1INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTESAPLICACIONES DE LA INTEGRALMATERIA:CÁLCULO INTEGRALPROFESOR:HUGO HERNÁNDEZ RAMOSAL...
2APLICACIONES DE LA INTEGRALHasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que ...
3Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo elárea de la región...
42.1 Longitud de curvas planasLa longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que s...
53. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen...
6Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similaral realizado en...
7• ω = anchura del rectángulo (espesor).• h = altura del rectángulo.• p = distancia del centro del rectángulo al eje del g...
8Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientesopciones:Para...
9Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dosfunciones continuas f (...
104. Cálculo de centroides.Un sistema equivalente a este planteado es ubicarel peso total o resultante en un único punto d...
11La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, yJaroslav Kurzweil, y desar...
12La función de densidad de probabilidad, es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobretodo el espacio ...
13La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.Si una variable aleatoria...
14Algunas FDP están declaradas en rangos de a , como la de la distribución normal.
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Trabajo calculo

  1. 1. 1INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTESAPLICACIONES DE LA INTEGRALMATERIA:CÁLCULO INTEGRALPROFESOR:HUGO HERNÁNDEZ RAMOSALUMNOS: DIANA ELIZABETH CRUZ MACÍASCARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIALSEMESTRE: SEGUNDO “B”HORARIO: LUN- VIE. / 8:00-9:00 P.MFECHA DE ENTREGA:04 DE JUNIO DEL 2013
  2. 2. 2APLICACIONES DE LA INTEGRALHasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstaspueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes,longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleoes constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral1. Cálculo de áreas planasTal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativao nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cadauno de los recintos limitados por el eje “O”, “ X” , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es elárea.Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:1. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer.2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.4. Se decide que variable conviene integrar5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados.La integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
  3. 3. 3Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo elárea de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto,obtenemos el siguiente resultado:En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de “f” y“g”, calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el áreadeseada.Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vezde la variable x.2. Longitud de curvasLa longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia ocamino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar estalongitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, lallegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajustena la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeñoposible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de lapoligonal que pasa por dichos puntos.
  4. 4. 42.1 Longitud de curvas planasLa longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajustena la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeñoposible.Áreas Entre CurvasSí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por lagráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:En la figura se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región Restá limitada por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de unaintegral definida aplicando la definición anterior. Como lo hemos planeado,daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.
  5. 5. 53. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regióntridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conocecomo eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos deproducción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje “O”,“X” o al eje “O”, “Y . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.Volúmenes de revolución: El Método de los discosSi giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple deellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacentea uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:Volumen del disco = πR2 ωPara ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,consideremos una función continua f (X) definida en el intervalo [a,b ] , cuya gráfica determina con lasrectas x= a, x= b , y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje “O”, “X”, obtenemos unsólido de revolución.
  6. 6. 6Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similaral realizado en la definición de integral definida.Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; esdecir:Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar :Volúmenes de revolución: Método de capasEn esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido derevolución,un método que emplea capas cilíndricas.Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:
  7. 7. 7• ω = anchura del rectángulo (espesor).• h = altura del rectángulo.• p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) deanchuraω. Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde alradio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio dela capa, sabemos que el radio externo es p+( ω/ 2 ) , y el radio interno es p−( ω/ 2 ) . Por tanto, el volumendela capa, viene dado por la diferencia:Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que laregión plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura ∆yparalelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, elrectángulo genera una capa de volumen:
  8. 8. 8Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientesopciones:Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación :Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que lalimitan.Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.Integrar entre los límites apropiados.Volúmenes de revolución: El Método de las arandelasEl método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero,rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchurade la arandela, entonces el volumen viene dado por:
  9. 9. 9Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dosfunciones continuas f (x ) y g (x ) definidas en un intervalo cerrado [a,b ] , con 0 ≤ g(x )≤ f (x ), y las rectasx=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por losrecintos de ambas funciones, es decir:Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de lossubintervalos donde se puede aplicar el método anterior.Volúmenes de revolución: El método de los cascaronesSe denotan respectivamente los radios interior y exterior del cascaron, y “h” es su altura, entonces suvolumen esta dada por la diferencia:Volumen del cilindro exterior - volumen del cilindro inferiorEjemplo:Encuentre el volumen del solido que se forma al girar en el eje y
  10. 10. 104. Cálculo de centroides.Un sistema equivalente a este planteado es ubicarel peso total o resultante en un único punto denominadocentro de gravedad.DefiniciónEl centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante delasfuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro degravedad sesustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de lospesos y lasexpresiones para determinar las coordenadas centroidales son:Centroide es lo mismo si habláramos de Centro de Gravedad o Centro de Masa; el cual se puede ver comosu punto de equilibrio, y es donde se concentras la masa de todo el cuerpo. También se puede decir que esel lugar imaginario en el que puede considerar que está concentrado todo su peso. El centroide de unafigura geométrica es el centro de simetría de la misma.Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situadacerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia elcentro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria.Otras integralesA pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hayunas cuantas más, por ejemplo:La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales deRiemann-Stieltjes y de Lebesgue.La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sintener que depender de ninguna medida.
  11. 11. 11La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, yJaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.La integral de McShane.La integral de BuchnerOtras aplicaciones para las integrales. Área entre curvas. Sólidos de revolución. Longitud de curvas.INTEGRAL DADA PARA EL CÁLCULO DE CENTROIDES5. Función de densidad de probabilidadEn la teoría de la probabilidad, la “Función de densidad de probabilidad”, “Función de densidad”, o,simplemente, “Densidad” de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cualdicha variable aleatoria tomará determinado valor.La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidadesestará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.
  12. 12. 12La función de densidad de probabilidad, es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobretodo el espacio es de valor unitario.Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población entanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:Y (si f es continua en x)Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de “X” de caer enel intervalo infinitesimal [x, x + dx].La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros paraespecificarlas totalmente.Recíprocamente respecto de la definición ya desarrollada, pueden hacerse las siguientesconsideraciones.La probabilidad de que una variable aleatoria continua X quede ubicada entre los valores a y b estádada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rangoentre a y b.LA INTEGRAL ESTA DADA:La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:Así, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:Y (si f es continua en x)
  13. 13. 13La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X*P su densidad con respecto a una medida dereferencia μ es la derivada de Radon–NikodymUna variable aleatoria continua X con valores en un espacio de medida (habitualmente Rnconconjuntos Borel como subconjuntos mensurables), tiene como distribución de probabilidad, lamedida X∗P en : la densidad de X con respecto a la medida de referencia μsobre esla derivada de Radon–Nikodym.Siendo f/; toda función medible con la siguiente propiedad:Para todo conjunto medible .Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que...Para cada conjunto medible A.De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces vistocomo pdf del inglés):para toda .El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:La probabilidad de que tome un valor en el intervalo es el área bajo la curva de la función dedensidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) seconoce a veces como curva de densidad.
  14. 14. 14Algunas FDP están declaradas en rangos de a , como la de la distribución normal.

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