1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ16
ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
nn
nf
nnnnf
nnnnf
log
3
43
2
112
1
2log)(
loglog)(
loglog)(
=
+=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).
2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT +
+
=
5
4
5
)()1(
n
n
T
n
TnT 2
log
12
3
7
4
)()2( +
+
=
n
n
T
n
TnT +
+
=
6
5
7
4
)()3(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ
4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16 4
Άσκηση 2: ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*0*1*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
(Γ) Απλοποιήστε το παραπάνω ΝΠΑ
5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΩΝ
∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = 1 0 | ≥ 0}
L = 1 0 1 0 | , ≥ 0}
L = 0 1 0 0 | , ≥ 0}
L = 1 0 | , ≥ 0}
L = | ∈ , }∗
}
L = 0 1 | ≥ 0}
L = ( ) | ≥ 0}
L = ( ) | , ≥ 0}
L! = ( ) | , ≥ 0}
6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16 6
Άσκηση 2
∆ίδεται η γλώσσα
(A) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική
(Β) ∆ώστε Γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L
(Γ) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L.
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω " µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός # (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε $ ∈ " µε |%| ≥ # να
µπορεί να γραφεί στην µορφή $ = &'( όπου για τις συµβολοσειρές &, ' και ( ισχύει:
|&'| ≤ #
' ≠ +
&',
( ∈ " για κάθε φυσικό , ≥ -
}0,|10{ ≥= mnbaL mmnn
