ΠΛΗ30
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Μάθηµα 1.3:
Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ηµήτρης Ψούνης∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ο
2. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ο
3. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ω
4. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ω
5. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Θ
2. Χρήση Ορίων για την απόδειξη ισχύος ασυµπτωτικών
συµβολισµών
3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς
Γ. Ασκήσεις

Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Οι στόχοι του µαθήµατος είναι:
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Επίπεδο Α
Ερµηνεία των ασυµπτωτικών συµβολισµών (να ξέρουµε πως µεταφράζεται
κάθε συµβολισµός)
Επίπεδο Β
Χρήση των ορίων για την απόδειξη ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός
συµβολισµός
Επίπεδο ΓΕπίπεδο Γ
Ορισµοί των ασυµπτωτικών συµβολισµών και απόδειξη µε τον ορισµό ότι
ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Εισάγουµε τους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς ο,Ο,Θ,Ω,ω για να µπορούµε
να περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτωνα περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτω
φραγµάτων.
Έστω δύο συναρτήσεις πολυπλοκότητας f(n) και g(n). Τότε:
Συµβολίζουµε ∆ιαβάζουµε Εµπειρικά
καταλαβαίνουµε ότι
f=o(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
γνήσιο άνω φράγµα την g
f<g
f=O(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω
φράγµα την g
f≤g
φράγµα την g
f=Θ(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω
και κάτω φράγµα την g
f=g
f=Ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
κάτω φράγµα την g
f≥g
f=ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
γνήσιο κάτω φράγµα την g
f>g

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο συµβολισµός Ο
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=O(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≤g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) είναι πάντα µικρότερη ή ίση από την cg(n) για κάποια κατάλληλη
σταθερά c.
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngOnf = )()(0:0,00 ngcnfcn ⋅≤≤>>∃ 0nn ≥
H σχέση f(n)=O(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως άνω φράγµα την g»

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο συµβολισµός Ο
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 1Παράδειγµα 1
Να αποδείξετε ότι: 2n=O(n3)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=2n, g(n)=n3
Επιλέγουµε n0=1, c=2.
3
22
)()(
nn
ncgnf
⇒≤
⇒≤
που ισχύει για κάθε n≥1
2
1 n≤

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2. Ο συµβολισµός o
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ο(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f<g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n)
είναι πάντα µικρότερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0
H σχέση f(n)=ο(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ άνω
φράγµα την g»
Προσοχή!!
n=O(n)
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngonf = )()(0::0 0 ngcnfnc ⋅<≤∃>∀ 0nn ≥
n=O(n)
n≠o(n)
n=o(n2)
n=o(n3)
…κ.ο.κ.
Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά
c>0.

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2. Ο συµβολισµός o
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 2Παράδειγµα 2
Να αποδείξετε ότι: 2n=ο(n2)
Απόδειξη:
Έστω c>0:
nc
cn
cnn
ncgnf
<
⇒<
⇒<
⇒<
/2
2
2
)()(
2
Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το
nc </2
 c/2

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4. Ο συµβολισµός Ω
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≥g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από την cg(n) για κάποια
κατάλληλη σταθερά c.
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf Ω= 0)()(:0,00 ≥⋅≥>>∃ ngcnfcn 0nn ≥
H σχέση f(n)=Ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως κάτω φράγµα την
g»

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4. Ο συµβολισµός Ω
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 3Παράδειγµα 3
Να αποδείξετε ότι: 4n=Ω(logn)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=4n, g(n)=logn
Επιλέγουµε n0=1, c=4.
nn
ncgnf
log44
)()(
⇒≥
⇒≥
που ισχύει για κάθε n≥1
nn log≥

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός ω
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά: f>g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n)
είναι πάντα µεγαλύτερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0
H σχέση f(n)=ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ κάτω
φράγµα την g»
Προσοχή!!
n=Ω(n)
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf ω= 0)()(::0 0 ≥⋅>∃>∀ ngcnfnc 0nn ≥
n=Ω(n)
n≠ω(n)
n=ω(logn)
n=ω(loglogn)
…κ.ο.κ.
Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά
c>0.

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός ω
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 4Παράδειγµα 4
Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n)
Απόδειξη:
Έστω c>0:
c
n
cnn
ncgnf
5.0
5.0
)()(
2
>
⇒>
⇒>
⇒>
Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το
cn 2>
c2

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός Θ
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Θ(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά f=g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) φράσσεται από πάνω και από κάτω από την g(n), όταν αυτή
πολλαπλασιάζεται αντίστοιχα µε κάποιες κατάλληλες σταθερές:
αν και µόνο αν
για κάθε
))(()( ngnf Θ= )()()(0:0,,0 21210 ngcnfngcccn ≤≤<>>∃
0nn ≥
H σχέση f(n)=Θ(g(n)) θα διαβάζεται «η f είναι ασυµπτωτικά ίση µε
την g»

Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός Θ
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 5Παράδειγµα 5
Να αποδείξετε ότι: 4n=Θ(n)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=4n, g(n)=n
Επιλέγουµε n0=1, c1=2.
24
24
)()( 1
≥
⇒≥
⇒≥
nn
ngcnf
που ισχύει για κάθε n≥1
Επιλέγουµε n0=1, c2=6.
που ισχύει για κάθε n≥1
24 ≥
64
64
)()(
≤
⇒≤
⇒≤
nn
ncgnf

Για να αποδείξουµε ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός µεταξύ 2
συναρτήσεων:
Β. Θεωρία
2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
συναρτήσεων:
Είτε χρησιµοποιούµε τον αντίστοιχο ορισµό,
Είτε κάνουµε χρήση του ακόλουθου θεωρήµατος:
Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να





=∝+
=
Θ=≠
=
∝+→
))(()(,
))(()(,0
))(()(,0
)(
)(
lim
ngnfό
ngonfό
ngnfόc
ng
nf
n
ωτετ
τετ
τετ
Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να
εξετάσουµε αν ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός είναι:
Υπολογίζουµε το παραπάνω όριο
Ανάλογα µε το αποτέλεσµά του να αποφασίσουµε αν ισχύει ή
όχι ο αντίστοιχος ασυµπτωτικός συµβολισµός

Β. Θεωρία
2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6
Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n)
Απόδειξη:
Συνεπώς 0.5n2=ω(n)
∝+===
∝+→∝+→∝+→
)5.0(lim
5.0
lim
)(
)(
lim
2
n
n
n
ng
nf
nnn
Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6
Να αποδείξετε ότι: 2n=o(3n)
Απόδειξη:
Συνεπώς 2n=o(3n)
0)66.0(lim
3
2
lim
3
2
lim
)(
)(
lim ==





==
∝+→∝+→∝+→∝+→
n
n
n
nn
n
nn ng
nf

Β. Θεωρία
3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ισχύουν οι ακόλουθες προφανείς προτάσεις για τους ασυµπτωτικούς
συµβολισµούς:συµβολισµούς:
∆ιαισθητικά: f=g αν και µόνο αν f≤g και f≥g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το Θ ισχύει και το Ο και το Ω
∆ιαισθητικά: Αν f<g τότε f≤g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο
Λήµµα 1: αν και µόνο αν και))(()( ngOnf =))(()( ngnf Θ= ))(()( ngnf Ω=
Λήµµα 2: Αν τοτε))(()( ngnf ο= ))(()( ngOnf =
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο
(∆εν ισχύει το αντίστροφο)
∆ιαισθητικά: Αν f>g τότε f≥g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ω ισχύει και το Ω
(∆εν ισχύει το αντίστροφο)
Λήµµα 3: Αν τοτε))(()( ngnf ω= ))(()( ngnf Ω=

Β. Θεωρία
4. Οι ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ως Σύνολα
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Έστω η παράσταση O(n2):
Ισχύουν τα εξής:Ισχύουν τα εξής:
1=O(n2)
n+2=O(n2)
logn=O(n2)
logn+5loglogn=O(n2)
3n2=O(n2)
Στην πραγµατικότητα ο συµβολισµός O(n2) εκφράζει όλες τις συναρτήσεις
που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2.που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2.
Άρα το O(n2) θα έπρεπε να απεικονίζεται ως σύνολο συναρτήσεων και να
γράφουµε αντίστοιχα:
Αλλά ευτυχώς έχει επικρατήσει ο συµβολισµός µε την ισότητα.
)(2
)(1
2
2
nOn
nO
∈+
∈

Γ. Ασκήσεις
Ασκηση Κατανόησης 1
Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g
σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την
g.
f(n) g(n) o O Θ Ω ω
n2 n3 √ √
n1.5 n
4logn 8logn
5n2 0.5n2
Π.χ. έχει σηµειωθεί µε √ το 1ο κελί, διότι n2=o(n3)
5n2 0.5n2
n3-5n 8logn

Γ. Ασκήσεις
Ασκηση Κατανόησης 2
Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g
σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς
συµβολισµούς ισχύει µεταξύ της f και της g
g(n)=5 g(n)=logn g(n)=n2 g(n)=2n g(n)=5n g(n)=nn
f(n)=loglogn ω
f(n)=4logn
f(n)=n
f(n)=2n2
Π.χ. στο 1ο κελί έχει σηµειωθεί ω αφού loglogn=ω(1)
f(n)=2n
f(n)=6n5+n
f(n)=3n
f(n)=n!

Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του αντιστοιχου ορισµού ασυµπτωτικού
συµβολισµού ότι:
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
συµβολισµού ότι:
)(.6
)3(2.5
)(46.4
)(loglog.3
)(4.2
)log(.1
2
2
22
nn
o
nn
nn
nnn
nnOn
n
nn
ω=
=
Θ=+
Ω=
Θ=+
=
)(.6 nn ω=

Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του ορισµού των ορίων ότι:
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
)(.6
)3(2.5
)(46.4
)(loglog.3
)(4.2
)log(.1
2
2
22
nn
o
nn
nn
nnn
nnOn
n
nn
ω=
=
Θ=+
Ω=
Θ=+
=
)(.6 nn ω=