∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ22
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
n
nf
nnf
nf
nf
nnf
n
n
n
2
5
loglog
4
)(log
3
log2
2
3/7
1
2)(
)(
2)(
2)(
5)(
3
=
=
=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 2
(Ασκηση 2) Να λύσετε τις αναδροµές:
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT log
5
2
2
)()1( +





+





=
4/7
4
128)()2( n
n
TnT +





=
n
n
TnT +





=
25
5)()3(
( ) 5
21)()4( nnTnT +−=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική
συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    
Υπόδειξη: )( 6
1
5
ni
n
i
Θ=∑=

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 1(0+1)*1(0+1)*(0+1)0
L2 = (110+01)*
L3 = 00*00+10*11*
L4 = 0*1*0*(0+01+011+0111)*0*
L5 = (00*1+11*0)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 4
Άσκηση 2:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας κανονική έκφραση που
παράγει τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆ωστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που
παράγει τις συµβολοσειρές της
}2||,{},2||,{ 21 ≥=≤= wwwLwwwL RR

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = 0 | ≥ 0}
L = 0 1 2 3 | , ≥ 0}
L = | ≥ 1}
L = | ∈ 0,1}∗
, ∈ 0,1}∗
, | | ≤ 1}
L = ! " , , # ≥ 0}
L$ = " = + #}
L& = | < < 2}

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 6
Άσκηση 2
Έστω Σ το αλφάβητο Σ={0,1,b} και L η γλώσσα που σχηµατίζεται ακριβώς και µόνον µε τους κανόνες
• 11∈L
• Αν x∈L, τότε και 0xbb∈ L
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω ( µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ) (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε * ∈ ( µε |+| ≥ ) να
µπορεί να γραφεί στην µορφή * = ,-. όπου για τις συµβολοσειρές ,, - και . ισχύει:
|,-| ≤ )
- ≠ 0
,-1
. ∈ ( για κάθε φυσικό 1 ≥ 2

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 7
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, b, #, $, Y, N}, που να
αποφασίζει την γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1,b}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).