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Tablas2

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Tablas2

  1. 1. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 1 de 46 ÍNDICE Introducción 2 La tabla de integrales 4 Utilización inmediata de las fórmulas 12 Método de sustitución 16 Otras técnicas de integración 23 Aplicaciones 31 Anexo 1 41 Respuestas a los ejercicios 42 Bibliografía 46
  2. 2. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 2 de 46 1. Introducción El objetivo del presente trabajo es proporcionar al estudiante un repaso breve acerca de los métodos de integración más usuales empleando una tabla de integrales. El concepto de integral es una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la ingeniería entre las que destacan obviamente el cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad, trabajo mecánico, presión hidrostática, entre otras. Así mismo en las matemáticas mismas como lo son la probabilidad, el cálculo multivariable, cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, por lo que resulta oportuno tener un manejo más o menos adecuado de las técnicas de integración para cursos posteriores. Por esta razón y atendiendo a la petición de la Academia de Ciencias Básicas en 2006 y 2007 se trabajó en un pequeño curso intersemestral del que salieron las versiones 1 y 1.1 de este trabajo y es hasta este 2010 que se reescribe la versión 2.0 que mantiene el mismo espíritu de las versiones anteriores y de la cual se harán breves modificaciones que más adelante se describen brevemente. El contenido está diseñado según lo siguiente:  En la primera sección se describe el uso de la tabla de integrales. En ella se explica cómo se encuentran agrupadas las fórmulas, lo que permite su rápida localización y posterior uso. Aunque existen muchas tablas de integrales, la utilizada aquí es la proporcionada por la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) para el Evento Nacional de Ciencias Básicas (ENCB).  En la segunda se utilizan las fórmulas de manera directa.  La siguiente sección se repasa el método de sustitución, por lo que hay que tener presente el proceso de derivación. En esta sección también se reducen integrales que se pueden resolver por alguna de las fórmulas empleando este método.  La penúltima sección se refiere a otros artificios de integración, en la que se mostrará la técnica de completar cuadrados, de realizar manipulaciones algebraicas entre otras y que también son necesarias para enfrentarse con un problema de esta índole.  En la última sección se muestran las aplicaciones. En ella, se encuentran aquellas clásicas como lo son el área, volumen de sólidos de revolución, se introducen las integrales múltiples, las ecuaciones diferenciales de primer orden, la transformada de Laplace y los coeficientes de Fourier. Entre los cambios que se han realizado con respecto a las versiones anteriores se encuentran las siguientes:
  3. 3. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 3 de 46  La primera de ellas es la explicación de cómo se encuentran agrupadas las integrales en el formulario.  Las ecuaciones en todos los ejemplos van numeradas para una fácil referencia.  Se integran comentarios adicionales acerca de la solución de cada uno de los ejemplos.  Respuestas a cada uno de los ejercicios planteados. El desarrollo de este pequeño manual es de carácter práctico en un 95%, por lo que en el presente sólo encontrarán ejemplos, los cuales están rotulados en azul. Las fórmulas a utilizar también se resaltan y el término de la solución de un ejemplo se termina con el símbolo . Finalmente quiero expresar mi agradecimiento a todos aquellos que de una manera directa o indirecta han inspirado, utilizado o criticado este material es sus versiones anteriores, de manera particular y sin querer omitir a alguien, a la Academia de Ciencias Básicas, ya que sin todos ustedes este pequeño esfuerzo no hubiera sido posible. Julio 2010
  4. 4. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 4 de 46 2. La tabla de integrales La tabla de integrales a utilizar es la siguiente:
  5. 5. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 5 de 46
  6. 6. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 6 de 46
  7. 7. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 7 de 46
  8. 8. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 8 de 46
  9. 9. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 9 de 46
  10. 10. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 10 de 46
  11. 11. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 11 de 46
  12. 12. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 12 de 46 3. Utilización inmediata de las fórmulas Ejemplo 1. Calcular   2 9 x dx . Solución. Vamos a ocupar la fórmula     C a x xa dx 1 22 sin (0.1) En este caso 3,92  aa , por lo que según (0.1) se tiene que: C x x dx     3 sin 9 1 2 .  Ejemplo 2. Calcular   2 3 u du . Solución. Se ocupa la fórmula       C au au aua du ln 2 1 22 (0.2) En este caso, 3,32  aa , por lo que según (0.2) se tiene que:   C u u C u u u du         3 3 ln 32 1 3 3 ln 32 1 3 2  Ejemplo 3. Determinar   dt t t 52 . Solución. Se emplea la fórmula   Cbuaabua b du bua u   ln 1 2 (0.3) En este caso 2a  y 5b   , por lo que al ocupar (0.3)       CttCttdt t t     52ln252 25 1 52ln252 5 1 52 2 
  13. 13. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 13 de 46 Ejemplo 4. Hallar   dx x x 34 . Solución. Se ocupa la fórmula   Cbuaabu b du bua u    2 3 2 2 (0.4) Aquí 4a  y 5b  , por lo que al sustituir en (0.4)        CxxCxxdx x x    3483 27 2 34423 33 2 34 2  Ejemplo 5. Evaluar  xdxx 2cos3sin . Solución. Utilizaremos la fórmula                C ba uba ba uba buduau 2 cos 2 cos cossin (0.5) Puesto que ,2,3  ba por lo que al sustituir en (0.5)         CxxC xx xdxx        5cos 10 1 cos 2 1 232 23cos 232 23cos 2cos3sin  Ejemplo 6. Encontrar  uduu sin3 . Solución. Este ejemplo se refiere a las denominadas fórmulas de reducción, a saber:     uduunuuuduu nnn coscossin 1 (0.6)     uduunuuuduu nnn sinsincos 1 (0.7)   Cuuuuduu cossinsin (0.8) En este caso 3n , por lo que aplicando (0.6) tenemos que   uduuuuuduu cos3cossin 233 (0.9)
  14. 14. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 14 de 46 Ahora bien, por (0.7),   uduuuuuduu sin2sincos 22 (0.10) pero por (0.8):    uuuuuuuuuuuduu cos2sin2sincossin2sincos 222 , y por lo tanto, sustituyendo (0.10) en (0.9):   Cuuu uuuuCuuuuuuuuduu   sin6cos6 sin3coscos2sin2sin3cossin 23233  Ejemplo 7. Evaluar  dtte t5 . Solución. Se ocupa la fórmula   Ceau a duue auau  1 1 2 (0.11) En este caso, 5a , por lo que al usar (0.11)     CetCetdtte ttt  55 2 5 15 25 1 15 5 1  Ejemplo 8. Determinar dxxe x  5cos3 . Solución. Se utiliza la fórmula      Cbubbua ba e budue au au sincoscos 22 (0.12) En este caso, 5,3  ba por lo que al ocupar (0.12)     Cxx e Cxx e dxxe xx x    5sin5cos3 34 5sin5cos3 53 5cos 3 52 3 3 
  15. 15. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 15 de 46 Ejemplo 9. Encontrar  tdtt ln3 . Solución. Se aplica la fórmula          Cun n u uduu n n 1ln1 1 ln 2 1 , con 3n , para obtener        Ct t Ct t tdtt      1ln4 16 1ln13 13 ln 4 2 13 3  Ejercicios A Encontrar las siguientes integrales. 1.   du u uu 2 2 8 . 3.    2/32 8 t dt . 5.  xdxx 2cos4cos . 7.  dtte t9 . 9.   ydyy 1 sin . 11.   dyyy 22 9 . 13.   du u u 52 2 . 15. ydyy 22 cossin . 2.   2 5 x dx . 4.  xdx3 sin 6.  udu3 tan . 8.  dx xxln 1 . 10.   zdz1 sin . 12.    xx dx 75 . 14.  uduu sin4 .
  16. 16. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 16 de 46 4. El método de sustitución. El método de sustitución es un método muy eficaz para reducir el problema de calcular una integral a una que se encuentra en la tabla de integrales. Consiste en cambiar el nombre a una expresión a través de una igualdad y hacer que aparezca la diferencial de esta expresión. Este método es el inverso de la regla de la cadena para derivación. De manera general el esquema es el siguiente: 1. Llamar mediante una letra (frecuentemente se usa la letra u) una expresión en lo que se va a integrar. 2. Obtener la diferencial de esta expresión (se escribe du y se iguala a la derivada de la expresión elegida en 1 y se le agrega el símbolo dx (dependiendo de la letra que se deriva). 3. Se despeja dx (o la letra que se deriva) de la diferencial obtenida en 2. 4. Se sustituye lo que se obtiene en 1 y en 3 en la integral a calcular y se tiene entonces una que se calcula ocupando la tabla. 5. Se regresa a la variable anterior (la que se deriva) mediante 1. Ejemplo 1. Evaluar   dxx  5 12 . Solución. Hacemos 12  xu , de donde , 2 ,2 du dxdxdu  de donde      duu du udxx 555 2 1 2 12 (2.1) Para resolver la última integral en (2.1) aplicamos la fórmula C n u duu n n      1 1 Con 5n para obtener 65 6 1 uduu  (2.2) Al sustituir (2.2) en (2.1) se tiene finalmente que     CxCuCudxx        6665 12 12 1 12 1 6 1 2 1 12 
  17. 17. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 17 de 46 Ejemplo 2. Hallar   dx x x 12 . Solución. Hacemos ,12  xu de donde x du dxxdxdu 2 ,2  y así:                u du x du u xdx x x 2 1 2 1 12 (2.3) Puesto que   u u du ln (2.4) Entonces al sustituir (2.4) en (2.3) se tiene que   CxCudx x x   1ln 2 1 ln 2 1 1 2 2  Ejemplo 3. Encontrar  dx x e x . Solución. Se hace xu  , por lo que dxxdu x dx du 2, 2  y así:     duedux x e dx x e u ux 22 . (2.5) Puesto que Cedue uu  (2.6) Entonces por (2.6) en (2.5) CeCeduedx x e xuu x   222  Ejemplo 4. Determinar  dt t t  2 /1sin .
  18. 18. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 18 de 46 Solución. En este caso, ,/1 tu  entonces   dutdtdttdu 22 ,/1  , por lo que       C t CuCuududut t u dt t t   1 coscoscossin sin/1sin 2 22  Ejemplo 5. Evaluar   94 2 z dz . Solución. Se escribe primero       9294 22 z dz z dz , De donde se hace zu 2 y 2 ,2 du dzdzdu  y 3a , por lo que C z C u u du u du z dz               3 2 sin 2 1 3 sin 2 1 32 1 3 2/ 94 11 22222  Ejemplo 6. Hallar   32w w e dwe . Solución. Nuevamente se aplica la misma ley referente a los exponentes del ejemplo anterior, para que se escriba      33 22 w w w w e dwe e dwe , por lo que se hace w eu  , por lo que w w e du dwdwedu  , y 3a , para encontrar que C e e C u u u du e du u e e dwe w w w w w w                   3 3 ln 32 1 3 3 ln 32 1 333 222  Ejemplo 7. Hallar   dx x xx sin3 cossin2 . Solución. Se pone xu sin , para determinar que xdxdu cos y así:
  19. 19. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 19 de 46 du u u x du u xu dx x xx            3cos3 cos sin3 cossin 222 . Como      Cbuaabuaabua b du bua u   ln24 2 1 22 3 2 , Entonces                Cuuu Cuuudu u u    3ln183123 2 1 3ln323343 12 1 3 2 22 3 2 Así      Cxxxdx x xx   sin3ln18sin312sin3 2 1 sin3 cossin 2 2  Ejemplo 8. Evaluar dxx 8tan3 . Solución. En este caso, se hace dxduxu 8,8  , por lo que duu du udxx         333 tan 8 1 8 tan8tan . Puesto que Cuuduu  coslntan 2 1 tan 23 , Entonces Cx xCuuCuudxx         8cosln 8 1 8tan 16 1 cosln 8 1 tan 16 1 coslntan 2 1 8 1 8tan 2223  Ejemplo 9. Obtener  xdx3sec5 . Solución. En este caso dxduxu 3,3  , de modo que duu du uxdx         555 sec 3 1 3 sec3sec . Ahora se utiliza la fórmula de reducción        udu n n uu n udu nnn 22 sec 1 2 sectan 1 1 sec (2.7)
  20. 20. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 20 de 46 Se utiliza primero (2.7) con 5n para encontrar que         uduuuuduuuduu 3325255 sec 4 3 sectan 4 1 sec 15 25 sectan 15 1 sec (2.8) Nuevamente se aplica (2.7) con 3n :         uduuuuduuuduu sec 2 1 sectan 2 1 sec 13 23 sectan 13 1 sec 23233 (2.9) Puesto que   uuudu tanseclnsec , entonces (2.9) se transforma en uuuuudu tansecln 2 1 sectan 2 1 sec3  (2.10) Al incluir (2.10) en (2.8) Cuuuuuu uuuuuuudu         tansecln 8 3 sectan 8 3 sectan 4 1 tansecln 2 1 sectan 2 1 4 3 sectan 4 1 sec 3 35 (2.11) Como 3u x , (2.11) finalmente se transforma en Cxx xxxxCuuuuuu Cuuuuuuuduxdx           3tan3secln 8 1 3sec3tan 8 1 3sec3tan 12 1 tansecln 8 1 sectan 8 1 sectan 12 1 tansecln 8 3 sectan 8 3 sectan 4 1 3 1 sec 3 1 3sec 33 355  Este último ejemplo, no sigue el esquema general presentado al principio de esta sección. La diferencia estriba en que después de elegir la variable u hay que despejar previamente para seguir con el procedimiento ya descrito. Ejemplo 10. Encontrar  xdxx 5sin3 . Solución. Se hace xu 5 , de donde 5 u x  y 5 du dx  , por lo que               uduu du u u xdxx sin 625 1 5 sin 5 5sin 3 3 3 (2.12)
  21. 21. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 21 de 46 Para determinar la última integral se utiliza     uduunuuuduu nnn coscossin 1 (2.13) con 3n , de donde   uduuuuuduu cos3cossin 233 (2.14) Ahora se utiliza     uduunuuuduu nnn sinsincos 1 (2.15) con 2n para obtener:   uduuuuuduu sin2sincos 22 (2.16) Para obtener la última integral en (2.16) se ocupa nuevamente (2.13) con 1n :    uuuuduuuuduu sincoscoscossin , de modo que en (2.16):    uuuuuuuuuuuduu sin2cos2sinsincos2sincos 222 , y en (2.14):   u uuuuuuuuuuuuuuduu sin6 cos6sin3cossin2cos2sin3cossin 23233   y finalmente        Cxxxxxxx Cxxxxxxxxdxx   5sin 625 6 cos 125 6 5sin 25 3 5cos 5 1 5sin65cos565sin535cos5 625 1 5sin 23 233 
  22. 22. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 22 de 46 Ejercicios B Evaluar las siguientes integrales 1.   xdxe x 4cos3 . 3.   dxxx 21 sin . 5.   dxxx 213 sin . 7.  xdx5 sec . 9.   x x e dxe 2 1 . 11. dt t tt  4cos3sin 13.   yy dy 45 . 15. . 2 tan 1   dz z z 2.  dxx 2/csc3 . 4.   dx x xx sin1 cossin . 6.  xdxx 3cos2 . 8.  xdx2sin6 . 10.   dxee xx 1 cos . 12. dx x x   2 2 4 94 14. dyy 5tan2 .
  23. 23. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 23 de 46 5. Otras técnicas de integración Cuando se integran funciones racionales, nos podemos encontrar con expresiones del tipo cbxax 2 con 042  acb ; expresiones de este tipo se denominan irreducibles. En este caso, resulta útil completar el cuadrado perfecto y entonces aplicar alguna de las fórmulas que se encuentran en la tabla ya descrita previa una sustitución. Para ver de una manera más detallada la aplicación de este proceso consultar el anexo 1. Ejemplo 1. Encontrar   522 zz dz . Solución. La técnica es completar el cuadrado perfecto como sigue:           4141215125252 22222  zzzzzzzzz . Por lo tanto:      4152 22 z dz zz dz . Ocupamos la sustitución dzduzu  ,1 y así   C z C u u du z dz              2 1 tan 2 1 2 tan 2 1 441 11 22  Ejemplo 2. Calcular   2 8 xx dx . Solución. Completamos el cuadrado como        22222 416168161616888  xxxxxxxxx . Así:       22 4168 x dx xx dx . Hacemos la sustitución dxduxu  ,4 y así:   C x C u u du x dx              4 4 sin 4 sin 16416 11 22 
  24. 24. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 24 de 46 Ejemplo 3. Obtener    xxx dx 21 2 . Solución. Completamos el cuadrado perfecto como sigue:       1111222 2222  xxxxxxx . Entonces:           11121 22 xx dx xxx dx . Hacemos dxduxu  ,1 y así:       CxCu uu du xx dx       1secsec 1111 11 22  Ejemplo 4. Hallar   544 2 xx dx Solución. Se completa el cuadrado como sigue:         612614415144544544 22222  xxxxxxxxx . Por lo tanto,      612544 22 x dx xx dx . Hacemos 2/,2,12 dudxdxduxu  , por lo que   C u u C u u u du u du x dx                      6 6 ln 64 1 6 6 ln 62 1 2 1 62 1 6 2/ 612 222  Ejemplo 5. Evaluar dt ee e tt t   822 . Solución. Hacemos primero dtedvev tt  , y así:     8282 22 vv dv dt ee e tt t . Ahora bien         9191218128282 22222  vvvvvvvvv y
  25. 25. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 25 de 46      9182 22 v dv vv dv . Hacemos dvduvu  ,1 y     C v v C v v C u u u du v dv               4 2 ln 6 1 31 31 ln 6 1 3 3 ln 32 1 991 22 . Finalmente C e e dt ee e t t tt t      4 2 ln 6 1 822  Algunas ocasiones es necesario separar el integrando para aplicar algunas de las fórmulas, lo que se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 6. Hallar    dx x x 2 1 23 . Solución. Se procede a separar la integral como         222 1 2 1 3 1 23 x dx dx x x dx x x . La primera integral se resuelve por sustitución como sigue: xdudxxdxduxu 2/,2,1 2  y 22/1 2(1 2/1 2 1 2/12 1 2 1 2 1 21 xu u duu u du x du u x dx x x                 . La segunda integral es     x x dx 1 2 sin 1 , por lo que   CxxCxxdx x x      1212 2 sin213sin213 1 23  Ejemplo 7. Evaluar dx x x   2 cos sin1 . Solución. Se procede a separar la integral como
  26. 26. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 26 de 46     dx x x dx x dx x x 222 cos sin cos 1 cos sin1 . Puesto que xx xx x x x x x tansec cos 1 cos sin cos sin ,sec cos 1 2 2 2  . Por lo tanto   Cxxxdxxxdxdxxxxdx x x    sectantansecsectansecsec cos sin1 22 2  Ejemplo 8. Obtener  ydyyy tansecsin . Solución. Puesto que y y y y y cos sin tan, cos 1 sec  , Entonces dy y y dy y y y yydyyy               2 2 cos sin cos sin cos 1 sintansecsin . Como 1cossin 22  yy , entonces yy 22 cos1sin  , por lo que              Cyydyydy dydy y dy y dy y y dy y y ydyyy tansec cos 1 1 cos 1 cos cos1 cos sin tansecsin 2 222 2 2 2  Algunas otras formas en las que se ocupan otros medios se encuentran en los siguientes ejemplos. Ejemplo 9. Calcular   dxxx 6 2  . Solución. Hacemos 2 xu , de donde dudxux  ,2 y así           Cxx Cuuduuduuduuuduuudxxx    78 7867676 6 2 7 2 2 8 1 7 2 8 1 2222 
  27. 27. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 27 de 46 Ejemplo 10. Evaluar   dxx1 sin . Solución. Se hace xu  , de donde ududxux 2,2  , por lo que   C xx x x C uu u u C uu u u uduuuduudxx                         2 sin 2 12 2 1 sin 2 12 4 1 sin 4 12 2sin22sinsin 2 1 2 1 2 2 1 2 111  Ejemplo 11. Hallar dx x x  1 . Solución. Como   111  xx , entonces   1 1 1 1 111 1       xx x x x , por lo que Cxx x dx dxdx x dx x x             1ln 11 1 1 1  Ejemplo 12. Encontrar dx x x  1 2 2 3 . Solución. Como   xxxx 2122 23  , entonces   Cx xdx x x xdxdx x x xdx x xxx dx x x                  1ln 1 2 2 1 2 2 1 212 1 2 2 2 222 2 2 3  Ejemplo 13. Determinar dx xx x   12 . Solución. Primero completamos el cuadrado perfecto de esta manera:   4 3 2 1 4 3 4 1 4 1 1 4 1 11 2 2222                          xxxxxxxxx . Por lo tanto,
  28. 28. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 28 de 46   dx x x dx xx x     4/32/11 22 . Hacemos ahora 2/1 xu , de donde dudxux  ,2/1 , por lo que la última integral se transforma en:            4/32 1 4/34/3 2/1 4/32/1 2222 u du du u u du u u dx x x . Puesto que 1ln 2 1 4 3 ln 2 1 4/3 22 2   xxudu u u , Y                                   3 12 tan 3 2 3 2/12 tan 3 2 3 2 tan 3 2 2/3 tan 2/3 1 4/3 1 111 2 x xuu u du Entonces C x xxC x xxdx xx x                             3 12 tan 3 1 1ln 2 1 3 12 tan 3 2 2 1 1ln 2 1 1 1 212 2  Ejemplo 14. Determinar      dx xx xxxx     22 312 119 93tan1 . Solución. Manipulamos el integrando como sigue              22 1 22 212 22 312 119 3tan 119 193tan1 119 93tan1           x x x x xx xxxx xx xxxx . En consecuencia          dx x x dx x x dx x x x x dx xx xxxx                    22 1 22 1 22 312 119 3tan 119 3tan 119 93tan1 .
  29. 29. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 29 de 46 Para la primera integral del lado derecho se hace , 91 3 ,3tan 2 1 dx x duxu    por lo que  2122 2 22 1 3tan 6 1 6 1 2 1 3 1 3 1 3 91 1919 3tan xuuududu x x u dx x x                    . Para la segunda integral, hacemos dudxuxxu  ,1,1 y   1 1 1ln 1 ln 1 ln 111 1 1 3222                  x x u u u u u du u du du uu du u u dx x x En consecuencia        C x xxdx xx xxxx         1 1 1ln3tan 6 1 119 93tan1 21 22 312 
  30. 30. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 30 de 46 Ejercicios C Evaluar las siguientes integrales 1.   3xx dx 3.   dpp2 25 5. dr r r   2 2 4 7.   xdxx 1 cos 9.   dx x xx    22 2 3 6 11. dx x x  2 13.   dx xx x sectan tan 15.   842 yy dy 17.   34 2 xx dx 19.   dx x x 42 2 21.   422  d 23. dx x x   2 sin1 cos 25. dm mm   449 8 2 2. dx x x   2 49 4.    dxxx 3 57 6. dt t t   43 8.  dppsin 10.   dyy1 tan 12.    dy y y 4 12 2 14.   dx x x 4 2 16.   542 tt dt 18. dx x x    12 34 2 20.      dx x x 2 1 1 sincos 22. dx x xx   2 sin sincos2 24. dx xx x   122 3
  31. 31. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 31 de 46 6. Aplicaciones Para realizar las aplicaciones de la integral hay que entender correctamente el siguiente enunciado. Teorema (Fundamental del Cálculo, segunda parte). Si f es continua en [a,b] y F es una antiderivada de f, i. e. )()(' xfxF  para x en [a,b], entonces   b a aFbFdxxf )()()( . Puesto que  dxxf )( es una antiderivada de )(xf , entonces el teorema anterior nos dice que hay que encontrar la integral indefinida y luego evaluarla en los extremos según lo que afirma este enunciado. Usualmente se ocupa la siguiente notación para el cálculo de integrales definidas: b a b a dxxfdxxf   )()( . Ejemplo 1 (Área). Calcular el área limitada por las curvas 2 xy  y xy  2 . Solución. Una gráfica (figura 1) nos determina que el área buscada es: Figura 1
  32. 32. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 32 de 46    2 9 2 1 5 2 1 38 3 8 2 4 3 1 2 1 2 3 8 24 3 1 2 1 2 3 1 2 1 22 1 2 32 1 2 2                       xxxdxxx  Ejemplo 2 (Trabajo). Cuando una partícula se ubica a una distancia de x pies del origen, una fuerza dada por xx 22  actúa sobre ella. Calcular el trabajo que se realza al mover la partícula desde 1x hasta 3x . Solución. El trabajo está dado por  b a dxxFW )( , donde F representa la fuerza y los extremos representan las posiciones en las que se mueve la partícula. Así que   3 50 8 3 26 1 3 1 9 3 27 1 3 1 33 3 1 3 1 2 23 3 1 23 3 1 2                     xxdxxxW  Ejemplo 3 (Integrales múltiples). Así como la integral definida representa el área de una función de una variable y que es no negativa, las integrales dobles representan volúmenes de superficies, esto es, la gráfica de una función f de dos variables usualmente x y y que toman valores entre intervalos cerrados, por ejemplo a x b  , c y d  . Este tipo de integral múltiple se escribe como ( , ) d b c a f x y dxdy  (3.1) en la que se aprecia el orden en que se escriben los límites de integración, en la primera integral de izquierda a derecha se ponen los de la letra que dice el último diferencial que en este caso es dy. De esta manera la integral (3.1) es equivalente a ( , ) b d a c f x y dydx  (3.2) La manera de encontrar su valor (o evaluarlas) es a través de lo que se llama las integrales iteradas. Por ejemplo para encontrar el valor de (3.2), se resuelve primero la integral interna, esto es con respecto a y, considerando a x como constante. Una vez realizada se encuentra la integral exterior esto es con respecto a x. En esta última se tiene una integral que sólo depende de esa letra. De manera análoga la integral en (3.1) se calcula primero con respecto a x, considerando a y constante. Una vez realizada ésta se calcula con respecto a y.
  33. 33. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 33 de 46 A manera de ejemplo, se calculará   1 2 2 0 1 xy y dxdy  . Solución. Primero se encuentra   2 2 1 xy y dx . El proceso es el siguiente:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 x x x xy y dx y xy y y y y y y y y y y                                                Este último resultado se pone en la integral con respecto a y, esto es ahora se calcula 1 2 0 3 2 y y dy        . Finalmente: 11 2 2 3 0 0 3 3 1 3 1 13 2 4 3 4 3 12 y y y y dy y y                      Ejemplo 4 (Ecuaciones diferenciales separables). Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida. El orden de una ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada de mayor grado. Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de una sola variable; es parcial si la función desconocida depende de dos o más variables y se consideran sus derivadas parciales. Una solución de una ecuación diferencial es una función que al sustituirse en la ecuación dada, produce una identidad. El tipo más simple de ecuaciones de primer orden son las separables, cuya forma es )()( yx dx dy  , Cuya solución se obtiene escribiéndola como dxx y dy )( )(    , e integrando esta última relación, esto es la solución general es
  34. 34. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 34 de 46   dxx y dy )( )(   . Como ejemplo, resolveremos 2 2 1 y x dx dy   . Para resolverla, escribimos la ecuación como   dxxdyy 22 1  que al integrar da   Cxyy dxxdyy    33 22 3 1 3 1 1 Ejemplo 5 (Ecuación separable). Resolver yx e dx dy 23   . Solución. Puesto que yxyx eee 2323  , escribimos la ecuación como dxedye dxe e dy ee dx dy xy x y yx 32 3 2 23     que al integrar da Cee dxedye xy xy      32 32 3 1 2 1  Ejemplo 6 (Ecuaciones lineales). Una ecuación lineal de primer orden puede escribirse en la forma )()(' xgyxpy  , (3.3) donde p y g son funciones dadas. Si g es idénticamente cero se dice que (3.3) es homogénea. En otro caso se dice que es no homogénea. En el caso de una ecuación no homogénea, la solución está dada por:         dxxpdxxp eexgCxy )()( )()( , cuya construcción se realiza mediante los siguientes pasos:
  35. 35. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 35 de 46 I. Identificar )(xp II. Calcular Idx. III. Escribir II e . IV. Identificar )(xg y hacer IIIxg *)( . V. Calcular IVdx. VI. Escribir VC  . VII. Escribir II . VIII. Escribir VII e . IX. Solución general: VIIIVIy * . A manera de ejemplo resolveremos 22 3 xyx dx dy  . Aplicaremos los nueve pasos ya descritos, a saber: I. 2 3)( xxp  . II. 32 3 xdxx  . III. 3 x e IV. 2 )( xxg  ,   33 22 xx exex  . V. 33 3 12 xx edxex  VI. 3 3 1 x eC  . VII. 3 x . VIII. 3 x e . IX. Solución: 3 1 3 1 333         xxx CeeeCy  Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Sea )(tf dada para 0t . La transformada de Laplace de f, que se denotará por  )(tfL o )(sF se define por       0 )()()( dttfesFtfL st , donde la integral en el lado derecho se denomina integral impropia y se define por       a st a st dttfedttfe 00 )(lim)( , esto es como un límite de integrales definidas. Calculemos la transformada de Laplace de la función definida por 0,1)(  ttf .
  36. 36. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 36 de 46  s e ss e s dtedteL as a a st a a st a st 111 lim 1 limlim1 000                  Para ver que el límite a infinito de una exponencial negativa, la figura 2 muestra la gráfica de x ey 2  generada en Maple. Figura 2. Gráfica de una exponencial negativa Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Determinar  bt eL . Solución. Tenemos que             bssbsb e sb e sb e sb dtedtedteeeL abs a at t tbs a at t txb a a txb a txbbtstbt                                 1111 lim 1 lim 1 limlim 00000  Ejemplo 8. (Transformada de Laplace). Determinar  btL sin . Solución. Tenemos que:       222222 0 22 00 cossinlim cossinlimsinlimsinsin bs b bs b abbabs bs e btbbts bs e btdtebtdtebtL as a at t st a a st a st                               
  37. 37. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 37 de 46 Figura 3. Gráfica de la función )sin2(cos3 xxey x   Ejemplo 9 (Coeficientes de Fourier). Supongamos que f está definida en el intervalo   x y que   )(2 xfxf   . La serie de Fourier de f está dada por      1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , donde     ,...2,1,0,cos)( 1 nnxdxxfan y     ,..3,2,1,sin)( 1 nnxdxxfbn que se denominan coeficientes de Fourier. Las siguientes consideraciones son útiles para calcular los coeficientes de Fourier. 1. Si f es par, esto es )()( xfxf  sobre ],[  , entonces 0 ,cos)( 2 ,)( 2 0 0 0      n n b nxdxxfa dxxfa    
  38. 38. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 38 de 46 Figura 4. Gráfica de una función par 2. Si f es impar, esto es )()( xfxf  sobre ],[  , entonces     0 sin)( 2 0 nxdxxfb a n n Figura 5. Gráfica de una función impar Como ejemplo, calculemos los coeficientes de Fourier de xxf )( con x en ],[  . Puesto que f es impar, entonces
  39. 39. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 39 de 46    0 sin 2 nxdxxbn . Primero se calcula  nxdxxsin . Para obtenerla se hace ndudxnuxnxu /,/,  , por lo que:   nxx n nx n nxnx n nx n uu n u n uuu n uduu nn du u n u nxdxx cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 cossin 1 sin 1 sinsin 222 2222                En consecuencia 0sin 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 sin 22 0 2 0 n n n n n nxx n nx n nxdxx          . Puesto que 0sin n y  n n 1cos  , entonces     1 0 11 1 sin   nn nn nxdxx    . Así:     11 0 1 2 1 2 sin 2          nn n nn nxdxxb     Ejemplo 10 (Coeficientes de Fourier). Hallar los coeficientes de Fourier de 2 )( xxf  con x en ],[  . Solución. Puesto que f es par, entonces 0 cos 2 3 2 3 12 3 122 0 2 2 3 0 3 0 2 0              n n b nxdxxa xdxxa       Como en el ejemplo anterior, calcularemos  nxdxx cos2 . Hacemos nxu  y así:               uduu nn du u n u nxdxx cos 1 coscos 2 3 2 2 .
  40. 40. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 40 de 46 Ahora bien   uduuuuuduu sin2sincos 22 , y como    uuuuduuuuduu sincoscoscossin , entonces   uuuuuuuuuuuduu sin2cos2sinsincos2sincos 222  . Por lo tanto:      nx n nxx n nxx n nxnxnxnxnx n uuuuu n nxdxx sin 2 cos 2 sin 1 sin2cos2sin 1 sin2cos2sin 1 cos 3 2 2 3 2 3 2   Así   1 2 2 2 0 3 2 0 2 1 2 sin 2 cos 2 sin 1 sin 2 cos 2 sin 1 cos          n n n n n n n n nx n nxx n nxx n nxdxx    En consecuencia     1 2 1 2 1 4 1 22       nn n nn a   
  41. 41. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 41 de 46 Anexo 1. Completar el cuadrado perfecto Para completar el cuadrado perfecto de una expresión de la forma 2 x bx c  , se procede de la siguiente manera: 1. Se toma el valor (con todo y signo) del factor que contiene la potencia 1, es decir b. 2. Se divide este valor por 2, esto es se obtiene 2 b . 3. Se eleva esta cantidad al cuadrado para obtener 2 2 2 4 b b      . 4. Se suma y se resta este valor de la siguiente manera 2 2 2 4 4 b b x bx c                . 5. Se factoriza la primera parte de la suma anterior y se escribe finalmente 2 2 2 4 b b x c             . Ejemplo. Aplicar el procedimiento a la expresión 2 6 7x x  . 1. El valor que se toma es 6. 2. Se realiza la operación 6 3 2  . 3. Se eleva al cuadrado el resultado del paso 2, esto es 2 3 9 . 4. Se escribe      2 2 6 9 7 9 6 9 16x x x x         . 5. Finalmente 𝑥2 + 6𝑥 − 7 = (𝑥 + 3)2 − 16 .
  42. 42. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 42 de 46 Respuestas A 1. 2 12 8 4 cos 4 u u u C u          2. 11 tan 5 5 x C       3. 2 8 8 t C t   4.  21 2 sin cos 3 u u C   5. sin2 sin6 4 12 x x C  6. 21 tan ln cos 2 u u C  7.   91 9 1 81 t t e C  8. ln ln x C 9. 22 1 12 1 sin 4 4 y yy y C    10. 1 2 sin 1z z z C    11.  2 2 29 9 2 9 ln 9 8 8 y y y y y C      12. 1 ln 5 5 7 x C x   13.  22 32 75 40 2 5 1875 u u u C   
  43. 43. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 43 de 46 14. 4 3 2 cos 4 sin 12 cos 24cos 24 sinu u u u u u u u u C     15. 3 sin cos 1 1 sin 2 4 8 16 y y y y C    B 1.   3 3cos4 4sin 4 25 x e x x C     2. csc cot ln csc cot 2 2 2 2 x x x x C                            3. 2 1 2 41 sin 1 2 x x x C    4.   2 sin 2 1 sin 3 x x C   5. 4 2 4 1 22 1 1 sin 8 8 x x x x C    6. 21 2 2 sin3 sin3 cos3 3 27 9 x x x x x C   7. 31 3 3 tan sec sec tan ln sec tan 4 8 8 x x x x x x C    8. 5 31 5 15 15 sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin2 12 48 96 192 x x x x x x C     9. 1 sin x e C  10. 1 2 cos 1x x x e e e C    11. 1 cos cos7 7 t t C   12. 2 11 3 3 4 9 cos 2 2 2 x C x    
  44. 44. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 44 de 46 13. 3 41 ln 2 7 4 y C y    14. 1 tan5 5 y y C  15. 2 14 2 tan 4 2 z z z C       C 1. 2 √3 𝑡𝑎𝑛−1 (√ 𝑥−3 3 ) + 𝐶 2. − √9−4𝑥 𝑥 − 2 3 𝑙𝑛 | √9−4𝑥−3 √9−4𝑥+3 | + 𝐶 3. 𝑠𝑖𝑛−1 𝑝 5 + 𝐶 4. (7𝑥+5)5 245 − 5(7𝑥+5)4 196 + 𝐶 5. − 𝑟 2 √4 − 𝑟2 + 2𝑠𝑖𝑛−1 𝑟 2 + 𝐶 6. 2√3𝑡 − 4 − 4𝑡𝑎𝑛−1 √3𝑡−4 2 + 𝐶 7. 2𝑥2−1 4 𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 − 𝑥√1−𝑥2 4 + 𝐶 8. 2𝑠𝑖𝑛√ 𝑝 − √ 𝑝𝑐𝑜𝑠√ 𝑝 + 𝐶 9. − 𝑥 2( 𝑥2+3) + 1 2√3 tan−1 𝑥 √3 − 3 𝑥2+3 + 𝐶 10. ( 𝑦 + 1)tan−1 √ 𝑦 − √ 𝑦 + 𝐶 11. √2𝑙𝑛 | √2−𝑥−√2 √2−𝑥+√2 | + 2√2 − 𝑥 + 𝐶 12. 𝑙𝑛( 𝑦2 + 4) − 1 2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦 2 + 𝐶
  45. 45. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 45 de 46 13. sec 𝑥 − tan 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 14. 2( 𝑥 − 4) + 8𝑙𝑛| 𝑥 − 4| + 𝐶 15. 1 2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦−2 2 + 𝐶 16. 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑡 + 2) + 𝐶 17. 𝑠𝑖𝑛−1( 𝑥 − 2) + 𝐶 18. 𝑥2 + 𝑥 + 2𝑙𝑛|2𝑥 − 1| + 𝐶 19. 𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 2 + 𝐶 20. 𝑠𝑖𝑛( 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥) + 𝐶 21. 1 √3 𝑡𝑎𝑛−1 𝜃−1 √3 + 𝐶 22. −2cot 𝑥 + csc 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶 23. 𝑡𝑎𝑛−1(sin 𝑥) + 𝐶 24. ( 𝑥−1)2 2 + 3( 𝑥 − 1) + 3𝑙𝑛| 𝑥 − 1| − 1 𝑥−1 + 𝐶 25. 4𝑠𝑒𝑐−1 7𝑚 2 + 𝐶
  46. 46. Manejo de tablas de integrales Versión 2.0 David Medina Hernández 2010 Página 46 de 46 Bibliografía [1] Thomas - Finney, Cálculo una variable, Addison Wesley Longman [2] Stewart James, Cálculo Diferencial e Integral, Thomson. [3] Salas Etgen, Calculus uma variable, Editorial Reverté. [4] Marsden – Weinstein, Calculus I, Springer Verlag. [5] Marsden – Weinstein, Calculus II, Springer Verlag. [6] Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thomson Learning. [7] Boyce Di Prima, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Noriega. [8] Medina David, Valera Fabián, Diplomado: Aplicación de Software para la Enseñanza de las Ciencias Básicas, Versiones 2009 y 2010, Dirección General de Educación Superior Tecnológica.

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