Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3

1,170 views

Published on

Συνδυαστική

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3

  1. 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 1 ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Συνδυαστική (Γεννήτριες Συναρτήσεις) Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Επαναλάβετε τα µαθήµατα: • Συνδυαστική – Μάθηµα 5: Απλές Γεννήτριες Συναρτήσεις • Συνδυαστική – Μάθηµα 6: Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις Άριστη Γνώση στις κατηγορίες Ασκήσεων του Μαθήµατος 5 Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι µάλλον η πιο εύκολη µονάδα των τελικών εξετάσεων. Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων. Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη: Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’ Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 28’ Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’ Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
  2. 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 2 Ερωτήσεις Ερωτήσεις 1 Ένα παιχνίδι παίζεται µε 6 παίκτες, καθένας από τους οποίους επιλέγει έναν αριθµό από το 1 έως το 10. Οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής των αριθµών είναι: 1. Όσοι ο συντελεστής του 10 10!x στην παράσταση 6 ( 1)x e − 2. Όσοι ο συντελεστής του 6 6!x στην παράσταση 10x e 3. 4·105 , αν τουλάχιστον ένας παίκτης έχει τον αριθµό 10 4. 106 – 105 , αν τουλάχιστον ένας παίκτης έχει τον αριθµό 10 Ερωτήσεις 2 Θεωρούµε τις διανοµές k διακεκριµένων αντικειµένων σε n διακεκριµένες υποδοχές όταν έχει σηµασία η σειρά µε την οποία τα αντικείµενα εµφανίζονται στις υποδοχές. Το πλήθος των διαφορετικών διανοµών είναι ίσο µε: 1. 1 ! + −      n k k k 2. Τον συντελεστή του xn στην παράσταση (1 + x + x2 + x3 + x4 + …)k 3. Τον συντελεστή του / !k x k στην παράσταση (1 + x + x2 + x3 + x4 + …)n 4. Τον συντελεστή του / !k x k στην παράσταση 2 3 4 1 2! 3! 4! n x x x x   + + + + +    L Ερωτήσεις 3 Ο αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µήκους 12 που σχηµατίζονται από 4 Α, 5 Β, και 3 Γ είναι ίσος µε 1. 12! / (4! 5! 3!), όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί. 2. 10! / (4! 5! 3!), όταν η συµβολοσειρά πρέπει να αρχίζει µε Α και να τελειώνει µε Β. 3. Το συντελεστή του x12 /12! στη γεννήτρια συνάρτηση !3!5!4 354 xxx ⋅⋅ , όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί. 4. 10!/(4!5!3!), όταν τα 3 Γ πρέπει να εµφανίζονται διαδοχικά (χωρίς να υπάρχουν άλλοι περιορισµοί). Ερωτήσεις 4 Θεωρουµε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετήσουµε 4 διακεκριµένα αντικείµενα σε 2 διακεκριµένες υποδοχές ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 2 αντικείµενα, όταν δεν ενδιαφέρει η σειρά εµφάνισης των αντικειµένων στις υποδοχές. Αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε: 1. Το συντελεστή του x4 στη γεννήτρια συνάρτηση ( x2 + x3 + x4 )( 1 + x + x2 + x3 + x4 ). 2. Το συντελεστή του x4 / 4! στη γεννήτρια συνάρτηση ex (ex – 1 – x). 3. Τον αριθµό των υποσυνόλων µε τουλάχιστον 2 στοιχεία ενός συνόλου µε 4 στοιχεία. 4. Τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους 4 που περιέχουν τουλάχιστον ένα 1 και τουλ. ένα 0.
  3. 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 3 Ασκήσεις Άσκηση 1 Έχουµε 10 µπάλες των 5 κιλών, 10 µπάλες των 2 κιλών και απεριόριστες µπάλες του 1 κιλού. Να γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα: 1. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε n µπάλες. 2. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες που το συνολικό τους βάρος είναι n. Άσκηση 2 Στις επόµενες εκλογές, σε ένα ορεινό χωρίο της ακριτικής ελλάδας συµµετέχουν τα κόµµατα Α,Β,Γ,∆. Εγγεγραµένοι στο εκλογικό τµήµα είναι 100 άτοµα. Σύµφωνα µε τις δηµοσκοπήσεις αναµένεται το κόµµα ∆ να µην λάβει περισσότερες από 10 ψήφους, το κόµµα Α θα λάβει περισσότερες ψήφους από το κόµµα Β και το κόµµα Γ θα λάβει περισσότερες από τις µισές ψήφους. Κατασκευάστε γεννήτρια συνάρτηση και υποδείξτε το συντελεστή του όρου που υπολογίζει το πλήθος των διαφορετικών αποτελεσµάτων που ικανοποιούν τις δηµοσκοπήσεις. Άσκηση 3 Υπολογίστε τις διαφορετικές ρίψεις 10 ζαριών µε χρήση γεννήτριών συναρτήσεων. 1. Αν τα ζάρια είναι διακεκριµένα 2. Αν τα ζάρια είναι µη διακεκριµένα. Άσκηση 4 Ένας προπονητής ποδοσφαίρου έχει 12 όµοιες µπάλες και θέλει να τις µοιράσει σε τρεις οµάδες ώστε κάθε οµάδα να πάρει τουλάχιστον µία µπάλα. Γράψτε γεννήτρια συνάρτησή και προσδιορίστε τη δύναµη, ο συντελεστής της οποίας θα δώσει την απάντηση στο πρόβληµα: 1. Χωρίς άλλους περιορισµούς 2. Αν η 1η οµάδα πρέπει να πάρει περισσότερες µπάλες από την 2η οµάδα και η 3η οµάδα πρέπει να πάρει το πολύ τόσες µπάλες όσες και η 2η οµάδα. Άσκηση 5 Να δείξετε µε την χρήση γεννητριών συναρτήσεων ότι ο αριθµός των τρόπων να διανεµηθούν n ίδια αντικείµενα σε m διακεκριµένες υποδοχές (m≤n) ώστε καµία υποδοχή να µην µείνει κενή είναι ίσος µε τον αριθµό των τρόπων να διανεµηθούν n ίδια αντικείµενα σε m+1 διακεκριµένες υποδοχές (m≤n) ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει (ακριβώς) m αντικείµενα και χωρίς να υπάρχουν περιορισµοί για τις υπόλοιπες υποδοχές. Άσκηση 6 Σχηµατίστε τη γεννήτρια συνάρτηση και προσδιορίστε τον όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει τους τρόπους µε τους οποίους 40 διακεκριµένοι µαθητές µπορούν να µεταφερθούν από 3 διαφορετικά σχολικά λεωφορεία αν στο πρώτο λεωφορείο πρέπει να µπουν τουλάχιστον 5 µαθητές, στο δεύτερο ζυγός αριθµός µαθητών και στο τρίτο µονός αριθµός µαθητών.

×