1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ4
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων να προγραµµατιστούν οι εξετάσεις 5 διαφορετικών µαθηµάτων σε µια
εξεταστική περίοδο διάρκειας 15 ηµερών, ώστε να µην συµπίπτει η εξέταση δύο µαθηµάτων την ίδια ηµέρα
είναι ίσος µε:
1. Τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους 15 που περιέχουν 10 άσσους.
2. Τον συντελεστή του x5
/5! στην παράσταση (1 + x)15
.
3. 305
4. 30!/25!
(2) Θεωρούµε τις µεταθέσεις 7 διακεκριµένων αντικειµένων α1, α2, ..., α7. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν;
1. Υπάρχουν (3!)2
µεταθέσεις όπου το αντικείµενο α1 εµφανίζεται στην 4η
θέση.
2. Υπάρχουν 7!/2 µεταθέσεις όπου το αντικείµενο α1 εµφανίζεται πριν το α2
3. Υπάρχουν 7! µεταθέσεις όπου τα α1, α2, και α3 εµφανίζονται σε διαδοχικές θέσεις µε αυτήν τη σειρά.
4. Υπάρχουν 5! µεταθέσεις όπου το αντικείµενο α1 εµφανίζεται στην 1η
θέση και το αντικείµενο α7 εµφανίζεται
στην 7η
θέση.
(3) Θεωρούµε τις διανοµές k διακεκριµένων αντικειµένων σε n διακεκριµένες υποδοχές όταν έχει σηµασία η
σειρά µε την οποία τα αντικείµενα εµφανίζονται στις υποδοχές. Το πλήθος των διαφορετικών διανοµών είναι
ίσο µε:
1.
1
!
+ − 
 
 
n k
k
k
2. Τον συντελεστή του xk
στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ …)n
3. Τον συντελεστή του / !k
x k στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ …)n
4. Τον συντελεστή του xk
/ k! στην παράσταση (1 + x)n+k-1

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 2
(4) Έστω φ, ψ αυθαίρετα επιλεγµένοι τύποι. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι αληθείς;
1. φ ∨ ¬φ |= ¬(φ → (ψ → φ))
2. ¬(φ → (ψ → φ)) |= φ ∨ ¬φ
3. |= ψ → (ψ → φ)
4. |= φ → (ψ → φ)
(5) Ο τύπος , ∧ ∃ , ∧ ,
1. Ο τύπος ∃ ∃ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου το P(x,y) σηµαίνει ότι x<y.
2. Ο τύπος ∀ ∃ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου το P(x,y) σηµαίνει ότι x<y.
3. Ο τύπος ∀ ∃ αληθεύει στο σύνολο των πραγµατικών όπου το P(x,y) σηµαίνει ότι x<y.
4. Ο τύπος ∃ ∃ αληθεύει στο γράφηµα «κύκλος τάξης 5» όπου το P(x,y) σηµαίνει ότι οι
κορυφές x,y συνδέονται µε ακµή.
(8) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Σε ένα γράφηµα µε βάρη (µήκη) στις ακµές, για όλα τα ζευγάρια διαφορετικών κορυφών s και t, η ακµή
ελαχίστου µήκους εµφανίζεται στο συντοµότερο s-t µονοπάτι.
2. Αν Α είναι το µητρώο σύνδεσης ενός (απλού µη κατευθυνόµενου) γραφήµατος G και το άθροισµα των
στοιχείων κάθε γραµµής του Α είναι k, τότε το γράφηµα είναι k-κανονικό.
3. Υπάρχει αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα µε 18 κορυφές.
4. Ένα απλό µη κατευθυνόµενο 4-κανονικό γράφηµα µε 14 ακµές που είναι επίπεδο, έχει 9 όψεις.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 3
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Κάθε υπογράφηµα ενός συνδεόµενου γραφήµατος είναι συνδεόµενο.
2. Κάθε επαγόµενο υπογράφηµα τουλάχιστον 2 κορυφών του Kn , n ≥ 2, είναι πλήρες.
3. Αν ένα γράφηµα έχει χρωµατικό αριθµό ίσο µε k, κάθε υπογράφηµά του έχει χρωµατικό αριθµό ίσο µε k.
4. Κάθε γράφηµα έχει ένα υπογράφηµα που είναι δέντρο.
(8) Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη απεικονίζονται µε έντονες γραµµές οι ακµές ενός τµήµατος Ελαχίστου
Συνδετικού ∆ένδρου κατά την κατασκευή του από τον αλγόριθµο του Prim. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν;
1. Η επόµενη ακµή που θα προστεθεί είναι η (v5,v6)
2. Η µεθεπόµενη ακµή που θα προστεθεί είναι η (v5,v6)
3. Η επόµενη ακµή που θα προστεθεί είναι η (v4,v7)
4. Η ακµή (v1,v7) δεν µετέχει σε κανένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο.
(9) Θεωρούµε το γράφηµα Κ3,3 µε κάθε ακµή να έχει βάρος 1
1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει δένδρο ύψους 6.
2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ύψους 2.
3. Οι αλγόριθµοι διάσχισης κατά βάθος και διάσχισης κατά πλάτος παράγουν δένδρο βάρους 6.
4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ίσου βάρους µε το δένδρο που παράγει ο
αλγόριθµος του Prim.
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει δένδρο ύψους n αν εφαρµοστεί στο γράφηµα Kn
2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ύψους 2 αν εφαρµοστεί στο γράφηµα Kn
3. Οι αλγόριθµοι διάσχισης κατά βάθος και κατά πλάτος παράγουν το ίδιο δένδρο αν εφαρµοστούν στο Kn
4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό του συντοµότερου
µονοπατιού από µια κορυφή s σε µια κορυφή t αν όλες οι ακµές έχουν το ίδιο βάρος

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
1. Σε ένα ντουλάπι υπάρχουν 10 ζευγάρια παπουτσιών (κάθε ζευγάρι αποτελείται από ένα δεξί και από ένα
αριστερό παπούτσι, και κάθε ζευγάρι είναι διαφορετικό από οποιοδήποτε άλλο). Αν επιλέξουµε τυχαία 4
παπούτσια, ποια η πιθανότητα να µην επιλέξουµε κανένα ζευγάρι παπουτσιών;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
α) Να δείξετε ότι |– φ → ¬¬φ.
β) Να δείξετε ότι { φ → ψ, ¬ψ } |– ¬φ.
Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα Θεωρήµατα Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής, Απαγωγής σε Άτοπο, αλλά όχι
το Θεώρηµα Εγκυρότητας-Πληρότητας.
(Ερώτηµα 2)
Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∃ ∧ ∀ → ∃ ∧ είναι λογικά έγκυρος
(Ερώτηµα 3)
1. Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα
αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του
γραφήµατος και το διµελές κατηγόρηµα Q(x,y) ερµηνεύεται ως «Υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην
κορυφή y»
A. ∆ίνεται η πρόταση ∃ , ∧ ∀ → , ∧ , . Να εξηγήσετε (στην φυσική
γλώσσα και χρησιµοποιώντας την έννοια του έξω-βαθµού και του έσω-βαθµού κορυφής) ποια
γραφήµατα επαληθεύουν την . Να δώσετε µια δοµή µε τουλάχιστον 5 κορυφές που επαληθεύει την
πρόταση .

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
1. Σχεδιάστε όλα τα µη ισόµορφα δένδρα µε 2,3,4 και 5 κορυφές. Έπειτα επαληθεύστε ότι κάθε ένα από
αυτά έχει χρωµατικό αριθµό 2.
2. Αποδείξτε µε µαθηµατική επαγωγή ότι κάθε δένδρο τουλάχιστον 2 κορυφών έχει χρωµατικό αριθµό 2.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 4 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Θεωρούµε επίπεδες αποτυπώσεις των γραφηµάτων , και στις οποίες επισηµαίνουµε τις ακµές
, , , και , της εξωτερικής όψης του κάθε ενός αντίστοιχα. Σχεδιάστε και τα τρία
γραφήµατα ταυτόχρονα στο επίπεδο χωρίς οποιεσδήποτε ακµές τους να διασταυρώνονται, µε τις ακµές , ,
να ταυτίζονται, δηλαδή τις κορυφές , , να ταυτίζονται σε µία κορυφή και τις , , να ταυτίζονται σε
άλλη.