3 = (0+1)*11+11(0+1)*
L4 = (0+11)*(10+111)*(00+1)*(100+11)*
L5 = (101+1*0*+1*10*)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 4
Άσκηση 2:
1 ∆ίδεται η κανονική έκφραση: (1+01)*+10*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 5
Άσκηση 3:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας κανονική έκφραση που
παράγει τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆είξτε ότι δεν είναι κανονική µε το λήµµα
άντλησης
}1||,{},1||,{ 21 ≥=≤= wwcwLwwcwL RR

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 0 1 | 0
L | , 0
L | 3
L | , ∈ , ∗
, | | | | 1
L | , ∈ , ∗
, | | 1 | |
L ! "
L# | $

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 7
Άσκηση 2
∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {0,1}: }0|10{ 1223
≥= ++
nL nn
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω % µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός & (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ' ∈ % µε |(| & να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ' )*+ όπου για τις συµβολοσειρές ), * και + ισχύει:
|)*| , &
* - .
)*/
+ ∈ % για κάθε φυσικό / 0

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 24 8
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, Y, N}, που να αποφασίζει την
γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).