Ejercicios resueltos de integrales impropias

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Libro de ejercicios resueltos de integrales impropias y series.

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Ejercicios resueltos de integrales impropias

  1. 1. CAP´ ITULO XII.INTEGRALESIMPROPIASSECCIONESA. Integrales impropias de primera especie.B. Integrales impropias de segunda especie.C. Aplicaciones al c´lculo de ´reas y vol´menes. a a uD. Ejercicios propuestos. 109
  2. 2. A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE.El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervaloscerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminandoestas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias.Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo deintegraci´n es infinito, ya sea de la forma (a, ∞), (−∞, b) o bien (−∞, ∞), opero la funci´n est´ acotada. Para cada uno de los casos indicados se defi- o ane ∞ B f (x) dx = l´ ım f (x) dx, a B→∞ a b b f (x) dx = l´ ım f (x) dx, −∞ A→−∞ A ∞ B f (x) dx = l´ ım f (x) dx, 1 −∞ A→−∞ A B→∞y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ ımiteexiste y es finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedadesson an´logas a las correspondientes en las integrales propias (s´lo conside- a oraremos el caso del intervalo (a, ∞) pues el segundo caso se puede reduciral primero con el cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinaci´node los dos anteriores al descomponer la integral en dos sumandos).PROPIEDADES. (1) La convergencia de la integral no depende del l´ ımite de integraci´n real. o ∞ ∞ Es decir, f (x)dx converge ⇐⇒ f (x)dx converge. a b ∞ ∞ (2) Homog´nea. Si e f es convergente, entonces λf es convergente, a a para todo λ ∈ R y se cumple: ∞ ∞ λf = λ f. a a ∞ ∞ ∞ (3) Aditiva. Si f, g convergen, entonces (f + g) converge y a a a adem´s a ∞ ∞ ∞ (f + g) = f+ g. a a a 110
  3. 3. (4) Integraci´n por partes. Si f y g tienen derivadas de primer orden o continuas en [a, ∞) y dos de los tres l´ ımites b b l´ ım f (x)g (x) dx, l´ ım f (x)g(x) dx, l´ [f (b)g(b) − f (a)g(a)] ım b→∞ a b→∞ a b→∞ existen, entonces el tercero tambi´n existe y se tiene que e ∞ ∞ f (x)g (x) dx = l´ [f (b)g(b) − f (a)g(a)] − ım f (x)g(x) dx. a b→∞ a ∞ ∞ (5) Si |f | converge, entonces f converge. a a Esta ultima propiedad permite definir el concepto de convergencia ab- ´ soluta para el caso en que la funci´n integrando no tenga signo cons- o tante en [a, ∞). ∞Dada una funci´n f integrable en [a, x], para todo x > a, se dice que o a ∞ ∞converge absolutamente si la integral |f | converge, y que f converge a a ∞ ∞condicionalmente si f converge pero |f | diverge. a aEn los casos en que no sea posible (o no sea necesario) calcular expl´ ıcitamentela integral, su convergencia se puede deducir por alguno de los siguientescriterios (observar el paralelismo que mantienen algunos de estos criterioscon sus correspondientes para la convergencia de series).CRITERIOS DE CONVERGENCIA. (1) Criterio de comparaci´n. Si f y g son funciones continuas en [a, ∞) o ∞ ∞ y 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x > a, entonces 0 ≤ f (x) dx ≤ g(x) dx. a a ∞ ∞ Por tanto, si g(x) dx converge, entonces f (x) dx converge. a a (2) Comparaci´n por paso al l´ o ımite. Sean f y g continuas y no nega- tivas en [a, ∞). f (x) a) Si l´ ım = λ = 0, λ finito, entonces x→∞ g(x) ∞ ∞ f (x) dx converge ⇐⇒ g(x) dx converge. a a f (x) b) Si l´ ım = 0, entonces x→∞ g(x) ∞ ∞ g(x) dx converge =⇒ f (x) dx converge. a a 111
  4. 4. ∞ 1 En muchos casos, debido a que dx converge si α > 1 y diverge 1 xα si α ≤ 1 (ver problema 12.1), se aplica el criterio anterior con g(x) = 1/xα . Este queda entonces as´ ı: (3) Sea f una funci´n continua y no negativa en [a, ∞). o a) Si l´ xα f (x) = λ = 0, λ finito, entonces ım x→∞ ∞ f (x) dx converge ⇐⇒ α > 1. a ∞ b) Si l´ xα f (x) = 0 y α > 1, entonces ım f (x) dx converge. x→∞ a ∞ c) Si l´ xα f (x) = ∞ y α ≤ 1, entonces ım f (x) dx diverge. x→∞ a (4) Criterio de Dirichlet. Sean f una funci´n continua con primitiva o F acotada ∀x ≥ a y g una funci´n decreciente con derivada primera o ∞ continua ∀x ≥ a. Si l´ g(x) = 0, entonces ım f (x)g(x) dx converge. x→∞ a (5) Criterio de la serie asociada. Sea f una funci´n decreciente y no o negativa ∀x ≥ a, y tal que l´ f (x) = 0. Entonces ım x→∞ ∞ f (x) dx converge ⇐⇒ f (n) converge. a PROBLEMA 12.1 ∞ Calcular xn dx con a > 0. aSoluci´n oPara n = −1, b b n xn+1 1 F (b) = x dx = = (bn+1 − an+1 ). a n+1 a n+1 ∞Si n > −1, entonces l´ F (b) = ∞, con lo que ım xn dx diverge. b→∞ aSi n < −1, entonces la integral converge y ∞ an+1 l´ F (b) = ım xn dx = − . b→∞ a n+1 112
  5. 5. Para n = −1, b dx F (b) = = ln b − ln a a xy, como l´ F (b) = ∞, la integral diverge. ım b→∞ PROBLEMA 12.2 0 Calcular ex dx. −∞Soluci´n oResolvemos directamente la integral: 0 0 0 ex dx = l´ ım ex dx = l´ ım ex a = l´ (1 − ea ) = 1. ım −∞ a→−∞ a a→−∞ a→−∞ PROBLEMA 12.3 ∞ 1 Estudiar la convergencia de la integral √ dx. 0 exSoluci´n oCalcularemos directamente la integral aplicando la definici´n de integral oimpropia. ∞ b 1 b √ dx = l´ ım e−x/2 dx = l´ ım −2e−x/2 0 = l´ (−2e−b/2 +2) = 2, ım 0 ex b→∞ 0 b→∞ b→∞de lo que se deduce que la integral es convergente. PROBLEMA 12.4 ∞ Estudiar la convergencia de la integral e−a|x| dx, a ∈ R. −∞Soluci´n oEn primer lugar, si a = 0, e0 = 1 y la integral diverge. 113
  6. 6. Si a = 0, descomponemos la integral en dos sumandos y obtenemos: 0 ∞ 0 m I = eax dx + e−ax dx = l´ ım eax dx + l´ ım e−ax dx −∞ 0 k→−∞ k m→∞ 0 0 m 1 ax 1 −ax = l´ ım e + l´ ım − e k→−∞ a k m→∞ a 0 1 1 ak 1 1 2/a si a > 0, = l´ ım − e ım − e−am + + l´ = k→−∞ a a m→∞ a a ∞ si a < 0.Resulta en definitiva que la integral propuesta es convergente cuando a > 0y divergente cuando a ≤ 0. PROBLEMA 12.5 ∞ Calcular xe−x dx. 0Soluci´n oUtilizaremos la propiedad (4), relacionada con la integraci´n por partes para ointegrales impropias. Para ello, tomando f (x) = x, g (x) = e−x , tenemos quef (x) = 1, g(x) = −e−x y ∞ b xe−x dx = l´ ım xe−x dx 0 b→∞ 0 b b b = l´ ım − xe−x 0 + l´ ım e−x dx = l´ ım − e−x 0 = 1, b→∞ b→∞ 0 b→∞ b −bdebido a que l´ ım − xe−x 0 = l´ −be−b = l´ ım ım = 0. b→∞ b→∞ b→∞ eb PROBLEMA 12.6 ∞ dx Hallar x + e−x . −∞ eSoluci´n oComo ambos l´ ımites de integraci´n son infinitos, descomponemos la integral o 1 exen dos sumandos. Si escribimos el integrando como x = , te- e + e−x 1 + e2x 114
  7. 7. nemos: b 0 ex dx ex dxI = l´ ım + l´ ım b→∞ 0 1 + e2x b →−∞ b 1 + e2x b 0 = l´ ım arc tg ex 0 + l´ ım arc tg ex b b→∞ b →−∞ π π π π = l´ (arc tg eb − π/4) + l´ (π/4 − arc tg eb ) = ım ım − + −0= . b→∞ b →−∞ 2 4 4 2 PROBLEMA 12.7 ∞ 1 Estudiar la convergencia de la integral dx. 2 x(ln x)8Soluci´n oSi calculamos directamente la integral, tenemos: ∞ b 1 b (ln x)−7 −8 dx = l´ ım (1/x)(ln x) dx = l´ ım 2 x(ln x)8 b→∞ 2 b→∞ −7 2 −1 1 1 = l´ım + = , b→∞ 7(ln b)7 7(ln 2)7 7(ln 2)7de modo que la integral es convergente. PROBLEMA 12.8 ∞ x Estudiar la convergencia de la integral ex−e dx. −∞Soluci´n oResolvemos en primer lugar la integral indefinida haciendo el cambio devariable ex = t: x x x ex−e dx = ex · e−e dx = e−t dt = −e−t = −e−e .Calculamos a continuaci´n la integral impropia y tenemos: o ∞ b x x b a ex−e dx = l´ ım ex−e dx = l´ (−e−e + e−e ) = 0 + 1 = 1; ım −∞ a→−∞ a a→−∞ b→∞ b→∞de lo que se deduce que la integral es convergente. 115
  8. 8. ∞ PROBLEMA 12.9 Hallar e−x sen x dx. 0Soluci´n oEl l´ ımite superior de integraci´n es infinito con lo que, al integrar por partes, oobtenemos: b b 1 I = e−x sen x dx = l´ l´ ım ım − e−x (sen x + cos x) b→∞ 0 b→∞ 2 0 1 1 = l´ − e−b (sen b + cos b) + . ım b→∞ 2 2Cuando b → ∞, e−b → 0, mientras que | sen b + cos b| ≤ 2, luego I = 1/2. PROBLEMA 12.10 ∞ Calcular In = xn e−x dx, para n ∈ N. 0Soluci´n oIntegrando por partes, obtenemos que xn e−x dx = −xn e−x + n xn−1 e−x dx.Recordando adem´s que l´ bn e−b = 0, resulta: a ım b→∞ b b In = l´ ım xn e−x dx = l´ −bn e−b + n l´ ım ım xn−1 e−x dx = n · In−1 . b→∞ 0 b→∞ b→∞ 0Procediendo por recurrencia, se llega a que In = n(n − 1)In−2 = · · · = n! · I0 ∞y como I0 = e−x dx = 1, obtenemos que In = n! 0 PROBLEMA 12.11 +∞ dx Hallar . 0 x2+4 116
  9. 9. Soluci´n oPor definici´n de integral impropia, tenemos: o b b dx arc tg(x/2) π I = l´ ım 2+4 = l´ ım = . b→∞ 0 x b→∞ 2 0 4 PROBLEMA 12.12 ∞ x2 − x + 2 Calcular la integral dx. −∞ x4 + 10x2 + 9Soluci´n oPor definici´n de integral impropia o ∞ B x2 − x + 2 x2 − x + 2 4 + 10x2 + 9 dx = l´ ım dx. −∞ x A→−∞ A x4 + 10x2 + 9 B→∞Resolvemos en primer lugar la integral indefinida para lo cual aplicamos elm´todo de integraci´n por fracciones simples. Como e o x2 − x + 2 1 x2 + 9 7 x 4 + 10x2 + 9 dx = ln 2+1 + arc tg x + arc tg , x 8 x 3 3la integral propuesta valdr´ a 1 π 7 π π 7 π 5π I= ln 1 + + · − ln 1 + + · = . 8 2 3 2 2 3 2 12 PROBLEMA 12.13 ∞ dx Demostrar que es convergente, para todo m ∈ N. 0 (1 + x2 )mSoluci´n oEn efecto, si hacemos el cambio de variable x = tg t, dx = sec2 t dt, losl´ ımites de integraci´n son ahora t = 0 (correspondiente a x = 0) y t = π/2 o(cuando x = ∞). La integral queda ahora π/2 π/2 π/2 sec2 t dt = sec2−2m t dt = cos2m−2 t dt, 0 (1 + tg2 t)m 0 0 117
  10. 10. la cual es evidentemente convergente para m natural. PROBLEMA 12.14 Determinar el valor de C para que sea convergente la integral im- ∞ x C propia 2 + 2C − dx. Hallar el valor de dicha inte- 1 2x x+1 gral.Soluci´n oSi escribimos la funci´n integrando como cociente de polinomios, o x C x2 + x − 2Cx2 − 2C 2 (1 − 2C)x2 + x − 2C 2 − = = , 2x2 + 2C x+1 (2x2 + 2C)(x + 1) (2x2 + 2C)(x + 1)observamos que el denominador tiene grado 3. Para que la integral sea con-vergente, el grado del numerador debe ser menor que 2. De aqu´ se deduce ıque 1 − 2C = 0, es decir C = 1/2.Para este valor, la integral queda: ∞ b b x 1/2 x 1/2 2+1 − dx = l´ ım 2+1 dx − dx 1 2x x+1 b→∞ 1 2x 1 x+1 b 1 1 = l´ ım ln(2x2 + 1) − ln(x + 1) b→∞ 4 2 1 1 1 1 1 = l´ ım ln(2b2 + 1) − ln 3 − ln(b + 1) + ln 2 b→∞ 4 4 2 2 1 4(2b 2 + 1) 1 8 ım · ln = l´ = · ln . b→∞ 4 3(b + 1)2 4 3 PROBLEMA 12.15 Hallar los valores de los par´metros a y b para que a ∞ 2x2 + bx + a −1 dx = 1. 1 x(2x + a)Soluci´n oAl igual que en el problema anterior, escribimos el integrando como una frac-ci´n para comparar los grados del numerador y denominador. Como o 2x2 + bx + a (b − a)x + a −1= , x(2x + a) x(2x + a) 118
  11. 11. la integral ser´ convergente cuando b − a = 0, es decir a = b. aEn este caso, si integramos por fracciones simples, obtenemos que ∞ k 2x2 + bx + a x I = − 1 dx = l´ ım ln 1 x(2x + a) k→∞ 2x + a 1 k 1 1 1 = l´ ln ım − ln = ln − ln . k→∞ 2k + a 2+a 2 2+a 1 1Como debe ser 1 = ln − ln , resulta que a = b = 2e − 2. 2 2+a PROBLEMA 12.16 ∞ ln x Estudiar la convergencia de la integral dx. 1 x2Soluci´n oResolvemos la integral indefinida por partes haciendo u = ln x y dv =dx/x2 . As´ du = dx/x, v = −1/x y: ı ln x ln x dx ln x 1 1 + ln x 2 dx = − + 2 =− − =− . x x x x x xLa integral impropia queda entonces: ∞ b b ln x ln x 1 + ln x 1 + ln b dx = l´ ım ım − dx = l´ = l´ ım − +1 = 1, 1 x2 b→∞ 1 x2 b→∞ x 1 b→∞ bpues l´ ln b/b = 0 (se puede aplicar por ejemplo la regla de L’Hˆpital). ım o b→∞Otra posibilidad, en la que no se calcula directamente la integral, es utilizarel criterio de comparaci´n. Debido a que: o ln x/x2 ln x 1/x 2 l´ ım = l´ ım = l´ ım = l´ ım = 0, x→∞ 1/x3/2 x→∞ x1/2 x→∞ (1/2)x−1/2 x→∞ x1/2 ∞ 1e dx es convergente, se deduce la convergencia de la integral pro- 1 x3/2puesta. PROBLEMA 12.17 ∞ x2 + 3x + 1 Estudiar la convergencia de la integral √ dx. 1 x4 + x3 + x 119
  12. 12. Soluci´n oEn primer lugar observamos que la funci´n integrando es positiva en el ointervalo de integraci´n. Como la diferencia de grados entre el denominador oy el numerador es 2, comparamos el integrando con la funci´n 1/x2 . Debido oa que x2 +3x+1 √ x4 +x3 + x x4 + 3x3 + x2 l´ ım = l´ ım √ = 1, x→∞ 1/x2 x→∞ x4 + x3 + x ∞y la integral impropia dx/x2 es convergente, la integral propuesta tam- 1bi´n es convergente. e PROBLEMA 12.18 ∞ dx Estudiar la convergencia de la integral √ 3 . 1 2x + x + 1 + 5Soluci´n oAn´logamente al problema anterior, la funci´n es positiva en el intervalo a o[1, ∞). Adem´s, cuando x → ∞, es un infinit´simo del mismo orden que a e1/x, es decir √1 2x+ 3 x+1+5 l´ ım = 1/2. x→∞ 1/x ∞ dxComo es divergente, la integral propuesta tambi´n lo ser´. e a 1 x PROBLEMA 12.19 ∞ x Estudiar la convergencia de la integral √ dx. 0 x4+1Soluci´n oLa convergencia de la integral dada equivale a la convergencia de la inte-gral ∞ x √ dx porque, en el intervalo [0, 1], el integrando es acotado y la 1 x4 + 1integral es propia.Como la funci´n integrando es positiva en el intervalo de integraci´n, pode- o omos aplicar el criterio de comparaci´n. As´ tenemos que o ı √ x/ x4 + 1 x2 l´ ım = l´ √ ım = 1, x→∞ 1/x x→∞ x4 + 1 120
  13. 13. pues el grado del numerador coincide con el grado del denominador. Como la ∞ dxintegral es divergente, tambi´n es divergente la integral propuesta. e 1 x PROBLEMA 12.20 ∞ dx Investigar la convergencia de la integral √ . 1 x3 + 1Soluci´n oComo el integrando es positivo aplicamos el criterio de comparaci´n por o ımite. Cuando x → ∞, tenemospaso al l´ 1 1 1 1 1 √ = = · ∼ . x3 +1 x3 (1 + 1/x3 ) x3/2 1+ 1/x3 x3/2 ∞ dxComo la integral es convergente, la integral propuesta tambi´n lo e 1 x3/2ser´. a PROBLEMA 12.21 ∞ x2 dx Estudiar la convergencia de la integral . 0 (a2 + x2 )3/2Soluci´n oComparamos el integrando con la funci´n y = 1/x. Tenemos as´ o ı: x2 (a2 +x2 )3/2 x3 l´ ım = l´ ım = 1. x→∞ 1/x x→∞ x3 · (a2 /x2 + 1)3/2 ∞ dxComo es divergente, tambi´n lo es la integral propuesta. e 0 x PROBLEMA 12.22 ∞ x dx Estudiar la convergencia de la integral √ . 3 x6 + 1Soluci´n oComparando los grados del numerador y denominador, obtenemos que g(x) =1/x2 es un infinit´simo equivalente a la funci´n integrando cuando x → ∞. e o 121
  14. 14. ∞ dxComo adem´s a es convergente, por el criterio de comparaci´n dedu- o 3 x2cimos que la integral propuesta es tambi´n convergente. e PROBLEMA 12.23 ∞ 2 Estudiar la convergencia de la integral e−x dx. −∞Soluci´n oEn primer lugar descomponemos la integral en tres sumandos. Adem´s, de- abido a la simetr´ de la funci´n integrando, podemos escribir: ıa o −1 1 ∞ 1 ∞ 2 2 2 2 2I= e−x dx+ e−x dx+ e−x dx = e−x dx+2 e−x dx. −∞ −1 1 −1 1Para estudiar la convergencia de esta ultima integral impropia, como la fun- ´ci´n integrando es positiva, aplicamos el criterio de comparaci´n. Tenemos o o 2por un lado que se verifica la acotaci´n e−x ≤ e−x , ∀x ≥ 1, y por otro lado oque ∞ b b e−x dx = l´ ım e−x dx = l´ ım −e−x 1 = l´ ım −e−b + e−1 = e−1 . 1 b→∞ 1 b→∞ b→∞Esto indica que la integral propuesta es convergente. PROBLEMA 12.24 ∞ x3 Investigar la convergencia de la integral dx. 0 2xSoluci´n o x3Debido a que 2x es un infinito de orden superior a x3 , es decir l´ ım x = 0, x→∞ 2aplicaremos el criterio de comparaci´n por paso al l´ o ımite con la funci´n og(x) = 1/2 x . Ahora bien, como x3 /2x l´ ım = l´ x3 = ∞, ım x→∞ 1/2x x→∞ ∞ dxe converge, el criterio no puede aplicarse con esta funci´n. o 0 2x 122
  15. 15. Si tomamos una funci´n un poco mayor que g, como h(x) = (2/3)x , tene- omos: x3 /2x x3 l´ ım = l´ ım = 0, x→∞ (2/3)x x→∞ (4/3)xy adem´s a ∞ b (2/3)x 1 (2/3)x dx = l´ ım =− . 0 b→∞ ln 2/3 0 ln 2/3El citado criterio de comparaci´n indica pues que la integral propuesta es oconvergente. PROBLEMA 12.25 ∞ √ x Determinar si la integral dx converge o no. 1 3xSoluci´n oEl integrando es no negativo y decreciente en [1, ∞). Recordamos que, deacuerdo con el criterio de la integral para series infinitas, si f es una funci´n o ∞no creciente y no negativa en [1, ∞), entonces f y f (n) convergen 1 n≥1ambas o divergen ambas. √ nEn este caso la convergencia de la serie se puede determinar por el 3n n≥1criterio de la ra´ Tenemos as´ ız. ı: √ √ n + 1/3n+1 3n · n + 1 1 l´ ım √ n = l´ ım √ = < 1, n→∞ n/3 n→∞ 3n+1 · n 3de modo que la serie converge, con lo que tambi´n la integral dada converge. e PROBLEMA 12.26 ∞ x Estudiar la convergencia de la integral dx. 0 ex −1Soluci´n o xAunque la funci´n no est´ definida en x = 0, como l´ o a ım = 1, la ex − 1 x→0+funci´n est´ acotada para x > 0 y la integral no es impropia en x = 0. El o a ncar´cter de esta integral es el mismo que el de la serie asociada a . en − 1 123
  16. 16. n 1Aplicando el criterio de Pringsheim, como l´ n2 · ım =0y es n→∞ en − 1 n2convergente, tambi´n lo es la serie anterior. e PROBLEMA 12.27 ∞ 4x3 + 2x + 1 Estudiar la convergencia de la integral dx. 0 exSoluci´n oDebido a que la funci´n integrando es positiva en el intervalo de integraci´n o oy tiende a cero cuando x → ∞, reducimos el estudio de la convergencia 4n3 + 2n + 1de la integral al de la serie asociada . Por el criterio de la en n≥0ra´ ız, 4n3 + 2n + 1 n l´ ım = l´ 1/e < 1. ım n→∞ en n→∞Entonces la integral es convergente. PROBLEMA 12.28 ∞ ln(1 + x) Estudiar el car´cter de la integral I = a dx. 0 exSoluci´n oComo la funci´n integrando es no negativa en el intervalo de integraci´n, o o ln(1 + n)estudiaremos el car´cter de la serie asociada a . enAplicando el criterio del cociente tenemos: ln(n+2) en+1 ln(n + 2) 1 l´ ım ln(n+1) = l´ ım = < 1, e ln(n + 1) e enlo que indica que la serie es convergente y, en consecuencia, tambi´n es econvergente la integral propuesta. PROBLEMA 12.29 ∞ x dx Estudiar el car´cter de la integral a . 0 1 + x2 sen2 x 124
  17. 17. Soluci´n o nComo la serie asociada a la integral impropia es , la cual es 1+ n2 sen2 n 1equivalente a la serie y esta es divergente, tambi´n ser´ divergente la e a nintegral dada. PROBLEMA 12.30 ∞ sen kx Estudiar la convergencia de la integral dx. 0 ex2Soluci´n oComo la funci´n integrando cambia de signo, estudiamos la convergencia o | sen kn|absoluta. La serie asociada a la integral es que es convergente n≥0 en2 | sen kn| 1pues n2 ≤ n2 y, por el criterio de la ra´ ız, e e n 1 1 l´ ım n2 = l´ ım = 0 < 1. n→∞ e n→∞ enLo anterior indica que la integral dada es absolutamente convergente. PROBLEMA 12.31 ∞ sen x Estudiar la convergencia de la integral dx, para 1 xα α > 0.Soluci´n oComo la funci´n f (x) = sen x tiene primitiva F (x) = − cos x acotada y la ofunci´n g(x) = 1/xα es derivable y decreciente, con l´ g(x) = 0, por el o ım x→∞criterio de Dirichlet (4) se deduce que la integral es convergente. PROBLEMA 12.32 ∞ cos x Estudiar el car´cter de la integral a dx. 1 x2 125
  18. 18. Soluci´n oComo el integrando no es una funci´n positiva en el intervalo de integraci´n, o odebemos estudiar la convergencia absoluta. Como | cos x| ≤ 1, ∀x, tenemos ∞ ∞ cos x 1 cos x 1que 2 ≤ 2 de donde 2 dx ≤ dx, la cual es convergen- x x 1 x 1 x2te. Se deduce por el criterio de comparaci´n que la integral propuesta es oabsolutamente convergente. ∞ f (x)Como regla general podemos afirmar que, si en la expresi´n o dx el 1 xnnumerador est´ acotado, la integral impropia converge absolutamente si lo a ∞ dxhace . 1 xn PROBLEMA 12.33 ∞ sen x Probar que dx converge condicionalmente. 0 xSoluci´n o sen xAunque la funci´n no est´ definida en x = 0, est´ acotada pues l´ o e a ım = 1. x→0 xPor tanto la convergencia de la integral dada equivale a la convergencia de ∞ sen xla integral dx. Como vimos en el problema 12.31, esta integral es 1 xconvergente. ∞ sen x 1 − cos 2xSin embargo, dx diverge pues, como | sen x| ≥ sen2 x = , 1 x 2tenemos que ∞ ∞ ∞ | sen x| 1 dx 1 cos 2x dx ≥ − dx. 1 x 2 1 x 2 1 x ∞ ∞ dx cos 2xDe las dos ultimas integrales, ´ diverge y dx converge, 1 x 1 xpues, integrando por partes, ∞ b ∞ ∞ cos 2x sen 2x sen 2x − sen 2 sen 2x dx = l´ ım + 2 dx = + dx, 1 x b→∞ 2x 1 1 2x 2 1 2x2y esta ultima integral converge absolutamente como se deduce por la acota- ´ sen 2x 1ci´n o 2 ≤ 2. 2x 2x ∞ sen xDe lo anterior se deduce que dx converge condicionalmente. 1 x 126
  19. 19. PROBLEMA 12.34 ∞ sen3 x Estudiar la convergencia de la integral dx. 0 xSoluci´n oLa integral es impropia por tener un l´ ımite de integraci´n infinito. Aunque o sen3 x x3adem´s la funci´n no est´ definida en x = 0, como l´ a o a ım = l´ım = 0, x→0+ x x→0+ xla integral no es impropia en x = 0. 3 sen x sen 3xPara estudiar la convergencia utilizamos la f´rmula sen3 x = o − . 4 4Entonces ∞ ∞ ∞ sen3 x 3 sen x 3 sen 3x dx = dx − dx, 0 x 4 0 x 4 0 3xy cada uno de los sumandos es convergente como vimos en el problemaanterior. Entonces su suma ser´ tambi´n convergente. a eB. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE.Si una funci´n y = f (x) no est´ acotada en un intervalo [a, b], no tiene o asentido el concepto de integral definida de f en [a, b]. Esta situaci´n da lugar oa las integrales impropias de segunda especie; para definirlas, distinguimoslos siguientes casos: a) Si f es integrable en [a, r], ∀r < b, y l´ f (x) = ±∞, definimos ım x→b− b r b−ε f (x) dx = l´ ım f (x) dx = l´ ım f (x) dx. a r→b− a ε→0+ a b) Si f es integrable en [s, b], ∀s > a, y l´ f (x) = ±∞, definimos ım x→a+ b b b f (x) dx = l´ ım f (x) dx = l´ ım f (x) dx. a s→a+ s ε→0+ a+ε 127
  20. 20. c) Si existe c ∈ (a, b) tal que f es integrable en [a, r] ∪ [s, b], ∀r < c, s > c y l´ f (x) = ±∞, definimos ım x→c b r b f (x) dx = l´ ım f (x) dx + l´ ım f (x) dx. a r→c− a s→c+ sAl igual que para las integrales impropias de primera especie, se dice queuna integral es convergente si existe el l´ ımite o l´ ımites que las definen.Las propiedades 1 a 5 enunciadas para las integrales impropias de primeraespecie son v´lidas tambi´n aqu´ con las modificaciones obvias. Tambi´n a e ı elos criterios de convergencia son an´logos a los all´ indicados pues existe a ıun paralelismo entre ambos tipos de integrales impropias. As´ en el primer ı,caso, si l´ f (x) = ±∞, al hacer el cambio de variable b − x = 1/t, se ım x→b−tiene: b ∞ f (x) dx = g(t) dt, a 1/(b−a)y resulta una integral impropia de primera especie.Escribiremos a continuaci´n los criterios espec´ o ıficos para el caso a) aclarandonuevamente que los dem´s pueden plantearse de forma similar. a (1) Criterio de comparaci´n. Si f y g son funciones continuas en [a, r], o ∀r < b y 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, r], entonces b b g(x) dx converge =⇒ f (x) dx converge. a a (2) Comparaci´n por paso al l´ o ımite. Sean f y g continuas y no nega- tivas en [a, r], ∀r < b. f (x) a) Si l´ ım = λ = 0, λ finito, entonces x→b− g(x) b b f (x) dx converge ⇐⇒ g(x) dx converge. a a f (x) b) Si l´ ım = 0, entonces x→b− g(x) b b g(x) dx converge =⇒ f (x) dx converge. a a Como aplicaci´n, es com´n considerar el criterio de comparaci´n con o u o b 1 la funci´n g(x) = 1/(b − x)α pues o dx converge si α < 1 y a (b − x)α diverge si α ≥ 1 (ver problema 12.35). Entonces tenemos: 128
  21. 21. (3) Sea f una funci´n continua y no negativa en [a, r], ∀r < b. o a) Si l´ (b − x)α f (x) = λ = 0, λ finito, entonces ım x→b− b f (x) dx converge ⇐⇒ α < 1. a b b) Si l´ (b − x)α f (x) = 0 y α < 1, entonces ım f (x) dx converge. x→b− a b c) Si l´ (b − x)α f (x) = ∞ y α ≥ 1, entonces ım f (x) dx diverge. x→b− aEn los siguientes ejercicios se muestran tambi´n casos en que una integral edebe descomponerse como integral impropia de primera y segunda especie. PROBLEMA 12.35 b dx Resolver , con α ∈ R, donde a < b. a (b − x)αSoluci´n oDistinguiremos los siguientes casos:- Si α = 1, por definici´n de integral impropia, o b r dx dx r = l´ ım = l´ım − ln(b − x) a a b−x r→b− a b − x r→b− = l´ [− ln(b − r) + ln(b − a)] = ∞. ım r→b−- Si α = 1, r b dx r dx (b − x)−α+1 = l´ ım ım − = l´ a (b − x)α r→b− a (b − x)α r→b− −α + 1 a (b − a)−α+1 − (b − r)−α+1 ∞ si − α + 1 < 0 = l´ ım = (b−a)−α+1 r→b− −α + 1 −α+1 si − α + 1 > 0.En definitiva, la integral propuesta es convergente cuando α < 1 y divergentecuando α ≥ 1. PROBLEMA 12.36 b dx Calcular donde a < b. a (x − a)3/2 129
  22. 22. Soluci´n oComo la funci´n no est´ acotada en x = a, hacemos lo siguiente: o a b b b dx dx −2 = l´ ım ım √ = l´ a (x − a)3/2 c→a+ c (x − a) 3/2 c→a+ x−a c −2 2 = l´ ım √ +√ = ∞. c→a+ b−a c−a PROBLEMA 12.37 3 dx Calcular √ . 0 9 − x2Soluci´n oEl integrando presenta una discontinuidad esencial en x = 3. Resulta enton-ces: 3 3−ε dx dx √ = l´ ım √ 0 9 − x2 ε→0+ 0 9 − x2 3−ε 3−ε π = l´ ım arc sen x/3 0 = l´ arc sen ım = arc sen 1 = . ε→0+ ε→0+ 3 2 PROBLEMA 12.38 1 dx Estudiar la convergencia de la integral . 0 (1 − x)(2 + x)Soluci´n o 1El integrando f (x) = es no negativo y l´ f (x) = ∞. To- ım (1 − x)(2 + x) x→1− 1mando g(x) = √ , tenemos: 1−x f (x) 1 1 l´ ım = l´ √ ım = √ > 0. x→1− g(x) x→1− 2 + x 3Por tanto, la integral dada converge si y s´lo si converge la integral de g. oAhora bien, 1 dx b dx √ b √ = l´ ım √ ım − 2 1 − x = l´ 0 = 2, 0 1 − x b→1− 0 1 − x b→1− 130
  23. 23. luego la integral dada es convergente. PROBLEMA 12.39 1 dx Investigar si es convergente la integral √ . 0 1 − x4Soluci´n oLa funci´n integrando tiene una discontinuidad en x = 1. Comparamos la ointegral propuesta con la de 1/(1 − x)α con α apropiado. Debido a que √ 1/ 1 − x4 (1 − x)α (1 − x)α l´ ım α = l´ √ ım = l´ım = 1/2,x→1− 1/(1 − x) x→1− 1 − x4 x→1− (1 − x)1/2 (1 + x)(1 + x2 ) 1 1cuando α = 1/2 y adem´s a 1/2 dx es convergente, del criterio de 0 (1 − x)comparaci´n se deduce la convergencia de la integral propuesta. o PROBLEMA 12.40 2 dx Estudiar la convergencia de la integral √ . 0 (1 + x2 ) 4 − x2Soluci´n o 2 dxAplicamos el criterio de comparaci´n con la integral convergente o . 0 (2 − x)1/2Como 1√ (1+x2 ) 4−x2 1 1 l´ ım 1 = l´ ım = , x→2− (2−x)1/2 x→2− (1 + x2 )(2 + x)1/2 10la integral es convergente. PROBLEMA 12.41 1 dx Estudiar la convergencia de la integral . 0 (1 − x3 )nSoluci´n oLa integral es impropia porque el integrando tiende a infinito cuando x → 1. dtHacemos el cambio de variable x3 = t, dx = 2/3 . La integral se escribe 3t 131
  24. 24. 1 dtahora como I = . A primera vista parece que se ha com- 0 3t2/3 (1 − t)nplicado la integral pues ahora es impropia para los dos extremos del intervalo.Dividimos ´ste en dos sumandos: e 1/2 1 dt dt I= + . 0 3t2/3 (1 − t)n 1/2 3t2/3 (1 − t)n 1/2 dtEl primer sumando es convergente pues la integral es equivalente a 0 t2/3que sabemos es convergente. El segundo sumando, al estar acotado 1/t2/3en todo el intervalo, ser´ convergente cuando n/2 < 1, es decir n < 2. aOtro m´todo m´s sencillo ser´ descomponer 1 − x3 de la siguiente forma e a ıa1 − x3 = (x2 + x + 1)(1 − x). La integral queda entonces √ dx 1 (x2 +x+1)n I= . 0 (1 − x)n/2Como el numerador est´ acotado en todo el intervalo y el grado del deno- aminador es n/2, la integral ser´ convergente cuando n/2 < 1. a PROBLEMA 12.42 4 dx Demostrar que no existe. 0 (x − 1)2Soluci´n oEl integrando presenta una discontinuidad esencial en x = 1, valor com-prendido entre los l´ ımites de integraci´n. Descomponemos la integral en dos osumandos y resulta: 1−ε 4 dx dx I = l´ ım + l´ ım ε→0+ 0 (x − 1)2 ε →0+ 1+ε (x − 1)2 1−ε 4 −1 −1 = l´ ım + l´ ım ε→0+ x−1 0 ε →0+ x−1 1+ε 1 1 1 = l´ ım − 1 + l´ ım − + = ∞. ε→0+ ε ε →0 + 3 εSi no se hubiera tenido en cuenta el punto de discontinuidad, obtendr´ ıamosequivocadamente el resultado: 4 4 dx 1 4 2 = − =− 0 (x − 1) x−1 0 3 132
  25. 25. pues adem´s no es posible que la integral de una funci´n positiva sea nega- a otiva. PROBLEMA 12.43 1 dx Estudiar la convergencia de la integral I = √ . 3 −1 xSoluci´n oComo la funci´n no est´ acotada en x = 0, descomponemos la integral en o asuma: 1 0 1 dx dx dx √ = 3 √ + 3 √ . 3 −1 x −1 x 0 x a dxCada uno de los sumandos es convergente pues tiene la forma con 0 xαα < 1. De ello se deduce que la integral es convergente.El valor de la integral ser´ el mismo si no se tuviera en cuenta la disconti- ıanuidad esencial en x = 0, pero no ser´ correcto el proceso seguido. ıa PROBLEMA 12.44 4 dx Hallar √ 3 . 0 x−1Soluci´n oComo el integrando presenta una discontinuidad en x = 1, tenemos que 1−ε 4 dx dx I = l´ ım √ 3 + l´ ım √ 3 ε→0+ 0 x − 1 ε →0+ 1+ε x−1 3 1−ε 3 4 = l´ ım (x − 1)2/3 0 + l´ ım (x − 1)2/3 1+ε ε→0+ 2 ε →0+ 2 3 3 √ 3 √ ım [(−ε)2/3 − 1] + l´ ım [ 9 − (ε )2/3 ] = 3 3 = l´ 9−1 . ε→0 + 2 ε →0 + 2 2 PROBLEMA 12.45 3 dx Determinar el car´cter de la integral a . 2 (3 − x)(x − 2) 133
  26. 26. Soluci´n oLa integral es impropia porque el integrando tiende a infinito en los dos extre-mos del intervalo. Separamos la integral en dos sumandos y tenemos: 2,5 3 dx dx I= + . 2 (3 − x)(x − 2) 2,5 (3 − x)(x − 2)Aplicaremos el criterio de comparaci´n para estudiar la convergencia de cada ointegral. En el caso de que 2 ≤ x ≤ 2,5, deducimos que (x − 2)1/2 (3 − x)(x − 2) ≥ (x − 2)/2 =⇒ (3 − x)(x − 2) ≥ √ 2 √ 1 2 =⇒ ≤ . (3 − x)(x − 2) (x − 2)1/2 2,5 √ 2Como adem´s a dx es convergente, tambi´n lo ser´ el primer e a 2 (x − 2)1/2sumando de la integral dada.Procediendo an´logamente con el segundo sumando obtenemos que, si 2,5 < ax < 3, √ 1 2 ≤ (3 − x)(x − 2) (3 − x)1/2 3 √ 2y sabemos tambi´n que e 1/2 dx es convergente. 2,5 (3 − x)En definitiva obtenemos que la integral propuesta es convergente. PROBLEMA 12.46 1 dx Determinar la naturaleza de la integral I = . 0 x(1 − x2 )Soluci´n oComo la integral es impropia en los dos extremos de integraci´n, la dividimos oen dos sumandos. As´ escribimos ı 1/2 1 1/2 dx 1 dx dx dx (1−x2 )1/2 1/2I= + = + √x . 0 x(1 − x2 ) 1/2 x(1 − x2 ) 0 x1/2 1/2 1 − x2Los numeradores est´n acotados en los intervalos correspondientes. Por tan- a 1/2 dxto la primera integral tiene el mismo car´cter que a que sabemos 0 x1/2 134
  27. 27. es convergente. Con respecto a la segunda integral podemos factorizar el 1 dx 1 dx 1/2 x1/2denominador y escribir √x = . Esta inte- 1/2 1 − x2 1/2 (1 − x)1/2 (1 + x)1/2 1 dxgral es equivalente en cuanto a su car´cter a la integral a que 1/2 (1 − x)1/2es tambi´n convergente. eEn definitiva, la integral dada es convergente. PROBLEMA 12.47 π/2 cos x Hallar √ dx. 0 1 − sen xSoluci´n oEl integrando presenta una discontinuidad en x = π/2, de modo que π/2−ε cos x π/2−ε I = l´ ım √ ım − 2(1 − sen x)1/2 dx = l´ 0 ε→0+ 0 1 − sen x ε→0+ = −2 l´ {[1 − sen(π/2 − ε)]1/2 − 1} = 2. ım ε→0+ PROBLEMA 12.48 1 ln x Calcular la integral √ dx. 0 xSoluci´n oEsta integral es impropia porque el integrando no est´ acotado en x = 0. Si arealizamos la integral indefinida por partes, tenemos: 1 √ 1 √ ln x 1 2 x I = l´ ım √ dx = l´ ım 2 x ln x a − dx a→0 + a x a→0 + a x √ √ 1 √ √ ım 2 x ln x − 4 x a = −4 − l´ (2 a ln a − 4 a) = l´ ım a→0+ a→0+ 2 ln a 2/a = −4 − l´ ım = −4 − l´ ım = −4. a→0+ a−1/2 a→0+ (−1/2)a−3/2 135
  28. 28. PROBLEMA 12.49 1 arc sen x Calcular √ dx. 0 1 − x2Soluci´n oPor definici´n de integral impropia, tenemos: o 1 B arc sen x arc sen x √ dx = l´ ım √ dx 0 1 − x2 B→1− 0 1 − x2 B (arc sen x)2 (π/2)2 π2 = l´ ım = = . B→1− 2 0 2 8 PROBLEMA 12.50 π/2 1 − cos x Determinar los valores de m para que dx sea con- 0 xm vergente.Soluci´n o x2 1 − cos x 1Debido a la equivalencia 1 − cos x ∼ si x → 0, entonces ∼ m−2 2 xm 2x π/2 π/2 1 − cos x 1y las dos integrales m dx, m−2 dx tienen el mismo car´cter a 0 x 0 2x(convergen o divergen a la vez). De aqu´ se deduce que la integral es con- ıvergente cuando m − 2 < 1, o bien m < 3, y divergente cuando m ≥ 3. PROBLEMA 12.51 1 ln x Estudiar la convergencia de la integral dx. 0 1−xSoluci´n oComo la funci´n no est´ acotada en x = 0 ni en x = 1, descomponemos la o aintegral en dos sumandos as´ ı: 1 α 1 ln x ln x ln x dx = dx + dx, con 0 < α < 1. 0 1−x 0 1−x α 1−x 136
  29. 29. Aplicamos el criterio de comparaci´n para estudiar la convergencia de cada ouna de las integrales. Debido a que ln x 1−x l´ ım =0 x→0 1/x1/2 α dxy que es convergente, el primer sumando es convergente. 0 x1/2An´logamente, como a ln x 1−x l´ ım √ =0 x→1 1/ 1 − x 1 dxy √ es convergente, el segundo sumando es tambi´n convergente. e α 1−xDe lo anterior se deduce que la integral propuesta es convergente. PROBLEMA 12.52 1 √ 1 − x dx Determinar la naturaleza de la integral seg´n los u 0 xa ln x valores de a > 0.Soluci´n oComo la funci´n integrando no est´ definida en x = 0 ni en x = 1, descom- o aponemos la integral en dos sumandos 1/2 √ 1 √ 1 − x dx 1 − x dx I= + = I1 + I2 . 0 xa ln x 1/2 xa ln xEn la segunda integral hacemos el cambio de variable z = 1 − x, con loque 1/2 √ z dz I2 = . 0 (1 − z)a ln(1 − z)Debido a la equivalencia de infinit´simos ln(1 − z) ∼ −z cuando z → 0, e 1/2 √ 1/2 − z dz −dzpodemos comparar la integral con = √ y esta ultima ´ 0 z 0 zes convergente.Estudiamos ahora el primer sumando, que es una integral impropia en x = 0porque √ 1−x x−a −ax−a−1 l´ ım a = l´ım = l´ ım = ∞. x→0 x ln x x→0 ln x x→0 1/x 137

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