Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8

461 views

Published on

Συνδυαστική
Προτασιακή Λογική
Κατηγορηματική Λογική
Θεωρία Γράφων

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 1 ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ8 ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) Έχουµε στην διάθεση µας 15 αριθµηµένους βόλους και πρόκειται να τοποθετήσουµε 5 από αυτούς σε µία σειρά. Οι διαφορετικοί τρόποι να γίνει η τοποθέτηση είναι ίσοι µε: 1. Τον συντελεστή του x5 στην παράσταση (1 + x )15 . 2. Τον συντελεστή του x5 / 5! στην παράσταση e15x . 3. Τον συντελεστή του x5 / 5! στην παράσταση (1 + x )15 . 4. 15! 5! (2) Θεωρούµε τα αποτελέσµατα της ταυτόχρονης ρίψης δύο ίδιων ζαριών (ένα ζάρι µπορεί να φέρει 1, 2, 3, 4, 5, ή 6, όλα τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ο αριθµός των διαφορετικών αποτελεσµάτων είναι 36 . 2. Η πιθανότητα τουλάχιστον ένα ζάρι να φέρει άρτιο αριθµό είναι ίση µε 3/4. 3. Η πιθανότητα τα δύο ζάρια να φέρουν το ίδιο αποτέλεσµα είναι ίση µε 1/6. 4. H πιθανότητα κάποιο ζάρι να φέρει 5 και το άλλο ζάρι να φέρει 6 είναι ίση µε 1/36. (3) Σε µία συγκέντρωση συµµετέχουν 4 άνδρες και 6 γυναίκες. Όλοι οι άνδρες ανταλλάσσουν µεταξύ τους χειραψία, όλες οι γυναίκες µεταξύ τους και 4 από τους άνδρες µε 4 από τις γυναίκες. Σε αυτή τη συγκέντρωση: 1. Οι χειραψίες που συµµετέχει τουλάχιστον ένας άνδρας είναι 28. 2. Οι χειραψίες που συµµετέχει τουλάχιστον µία γυναίκα είναι 31. 3. Ο συνολικός αριθµός χειραψιών είναι 28. 4. Ο µέγιστος αριθµός χειραψιών που συµµετέχει µία γυναίκα είναι 7.
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 2 (4) Έστω φ, ψ αυθαίρετα επιλεγµένοι τύποι. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς; 1. φ ∨ ¬φ |= φ → (ψ → φ) 2. ¬(φ → (ψ → φ)) |= φ → ¬φ 3. |= ψ → (φ → ψ) 4. |= φ → (¬φ → ¬φ) (5) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ο τύπος ∀x(P(x, y) ∧ Q(x)) → ∃yQ(y) είναι πρόταση. 2. Η µεταβλητή z εµφανίζεται ελεύθερη στον τύπο ∀zQ(z) → ∃xP(z, x) 3. Οι τύποι ∀x∀y(Q(x) ∨ R(y)) και ∀xQ(x)∨∀yR(y) είναι λογικά ισοδύναµοι. 4. Οι τύποι ∃x∃y(Q(x) ∨ R(y)) και ∃xQ(x)∨∃yR(y) είναι λογικά ισοδύναµοι. (6) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης απλού µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G µε n≥2 κορυφές. 1. Αν ο A περιέχει τουλάχιστον 2n άσσους, τότε το G περιέχει κύκλο. 2. Αν H ο πίνακας γειτνίασης άλλου γραφήµατος 'G ισόµορφου µε το G , τότε A H= . 3. Ο A περιέχει πάντα άρτιο αριθµό 1. 4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη του A µε n άσσους.
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 3 (7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ένα επίπεδο συνεκτικό γράφηµα µε k όψεις µπορεί να µετατραπεί σε δένδρο αν του αφαιρέσουµε k-1 ακµές. 2. Κάθε υπογράφηµα µη επιπέδου γραφήµατος είναι µη επίπεδο γράφηµα. 3. Υπάρχει επίπεδο γράφηµα µε 7 ακµές, 7 κορυφές και 3 όψεις 4. Το συµπληρωµατικό γράφηµα επιπέδου γραφήµατος είναι επίσης επίπεδο (8) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αφορούν την επιπεδότητα αληθεύουν; 1. Υπάρχει επίπεδο γράφηµα που όλες οι κορυφές έχουν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 6. 2. Όλες οι αποτυπώσεις επίπεδου γραφήµατος έχουν ίδιο αριθµό όψεων. 3. Ένα µη επίπεδο γράφηµα περιέχει σαν υπογράφηµα το Κ5 ή/και το Κ3,3. 4. Ένα γράφηµα που δεν έχει κύκλο Hamilton είναι αναγκαστικά µη επίπεδο. (9) Σε ένα συνδεόµενο γράφηµα G στο οποίο όλες οι ακµές έχουν θετικό βάρος ισχύει: 1. Ο αλγόριθµος του Dijkstra εφαρµοζόµενος στο G µε τα αρχικά του βάρη και στο G µε βάρος κάθε ακµής αυξηµένο κατά την ίδια θετική ποσότητα, θα επιστρέψει το ίδιο ελάχιστο µονοπάτι µεταξύ δύο κορυφών. 2. Ο αλγόριθµος του Prim εφαρµοζόµενος στο G µε τα αρχικά του βάρη και στο G µε βάρος κάθε ακµής αυξηµένο κατά την ίδια θετική ποσότητα, θα επιστρέψει το ίδιο ελάχιστο συνδετικό δένδρο. 3. Στο δένδρο διάσχισης κατά βάθος, ένα σηµείο κοπής είναι φύλλο. 4. Η βαρύτερη ακµή του G δεν µετέχει σε κανένα ελάχιστο συνδετικό του δένδρο. (10) Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι δένδρο n≥3 κορυφών. 1. Αν ο µέγιστος βαθµός του Τ είναι ∆, τότε το Τ έχει τουλάχιστον ∆ φύλλα. 2. Κάθε ζευγάρι κορυφών του Τ ενώνονται µε ένα µοναδικό µονοπάτι. 3. Το συµπληρωµατικό του Τ είναι πάντα συνεκτικό γράφηµα. 4. Τα φύλλα του Τ αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.
  4. 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού) Άσκηση 1 (Μονάδες 25) (Ερώτηµα 1) Στη βιβλιοθήκη του ΕΑΠ υπάρχουν 10 διαφορετικά βιβλία τα οποία πρόκειται να τα δανειστούν οι 3 φοιτητές Α, Β, Γ. (1) Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο δανεισµός, αν ο Α δανείστηκε 5 βιβλία, ο Β δανείστηκε 3 βιβλία και ο Γ δανείστηκε 2 βιβλία. (2) Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο δανεισµός, αν ο Α δανείστηκε 4 βιβλία, ο Β δανείστηκε 3 βιβλία και ο Γ δανείστηκε 3 βιβλία. (3) ∆ώστε γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνετε τον όρο της γεννήτριας ο συντελεστής του οποίου δείχνει τον τρόπο που µπορεί να γίνει ο δανεισµός αυτός αν κάθε φοιτητής πρόκειται να δανειστεί τουλάχιστον ένα βιβλίο και ο Γ άρτιο αριθµό. (Ερώτηµα 2) (α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ6 έχει το Κ100; (β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100; (γ) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
  5. 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 5 Άσκηση 2 (Μονάδες 35) (Ερώτηµα 1) Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι },),({φ ξψξχψ →→→ |- χφ → . (Ερώτηµα 2) (Α) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski, να δείξετε ότι ο τύπος ψ ≡ ∃x∀yP(x,y) → ∀y∃xP(x,y) είναι λογικά έγκυρος. (Β) Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα) τι δηλώνει ο τύπος ψ όταν ερµηνευτεί σε δοµές που είναι απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα και το P(x, y) σηµαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε ακµή. (Γ) Να εξηγήσετε (στη φυσική γλώσσα) τι δηλώνει ο τύπος ψ όταν ερµηνευτεί στη δοµή µε σύµπαν τους φυσικούς αριθµούς και το P(x, y) σηµαίνει ότι το x είναι µικρότερο ή ίσο του y.
  6. 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 6 Άσκηση 3 (Μονάδες 20) (1) Έστω G απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα που δεν είναι συνδεόµενο. Να δείξετε ότι στο συµπληρωµατικό γράφηµα G , κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται είτε µε ακµή είτε µε µονοπάτι µήκους 2.
  7. 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 8 7 Άσκηση 4 (Μονάδες 20) α) Έστω G απλό επίπεδο γράφηµα. Συµβολίζουµε µε n τον αριθµό των κορυφών του και µεm τον αριθµό των ακµών του. ∆είξτε ότι 3 6m n≤ − . Στη συνέχεια, δείξτε ότι αν επιπλέον ισχύει ότι κάθε όψη του G είναι τρίγωνο, τότε 3 6m n= − . β) ΈστωG ένα απλό επίπεδο γράφηµα του οποίου κάθε όψη είναι τρίγωνο. Συµβολίζουµε µε pi τον αριθµό των κορυφών βαθµού i στο G. ∆είξτε ότι (6 ) 12i pi− =∑ , όπου το άθροισµα είναι πάνω σε όλους τους βαθµούς i που έχουν οι κορυφές του G .

×