Mecánica del cuerpo rígido

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Mecánica del cuerpo rígido

  1. 1. Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a“Ciencia Matemática” www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
  2. 2. MECÁNICATOMO I : MECÁNICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO JULIO GRATTON q l g m
  3. 3. PRÓLOGOHace casi 20 años tuve que dictar Física I para alumnos de las licenciaturas en Ciencias Biológi-cas y Geológicas. Encontré entonces que los estudiantes tenían poco interés por la Física. Creoque eso se debe a varias causas, entre las cuales la forma de presentar la materia tiene gran im-portancia. Por eso hice varios cambios en el programa y si bien mantuve los contenidos mínimosde la Mecánica, los complementé con varios tópicos que tradicionalmente no se trataban para darmayor énfasis a las aplicaciones, al uso de modelos y al empleo de argumentos de tipo dimen-sional y cualitativo. Así, sacrificando un poco la precisión y el rigor matemático, se puedenabordar a un nivel accesible para el estudiante temas interesantes e importantes que general-mente sólo se tratan en los cursos avanzados. En concordancia con lo anterior también encaré uncambio sustancial de la parte práctica del curso, reduciendo el énfasis sobre el aprendizaje deformalismos y métodos de cálculo y poniendo el acento sobre el reconocimiento de los aspectosfísicos de situaciones concretas de la realidad.Desde luego no tiene sentido que un biólogo o un geólogo intente hacer el trabajo del físico, peroes importante que sepa reconocer en qué aspectos de su disciplina lo puede ayudar el físico. Coneste fin se debe familiarizar con el lenguaje de la física para hacerse entender por el físico, parapoder asimilar la sustancia de los resultados de los trabajos de los físicos y para apreciar en quémedida le pueden ser útiles. Esto requiere, por cierto, conocer los conceptos fundamentales de laFísica y sus consecuencias e implicancias, pero no hace falta que domine las técnicas de cálculoni los formalismos más abstractos y elegantes que suelen ser predilectos por los físicos. Ademáses importante que adquiera una visión panorámica, de la mayor amplitud posible, acerca de lafenomenología. A diferencia del físico que en el resto de sus estudios tiene ocasión de rellenarlos vacíos que dejan los primeros cursos, el estudiante de biología o de geología dispone de sólodos materias (Física I y II) para adquirir su bagaje de conocimientos de Física y formarse unaimpresión de qué es esta ciencia y qué papel cumple en relación con sus disciplinas. Estas consi-deraciones fueron la guía para la elección de los temas y el enfoque del curso.Con el pasar del tiempo me di cuenta que como contrapartida del desinterés de los estudiantes deotras carreras por la Física, muchos físicos, tanto al nivel de estudiantes como de graduados, des-conocen las relaciones de la Física con otras ciencias. Esto se manifiesta por la dificultad queexperimentan cuando tienen que aplicar sus conocimientos a los fenómenos de la vida cotidiana.Por estos motivos creo que cambios parecidos a los que aporté al curso para estudiantes de Bio-logía y Geología también se deberían hacer en los cursos para estudiantes de Física.Los apuntes que preparé para las clases fueron muy solicitados por los alumnos, y debido a esteinterés decidí redactar las notas del curso, para que les sirvieran de apoyo en el estudio. Lafavorable acogida que tuvieron esas notas entre los estudiantes y los comentarios y observacio-nes de mis colegas, tanto físicos como geólogos y biólogos, me impulsaron a transformarlas enun libro que pueda servir como texto y obra de consulta para los estudiantes de Ciencias en gene-ral, tanto de la carrera de Física como de otras carreras y para los docentes de las correspondien-tes materias. Para ello fueron necesarias ciertas revisiones, completar algunos temas que habíanquedado cubiertos sólo parcialmente y agregar algunos otros. El presente trabajo es el resultadode ese proceso y en su forma actual no pretende ser más que una primera versión.Vista de la abundancia de textos introductorios de Mecánica, cabe preguntarse porqué habría queescribir uno más. Al respecto puedo decir que escasean los libros con un enfoque multidiscipli-nario como el que sigo en éste. Por ese motivo este libro se diferencia de la generalidad de lasobras de Física General, tanto por la selección de temas, como por la forma en que se abordan. A i
  4. 4. los colegas que han tenido ocasión de leerlas, mis notas les parecieron novedosas y originales delpunto de vista didáctico, y son estas opiniones las que me decidieron a encarar este proyecto.Reseñaré ahora las principales diferencias entre este libro y los típicos textos de Física General.En primer lugar, como dije antes hago uso frecuente de argumentos dimensionales, de estimacio-nes aproximadas y de orden de magnitud y de modelos físicos simples. En segundo lugar, pro-curo aplicar los conceptos a fenómenos y situaciones de la naturaleza, así como a los artefactos ymáquinas creadas por el hombre. En tercer lugar, pongo más énfasis sobre la relación realidad-modelo y menos en la conexión modelo-solución matemática. En cuarto término, toco temas quese suelen considerar avanzados (y que habitualmente se tratan sólo para los estudiantes de Físicaen otras materias de esa carrera) pero los presento en forma simple y accesible. Finalmente, in-tento dar al estudiante un panorama amplio (aunque no lo pueda asimilar en profundidad) paraque perciba claramente la relación entre la Física y las otras Ciencias de la Naturaleza. En estosaspectos mi experiencia con el curso de Física I para Biólogos y Geólogos me mostró que losalumnos estudiaron la Física con más interés y si bien persistieron las habituales dificultades deaprendizaje, muchos estudiantes se sintieron motivados porque tomaron conciencia de la impor-tancia y la utilidad de la Física para sus disciplinas. Paso ahora a describir las principales dife-rencias entre el contenido de estas páginas y las presentaciones tradicionales.En el Capítulo 4 (Dinámica) discuto en detalle las fuerzas que actúan sobre un objeto que está enel seno de un fluido e introduzco el número de Reynolds. Como ejemplo se estudia el movi-miento de una pelota de fútbol pateada con chanfle. Las aplicaciones de los conceptos de im-pulso y cantidad de movimiento difieren de los habituales y aprovecho la ocasión para justificarleyes de escala de interés biológico.En el Capítulo 5 (Trabajo y Energía) trato las fuerzas disipativas con mayor amplitud que lousual. Como aplicación presento el tema del impacto de bólidos sobre la Tierra y la fenomenolo-gía asociada: frenamiento en la atmósfera, ablación, impacto a hipervelocidad, craterización, etc.Se trata de un tema interesante tanto del punto de vista de la Geología (craterización) como de laBiología por sus implicancias acerca de la extinción masiva de especies, un tema de actualidaddesde los hallazgos de Alvarez sobre la abundancia del iridio en la transición K-T (ver por ejem-plo T. Gehrels, Physics Today 38 (2), p.32, 1985).El Capítulo 6 (Oscilaciones) es muy extenso. El tratamiento del amortiguamiento y de las oscila-ciones forzadas difiere de la presentación usual por el mayor énfasis sobre los mecanismos físi-cos. Mediante cálculos perturbativos sencillos analizo la excitación de la resonancia, las oscila-ciones anarmónicas y las correcciones por amplitud finita del período del péndulo. Se presentaun estudio detallado de los osciladores acoplados, el péndulo doble y la excitación paramétrica.Como aplicación se estudia el movimiento del columpio. Se estudian las oscilaciones no lineales.Se introduce el espacio de las fases. Finalmente se da una introducción al tema del caos.En el Capítulo 8 (Sistemas de partículas) se hace un extenso tratamiento de las colisiones, tantoelásticas como inelásticas y se introduce el concepto de sección eficaz. Se presentan varias apli-caciones, entre las cuales se incluye una deducción sencilla de la célebre fórmula de Rutherford.En el Capítulo 9 (Gravitación) presento tópicos de interés geofísico que no se tratan en los textoselementales. Analizo la gravedad en el interior de la Tierra y la liberación de energía porcontracción gravitatoria de cuerpos celestes. Dedico un párrafo a la discusión de las diferentescorrecciones al valor de g (de interés para la gravimetría) y su origen. Introduzco la noción deisostasia. Estudio el origen de las mareas lunares y solares y sus efectos sobre la rotación te-rrestre y la evolución de la órbita lunar. La consideración del caso de órbitas satelitarias retró- ii
  5. 5. gradas da pie para tratar la fisión de cuerpos celestes debido a las fuerzas de marea y estimar ellímite de Roche.La dinámica de las rotaciones de un cuerpo rígido (Capítulo 10) incluye como ejemplos la Pre-cesión de Euler y la Precesión de los Equinoccios, por su interés geofísico y astronómico.En el tratamiento de la Estática (Capítulo 11) pongo un fuerte énfasis sobre la estática desistemas con rozamiento.El Capítulo 12 trata las propiedades mecánicas de los medios materiales, que incluye ladiscusión de los esfuerzos en medios continuos, las fuerzas de superficie y de cohesión enlíquidos, los esfuerzos en sólidos rígidos y sus aplicaciones geofísicas. El estudio de la respuestade los medios a los esfuerzos es fenomenológico, aunque justifico los resultados y estimo elvalor de los parámetros a partir de ideas sencillas sobre las interacciones entre átomos ymoléculas, y por medio de consideraciones elementales de teoría cinética. Además de introducirlos coeficientes de compresibilidad y expansión térmica de gases, líquidos y sólidos, avanzo enla fenomenología de los medios reales al discutir la plasticidad, la fractura, el creep y larelajación de los sólidos, el origen de las fuerzas de rozamiento entre sólidos, el comportamientono Newtoniano de muchos líquidos, etc. Doy también nociones sobre los modelos reológicosmás sencillos. Por su importancia para la Geofísica incluí una sección sobre los esfuerzos enmedios heterogéneos, con referencia en particular a la mecánica de suelos; allí discuto la es-tabilidad de pendientes y taludes, la fluidificación, la consolidación de suelos y la subsidencia.Como aplicación estimo límites para la altura de las montañas y relieves y evalúo el tamaño mí-nimo que debe tener un cuerpo celeste (asteroide o planeta) para que su forma sea esférica.El estudio de la Hidrostática (Capítulo 13) comprende varios tópicos que no se suelen hallar enlos textos de Física General, pero que incluí por su interés geofísico. Así discuto el equilibrioisostático y la interpretación de las anomalías isostáticas que se revelan con las mediciones de g.Trato el equilibrio de líquidos con estratificaciones de densidad y presento un análisis elementalde la inestabilidad de Rayleigh-Taylor y comento su relación con los movimientos deconvección térmica en líquidos y con la estabilidad de la atmósfera.La Dinámica de Fluidos (Capítulo 14) se basa en la ecuación de Navier-Stokes. Muchoscuestionarán que al nivel de Física I se introduzca dicha ecuación y debo decir que lo decidí traslargas meditaciones y superando ciertas perplejidades (lo mismo ocurrió con las ecuaciones deEuler para el cuerpo rígido y con los esfuerzos y deformaciones en los sólidos), porque meconvencí que las ventajas superan los inconvenientes. Al fin de cuentas el estudiante nunca se vaa plantear el problema de resolverla. Se trata tan sólo de que tenga a la vista, en una únicaecuación, todas las fuerzas que actúan sobre un elemento de un fluido. Resulta más fácil asícomparar los términos, definir los diferentes regímenes de interés, tener claro las relaciones entreellos, y entender sus límites de validez. Es posible entonces aclarar cuestiones que se soslayan enlos tratamientos elementales y que dejan dudas en la mente del estudiante. Por ejemplo laaproximación de considerar un flujo como incompresible y más especialmente las condicionesde existencia de flujos estacionarios y el significado del número de Reynolds. Entre los temasque no suelen figurar en la bibliografía de nivel introductorio y que incluí por su interésgeofísico y biológico están las generalizaciones de la ecuación de Bernoulli para tomar en cuentalos efectos de la viscosidad y de la turbulencia, la discusión cualitativa de la turbulencia, lasecuaciones de los flujos en medios porosos (ley de Darcy), el flujo de dos fluidos en mediosporosos y la fluidificación. iii
  6. 6. Finalmente, el Capítulo 15 es una introducción a las ondas en medios materiales. Presento lasideas básicas de la física de la propagación de ondas por medio de un ejemplo que muestra elmecanismo de la propagación de un pulso de presión en un gas, sin hacer uso explícito de laecuación de las ondas. Recién después deduzco la ecuación de las ondas de presión, discuto lasaproximaciones involucradas, analizo sus soluciones e introduzco las ondas sinusoidales. A con-tinuación trazo un panorama de las ondas en medios materiales que comprende las ondas acústi-cas en gases y líquidos, las ondas longitudinales y transversales en sólidos (con énfasis en lasondas sísmicas), las ondas de superficie en líquidos (olas de gravedad, olas capilares), las ondasde Rayleigh y de Love en sólidos y las ondas internas de gravedad en fluidos estratificados. Entodos los casos justifico por medio de argumentos sencillos las relaciones de dispersión y discutosomeramente las principales propiedades de estas ondas.Con la salvedad que uso la notación vectorial, mantengo la matemática al nivel más simple posi-ble. Evito sistemáticamente el uso de números complejos, de funciones especiales y de tensores.Desarrollo con mucho detalle las deducciones y los cálculos para que sean seguidas fácilmentepor el estudiante. Aunque por completitud incluí algunos cálculos y desarrollos extensos y labo-riosos, los mismos son sencillos. También recogí en un Apéndice las definiciones, relaciones yfórmulas matemáticas que se emplean, y en un segundo Apéndice resumí las nociones necesariasde cálculo de vectores. La obra se complementa con un tercer Apéndice que contiene problemasque se deben resolver en las clases de Trabajos Prácticos bajo la guía de los docentes auxiliaresde la materia. Tienen por función servir de complemento, ejemplo y ejercitación de los estu-diantes.El material de este libro es muy abundante y no se puede desarrollar por entero en un curso de uncuatrimestre, de modo que es preciso practicar una selección. Preferí igualmente incluir muchostemas para que aquellos alumnos que tienen interés dispongan de una obra donde los puedan en-contrar explicados en forma simple y accesible. Entre los tópicos que me pidieron agregar y quequizás incluya en ediciones futuras puedo mencionar los siguientes: aplicaciones de la dinámicadel cuerpo rígido (acrobacia, actividades deportivas, etc.), fenómenos de transporte (difusión,conducción térmica, convección), fractura de materiales, sedimentación, erosión y transporte departículas por fluidos, flujos de interés geofísico (avalanchas y derrumbes, flujos de lava,glaciares, flujos piroclásticos, flujos en acuíferos), algunas inestabilidades en fluidos de interésgeofísico, ondas de choque, flujos no estacionarios, problemas de capa límite, aplicaciones de lamecánica de fluidos a la locomoción animal acuática y aérea, circulación atmosférica, física delos fenómenos ondulatorios (dispersión, energía y flujo de energía de ondas, reflexión ytransmisión, difusión, absorción, fenómenos no lineales, etc.).Para preparar estas notas realizé una consulta bibliográfica que comprende más de 50 libros ytres centenares de artículos, que no cito sino en mínima parte. Sin embargo la forma de presentarvarios desarrollos y de tratar algunos temas y ejemplos es original. Me fueron muy útiles lasnumerosas discusiones con los Profs. Constantino Ferro Fontán, Fausto Tulio Gratton, RobertoGratton, Luis Bilbao, Héctor Kelly, Félix Rodríguez Trelles, Fernando Minotti, Alejandro G.González, Javier A. Diez y Carlos A. Perazzo, los Dres. Raffaele Gratton y Claudio Vigo, asícomo los comentarios de los Lics. Roberto Delellis, Héctor R. Sánchez y H. Miguel Esper y delos docentes auxiliares de la cátedra. Deseo expresar un especial agradecimiento a la Sra. MabelPaz por su dedicación y empeño en el mecanografiado de mi manuscrito. iv
  7. 7. Dada la extensión de esta obra le he dividido en dos Tomos. El Tomo 1 comprende la Mecánicadel punto y del cuerpo rígido, es decir los Capítulos del 1 al 11. El Tomo 2, actualmente en pre-paración, comprende los restantes Capítulos y los Apéndices.No deberá sorprender que esta primera edición contenga más de una errata. Agradeceré que seme informe de las mismas.Julio GrattonBuenos Aires, Julio de 2006. v
  8. 8. ÍNDICEPrólogo i1. Introducción 1 Qué es la Física, qué estudia y cómo lo hace 1 Fundamentos de la Física 2 Física de sistemas macroscópicos 7 La Mecánica y su rol en el contexto de la Física 10 El lenguaje de la Física 11 Los servicios que presta la Física a las otras Ciencias 12 Qué debe saber de Física quien cursa otra carrera 13 Como se debe estudiar la Física 142. Magnitudes Físicas 17 Unidades y dimensiones de las magnitudes físicas 18 Magnitudes extensivas e intensivas 21 Propiedades geométricas de las magnitudes físicas 21 Simetría de escala 22 La arbitrariedad de la elección de las magnitudes y dimensiones fundamentales 293. Cinemática 31 Objeto puntiforme 31 Objeto extenso y cuerpo rígido 31 Cinemática de los movimientos traslatorios 34 Movimiento en una dimensión 35 Velocidad 35 Movimiento rectilíneo uniforme 37 Aceleración 38 Movimiento uniformemente acelerado 40 Movimiento en tres dimensiones 41 Algunos ejemplos de movimiento 44 Movimiento relativo de traslación 49 Movimiento relativo de rotación 50 La Tierra como sistema de referencia 544. Dinámica 57 Sistemas inerciales y Principio de Inercia 57 Fuerzas y Segundo Principio 58 Interacciones y Tercer Principio 61 Cantidad de movimiento e impulso 62 Conservación de la cantidad de movimiento 63 Problemas de Dinámica 66 El peso 66 Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidos 68 Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluido 72 El empuje 72 Fuerzas de arrastre 73 vi
  9. 9. Fuerzas de sustentación 84 Fuerzas que dependen de la aceleración: la masa inducida y la masa aparente 92 Otras fuerzas 94 Sistemas no inerciales 94 Fuerzas inerciales o ficticias 96 Las definiciones de fuerza y masa 98 Los sistemas inerciales y el principio de equivalencia 1015. Trabajo y energía 105 Trabajo mecánico 105 Fuerza conservativa 106 Campo de fuerza 108 Energía cinética 108 Energía potencial 110 Relación entre energía potencial y fuerza 112 Energía mecánica 113 Potencia 114 Trabajo y energía en movimientos unidimensionales 115 Variación de la energía mecánica por efecto de fuerzas no conservativas 120 Impacto de bólidos 1236. Oscilaciones 137 Oscilaciones libres de un resorte 138 Oscilaciones amortiguadas 139 Oscilaciones forzadas 142 Oscilaciones anarmónicas 151 Oscilaciones de un péndulo 153 Modos lineales normales de osciladores acoplados 159 El columpio 169 Espacio de las fases 179 Movimientos de amplitud arbitraria del péndulo 186 Movimiento caótico de un oscilador forzado que rebota 188 Comentarios sobre el caos 1977. Momento Angular 201 Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética 203 Variación del momento angular 203 Fuerzas centrales y conservación del movimiento angular 204 Movimiento bajo la acción de una fuerza central 205 Movimiento planetario 209 Comentarios 2138. Sistemas de partículas 215 Centro de masa 215 Cantidad de movimiento del sistema 216 Conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado 217 Energía cinética del sistema 217 Energía potencial del sistema 217 vii
  10. 10. Energía mecánica del sistema 218 Momento angular del sistema 219 Variación del momento angular del sistema 220 Conservación del momento angular del sistema 221 Reducción del problema de dos cuerpos 222 Aplicación al movimiento planetario 223 Colisiones 223 Choque elástico de masas puntiformes 225 Choque elástico de esferas rígidas 229 Colisiones inelásticas 231 Sección eficaz 238 Dispersión de Rutherford 242 Sección eficaz de impacto de un bólido 2449. Gravitación 245 La Ley Universal de la Gravitación 245 Potencial gravitatorio y campo gravitatorio 249 Campo y potencial gravitatorio de cuerpos extensos 250 Velocidad de escape 256 Liberación de energía en la contracción de una nube autogravitante 257 Gravimetría 259 Fuerza de marea 263 Mareas 268 Efecto de las mareas sobre la rotación terrestre y la órbita lunar 268 El límite de Roche 271 Comentarios 27410. Dinámica del cuerpo rígido 275 Traslaciones del centro de masa 276 Rotaciones de un cuerpo rígido 276 Momento angular debido a la rotación de un cuerpo rígido 277 Ejes principales de inercia 281 Momento angular referido al sistema de ejes principales 283 Teorema de Steiner 284 Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido con un eje fijo 286 Energía cinética de rotación 286 Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido 287 Los ángulos de Euler 290 Rotaciones libres de un cuerpo rígido simétrico 294 La construcción de Poinsot 296 Rotor asimétrico y estabilidad de la rotación 300 El trompo y el efecto giroscópico 301 La precesión de los equinoccios 302 Cuerpo rígido simétrico sometido a momentos externos: la solución exacta 30611. Estática del punto y del cuerpo rígido 309 Estática del punto 309 viii
  11. 11. Estática con rozamiento 310Estática del cuerpo rígido 312Sistemas de fuerzas equivalentes 316Estabilidad del equilibrio 318Estabilidad del equilibrio de un objeto extenso apoyado 320Equilibrio en presencia de fuerzas conservativas 321Comentario sobre las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido vinculado 322 ix
  12. 12. x
  13. 13. 1. Introducción1. INTRODUCCIÓNAntes de comenzar el desarrollo sistemático de los tópicos de este texto conviene hacer unabreve introducción para dar una primera (y provisional) respuesta a interrogantes que todo estu-diante se propone, a saber: ¿qué es la Física? ¿qué estudia? ¿cómo lo hace? ¿para qué sirve aquien cursa otra carrera? ¿qué debo saber yo de Física? ¿cómo debo estudiar esta materia? Tra-taré aquí de abordar sintéticamente estos temas.Qué es la Física, qué estudia y cómo lo haceLa Física es una ciencia de la naturaleza. Antaño las ciencias de la naturaleza eran una sola, quese llamaba Filosofía Natural. Comprendía la Física, la Química, la Astronomía, la Geología, laBiología, etc. La Física estudia las propiedades e interacciones de la materia y los fenómenos,procesos, transformaciones y manifestaciones que se relacionan con ella. La Física es una cien-cia experimental: para ella el experimento es el único juez de la verdad. El conocimiento físicose basa en la aplicación del método científico. En esto la Física no se diferencia de las otras cien-cias de la naturaleza. Los aspectos fundamentales del método científico son:• la observación,• la experimentación,• el razonamiento.Una característica importante del razonamiento físico es el empleo de modelos. Un modelo esuna versión simplificada de la realidad, que permite el tratamiento matemático de aspectos de lamisma. En pocas palabras y sin pretensión de rigor, se puede decir que un modelo físico consisteen abstraer de una situación real, y por lo tanto compleja, unos pocos elementos simples que sonlos más fundamentales para lo que interesa estudiar. Estos elementos se manejan y estudian conla ayuda de la Matemática. Mostraré oportunamente como se hace esto.Como todo conocimiento científico, el conocimiento físico está organizado, estructurado e inte-rrelacionado con criterios lógico-deductivos. Esto obedece tanto a razones prácticas de economíay síntesis, como también en gran medida a razones de carácter filosófico y estético. Así, el cono-cimiento físico se expresa por medio de leyes, y éstas se estructuran en teorías.El conocimiento físico es por su propia naturaleza limitado, provisorio y está en permanenteevolución.Es limitado y por lo tanto representa tan sólo una aproximación a la realidad, por dos motivosprincipales:• el conocimiento incompleto de las leyes fundamentales,• las simplificaciones que necesariamente se introducen al tratar situaciones complejas.Es provisorio y se encuentra en permanente evolución porque:• toda formulación de las leyes y conceptos físicos está siempre sujeta a revisión a medida que se llevan a cabo nuevas observaciones y experimentos,• continuamente se perfeccionan los métodos y se progresa en el estudio de las situaciones complejas de la realidad.No está demás en esta introducción describir brevemente el estado actual del conocimiento fí-sico. 1 www.cienciamatematica.com
  14. 14. 1. IntroducciónFundamentos de la FísicaLa base de la física es la Teoría Atómica, que en su versión actual postula que toda la materia delUniverso está formada a partir de ciertos constituyentes últimos: las partículas elementales ofundamentales, así llamadas porque no son ulteriormente divisibles en partes más simples. Laestructura y las propiedades de la materia en sus diferentes estados (sólido, líquido, gaseoso yplasma) y el comportamiento de todo sistema físico tanto en la escala microscópica como en lasescalas macroscópicas y cósmicas, están determinados por, y se pueden deducir1 a partir de laspropiedades de las partículas fundamentales y de sus interacciones2. Así los procesos atómicospermiten formular modelos que describen los fenómenos a escala macroscópica, por ejemplo loscambios de estado, las reacciones químicas, los procesos de disolución, difusión, etc.Una parte básica de la Física abarca entonces el estudio de las partículas fundamentales y susinteracciones. En el pasado se creyó que los constituyentes últimos de la materia eran los áto-mos. A principios del siglo XX se encontró que los átomos no son indivisibles, sino que estánconstituidos por un núcleo rodeado por cierto número de electrones. Más adelante se descubrióque el núcleo está formado por protones y neutrones. Más recientemente se vio que los protonesy los neutrones no son elementales, sino que son estructuras compuestas por entes más simplesllamados quarks. Como se ve la idea de “partículas fundamentales” sigue en pie, pero con eltiempo cambió nuestra visión de cuáles son esas partículas a medida que se descubrió que losobjetos que se creían elementales están formadas por partes más simples.El modelo standardNo pretendemos en esta breve introducción desarrollar la física de las partículas, bastará men-cionar que en el momento actual las partículas fundamentales se clasifican en dos familias:• leptones y quarks (llamados colectivamente fermiones),• bosones (llamados a veces bosones mensajeros).De acuerdo con la visión actual, que recibe el nombre de modelo standard, los constituyentesúltimos de la materia son los quarks y los leptones. Los neutrones, protones, mesones, etc. quehasta hace poco se creían elementales, están compuestos por quarks. De las propiedades e inte-racciones de los quarks se derivan las de los protones y los neutrones. De las propiedades deéstos provienen las diferentes especies de núcleos atómicos y sus características, en particular elnúmero de protones y neutrones que contienen, su masa y su carga eléctrica. La carga del núcleoestablece cuántos electrones poseen los átomos. Los electrones atómicos determinan las propie-dades físicas y químicas de los elementos y sus compuestos, es decir las moléculas. Estas carac-terísticas son la base de los modelos que describen la materia y los fenómenos a escala macros-cópica (como los cambios de estado) y así sucesivamente. Toda la materia del universo estáconstituida, en última instancia, por leptones y quarks, y sus propiedades derivan (aunque de unamanera muy indirecta) de las propiedades e interacciones de esas partículas.Los leptones comprenden los electrones, los muones, los tauones, las tres clases de neutrinos, ysus respectivas antipartículas. Los quarks (de los cuales hay seis clases diferentes) son los cons-tituyentes primarios del neutrón, del protón y de otras partículas que aparecen en procesos dealta energía (llamadas bariones y mesones), todas las cuales integran la familia de los hadrones.1 Por lo menos en línea de principio.2 Esto es, de las influencias que cada partícula ejerce sobre las demás y las que sufre debido a la presencia de lasotras. 2 www.cienciamatematica.com
  15. 15. 1. IntroducciónIgual que en el caso de los leptones, a cada quark le corresponde una antipartícula (o antiquark).Las antipartículas forman la antimateria.Si una partícula se encuentra (choca) con una antipartícula de su misma especie se puede produ-cir la aniquilación de ambas. En este proceso desaparece la materia y se libera una cantidadequivalente de energía. Es posible también el proceso inverso, por el cual desaparece energía yse crea un par formado por una partícula más su correspondiente antipartícula.La segunda familia de partículas, los bosones, comprende los fotones, los bosones W ± y Z 0 , losgluones y los gravitones. Los bosones son responsables de las interacciones de los leptones yquarks, como explicaremos enseguida.Las interacciones entre quarks y leptones responden todas al mismo patrón: se trata siempre decombinaciones de procesos elementales que consisten en la emisión o en la absorción de un bo-són por parte del quark o leptón. Este proceso elemental lo podemos representar gráficamentemediante un diagrama (Fig. 1.1). Este diagrama representa una interacción en que un fermiónemite un bosón, el cual se lleva consigo energía, cantidad de movimiento, momento angular yeventualmente otros atributos (como carga eléctrica o de otra clase) y los puede entregar a otrapartícula cuando es absorbido por ésta3. De esta manera los bosones actúan como intermediariosentre las partículas y transmiten la interacción (de ahí la denominación de “mensajeros”). f b f Fig. 1.1. En este diagrama, las líneas llenas representan un quark o un leptón antes (f) y después ( f ′ ) de la interacción (f y f ′ pueden ser de diferente especie). El cambio de di- rección de la línea llena simboliza los cambios sufridos por dicha partícula. Estos cambios dependen de la naturaleza de la interacción y no sólo alteran el estado de movimiento de la partícula, también pueden afectar sus otros atributos (por ejemplo puede cambiar la carga, ya sea eléctrica o de otra clase) y con ello la partícula puede cambiar de especie e incluso transformarse en una antipartícula. La línea ondulada (b) representa el bosón que transmite la interacción. El vértice donde se juntan las líneas que representan el fermión y el bosón simboliza la interacción propiamente dicha.En la Fig. 1.2 se ven los diagramas de los procesos elementales de emisión, absorción, creaciónde un par partícula-antipartícula y aniquilación de un par. El tipo de interacción determina queclase de bosón es emitido o absorbido y que cambios experimenta el fermión. Dicho bosón llevaconsigo una constancia de los cambios producidos en los atributos del fermión. En la interacciónhay un balance entre los atributos del bosón y los cambios soportados por el fermión, de formatal que se garantice el cumplimiento de ciertas leyes generales de conservación.3 En este tipo de diagramas, llamados diagramas de Feynman, es usual imaginar que la dirección del tiempo es haciaarriba, y que líneas de fermiones dirigidas hacia arriba representan partículas, y líneas hacia abajo, antipartículas. 3 www.cienciamatematica.com
  16. 16. 1. Introducción f f _ f f b b b b _ f f f f emisión absorción creación de un par aniquilación de un par Fig. 1.2. Procesos elementales de interacción. La emisión y la absorción de un bosón puede estar acompañada por un cambio de especie del fermión. Los pares consisten siem- pre de una partícula y una antipartícula de la misma especie. Las antipartículas se designan con el mismo símbolo que la partícula, con una línea superpuesta.Cualquier interacción entre dos fermiones se representa entonces mediante diagramas que seobtienen combinando los que representan los procesos elementales. Por ejemplo, dos electronespueden interactuar intercambiando un fotón como lo indica el diagrama de la Fig. 1.3. e e 2 1 g e 2 e 1 Fig. 1.3. Interacción entre dos electrones debida al intercambio de un fotón.Como ya dijimos las interacciones entre partículas se describen mediante esquemas del tipo de laFig. 1.3 y variantes más complejas que surgen de intercambiar dos, tres, etc. bosones. La clasede bosones intercambiados depende de reglas que establecen qué bosones puede absorber y/oemitir una partícula. De acuerdo con ello hay tres diferentes clases de interacciones (o fuerzas)fundamentales, que se resumen en la Tabla 1.1. Como se indica en la misma la interacción elec-tromagnética y la interacción débil son dos aspectos de una única interacción: la interacciónelectrodébil4. No obstante se las suele separar porque sus manifestaciones son muy diferentes.La interacción electromagnética causa las transiciones entre estados nucleares y atómicos debi-das a la emisión o absorción de radiación y es responsable de la estructura atómica y molecular eindirectamente de las propiedades macroscópicas de la materia. En cambio la interacción débilproduce transformaciones entre quarks de diferente especie y su principal manifestación es el de-4 La unificación entre las interacciones electromagnética y débil sólo se pone en evidencia para energías muygrandes, como las que se obtienen en los grandes aceleradores, en los rayos cósmicos y que existieron en losprimeros instantes de vida del Universo. 4 www.cienciamatematica.com
  17. 17. 1. Introduccióncaimiento radioactivo y por lo tanto la estabilidad del núcleo atómico. La interacción fuerte esresponsable de la existencia de los protones y neutrones y de sus interacciones (las fuerzas nu-cleares) y determina así5 las propiedades del núcleo. La interacción gravitatoria produce la atrac-ción gravitacional, que determina la estructura y evolución de la materia en escala cósmica.Las partículas fundamentales (tanto fermiones como bosones mensajeros) se describen matemá-ticamente por medio de campos cuánticos. Más adelante introduciremos la noción de campo,que es de enorme importancia en la Física. Tabla 1.1. Interacciones fundamentales.Interacción : Partículas que Bosón mensa- Manifestaciones: interactúan: jero:Gravitatoria todas gravitón Atracción gravitatoria Electromagnética partículas con fotón (γ) Fenómenos eléctricos carga eléctrica y magnéticos, fuerzas entre átomos y molé- culas, propiedadesElectrodébil macroscópicas de la materia Débil leptones y quarks bosones W ± y Decaimiento radioac- Z0 tivoFuerte quarks gluones Estructura y propie- dades del núcleo ató- micoEn principio las tres fuerzas fundamentales de la Tabla 1.1 determinan por completo las propie-dades y el comportamiento de la materia, no sólo a escala microscópica, sino también macros-cópica o cósmica. Esta afirmación es cierta con las salvedades que provienen de la falta de com-pletitud y de la provisoriedad del conocimiento físico.El marco para la descripción de las partículas fundamentales y sus interacciones está dado pordos teorías fundamentales:• la Teoría Cuántica de Campos, que comprende la teoría electrodébil y la cromodinámica; la teoría electrodébil (que comprende a su vez la electrodinámica cuántica y la teoría de la fuerza débil) describe las interacciones electromagnética y débil; la cromodinámica describe las interacciones de los quarks mediadas por los gluones;• la Teoría General de la Relatividad, que es la descripción más fundamental de la interacción gravitatoria.Las características de las partículas y de sus interacciones se relacionan con, y están subordina-das a, simetrías de la naturaleza y propiedades muy generales de la geometría del espacio-tiempo. No vamos a entrar en los detalles de estas cuestiones que son bastante profundas, peroconviene mencionar aquí que las leyes fundamentales de conservación provienen de propiedadesdel espacio-tiempo. Algunos ejemplos de estas relaciones se dan en la Tabla 1.2.5 Juntamente con la interacción electromagnética. 5 www.cienciamatematica.com
  18. 18. 1. IntroducciónAdemás de las que figuran en la Tabla 1.2 hay otras propiedades de simetría del espacio-tiempoy de los campos que residen en él. Se relacionan con otras leyes de conservación, por ejemplo laque establece la conservación de la carga eléctrica, y otras más. No nos detendremos más sobreestos temas, pero conviene que el lector sepa que hay un marco más amplio dentro del cual seinsertan las nociones y conceptos que desarrollaremos en estas páginas. Tabla 1.2. Simetrías y leyes de conservación. Propiedad: Ley de conservación relacionada: Homogeneidad del espacio Conservación de la cantidad de movimiento Isotropía del espacio Conservación del momento angular Homogeneidad del tiempo Conservación de la energíaMás allá del modelo standardPor lo que sabemos el modelo standard (MS) describe correctamente el comportamiento de lanaturaleza dentro de los límites hasta los que se ha podido llegar hoy con las observaciones y losexperimentos. Sin embargo los físicos teóricos no están del todo satisfechos con él, porque dejasin respuesta interrogantes importantes: ¿porqué hay tres fuerzas fundamentales? ¿porqué haytantas variedades de leptones y quarks, siendo que la materia ordinaria consiste de solamente dosespecies de quarks y dos de leptones? Además el MS depende de varios parámetros6 cuyos valo-res se tienen que asignar “a dedo”, lo cual es poco satisfactorio. Por estos motivos se piensa queel MS es todavía incompleto y que se debe poder hallar una descripción más simple y más fun-damental de la naturaleza. Hay indicios, en efecto, que así como las interacciones electromagné-tica y débil se unifican en una única fuerza electrodébil cuando se observa el comportamiento delas partículas a energía muy grande, también las interacciones fuerte y electrodébil tienden aunificarse a energías mucho mayores. Se han propuesto así diversas teorías unificadas7, perohasta ahora no hay evidencia experimental que permita decidir cual es la correcta. Las energíasnecesarias para llegar a la “gran unificación” son tan enormemente grandes que es difícil imagi-nar que se pueda desarrollar la tecnología necesaria para obtenerlas. Sin embargo se alcanzan (ysuperan) en los rayos cósmicos y también en los primerísimos instantes del Big Bang. Por estemotivo hay mucho interés en observar fenómenos de altísima energía en los rayos cósmicos,pero tal observación es muy difícil ya que se trata de eventos extraordinariamente raros. Por otraparte los primerísimos instantes del Universo son inaccesibles a la observación directa, pero loque entonces ocurrió ha dejado rastros que se pueden detectar hoy en el Cosmos. De allí pro-viene el gran interés que ha cobrado la Cosmología.Otro motivo de insatisfacción de los físicos teóricos es que en el MS coexisten dos teorías fun-damentales (la Teoría Cuántica y la Relatividad General). Les gustaría tener una única teoríafundamental, y también una única fuerza entre las partículas. Desde principios del siglo XX sehicieron intentos de unificar la interacción gravitatoria con la electromagnética (la única otra que6 Entre ellos las constantes de acoplamiento, que determinan la intensidad de las diferentes interaccionesfundamentales.7 Que se suelen designar con el acrónimo GUT, que proviene de Great Unified Theory. 6 www.cienciamatematica.com
  19. 19. 1. Introducciónse conocía entonces) pero todos fracasaron. Como también fracasaron los intentos de unificar laTeoría Cuántica con la Relatividad General. Debido a eso el problema de unificar la gravitacióncon las demás fuerzas se dejó de lado y hasta hace poco no se hizo nada nuevo al respecto. Perorecientemente se han encontrado teorías consistentes del punto de vista matemático y que per-miten lograr ese objetivo tan anhelado (como la llamada Teoría M). Sin embargo por el mo-mento (y quizás por mucho tiempo) las predicciones de esas teorías están fuera del alcance de laverificación experimental.Más allá de que se logre o no una teoría unificada de todas las partículas y fuerzas, debe quedaren claro al lector que nada cambiará en lo referente a la descripción de la naturaleza en las esca-las que podemos observar hoy. Para eso las teorías actuales son perfectamente satisfactorias.Características de las leyes y principios fundamentales de la FísicaEs importante señalar dos características de las leyes y principios fundamentales de la Física.Una de ellas es la simplicidad. La otra es la universalidad. Las leyes básicas de la Física son su-mamente simples (basta ver en efecto los diagramas de las Figs. 1.1 a 1.3) y dependen de pocosparámetros y magnitudes. Sin embargo esto no significa que sea fácil aplicarlas a situacionesconcretas. En la práctica esto puede ser muy difícil, cuando no lisa y llanamente imposible.Justamente, el esfuerzo de los físicos ha consistido siempre (y sigue consistiendo) en superar dosclases de dificultades:• reconocer en la compleja realidad de la naturaleza las leyes simples que la rigen, y• conocidas las leyes, deducir sus consecuencias en los casos de interés.Que las leyes fundamentales de la Física sean simples no significa que sean fáciles de entender.Su simplicidad se logró al precio de introducir conceptos cada vez más abstractos y por lo tantomenos intuitivos. En efecto, gran parte del proceso de aprendizaje consiste en familiarizarse conestos conceptos, para manejarlos y usarlos correctamente. Por eso la sencillez de las leyes bási-cas no es evidente para el profano y se percibe sólo después de un estudio paciente y profundo.La segunda característica que quiero destacar es la universalidad de las leyes físicas funda-mentales: consiste en que éstas son aplicables al macrocosmos y al microcosmos. Rigen tantopara los seres vivientes como para la materia inanimada. Valen en nuestros laboratorios, en elespacio, en las estrellas, y hasta los confines del universo. Se extienden desde el pasado másremoto hasta el más lejano futuro. Esto, por lo menos, dentro de límites muy amplios.Física de sistemas macroscópicosNo todas las leyes de la Física gozan de universalidad: sólo la tienen las leyes fundamentales.Veremos más adelante muchas otras leyes que por no ser fundamentales tienen un ámbito devalidez limitado. Un ejemplo de esta clase es la ley del resorte: F = kx (1.1)Esta ley vincula la fuerza F con que tiramos de (o comprimimos) un resorte con el estiramiento(o acortamiento) x que sufre el mismo, y establece que el estiramiento (o acortamiento) es pro-porcional a la fuerza que lo produce; la constante de proporcionalidad k es una característica delresorte y se llama constante del resorte (ver la Fig. 1.4). La ley (1.1) vale sólo si el cambio de 7 www.cienciamatematica.com
  20. 20. 1. Introducciónlongitud del resorte es pequeño, y si el mismo está hecho de un material elástico. Además la“constante” k depende de muchos factores8. Pero eso lo veremos mejor más adelante. x F = kx Fig. 1.4. La ley del resorte: el cambio de longitud del resorte es proporcional a la fuerza que lo produce.Este ejemplo es típico de las leyes que describen el comportamiento de los sistemas macroscópi-cos. Cuando se quiere aplicar la física al estudio de sistemas macroscópicos (por ejemplo a unorganismo viviente, a una roca, al agua de un río, etc.), y éste es el tipo de problemas que más leinteresan a los estudiantes de otras carreras y que se presentan en la inmensa mayoría de lasaplicaciones prácticas de la Física, tropezamos de inmediato con grandes dificultades.El origen de los inconvenientes es que los sistemas bajo estudio, lejos de ser simples, están com-puestos por un número inmenso de moléculas o átomos. Es así que aún si conocemos las leyesque rigen el comportamiento de las partículas fundamentales, no resulta de ningún modo evi-dente cómo proceder para describir lo que le pasa al sistema en su conjunto, que es lo que nosinteresa. Recordemos que un mol contiene unas 6×1023 moléculas. Éste es un número enorme, yes obvio que es imposible dar una descripción detallada del movimiento de todas y cada una deesas moléculas9. Pero no sólo esto es impracticable: en realidad (y afortunadamente) carece deinterés. Cuando estudiamos la materia del punto de vista macroscópico, es decir en su conjunto yen cantidades apreciables, no nos interesa saber qué le sucede a cada una de las moléculas que laintegran. Lo que nos interesa es conocer el comportamiento de los parámetros macroscópicosque describen al sistema, como la temperatura, la presión, la densidad, etc., y contar con las le-yes que establecen las relaciones que hay entre ellos y su evolución con el tiempo.Los métodos para estudiar los sistemas macroscópicos son varios y en parte complementarios.La Termodinámica estudia las relaciones entre las variables macroscópicas que describen unsistema en equilibrio a partir de postulados muy generales acerca de la conservación de la ener-gía y el sentido de los procesos espontáneos, sin hacer ninguna hipótesis sobre la estructura mi-croscópica y las interacciones de las moléculas, átomos o partículas que integran el sistema. Alser tan general, la Termodinámica vale para un rango muy amplio de situaciones. Pero al mismotiempo está limitada, por cuanto no puede decir nada acerca de las propiedades de las sustancias,8 El valor de k está determinado por el grosor del alambre, el diámetro de las espiras, la cantidad y el paso de lasmismas y por el módulo de rigidez del material.9 En condiciones standard de temperatura y de presión un mol de un gas ocupa un volumen de 22.6 litros. Inclusouna porción diminuta del gas, por ejemplo un micromol (que ocupa un volumen de 22.6 mm3), comprende 6×1014moléculas, un número gigantesco. Sin contar que cada molécula está compuesta por átomos, que a su vez secomponen de electrones y núcleos y éstos últimos se componen de protones y neutrones, que tampoco sonpartículas elementales. Está claro que cada molécula es ya un objeto sumamente complejo, y deducir suspropiedades a partir de las leyes que rigen las partículas fundamentales es una tarea ímproba. 8 www.cienciamatematica.com
  21. 21. 1. Introducciónsalvo establecer relaciones entre ellas. Por ejemplo, la Termodinámica no nos puede decir cuántovale el calor específico de un gas, o su conductividad térmica, etc. Estos datos se tienen queobtener de otra forma, por ejemplo mediante mediciones de laboratorio. Además, la Termodi-námica no trata sistemas fuera del equilibrio10.La Física Estadística permite tender un puente entre las propiedades de los átomos y las molé-culas y los parámetros macroscópicos. Mediante la Física Estadística se puede calcular el calorespecífico de una sustancia, sus propiedades eléctricas y magnéticas y muchas otras característi-cas, a partir de las propiedades e interacciones de las moléculas y átomos que la integran11. Perolas más de las veces en el curso de estos cálculos es preciso efectuar aproximaciones y simplifi-caciones. En última instancia se trata de plantear modelos, más o menos sofisticados pero siem-pre aproximados. Además la Física Estadística trata solamente sistemas en equilibrio o muycerca del equilibrio.La Teoría Cinética permite tratar sistemas macroscópicos fuera del equilibrio, pero sólo al pre-cio de aproximaciones drásticas y sólo en situaciones muy simples se logra llegar a planteos quese pueden manejar matemáticamente.Todos estos métodos conducen a descripciones de los sistemas macroscópicos que se caracteri-zan por las siguientes particularidades:• La introducción de fuerzas no fundamentales, como las fuerzas de rozamiento, de viscosidad, las fuerzas elásticas, de tensión superficial, etc. Estas fuerzas no son fundamentales porque no representan nuevas interacciones, sino que derivan en forma más o menos complicada de las interacciones que figuran en la Tabla 1.1. En particular todas las fuerzas que acabamos de mencionar son de origen eléctrico.• La aparición de la irreversibilidad. A escala microscópica las interacciones entre moléculas son reversibles: si se registraran en un film los movimientos un sistema compuesto por un número muy pequeño de moléculas y se pasara el film al revés, o sea comenzando por el fin y terminando por el principio, un espectador no vería nada extraño en esos movimientos. Por el contrario el comportamiento de un sistema macroscópico tiene un sentido bien definido en el tiempo: un cubito de hielo en un vaso de agua se derrite. Si se registra este proceso y se pasa el film al revés, cualquier observador (aunque no sepa nada de Física) dirá que lo que está viendo no ocurre jamás. La irreversibilidad es una consecuencia de nuestra descripción de los sistemas que contienen muchas moléculas, de resultas de la cual los parámetros ma- croscópicos se obtienen por métodos estadísticos a partir del comportamiento microscópico.• El empleo de modelos, como veremos oportunamente más adelante. Estos modelos consisten esencialmente en el intento de condensar las propiedades de los medios materiales en un pequeño conjunto de parámetros. Los conceptos de gas, líquido y sólido elástico que se em- plean en la Mecánica del Continuo son típicos modelos. Pero hay muchos otros.10 Por ejemplo, no nos puede decir cuánto va a demorar en fundirse un trozo de hielo que hemos colocado en unvaso de agua.11 Las propiedades de los átomos y las moléculas son materia de estudio de la Física Atómica y la Física Molecular.En ambos casos se trata de sistemas compuestos por cierto número (a veces muy grande) de partículas.Afortunadamente ocurre que para calcular sus propiedades basta tomar en cuenta solamente las fuerzas eléctricasentre los núcleos y los electrones, y para los fines de la Física Estadística en muchos casos alcanza con conocer unaspocas de esas propiedades, como la masa, el tamaño y el comportamiento aproximado de las interaccioneselectrostáticas entre átomos y moléculas. Aún así es preciso hacer numerosas aproximaciones. 9 www.cienciamatematica.com
  22. 22. 1. Introducción• El uso de la Mecánica del Continuo, que trata el objeto de estudio (gas, líquido o sólido) como un medio continuo en el sentido matemático (es decir un medio que se puede dividir indefinidamente en partes más pequeñas) y no como un conjunto de átomos y/o moléculas. Está claro que esta hipótesis contradice la Teoría Atómica, por lo tanto la Mecánica del Continuo es tan solo un modelo, una aproximación a la realidad que resulta tanto mejor cuanto mayores son las dimensiones del sistema en comparación con el tamaño de las molé- culas que lo constituyen y las distancias entre ellas. Claramente este modelo da resultados falsos si se lo intenta aplicar para describir fenómenos a escala demasiado pequeña. Esto, sin embargo, no afecta para nada su inmensa utilidad ni sus innumerables aplicaciones prácticas a la ingeniería, la tecnología y a muchas otras Ciencias.• Correspondiendo a los diferentes modelos existen diferentes regímenes, cada uno adecuado para describir al sistema dentro de ciertos rangos de valores de los parámetros que lo carac- terizan. Estos rangos están determinados por las condiciones de validez de las aproximacio- nes en que se funda el modelo, aproximaciones que a su vez dependen de cuáles son los as- pectos que se han dejado de lado para simplificar el problema y hacerlo manejable.• Del punto de vista matemático la descripción de sistemas macroscópicos como los fluidos presenta importantes dificultades debido a que da lugar a ecuaciones no lineales. Un ejemplo de comportamiento no lineal son las olas del mar, que se deforman al propagarse y finalmente rompen. La no linealidad se relaciona también con otro importante fenómeno, la turbulencia, que oportunamente trataremos con detalle.En resumen y para concluir estos párrafos introductorios, podemos decir que en contraposicióncon la sencillez de la física fundamental, la física de los sistemas macroscópicos es extremada-mente compleja y su complicación crece a medida que se refina y perfecciona la descripciónincluyendo elementos y factores que se despreciaron previamente. Las leyes que se obtienen noson universales, sino que tienen un ámbito de validez limitado. Esto se debe tener siempre pre-sente para no caer en errores. En compensación por su complicación, la física macroscópica esmenos abstracta y más intuitiva, porque los objetos que estudia son más familiares.La Mecánica y su rol en el contexto de la FísicaLa Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento prescindiendo de las propiedadesy características del objeto que se mueve. Por ese motivo es un ingrediente básico tanto de lasteorías fundamentales como de la descripción de los sistemas macroscópicos.La Mecánica que se presenta en estas páginas es la que los físicos denominan Clásica o Newto-niana y no es la teoría más general. No es aplicable en los dominios atómico y subatómico.Tampoco se puede aplicar cuando se quiere describir movimientos con velocidades cercanas a lavelocidad de la luz (aproximadamente 300 000 km/s). Ni se puede usar en presencia de camposgravitatorios muy intensos como los que existen en las proximidades de las estrellas de neu-trones y de los agujeros negros. En los primeros dos casos la teoría correcta es la MecánicaCuántica Relativística, en el tercero se debe recurrir a la Relatividad General. La presentación deestas teorías excede el nivel de un texto introductorio y por ese motivo no las vamos a tratar,aunque oportunamente daré al lector una idea de sus fundamentos. La discusión de estos tópicos,aún a nivel elemental, requiere un examen crítico de los conceptos de espacio y tiempo y de losprocesos de medición, algo que dejo para más adelante.Es importante sin embargo que el lector tome conciencia desde el comienzo de las limitacionesde la teoría que va a estudiar. En síntesis, la Mecánica Newtoniana es el límite de la Mecánica 10 www.cienciamatematica.com
  23. 23. 1. IntroducciónCuántica Relativística para bajas velocidades y para sistemas macroscópicos, y es el límite paracampos gravitatorios débiles de la Relatividad General. Dentro de esos límites está la inmensamayoría de los sistemas y fenómenos del ámbito terrestre y para ellos la Mecánica Newtonianaes una teoría correcta y confiable. Nada nuevo que se descubra en los ámbitos exóticos del do-minio subnuclear, de los agujeros negros y estrellas de neutrones, o de los primerísimos instantesde vida del universo puede alterar nuestra confianza en la Mecánica Newtoniana, siempre que lausemos dentro de su ámbito de validez. Oportunamente daré criterios prácticos para determinaren casos concretos si se pueden o no tratar por medio de la Mecánica Newtoniana.El lenguaje de la FísicaEl conocimiento físico se expresa por medio de un lenguaje que emplea la sintaxis, la gramáticay las palabras del idioma común a las que se suman neologismos y términos técnicos cuyo sig-nificado se debe aprender, además de símbolos y fórmulas matemáticas. El uso de términos dellenguaje común ayuda la intuición y facilita la transmisión del conocimiento, pero puede pro-vocar confusiones al neófito. En efecto palabras como calor, energía, volumen, temperatura,onda, trayectoria y muchas más que pertenecen al lenguaje cotidiano, tienen en la Física un sig-nificado algo diferente, mucho más preciso y restringido. Los símbolos y fórmulas matemáticasson una suerte de estenografía que permite condensar y sintetizar con extrema eficiencia con-ceptos, procedimientos y relaciones que sería imposible expresar con igual economía y precisiónpor medio de palabras. Por este motivo parte de las dificultades del aprendizaje de la Física pro-vienen de que el neófito tiene que aprender este idioma, para interpretarlo y expresarse correc-tamente por medio de él. Es fundamental entonces que el lector se familiarice con el significadode los términos y preste mucha atención al uso correcto de los mismos.En el empleo de símbolos y fórmulas es preciso prestar particular atención. Toda vez que se in-troduce un símbolo es imprescindible definir su significado, esto es, decir qué representa. Unsímbolo no definido puede representar cualquier cosa. Por lo tanto una expresión como la ec.(1.1) carece de significado si no se aclara qué representan12 los símbolos F, k y x. Es fundamen-tal aclarar estas cosas, dado que existe una absoluta libertad en la elección de los símbolos, ymuchas veces el mismo símbolo se usa, en diferentes contextos, para designar conceptos distin-tos. Por ejemplo F se suele emplear en Mecánica para designar la magnitud de una fuerza,mientras que en Termodinámica se acostumbra designar con F un concepto completamente dife- ˙rente13. Además caracteres como F, F, F, F, f, f, f, f, f ′ , f , f , etc. que difieren solo por el estiloy la presencia o no de adornos, subíndices, superíndices, etc. se consideran símbolos diferentes ypueden representar (de hecho representan) distintos conceptos. Existen ciertas convencionessobre la notación, que facilitan la tarea del lector, pero no todos los autores emplean las mismasconvenciones y además en distintas ramas de la Física se usan convenciones diferentes. Todoesto puede confundir a quien toma en sus manos por primera vez un libro de Física, pero con lapráctica se adquiere el dominio necesario para entenderlo y se aprecian las enormes ventajas quese obtienen gracias al uso de símbolos y fórmulas.He procurado en este libro introducir la mayoría de los términos, símbolos, notaciones y con-venciones que se emplean en la literatura física, incluso muchos que no aparecen en los textos de12 Si no se dice qué representan los símbolos, expresiones como la (1.1) son simplemente expresiones matemáticassin contenido físico.13 La función de estado llamada Energía Libre o Función de Helmholtz. 11 www.cienciamatematica.com
  24. 24. 1. Introducciónnivel introductorio. Los estudiantes de Física los encuentran recién en los textos más avanzados,pero en mi opinión no hace daño introducirlos en este nivel. En cuanto a los estudiantes de otrascarreras, es fundamental que los conozcan pues en caso contrario nunca podrán establecercomunicación con los físicos y la literatura física les resultará incomprensible. También existe elproblema inverso: los biólogos, los geólogos, los astrónomos, los meteorólogos, etc. tienen cadauno su propio lenguaje y la mayoría de los físicos no lo entienden, cosa que dificulta la comuni-cación entre ellos y por lo tanto las colaboraciones multidisciplinarias. En vista de esto traté deaportar un granito de arena, introduciendo en las aplicaciones y ejemplos algunos conceptos ytérminos de otras disciplinas para que los físicos se familiaricen con ellos.Los servicios que presta la Física a las otras CienciasEn el pasado las ciencias de la naturaleza eran una sola que comprendía la Física, la Química, laBiología, la Geología, la Astronomía, etc. El gran desarrollo científico y correlativamente elvolumen creciente de conocimientos que se fue acumulando especialmente a partir del sigloXIX, tendió a separar estas disciplinas porque es imposible para una única persona adquirir eldominio de todas ellas.Puesto que la Física estudia los fenómenos y propiedades de la naturaleza en sus formas mássimples y básicas, es lógico que haya sido la primera en alcanzar un grado de refinamiento quele permite plantear sus problemas mediante el lenguaje matemático. Este fue un avance deenorme importancia, ya que permite emplear el poderoso arsenal de la Matemática para procesarlas expresiones y fórmulas y encontrar resultados. Este refinamiento no se ha alcanzado todavíaen igual medida en otras disciplinas, debido a que los objetos que estudian son más complejos yno se prestan fácilmente a una descripción matemática. De resultas de eso la comunicación entrelos físicos y los cultores de otras ciencias no es fácil y quien no es físico suele ver la Física comouna ciencia abstracta, extraña y fuera de este mundo.No es así, naturalmente. Tanto el físico, como el biólogo, el geólogo, el químico, etc. estudianaspectos de la naturaleza. La diferencia está en el enfoque, que es distinto. Pero tanto una célulacomo un mineral, una montaña, una nube o una estrella son sistemas físicos, y como tales secomportan de acuerdo con las leyes de la física. Por este motivo la Física tiene mucho que vercon las demás ciencias naturales. Todo cultor de una ciencia natural que deja atrás el estudiomeramente descriptivo para buscar las respuestas a problemas más profundos y encontrar expli-caciones más rigurosas y básicas de los misterios de la naturaleza, a medida que avanza en-cuentra más y más frecuentemente cuestiones donde la Física juega un papel importante y tantomayores son los servicios que le puede prestar.Sintéticamente, la Física es útil a las otras Ciencias por dos razones que comentaré brevemente.• La primera razón es que cuenta con un extenso y sofisticado repertorio de instrumentos y técnicas experimentales, que sirven también para las demás ciencias naturales. Para dar una idea de la importancia que esto puede tener basta mencionar el avance que significó para la Biología la introducción del microscopio. Entre las técnicas e instrumentos puedo mencionar la microscopía óptica y electrónica, las técnicas de rayos X, los radioisótopos, la espectros- copía, el radar, la magnetometría, la gravimetría, el sonar, los sensores remotos, la inmensa variedad de instrumentos ópticos, eléctricos, electrónicos, etc.En las últimas décadas se ha asistido a un vertiginoso progreso en el campo de la instrumenta-ción y de las técnicas experimentales. Es imposible en el marco de un texto introductorio tratarsiquiera superficialmente la mayoría de los instrumentos y técnicas modernas de interés para las 12 www.cienciamatematica.com
  25. 25. 1. Introducciónotras ciencias. Además, para discutir la mayor parte de ellos hacen falta conocimientos de Físicabastante más avanzados de los que tiene un estudiante del primer año. Ya pasó el tiempo quebastaba entender cómo funcionan el microscopio, el termómetro, el péndulo, la balanza y quizásun par de instrumentos más, para saber qué hacer en un laboratorio. Esta es la época del láser, delos detectores infrarrojos, de la ecografía, etc.• La segunda razón es que la Física estudia problemas fundamentales de las otras ciencias, y da la base teórica para entenderlos. En más de un caso el beneficio de la interacción entre las ciencias de la naturaleza ha sido mutuo. Un caso clásico fue el estudio del metabolismo ani- mal, que sirvió de base para formular una de las leyes físicas más importantes: la conserva- ción de la energía. Otro ejemplo fue la larga polémica que hubo hace alrededor de 100 años entre geólogos y físicos en relación con la edad de la Tierra.Hojeando las revistas donde los físicos publican sus trabajos se encuentran muchos artículos deindiscutible relevancia para otras ciencias. En la revisión bibliográfica que llevé a cabo para pre-parar estas notas busqué artículos de interés para la Biología y la Geología. Entre los temas rela-cionados con la Biología que encontré figuran: metabolismo y balance energético, circulación delíquidos biológicos, física del aparato circulatorio, física de las membranas celulares, transmi-sión de impulsos nerviosos, física de los sentidos y de sus órganos, locomoción animal (acuática,aérea y terrestre), fenómenos de transporte en sistemas biológicos (intercambio de calor, difu-sión), respiración, leyes de escala de organismos vivientes, bioelectricidad, efectos de las radia-ciones sobre organismos vivientes, vida extraterrestre, etc. Estos estudios no sólo pueden intere-sar para satisfacer la curiosidad de saber, por ejemplo, como funciona un órgano, sino tambiénpara entender porqué se ha desarrollado en el curso de la evolución de un cierto modo y no deotro, porqué es más eficiente o más ventajosa cierta adaptación al medio, etc. Los artículos deinterés para la Geología se inscriben en la Geofísica y tocan (entre otros) los siguientes temas:procesos que modifican la corteza terrestre (orogénesis, volcanismo, erosión, sedimentación,etc.), sismología, magnetismo terrestre, estructura interna, origen y evolución de la Tierra y losplanetas, geocronología, gravimetría, hidrología y oceanografía física, mecánica de suelos, pro-piedades de rocas, etc. Son también numerosos los artículos de claro interés para otras discipli-nas, que tratan tópicos de cosmología, cosmogonía, astrofísica, fenómenos atmosféricos, meteo-rología, oceanografía, etc. En la medida que lo permite el espacio y la dificultad de los temastrato en estas páginas varios de ellos en forma sencilla y con carácter informativo, para que ellector pueda apreciar mejor la aplicación de la física a los temas de su interés.Qué debe saber de Física quien cursa otra carreraEsta cuestión tiene dos aspectos, referidos a la amplitud del conocimiento y la profundidad delmismo. Después de lo dicho debería quedar claro al lector que cuánta más física aprenda y concuánta mayor profundidad, tanto mejor. Pero también es evidente que hoy día es una utopíaplantear así la cuestión. Salta a la vista que no es mucho el tiempo que le puede dedicar a la Fí-sica un estudiante de otra carrera, y si le concediera más sería a costa de dejar de lado otros estu-dios importantes para él. Además es un contrasentido que quien no tiene intención de ser físicoacabe por convertirse en uno. El interrogante es otro, hay que preguntarse: ¿qué es lo mínimoindispensable que un científico debe saber de Física para desempeñarse bien en su profesión? y¿cómo podemos determinar ese mínimo? Creo que el criterio a emplear surge de observar quenuestro futuro científico debe apuntar a: 13 www.cienciamatematica.com
  26. 26. 1. Introducción• conocer y entender las leyes básicas y los principios fundamentales de la Física, aunque no es necesario que domine los métodos de cálculo ni los formalismos más abstractos,• estar en condiciones de reconocer en un problema de su disciplina cuáles son los aspectos en los que la Física le puede ser útil,• tener cierta familiaridad con el lenguaje de la Física para poder plantearle al físico los pro- blemas en que éste lo puede ayudar,• estar en condiciones de leer en una revista científica los trabajos de física que tocan temas de su directo interés (como los que mencionamos arriba) y aunque no pueda seguir el detalle de los cálculos y desarrollos, debe ser capaz de asimilar la sustancia de los resultados para apre- ciar en que medida le pueden servir.De lo dicho resulta, a mi entender, que el objetivo de este texto debe ser dar al estudiante un pa-norama lo más amplio posible, poniendo énfasis sobre aquellos capítulos que más aplicacionestienen en las otras ciencias. El enfoque tiene que ser fenomenológico y aplicado, evitando lateorización excesiva, pero al mismo tiempo debe recalcar la unidad conceptual de los temas y lasconexiones entre diferentes modelos y problemas. El tratamiento de los temas tiene que ser sim-ple. Entre la amplitud del panorama y la profundidad, algo se debe sacrificar. Lo lógico en estecaso es que sea la profundidad. El desarrollo profundo y riguroso de los temas corresponde a losfísicos, que lo verán más adelante en sus estudios. En este nivel no se justifica. Es con estos cri-terios que elegí los temas que se tratan en este libro y la forma de presentarlos.Como se debe estudiar la FísicaEl carácter de los objetivos que acabo de señalar indica como se debe encarar el estudio. El lec-tor debe apuntar a asimilar y comprender los conceptos fundamentales. ¿Cómo sabe si los haasimilado y comprendido? Esto se reconoce viendo si adquirió la capacidad de aplicarlos a ca-sos concretos. Recordar de memoria los enunciados de leyes y el detalle de fórmulas es perfec-tamente inútil si no se sabe usarlas y sacarles provecho. Muchos creen que “saben” la materiacuando en realidad sólo recuerdan fórmulas y enunciados. No basta la memoria (aunque ayuda)para manejarse con la física. Es preciso comprender. Comprender, en este caso, significa saberrelacionar los enunciados abstractos y las fórmulas matemáticas entre sí y con el mundo que nosrodea. En realidad, visto desde esta óptica, el proceso de comprender las leyes de la física no secompleta nunca porque a medida que se estudian más aspectos se va entendiendo más y mejor,aunque siempre quedarán temas por conocer e investigar. En la práctica el nivel de comprensiónque se quiere lograr mediante este texto está fijado por los temas tratados y los problemas pro-puestos al lector.Dejando de lado estas generalidades, lo que el estudiante quiere saber es algo más práctico:cómo estudiar para aprender la materia y por lo tanto aprobar el correspondiente examen, y pro-curaré dar indicaciones lo más claras posibles al respecto.En primer lugar debe estudiar detenidamente y en forma reflexiva todos los temas, siguiendo losdesarrollos matemáticos14 y aclarando todas las dudas que pudiera tener. No debe estudiar “dememoria”. No se le exigirá memorizar sino muy pocas leyes, definiciones y fórmulas, y el valorde contadas constantes. No se le exigirá recordar largos desarrollos matemáticos. Sin embargoquien ha estudiado bien, buscando entender y prestando atención al significado, con un poco detiempo y trabajo debería poder reconstruir por sí mismo muchos desarrollos y deducciones,14 Esto significa que tiene que completar todos los pasos, incluso aquellos que para abreviar se omiten en el texto. 14 www.cienciamatematica.com
  27. 27. 1. Introducciónaunque no los haya retenido en la memoria. Debería también ser capaz de explicarlos a otro y dereconocer si un planteo físico es correcto o no.En segundo lugar debe procurar resolver, eventualmente con alguna ayuda, los problemas quemuestran como se aplica la teoría a casos concretos. No se trata aquí de aprender recetas de ma-nual. La realidad es tan compleja y variada que ningún manual la puede abarcar. El sentido delos problemas no es enseñar “recetas” para todos los casos que se pudieran plantear, sino mostrarcomo se usa el razonamiento para aplicar las leyes y principios que se han estudiado. En princi-pio una persona muy inteligente que conoce bien la teoría debería poder resolver los problemaspor sí solo, aunque no lo haya hecho previamente. Pero en la práctica conviene ejercitarse paraadquirir soltura, agilidad, experiencia y confianza en uno mismo, y también para reconocer lospuntos débiles del estudio, o sea aquellos conceptos teóricos que uno cree haber entendido peroque en realidad no ha asimilado bien.De lo dicho se desprende que no es provechoso estudiar la parte práctica de la materia sin haberprimero afirmado bien la parte teórica. Ambas partes son interdependientes y se deben estudiaren paralelo. La una sostiene la otra. No sólo hay esta interdependencia entre la teoría y la prác-tica de la materia. También hay una estrecha interdependencia entre los distintos tópicos, que seapoyan mutuamente. Por eso no es posible estudiar provechosamente un capítulo sin haber en-tendido bien los anteriores. Asimismo conviene volver a leer los primeros capítulos luego dehaber estudiado los últimos, porque el nuevo conocimiento permite comprender mejor los alcan-ces de lo que se estudió antes. Se debe tener presente que la Física no es una yuxtaposición detópicos sin relación entre sí, sino que comprende un conjunto de nociones que se encadenanconceptualmente y deductivamente. Si fallan una o más de las partes de esa estructura el restopierde apoyo y se viene abajo.En tercer lugar el estudiante debe interactuar con el profesor y los demás docentes, asistiendo aclase y concurriendo a consultar sus dudas y dificultades en el estudio. Si bien en nuestra Uni-versidad no es obligatorio asistir a las clases teóricas y a las prácticas, y se puede aprender lonecesario para aprobar sin asistir a ellas, nunca insistiré demasiado en aconsejar la asistencia aclase. No se deben desaprovechar las oportunidades de dialogar con los docentes.Puede parecer extraño, pero la experiencia de quien escribe estas páginas es que las mayoresdificultades las suelen tener los estudiantes con aquellas partes de la materia que a primera vistaparecen las más simples y básicas, y en la aplicación de las leyes de la física a los fenómenosfamiliares de la vida cotidiana. Por lo tanto además de estudiar la teoría y resolver los problemasque se plantean en el curso, es muy útil que por propia iniciativa el estudiante se ejercite en ob-servar el mundo que lo rodea con una visión física, que intente interpretar lo que ve en base a lasleyes que ha estudiado, y que plantee sus razonamientos, conclusiones, dudas e inquietudes alprofesor.Por último resumiré brevemente cuáles son a mi entender las principales causas de los fracasosen superar esta materia. Son ellas:• Insuficiente dedicación. La Mecánica es una materia difícil. El programa es extenso y com- prender bien los fundamentos es laborioso. Quien quiere cursar Física I junto con otra mate- ria que requiere mucha dedicación, o junto a dos otras materias, no está haciendo algo pru- dente.• No estudiar en la forma correcta. Aunque la dedicación sea mucha se puede fracasar por esforzarse en memorizarlo todo o por perderse en detalles. Como expliqué antes, el esfuerzo se debe concentrar en la comprensión. 15 www.cienciamatematica.com
  28. 28. 1. Introducción• Discontinuidad del esfuerzo. Para que sea eficiente y rinda buenos frutos el esfuerzo debe ser intenso y continuado. Si se interrumpe el estudio por muchas semanas o meses, se olvida lo anterior y al retomar la materia hay que volver sobre aquello que mientras tanto se ha olvi- dado. Para evitar este despilfarro inútil de tiempo y energía hay que fijar un ritmo y mante- nerlo. Las discontinuidades se deben evitar. Es un error, que los estudiantes siempre descu- bren cuando ya es tarde, esforzarse para aprobar los trabajos prácticos y dejar el examen fi- nal para el cuatrimestre o el año siguiente. De esta forma se acaba por estudiar el doble, se aprende menos, y las notas son insatisfactorias.• Malos hábitos de estudio. Muchos estudiantes dedican largas horas al estudio pero con es- caso rendimiento. Aquí cada uno debe analizar su caso particular y actuar en concordancia. En general, es fundamental estudiar con concentración, evitando las distracciones y las inte- rrupciones. La práctica de estudiar entre varias personas no es buena: es fácil perder tiempo en charlas y la jornada no rinde.• Falta de interés por la Física. Esta causal no es importante por sí misma, sino porque lleva al estudiante a incurrir en los hábitos negativos que acabo de mencionar. Es comprensible que estudiantes de otras carreras no se sientan atraídos por la Física, y no es ningún pecado. Lo que sí es una pena es que por no ocuparse con el debido empeño en el estudio, acaben por condenarse a sí mismos a multiplicar ese esfuerzo que les desagrada, pues eso es precisa- mente lo que sucede cuando se fracasa en los trabajos prácticos o en el examen final y hay que repetir la cursada. Lo acertado entonces es hacer el esfuerzo necesario y suficiente para superar la materia sin contratiempos.• Defectuosa base previa. Esto es común especialmente en lo que se refiere al álgebra, la geo- metría y el cálculo, y tiene sus raíces en defectos de la enseñanza preuniversitaria. Está claro que corregir esta falencia no puede ni debe ser función de la Universidad. El estudiante que observa esta dificultad (los docentes pueden ayudar a diagnosticarla) deberá resignarse a dedicar tiempo y esfuerzo por su cuenta para remediarla, de lo contrario el estudio de la Fí- sica le resultará muy laborioso y no le rendirá ya que en lugar de esforzarse por entender lo que tiene que aprender, o sea la Física, pasará su tiempo tratando de entender la manipula- ción de las fórmulas matemáticas y perderá de vista el resto.• Falta de aptitud para la Física. Muchas veces se invoca esta causal cuando en realidad el motivo es otro. Las dotes requeridas para el estudio de las ciencias son básicamente las mis- mas ya sea que se trate de la Física, la Geología, la Biología, la Astronomía, etc. La elección de una u otra es una cuestión de gustos y preferencias más que de aptitud. Es difícil creer que sea negado para la Física quien ha demostrado poseer la capacidad de aprender otra ciencia. En general lo que ocurre es que se confunde la falta de aptitud con el empleo de métodos de estudio incorrectos. El estudiante se acostumbra a los métodos y hábitos de estudio propios de las materias de su carrera, que muchas veces no sirven para la Física, y al obtener malos resultados cree que es por falta de aptitud.Para concluir, recomiendo enfáticamente a los alumnos que no esperen a que se consume unfracaso en la cursada, sino que tan pronto adviertan signos que indiquen que el estudio no pro-gresa satisfactoriamente acudan al profesor y a los docentes para que los ayuden a encaminarsecorrectamente. 16 www.cienciamatematica.com
  29. 29. 2. Magnitudes físicas2. MAGNITUDES FÍSICASCuando la física estudia algún aspecto de la naturaleza lo primero que hace es deslindar lo másclaramente posible cuál es la parte de la naturaleza que le interesa, separándola del resto. Laparte que está bajo estudio se llama sistema. Qué es lo que forma parte del sistema y qué es loque no lo integra es una cuestión que se debe decidir claramente desde el comienzo. Esta deci-sión está librada al criterio del estudioso y es en gran medida arbitraria. Aunque muchas veces setoma por razones prácticas o de conveniencia, una decisión juiciosa sobre esta cuestión es fun-damental para que el tratamiento sea sencillo y a la vez útil. Como veremos, en muchos casos ladefinición del sistema queda implícita ya que es bastante obvia, pero esto no debe llevar al lectora creer que el tema se pueda soslayar: una afirmación puede ser cierta o falsa según como sehaya definido al sistema. Por ejemplo si afirmamos que al chocar una bocha contra otra se con-serva la energía mecánica, tal afirmación es cierta1 si se entiende que el sistema (cuya energíamecánica decimos que se conserva) es el conjunto de las dos bochas, pero es falsa si se consi-dera que el sistema está formado por la primera (o la segunda) de las bochas.Al estudiar un sistema físico estamos interesados en una o varias de sus características, a las quedenominamos sus propiedades físicas, cuya descripción se hace en términos de lo que llamamosmagnitudes. Por ejemplo si el sistema que consideramos es un gas encerrado en un recipiente lasmagnitudes físicas que lo describen serán la presión p del gas, el volumen V que ocupa, su canti-dad (o sea su masa m, o bien el número n de moles), su temperatura T, etc.El objeto de las leyes físicas es establecer relaciones entre las magnitudes que caracterizan alsistema, de modo tal que conocidos los valores de algunas de ellas se puedan calcular o predecirlos valores de las otras y su evolución con el correr del tiempo. En el caso de un gas en un reci-piente citado antes, p, V, T y n están relacionadas, en el equilibrio, por medio de la fórmulaaproximada pV = nRT (2.1)donde R es una constante universal2. Esta fórmula expresa una ley física3, llamada ecuación deestado de los gases ideales. Otro ejemplo de ley física es la ley del resorte (ec. (1.1)) que pre-sentamos en el Capítulo anterior y más adelante se verán muchas otras. La Física es una cienciaexperimental y esto quiere decir que sus leyes se obtienen de la observación y la experimenta-ción. Fue por medio de la experimentación que se encontraron las leyes que se acaban de men-cionar.Las leyes que rigen el comportamiento de sistemas complejos son lógicamente complicadas, loque hace difícil la tarea del físico. Sin embargo hay una estrategia extraordinariamente útil yfructífera que permite atacar estas dificultades. Consiste en dividir un sistema complejo en partesmás simples, estudiar cada parte por separado, y deducir las propiedades del conjunto a partir delas propiedades de las partes que lo componen y de sus interacciones. Por ejemplo, si se consi-1 Con buena aproximación.2 La constante universal de los gases, cuyo valor es de 8.3143 joule/˚K (el significado de las unidades joule y ˚K severá más adelante).3 Notar que hemos definido el significado de los símbolos que figuran en la (2.1). Si no se hiciera esto la fórmulacarecería de contenido físico. 17 www.cienciamatematica.com
  30. 30. 2. Magnitudes físicasdera el gas de antes como un conjunto de moléculas, se puede deducir la ley (2.1) a partir de laspropiedades de las moléculas4.La importancia de este enfoque no es sólo práctica (porque permite abordar problemas que sepresentan como sumamente complicados) sino también conceptual, ya que permite una enormesíntesis del conocimiento porque condensa muchas leyes y relaciones en pocas leyes más fun-damentales referidas a sistemas simples, a partir de las cuales se deducen todas las demás me-diante procedimientos lógicos y aplicando fórmulas matemáticas. Se tiene así una poderosa he-rramienta que permite atacar un número muy grande de problemas. Eso es lo que estudiaremosen estas páginas.Vemos así que los elementos básicos con que trabaja el físico para construir su estructura deleyes son las magnitudes físicas. Las magnitudes físicas son los datos que vienen de la observa-ción y la experiencia. De lo dicho se desprende que el concepto de magnitud está íntimamenterelacionado con la idea de medición. Más precisamente, una magnitud física queda definidacuando se conocen las prescripciones para medirla, es decir asociarle valores numéricos compa-rándola con otra de la misma clase tomada como unidad. Por ejemplo la longitud (de un objeto)es una magnitud que queda definida cuando se especifica el procedimiento a seguir para medirla.Este procedimiento puede ser, verbigracia, comparar la longitud en cuestión con una regla gra-duada y contar cuántas veces la unidad en que está dividida la regla entra en la longitud que seestá midiendo.Unidades y dimensiones de las magnitudes físicasDe lo expuesto debe quedar claro que hay muchas clases de magnitudes físicas, caracterizadasde diferente manera. Algunas de ellas se pueden comparar entre sí: por ejemplo todas las longi-tudes se pueden medir con una regla (por lo menos en principio) y se pueden expresar en térmi-nos de la misma unidad. Se dice entonces que tienen la misma dimensión, que en este caso es ladimensión de longitud y se indica con el símbolo de longitud l encerrado entre corchetes: [l] ≡ dimensión de longitud (2.2).La unidad de longitud, es decir la unidad en la que se expresan las medidas de longitud queda aelección del físico: puede ser el centímetro (cm), el metro (m), o cualquier otra que resulte con-veniente según el caso.Si consideramos ahora otra magnitud como la superficie o el área de un objeto, vemos que unárea no se puede comparar con una longitud5. Se trata en este caso de magnitudes de dimensio-nes diferentes. Sin embargo hay una relación de carácter geométrico entre ambos conceptos, yaque podemos medir un área viendo cuantas veces entra en ella un área unidad definida (porejemplo) como un cuadrado cuyos lados miden una unidad de longitud. Así es que un área sepuede medir en centímetros cuadrados o metros cuadrados. Esto se expresa diciendo que las di-mensiones de área son [área ] = [l × l] = [l2 ] (2.3)4 Esto se verá más adelante.5 Es decir, no se puede medir un área con una regla, pues para medirla es preciso compararla con otra área. 18 www.cienciamatematica.com

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