Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5

873 views

Published on

Προτασιακή Λογική

Published in: Education
  • Be the first to comment

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 1 ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5 Προτασιακός Λογισµός Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Επαναλάβετε τα µαθήµατα: • Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 4: Προτασιακός Λογισµός • Προτασιακή Λογική – Μάθηµα 5: Θεωρήµατα Προτασιακού Λογισµού Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Απαιτείται άριστη γνώση και των δύο µαθηµάτων. Η τυπική απόδειξη πέφτει στις ασκήσεις του Β’µέρους και θεωρείται εύκολη µοναδα εφόσον κάποιος έχει µελετήσει άριστα όλες τις ασκήσεις των αντιστοιχων µαθηµάτων. Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων. Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη: Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’ Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’ Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’ Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 2 Ερωτήσεις Ερωτήσεις 1 ∆ίδεται το ΑΣ2 (φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ο τύπος (¬¬φ→(ψ→χ)) → ((¬¬φ→ψ)→(¬¬φ→χ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε Συντακτική Αντικατάσταση. 2. Ο τύπος (¬¬φ → (ψ → φ)) → ((φ → φ) → (φ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε Συντακτική Αντικατάσταση. 3. Ο τύπος (¬φ → (¬φ → ¬¬φ)) → ((¬φ → ¬φ) → (¬φ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε Συντακτική Αντικατάσταση. 4. Ο τύπος (¬ψ → (φ → φ)) → ((¬ψ → φ) → (¬ψ → φ)) προκύπτει άµεσα από το ΑΣ2 µε Συντακτική Αντικατάσταση. Ερωτήσεις 2 Το θεώρηµα της απαγωγής εξασφαλίζει ότι για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και για αυθαίρετα επιλεγµένους τύπους φ και ψ ισχύει Αν T U φ |- ψ τότε T |- φ → ψ Είναι σωστό ότι οι παρακάτω δηλώσεις προκύπτουν άµεσα από το Θεώρηµα Απαγωγής χωρίς την χρήση άλλων θεωρηµάτων ή προτάσεων? 1. Αν T U ¬¬φ |- ¬ψ τότε T |- φ → ¬ψ 2. Αν T U (φ → φ) |- (ψ → φ) τότε T |- (ψ→φ)→(φ→φ) 3. Αν φ |= φ τότε |= φ→φ 4. Αν φ → χ |- φ τότε |- (φ → χ) → φ Ερωτήσεις 3 Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις προκύπτουν άµεσα από την εφαρµογή του θεωρήµατος Αντιθετοαναστροφής χωρίς χρήση άλλων θεωρηµάτων ή προτάσεων: 1. Αν Τ∪{φ} |- ψ τότε Τ∪{¬ψ} |- ¬φ 2. Αν Τ∪{φ} |- ¬(¬ψ) τότε Τ∪{¬ψ} |- ¬φ 3. Αν ¬φ |- ¬ψ τότε ψ |- φ 4. Αν ¬φ |- ¬ψ τότε ψ |- ¬(¬φ) Ερωτήσεις 4 Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές και ποιες όχι: 1. Το | ( )ψ ϕ χ θ− → → , προκύπτει από το { , , }|ψ ϕ χ θ− , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Απαγωγής µία ή περισσότερες φορές. 2. Το { , }|ϕ ψ ψ− ¬¬ , προκύπτει από το { , }|ψ ψ ϕ¬ − ¬ , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. 3. Το |ϕ ψ χ− → ¬ , προκύπτει από το { , }|ψ χ ϕ− ¬ , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. 4. Το |ϕ ψ χ− ¬ → , προκύπτει από το { , }|ϕ χ ψ¬ − , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 3 Ερωτήσεις 5 Στις παρακάτω προτάσεις τα 1T και 2 T είναι σύνολα προτασιακών τύπων. 1. Αν τα 1T και 2 T είναι ικανοποιήσιµα, τότε είναι ικανοποιήσιµο και το 1 2T T∪ . 2. Αν τα 1T και 2 T είναι ικανοποιήσιµα, τότε είναι ικανοποιήσιµο και το 1 2T T∩ . 3. Αν το 1T είναι συνεπές και 1 |T - φ , τότε ο φ είναι ταυτολογία. 4. Αν το 1T είναι ικανοποιήσιµο και ο φ είναι ταυτολογία, τότε το 1 { }T ϕ∪ είναι συνεπές. Ερωτήσεις 6 Για τους προτασιακούς τύπους ,f g και h ισχύει: f |= g , g |-ΠΛ h¬ και h¬ |= f . Τότε πάντα ισχύει επίσης και ότι: 1. Ο τύπος είναι ταυτολογία 2. Ο τύπος f g∨ είναι ταυτολογία 3. Και οι τρεις τύποι ,f g και h , περιλαµβάνουν τις ίδιες ακριβώς προτασιακές µεταβλητές 4. Ισχύει ότι{ , }f g |-ΠΛ h¬ , αλλά δεν ισχύει ότι { , }f g |= h¬ f h∨
  4. 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 5 4 Ασκήσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές: 1. {ξ → ¬¬ξ, ¬φ → (¬φ → φ), (φ→ξ)→(ψ→¬φ), (ξ → ¬¬ξ) → ψ,φ → ξ} |- ¬φ → φ 2. χ |- (¬χ → φ) → (¬χ → χ) χωρίς χρήση των θεωρηµάτων του Προτασιακού Λογισµού. Άσκηση 2 Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές: 1. ¬¬φ → (¬¬φ → ψ) |- (χ → (¬ψ → ¬χ)) → (χ → (((¬ψ → ¬χ) → ¬¬φ) → ψ)) 2. |- ψ → ((¬χ → φ) → ¬¬ψ) Μπορείτε να επικαλεστείτε οποιοδήποτε θεώρηµα του προτασιακού του λογισµού, αλλά όχι τα θεωρήµατα Εγκυρότητας - Πληρότητας. Άσκηση 3 Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές: 1. φ |- (ψ → ψ) ∨ ¬¬φ 2. φ∧ψ |- φ → ψ Άσκηση 4 Έστω Τ σύνολο προτασιακών τύπων και φ,ψ, χ προτασιακοί τύποι. ∆είξτε ότι αν T ∪ {φ, ψ} |= ¬χ τότε T |- χ → (ψ → ¬φ) Άσκηση 5 Αποδείξτε τις ακόλουθες τυπικές συνεπαγωγές χωρίς να επικαλεστείτε κανένα από τα θεωρήµατα του προτασιακού λογισµού (απαγωγής, αντιθετοαναστροφής, πληρότητας κ.λπ.) 1. {ψ→(φ→χ),φ} |- ψ→χ 2. {¬φ→¬ψ, ¬φ→¬¬ψ} |- φ Άσκηση 6 1. Να δείξετε ότι ϕ |−ΠΛ ψ ϕ¬ → κατασκευάζοντας τυπική απόδειξη χωρίς όµως να χρησιµοποιήσετε κανένα από τα γνωστά θεωρήµατα. 2. Χρησιµοποιώντας το (1) δείξτε ότι ϕ¬ |−ΠΛ ψ ϕ¬ → ¬ . 3. Χρησιµοποιώντας το (1) και το (2) δείξτε ότι { , }ϕ ϕ¬ |−ΠΛ ψ (κατασκευάζοντας τυπική απόδειξη χωρίς όµως να χρησιµοποιήσετε κανένα από τα γνωστά θεωρήµατα).

×