∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
n n nnn n nn
n
n
nnf
nnnf
nnf
nf
log
4
)(log loglog log
3
log5
2
log
1
)(log)(
)(log)(
)(log)(
4)(
2 2 232
2
2
=
+=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατο έχουµε στη διάθεσή µας τρεις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά επτά υποπροβλήµατα µεγέθους
n/3 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n3
.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά δέκα υποπροβλήµατα µεγέθους
n/2 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους n-1
το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο n3
.
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο για την επίλυση του προβλήµατος. Θεωρείστε γνωστό ότι: )n( 4
1
3
Θ=∑=
n
i
i
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 10/20)
Μελετάµε το πρόβληµα της εύρεσης του συντοµότερου µονοπατιού από µία κορυφή αφετηρία σε µία κορυφή
– προορισµό σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα , µε θετικά ακέραια βάρη στις ακµές για το οποίο
προτείνεται ο εξής άπληστος αλγόριθµος:
1. Θέσε ως τρέχουσα κορυφή την .
2. Θέσε 0
3. Επανέλαβε εως ότου :
a. Επέλεξε την ακµή , ∈ , για κάθε γειτονική της µε το ελάχιστο βάρος.
b. Θέσε την ακµή , στο ελάχιστο µονοπάτι και αύξησε το W µε το βάρος της ακµής ,
c. Θέσε
4. Επέστρεψε το
Εξετάστε αν ο παραπάνω αλγόριθµος είναι βέλτιστος. Αν ναι, δώστε απόδειξη ορθότητας. Αν όχι δώστε ένα
κατάλληλο αντιπαράδειγµα.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 0*1*11*
(Α) ∆ώστε ένα Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές που παράγονται από την παραπάνω
κανονική έκφραση.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο του ερωτήµατος Α
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατίκη για το αυτόµατο του ερωτήµατος Α.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {0n
1m
| n ≥ 0, m ≥ 0}
B = {0n
1m
| n=m}
Γ = {0n
1m
| n ≥ 1, m ≥ 2}
∆ = {0n
1m
| n<m}
E = {0n
1m
| n ≥ 0, m∈{0,1,2}}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να
µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| |
∈ για κάθε φυσικό

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {an
bk
am
| k ∈ , n=m}.
L2 = {an
bk
am
| k =2n, n=m}.
Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή !" όπου για τις συµβολοσειρές
, , , ! και " ισχύει:
| !|
| !| # 0
$
!$
" ∈ για κάθε φυσικό % 0

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Εξετάστε το κατά πόσον τα παρακάτω προβλήµατα είναι επιλύσιµα.
Α: Μία συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0,1,2} περιέχει διαφορετικό πλήθος από 0 και 1.
Β: Ένα πρόγραµµα αποδέχεται την συµβολοσειρά 00.
Υπόδειξη: Το πρόβληµα του τερµατισµού δεν είναι επιλύσιµο

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Εξετάστε αν το ακόλουθο πρόβληµα είναι NP-πλήρες: ∆ίδεται γράφος G=(V,E) και ένας ακέραιος k και τίθεται το
ερώτηµα για το αν υπάρχει ένα υποσύνολο των κορυφών του γραφήµατος που κάθε ακµή του γραφήµατος έχει
τουλάχιστον το ένα άκρο της σε κορυφή του υποσυνόλου.
Υπόδειξη: Θεωρείστε γνωστό ότι το πρόβληµα της εύρεσης ενός υποσυνόλου κορυφών µεγέθους k που δεν
συνδέονται µε ακµή είναι NP-πλήρες.