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PROJETO FINAL - Daniel Lobo

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PROJETO FINAL - Daniel Lobo

  1. 1. AN´ALISE DINˆAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAC¸ ˜AO DURANTE A MUDANC¸A DE CARACTER´ISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICAC¸ ˜AO DE INCERTEZAS Daniel de Moraes Lobo Projeto de Gradua¸c˜ao apresentado ao Curso de Engenharia Mecˆanica da Escola Polit´ecnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Engenheiro. Orientadores: Thiago Gamboa Ritto Daniel Alves Castello Rio de Janeiro Julho de 2016
  2. 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecnica DEM/POLI/UFRJ AN´ALISE DINˆAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAC¸ ˜AO DURANTE A MUDANC¸A DE CARACTER´ISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICAC¸ ˜AO DE INCERTEZAS Daniel de Moraes Lobo PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECˆANICA DA ESCOLA POLIT´ECNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS´ARIOS PARA A OBTENC¸ ˜AO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECˆANICO. Aprovada por: Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc. Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc. Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc. Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing. RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL JULHO DE 2016
  3. 3. de Moraes Lobo, Daniel An´alise dinˆamica de uma coluna de perfura¸c˜ao durante a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha com quantifica¸c˜ao de incertezas/ Daniel de Moraes Lobo. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Polit´ecnica, 2016. XIII, 72 p.: il.; 29, 7cm. Orientadores: Thiago Gamboa Ritto Daniel Alves Castello Projeto de Gradua¸c˜ao – UFRJ/ Escola Polit´ecnica/ Curso de Engenharia Mecˆanica, 2016. Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 41 – 42. 1. Coluna de perfura¸c˜ao. 2. Vibra¸c˜ao. 3. Stick-Slip. 4. Mudan¸ca de rocha. I. Gamboa Ritto, Thiago et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecˆanica. III. An´alise dinˆamica de uma coluna de perfura¸c˜ao durante a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha com quantifica¸c˜ao de incertezas. iii
  4. 4. ”Vocˆe precisa fazer aquilo que pensa que n˜ao ´e capaz de fazer.” Eleanor Roosevelt iv
  5. 5. Agradecimentos O meu sucesso hoje atingido n˜ao seria poss´ıvel sem o apoio da minha fam´ılia. A minha noiva por todo o amor, carinho e apoio incondicional. Obrigado por ter acreditado em mim sempre, por ter me consolado nos momentos dif´ıceis e come- morado minhas conquistas. Eu n˜ao conseguiria metade do que consegui sem o seu apoio. Aos meu pais pelo amor, incentivo e suporte. Gostaria de agradecer tamb´em por todo o investimento feito na minha educa¸c˜ao desde pequeno e pela valoriza¸c˜ao da minha forma¸c˜ao. O apoio deles foi fundamental para mim. Aos meus orientadores, Thiago Ritto e Daniel Castello, pela confian¸ca, orienta¸c˜ao e incentivo durante a constru¸c˜ao desse trabalho. Gostaria de agradecer principal- mente pela orienta¸c˜ao profissional que me permitiu identificar um futuro com mais clareza. As professoras Lav´ınia e Anna Carla pelas orienta¸c˜oes dadas durante esse meu percurso e por sempre me receberem bem. Ao professo Silvio Carlos, do qual fui monitor por 2 anos. Obrigado pelas ori- enta¸c˜oes acadˆemicas, pessoais e profissionais. Agrade¸co ainda o suporte, confian¸ca e incentivo que me foi dado durante todo esse per´ıodo trabalhando juntos. Aos amigos que fiz durante meu est´agio na Vallourec. Seria invi´avel listar todos os nomes importantes para mim aqui, ent˜ao agrade¸co a todos pelas orienta¸c˜oes, trabalhos e oportunidades que me foram dadas durante o est´agio. Ainda assim, gostaria de agradecer especialmente ao Pedro Filgueiras que teve papel fundamental para meu desenvolvimento dentro da empresa, pela confian¸ca depositada em mim nesse tempo e por todas as oportunidade que me foram abertas durante esse per´ıodo. Agrade¸cp especialmente tamb´em aos demais estagi´arios da equipe a qual pertencia. Mais do que colegas de trabalho, sei que fiz amigos; amigos de verdade. Obrigado! v
  6. 6. Resumo do Projeto de Gradua¸c˜ao apresentado `a Escola Polit´ecnica/UFRJ como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Engenheiro Mecˆanico AN´ALISE DINˆAMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAC¸ ˜AO DURANTE A MUDANC¸A DE CARACTER´ISTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICAC¸ ˜AO DE INCERTEZAS Daniel de Moraes Lobo Julho/2016 Orientadores: Thiago Gamboa Ritto Daniel Alves Castello Programa: Engenharia Mecˆanica O processo de perfura¸c˜ao de po¸cos de petr´oleo ´e um dos mais caros e complexos presentes na ind´ustria. O entendimento dos mecanismos complexos de vibra¸c˜ao da coluna de perfura¸c˜ao ´e crucial para melhorar o controle da opera¸c˜ao e performance. Neste trabalho, foi proposto um modelo simples com um grau de liberdade para avaliar a vibra¸c˜ao torcional da coluna. Devido a diversas fontes de incerteza no pro- cesso, o m´etodo de Monte Carlo foi usado de forma a considerar essas incertezas nas an´alises. A resposta dinˆamica do sistema foi simulada e um estudo de sensibilidade das vari´aveis peso sobre a broca (WOB) e velocidade da mesa rotativa foi realizado, introduzindo uma proposta de an´alise atrav´es de gr´aficos de bifurca¸c˜ao. Incertezas foram inclu´ıdas no parˆametro de peso sobre a broca e analisou-se a probabilidade de Stick-Slip para cada velocidade de rota¸c˜ao da mesa, mostrando que velocidades mais altas resultam em menores probabilidade de Stick-Slip. Em seguida, foram aplica- das fun¸c˜oes aos torques de atrito broca-rocha com o objetivo de simular o primeiro contato broca-rocha e a altera¸c˜ao de caracter´ısticas da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao, observando-se comportamentos caracter´ısticos para cada fun¸c˜ao. Por fim, incertezas foram adicionadas `a an´alise para avaliar o impacto para cada fun¸c˜ao e mostrou-se que a maior influˆencia ocorre no caso da fun¸c˜ao degrau. vi
  7. 7. Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical Engineer DYNAMIC ANALYSIS OF A DRILLING STRING DURING THE CHANGE OF ROCK PROPERTIES WITH UNCERTAINTIES QUANTIFICATION Daniel de Moraes Lobo July/2016 Advisors: Thiago Gamboa Ritto Daniel Alves Castello Department: Mechanical Engineering The oil well drilling process is one of the most expensive and complex in the in- dustry. The understanding of the complex mechanisms of the drill string vibration is crucial to improve the control of the operation and performance. In this study, a simple model was proposed with one degree of freedom to analyze the torsional vibration of the string. Due to several sources of uncertainty in the process, the Monte Carlo method was used in order to consider these uncertainties in the anal- ysis. The dynamic response of the system was simulated and the sensitivity of the variables weight on bit (WOB) and rotary table speed was studied by introducing a proposal for the use of fork graphics. Uncertainties were included in the weight on bit parameter and the probability of Stick-Slip for each rotary table speed was analyzed, showing that higher speeds result in smaller probabilities of Stick-Slip. Then functions were applied to drill-rock friction torques in order to simulate the first drill-rock contact and the rock changing during the drilling process, observing specific behaviors for each function. Finally, they were added to the uncertainty analysis to assess the impact for each function, showing that the most influence occurs in the case of the step function. vii
  8. 8. Sum´ario Lista de Figuras x Lista de Tabelas xiii 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Organiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Modelagem matem´atica do processo de perfura¸c˜ao 6 2.1 Processo de perfura¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Modelo computacional do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Considera¸c˜ao sobre incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Resultados e Discuss˜oes 14 3.1 Resposta determin´ıstica do sistema: dom´ınio do tempo e bifurca¸c˜ao . 14 3.2 Bifurca¸c˜ao Estoc´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Altera¸c˜ao do contato broca-rocha no tempo . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Resposta determin´ıstica sem contato inicial . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Resposta determin´ıstica com mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha . . 30 3.6 Resposta estoc´astica com mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha . . . . 33 4 Conclus˜ao e Trabalhos futuros 38 4.1 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Referˆencias Bibliogr´aficas 41 viii
  9. 9. A C´odigos em MATLAB 43 A.1 Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A.2 Representa¸c˜ao dos modelos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.2.1 Modelo simples - sem mudan¸ca de rocha . . . . . . . . . . . . 68 A.2.2 Modelo com multiprocessamento . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A.2.3 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo degrau . . . . . . . . . . . 70 A.2.4 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo linear . . . . . . . . . . . 71 A.2.5 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo tangente hiperb´olica . . . 72 ix
  10. 10. Lista de Figuras 1.1 Evolu¸c˜ao do Petr´oleo. Adaptado de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tipos de vira¸c˜ao em uma coluna de perfura¸c˜ao. Adaptado de [2]. . . 3 2.1 Esquema geral de uma sonda de perfura¸c˜ao. Adaptado de [3]. . . . . 7 2.2 Modelo mecˆanico proposto para a coluna de perfura¸c˜ao. . . . . . . . . 9 2.3 Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4]. . . . . 10 2.4 Esquema do m´etodo de monte carlo. Baseado em [5]. . . . . . . . . . 12 3.1 Resposta determin´ıstica do sistema para os regimes com e sem Stick- Slip em (a) velocidade angular da broca e (b) ˆangulo da broca. Linha cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . 15 3.2 Modelo de atrito seco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total de simula¸c˜ao e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa. Resultados em (a) veloci- dade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa. Resultados em (a) veloci- dade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. . . . . . . . . . . . . 19 3.6 An´alise por bifurca¸c˜ao da resposta do sistema mediante varia¸c˜ao da velocidade de rota¸c˜ao da mesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 x
  11. 11. 3.8 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.9 An´alise por bifurca¸c˜ao da resposta do sistema mediante varia¸c˜ao do peso sobre a broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.10 An´alise de estabilidade de acordo com velocidade de rota¸c˜ao da mesa e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip. 23 3.11 An´alise por bifurca¸c˜ao estoc´astica para determinar a probabilidade de ocorrer o fenˆomeno de Stick-Slip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.12 Altera¸c˜ao, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de atrito est´atico e (b) torque de atrito dinˆamico. . . . . . . . . . . . . . 26 3.13 Altera¸c˜ao, durante o processo de perfura¸c˜ao, do (a) torque de atrito est´atico e (b) torque de atrito dinˆamico. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.14 Velocidade da broca com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . 28 3.15 Detalhe da velocidade da broca com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 29 3.16 Torque de atrito com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . . 29 3.17 Detalhe do torque de atrito com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 30 3.18 Velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.19 Detalhe da velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.20 Torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.21 Detalhe do torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.22 Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mu- dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao linear. . . . . . . . . . . . . . . 35 xi
  12. 12. 3.23 Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mu- dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao tangente hiperb´olica. . . . . . . 35 3.24 Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao (a) linear e (b) tangente hiperb´olica. . 36 3.25 Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mu- dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau. . . . . . . . . . . . . . . 37 3.26 Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 xii
  13. 13. Lista de Tabelas 2.1 Propriedades da coluna de perfura¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 xiii
  14. 14. Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao Inicialmente, o petr´oleo foi utilizado pelas civiliza¸c˜oes antigas, como os meso- potˆamicos, gregos, persas e eg´ıpcios para aquecimento e ilumina¸c˜ao de casas e es- tradas, embalsamador de corpos, impermeabilizador de constru¸c˜oes, entre outros. O petr´oleo, desde a sua primeira perfura¸c˜ao, no dia 27 de agosto de 1859, no estado americano da Pensilvˆania, por Edwin Laurentine Drake (conhecido como coronel Drake), foi tendo sua importˆancia ampliada com o passar do tempo e o desenvol- vimento das tecnologias. Na era p´os-Drake, observou-se o seu grande potencial e, assim, passou-se a utiliz´a-lo com maior amplitude e a pesquisar novas formas e aplicabilidades. [6] Hoje em dia, o Petr´oleo ´e considerado um dos recursos naturais mais importantes para o desenvolvimento humano. Derivados do petr´oleo como a gasolina e o diesel s˜ao utilizados para mover importantes m´aquinas como caminh˜oes, carros, avi˜oes, navios, entre outros. Al´em disso o petr´oleo ainda ´e utilizado como uma importante fonte de energia, inclusive para a produ¸c˜ao de energia el´etrica. O Petr´oleo ainda ´e utilizado na produ¸c˜ao de bens consumo presentes no dia-a-dia da popula¸c˜ao mundial, como pl´asticos, ceras, fertilizantes, entre muitos outros. [7] 1.1 Motiva¸c˜ao Devido `a alta e crescente importˆancia do petr´oleo para a sociedade, esse recurso continua a ser explorado hoje em dia e as buscas por novas reservas continuam. Conforme o passar dos anos, desde a primeira descoberta do petr´oleo, as reservas 1
  15. 15. descobertas foram se tornando cada vez mais dif´ıceis de serem exploradas, neces- sitando um investimento alto no desenvolvimento de novas tecnologias. Conforme pode ser visto na figura 1.1, as profundidades dos novos po¸cos vem aumentando com o passar dos anos e, a partir de 2007, quando da descoberta dos primeiros po¸cos no pr´e-sal localizados na bacia de santos, essa profundidade aumentou consideravel- mente, chegando a incr´ıveis 4 mil metros de rocha perfurada em um lˆamina d’´agua de mais de 2 mil metros. Figura 1.1: Evolu¸c˜ao do Petr´oleo. Adaptado de [1]. O processo de perfura¸c˜ao ´e certamente um dos processos mais importantes na constru¸c˜ao de um po¸co de petr´oleo e, de acordo com KHULIEF et al. [8], a vibra¸c˜ao da coluna de perfura¸c˜ao ´e uma das principais causas para a redu¸c˜ao da performance do processo. Experiˆencias de campo ainda revelaram que ´e crucial o entendimento dos mecanismos complexos de vibra¸c˜ao apresentados pelo sistema de perdura¸c˜ao com o intuito de controlar melhor a opera¸c˜ao e melhorar a performance do processo. [8] Na coluna de perfura¸c˜ao, podem ser percebidos trˆes tipos de vibra¸c˜ao: axial, lateral e torcional (figura 1.2). Uma das formas mais recorrentes e destrutivas ´e a torcional que quando atinge seu estado de maior severidade ´e conhecida como Stick-Slip.[8] O termo Stick-Slip ´e utilizado pela ind´ustria para descrever o fenˆomeno que acontece quando a broca apresenta ciclos de velocidade repetidos com valores de m´ınimo pr´oximo ou igual a zero e m´aximos elevados, enquanto que a mesa rotativa 2
  16. 16. continua a girar normalmente. Quando a broca est´a travada, a energia torcional aumente at´e atingir um patamar que a broca n˜ao consegue mais resistir, voltando a girar de forma brusca com altos valores de velocidade angular at´e que a energia torcional reduza e a broca ”trave”novamente, gerando um ciclo. De acordo com BRETT [9], seus experimentos mostraram que o fenˆomeno de Stick-Slip apenas acontece quando a broca est´a em contato com a rocha a ser perfurada, ou seja, o fenˆomeno de Stick-Slip n˜ao se manifestou antes do contato broca-rocha. Portanto, ´e evidente que um dos principais mecanismos de Stick-Slip ´e a intera¸c˜ao broca-rocha. KHULIEF et al. [8] tamb´em diz que as principais raz˜oes para as vibra¸c˜oes da coluna de perfura¸c˜ao s˜ao o contato da broca com a forma¸c˜ao rochosa e o contato da coluna de perfura¸c˜ao com a parede do po¸co. Figura 1.2: Tipos de vira¸c˜ao em uma coluna de perfura¸c˜ao. Adaptado de [2]. Sabe-se que o petr´oleo ´e gerado a partir do ac´umulo de mat´eria orgˆanica presente em rochas sedimentares que, quando submetidas a certas condi¸c˜oes de press˜ao e temperatura, formam o petr´oleo que por sua vez ´e acumulado em uma rocha com certos n´ıveis de porosidade e permeabilidade que ´e chamada de rocha reservat´orio. [6] 3
  17. 17. 1.2 Objetivo Os objetivos desse trabalho s˜ao: i. propor um modelo simplificado para descrever o movimento torcional da coluna de perfura¸c˜ao, baseando-se no modelo proposto por NAVARRO e LOPEZ [4]; ii. Analisar a resposta determin´ıstica da dinˆamica do sistema modelado e propor um novo tipo de an´alise por bifurca¸c˜ao; iii. Analisar a resposta estoc´astica do sistema para varia¸c˜oes nos torques de atrito atrav´es do gr´afico de bifurca¸c˜ao estoc´astica; iv. Avaliar a resposta determin´ıstica quando h´a altera¸c˜ao no contato broca-rocha e; v. Analisar a resposta estoc´astica do sistema no caso de altera¸c˜ao do contato broca-rocha durante a perfura¸c˜ao. 1.3 Organiza¸c˜ao O primeiro cap´ıtulo tem como objetivo introduzir o assunto ao leitor e apresentar a motiva¸c˜ao do trabalho com uma contextualiza¸c˜ao do problema abordado, o objetivo do trabalho e a organiza¸c˜ao deste documento. O segundo cap´ıtulo come¸ca com uma explica¸c˜ao breve do processo de perfura¸c˜ao com foco na atividade de perfura¸c˜ao em si, sem aprofundar nos processos laterais da opera¸c˜ao. O entendimento do processo de perfura¸c˜ao permite o desenvolvimento de um modelos simplificado para descrever a coluna de perfura¸c˜ao e suas condi¸c˜oes de contorno. Em seguida ´e apresentada a modelagem proposta para a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha e por ´ultimo a considera¸c˜ao das incertezas ´e abordado. O terceiro cap´ıtulo come¸ca apresentando a resposta dinˆamica do sistema sim- plificado desenvolvido no cap´ıtulo anterior. Primeiramente a resposta dinˆamica do sistema ´e analisada, seguida de uma an´alise de sensibilidade dos parˆametros do mo- delo. A seguir, uma an´alise de estabilidade ´e apresentada com a quantifica¸c˜ao de incertezas nos parˆametros de intera¸c˜ao broca-rocha. Ap´os isso, a resposta do sis- tema ´e analisada quando a rota¸c˜ao inicial n˜ao possui contato com a rocha de forma a avaliar o comportamento do sistema no momento do contato com a rocha. O cap´ıtulo ent˜ao segue com a an´alise da resposta do sistema mediante a altera¸c˜ao da rocha durante a perfura¸c˜ao e, em seguida, apresenta a resposta estoc´astica para esse caso. O cap´ıtulo cinco conclui o trabalho e cont´em algumas sugest˜oes para trabalhos 4
  18. 18. futuros. Em anexo pode ser encontrado o programa, codificado em MATLAB, utilizado para o desenvolvimento desse trabalho. 5
  19. 19. Cap´ıtulo 2 Modelagem matem´atica do processo de perfura¸c˜ao Com o intuito de possibilitar a realiza¸c˜ao de an´alises e estudos de um sistema f´ısico, ´e importante que o modelo represente de forma simplificada os fenˆomenos pertinentes a serem estudados. Outro ponto importante ´e a necessidade desse sistema ser o mais simples poss´ıvel, mas que ainda assim forne¸ca um resultado satisfat´orio. Apesar do modelo usado nesse estudo ser altamente simplificado, ele engloba os fenˆomenos mais importantes da vibra¸c˜ao de colunas de perfura¸c˜ao. 2.1 Processo de perfura¸c˜ao Um dos principais sistemas f´ısicos em um processo de perfura¸c˜ao ´e a coluna de per- fura¸c˜ao que ´e uma estrutura tubular que liga a sonda de perfura¸c˜ao at´e a rocha. Essa coluna ainda permite a circula¸c˜ao da lama de perfura¸c˜ao, transmiss˜ao da rota¸c˜ao, sensoriamento, entre outras fun¸c˜oes. O esquema geral de uma sonda de perfura¸c˜ao pode ser visto na figura 2.1. 6
  20. 20. Figura 2.1: Esquema geral de uma sonda de perfura¸c˜ao. Adaptado de [3]. A coluna de perfura¸c˜ao consiste do Bottom Hole Assembly (BHA) e dos drillpipes que s˜ao conectados entre si formando um longo tubo que pode chegar a quilˆometros de comprimento. O BHA ´e composto pela broca, estabilizadores que previnem o desbalanceamento da coluna, e uma s´eria de tubos relativamente pesados conhecidos como drill collars. Outro elemento muito importante no processo de perfura¸c˜ao ´e a lama de per- fura¸c˜ao que possui, entre outras, as fun¸c˜oes de limpeza, resfriamento e lubrifica¸c˜ao da broca. A lama de perfura¸c˜ao ´e injetada no topo da coluna de perfura¸c˜ao, percor- rendo por dentro dos drill pipes at´e chegar na rocha sendo perfurada, onde cumpre sua fun¸c˜ao e retorna `a sonda de perfura¸c˜ao pelo espa¸co anular entre os drill pipes e a parede do po¸co. Na extremidade inferior da coluna de perfura¸c˜ao, encontra-se a broca respons´avel pela perfura¸c˜ao da rocha. A rota¸c˜ao ´e originada na sonda de perfura¸c˜ao por um motor el´etrico e transmitida atrav´es dos drill pipes at´e a broca. O mecanismo de rota¸c˜ao pode ser de dois tipos: mesa rotativa ou top drive. Durante a perfura¸c˜ao, o acompanhamento e a an´alise do sistema mecˆanico da 7
  21. 21. coluna de perfura¸c˜ao se d´a pela interpreta¸c˜ao dos parˆametros de superf´ıcie impostos e medidos. Em poucos cen´arios de explora¸c˜ao s˜ao utilizados sensores pr´oximos a broca com envio de dados em tempo real para a superf´ıcie [3]. Normalmente o operador controla trˆes parˆametros: rota¸c˜ao da mesa, peso sobre a broca (WOB, abrevia¸c˜ao de Weight on Bit) e vaz˜ao do fluido de perfura¸c˜ao. O peso sobre a broca ´e um dos principais fatores na intera¸c˜ao broca-rocha. 2.2 Modelo computacional do sistema O modelo matem´atico exposto a seguir foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4]. A coluna de perfura¸c˜ao foi modelada como um pˆendulo torcional simples cuja rota¸c˜ao ´e imposta por um motor el´etrico, cuja velocidade angular foi modelada como cons- tante, e a intera¸c˜ao broca-rocha foi modelada atrav´es de um modelo de atrito seco. Os drill pipes s˜ao representados atrav´es de uma mola torcional linear de rigidez k e atrav´es de um amortecimento c que conecta duas in´ercias, Jc e Jb, representando a in´ercia da mesa rotativa e a in´ercia dos drill pipes junto com o BHA. Apenas a in´ercia Jb ´e representada no esquema da figura 2.2 pois a in´ercia Jc n˜ao ´e utilizada na representa¸c˜ao matem´atica do modelo proposto devido `a hip´otese de rota¸c˜ao cons- tante da mesa rotativa. A in´ercia Jb ´e comumente calculada como sendo a in´ercia do BHA mais 1/3 da in´ercia dos drill pipes [9]. Para a modelagem da intera¸c˜ao broca-rocha considerou-se um modelo de atrito seco que causa um torque reativo Tfb aliado a um amortecimento cb que representa o atrito viscoso devido `a lama de perfura¸c˜ao, principalmente. 8
  22. 22. Figura 2.2: Modelo mecˆanico proposto para a coluna de perfura¸c˜ao. Com o intuito de simplifica¸c˜ao do modelo, algumas hip´otese foram consideradas: (i) O po¸co e a coluna de perfura¸c˜ao est˜ao perfeitamente na vertical; (ii) N˜ao existe nenhum movimento lateral; (iii) O atrito nas conex˜oes e entre a coluna e a parede do po¸co foram desconsiderados; (iv) A lama de perfura¸c˜ao ´e simplificada por um atrito viscoso na broca; (v) O escoamento da lama de perfura¸c˜ao ´e considerado laminar. Finalmente, levando em conta todas as considera¸c˜oes feitas at´e esse ponto, ´e poss´ıvel escrever a equa¸c˜ao de movimento que descreve o modelo mecˆanico proposto: Jb ¨θb + c( ˙θb − Ω) + k(θb − Ωt) = −cb ˙θb − Tfb( ˙θb) (2.1) A equa¸c˜ao acima tamb´em pode ser representada atrav´es do espa¸co de estados, especialmente ´util na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-lineares de ordem su- perior. Considerando y1 = θb e y2 = ˙θb, a representa¸c˜ao no espa¸co de estados fica da seguinte maneira: ˙y =   ˙y1 ˙y2   =    y2 − k Jb y1 − c Jb y2 + k Jb Ωt + c Jb Ω − Tfb Jb ( ˙y1) − cb Jb y2    (2.2) O modelo utilizado para representar a intera¸c˜ao broca-rocha foi sugerido por NA- VARRO e SUAREZ [4] e ´e uma varia¸c˜ao do efeito Stribeck junto com o modelo de atrito seco. O parˆametro Tfb ´e portanto dependente da velocidade da broca. 9
  23. 23. Figura 2.3: Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4]. Na figura 2.3 est´a representado o modelo utilizado para o torque resistivo da intera¸c˜ao broca-rocha. Atrav´es dessa figura ´e poss´ıvel identificar o torque Tsb que caracteriza o atrito est´atico e o torque Tcb que caracteriza o atrito dinˆamico. Os torques de atrito est´atico e dinˆamico, Tsb e Tcb, dependem do raio da broca (Rb), do peso sobre a broca (Wob) e dos coeficientes de atrito est´atico, no caso do Tsb, e dinˆamico, no caso do Tcb. O decaimento presente entre os atritos est´atico e dinˆamico ´e modelado por uma fun¸c˜ao exponencial com uma constante positiva γb. Tfb =    Teb , ˙θb < Dv e |Teb| < Tsb Tsbsign(Teb) , ˙θb < Dv e |Teb| > Tsb Tcb + (Tsb − Tcb)e−γb ˙θb sign( ˙θb) , ˙θb > Dv (2.3) Teb = c(Ω − ˙θb) + k(Ωt − θb) − cb ˙θb (2.4) Tsb = RbWobµsb (2.5) Tcb = RbWobµcb (2.6) O primeiro caso da equa¸c˜ao 2.3 ´e chamado de Stick e representa a situa¸c˜ao onde a broca est´a presa solid´aria `a rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca 10
  24. 24. ´e nula. O terceiro caso ´e conhecido como Slip e representa a situa¸c˜ao onde a broca est´a perfurando a rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca ´e diferente de zero. O segundo caso descreve a transi¸c˜ao entre os regimes Stick e Slip. A equa¸c˜ao 2.4 representa o torque reativo no regime Stick que ´e igual ao torque aplicado pois o sistema est´a em equil´ıbrio. Como a mesa rotativa continua a girar, o sistema acumula energia e o torque aplicado aumenta at´e que o torque reativo em equil´ıbrio atinge um valor m´aximo definido pelo torque est´atico e a broca come¸ca a girar, entrando no regime do atrito dinˆamico (Slip). O parˆametro Dv especifica uma vizinhan¸ca ao redor de ˙θb = 0 suficientemente pequena para compensar erros num´ericos. Os valores dos parˆametros utilizados at´e aqui foram retirados de NAVARRO e SUAREZ [4] e est˜ao descritos na tabela 2.1. Tabela 2.1: Propriedades da coluna de perfura¸c˜ao Vari´avel Valor Jb 0.0318 kg.m2 c 0.0001 N.m.s/rad cb 0.03 N.m.s/rad k 0.073 N.m/rad Tcb 5 N.m Tsb 8 N.m Dv 10− 6s γb 0.9 Ω 19 rad/s 2.3 Considera¸c˜ao sobre incertezas A industria do petr´oleo enfrenta desafios mais complexos a cada dia e ´e necess´ario que as analises realizadas se tornem casa vez mais precisas. Com isso m´etodos estoc´asticos se tornam cada vez mais comuns nas solu¸c˜oes de problemas. Os m´etodos estoc´asticos permitem a considera¸c˜ao de incertezas nos modelos matem´aticos desenvolvidos, quantificando o impacto destas no comportamento do sistema e assim, aumentando a confiabilidade nas an´alises dos resultados. Essas 11
  25. 25. incertezas podem ser provenientes da falta de informa¸c˜oes ou a ocorrˆencias n˜ao previstas no projeto de um po¸co. Os parˆametros modelados como vari´aveis aleat´orias nesse trabalho foram escolhidos devido ao alto grau de dificuldade em identific´a-los de maneira precisa. Esses m´etodos s˜ao comumente utilizados quando ´e dif´ıcil ou imposs´ıvel obter uma formula¸c˜ao fechada para a resposta do sistema como ´e o caso da an´alise dinˆamica n˜ao linear de colunas de perfura¸c˜ao. As an´alises estoc´asticas presentes neste trabalho foram realizadas utilizando o M´etodo de Monte Carlo (MC) que consiste na simula¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias independentes para os parˆametros de entrada do sistema afim de realizar an´alises probabil´ısticas de uma resposta desconhecida. As vari´aveis aleat´orias simuladas devem seguir a distribui¸c˜ao de probabilidade das vari´aveis de entrada que represen- tam. Neste trabalho foram consideradas as seguintes distribui¸c˜oes de probabilidade cont´ınuas: uniforme e normal. Figura 2.4: Esquema do m´etodo de monte carlo. Baseado em [5]. A distribui¸c˜ao cont´ınua uniforme ´e definida na equa¸c˜ao 2.7, onde a e b repre- sentam o limite inferior e superior, respectivamente. Essa distribui¸c˜ao foi utilizada para descrever as vari´aveis aleat´orias Tcb e Tsb na an´alise de bifurca¸c˜ao estoc´astica. f(x|a, b) =    1 b−a , a ≤ x ≤ b 0 , caso contr´ario (2.7) A distribui¸c˜ao cont´ınua normal ´e apresentada na equa¸c˜ao 2.8, onde µ e σ representam a m´edia e o desvio padr˜ao respectivamente. Essa distribui¸c˜ao foi utilizada para descrever os parˆametros envolvidos na altera¸c˜ao dos torques de atrito est´atico e 12
  26. 26. dinˆamico na an´alise estoc´astica da resposta do sistema. f(x|µ, σ) = 1 √ 2πσ2 e(− (x−µ2) 2σ2 ) , −∞ < x < ∞, σ > 0 (2.8) No caso da utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao cont´ınua normal, a dispers˜ao das vari´aveis aleat´orias ´e comumente avaliada atrav´es de um parˆametro chamado coeficiente de varia¸c˜ao (CV), definido na equa¸c˜ao 2.9. Esse parˆametro permite uma an´alise mais compreens´ıvel do que o desvio padr˜ao j´a que ´e expressado em porcentagem. CV = E([X − E(X)]2) E(X) = σ µ (2.9) 13
  27. 27. Cap´ıtulo 3 Resultados e Discuss˜oes Esse cap´ıtulo possui o objetivo de discutir a simula¸c˜ao do modelo para diversas situa¸c˜oes. Com isso, ´e poss´ıvel identificar as principais caracter´ısticas do modelo utilizado, as diferen¸cas entre os regimes com e sem Stick-slip, al´em de fazer uma an´alise de sensibilidade das var´aveis de intera¸c˜ao broca-rocha e da velocidade de rota¸c˜ao da mesa rotativa. Al´em disso, ´e apresentada uma an´alise estoc´astica in- cluindo incertezas nos parˆametros de intera¸c˜ao broca-rocha com o intuito de avaliar a probabilidade do regime com Stick-slip se manifestar. Por fim s˜ao comentados os resultados obtidos quando h´a altera¸c˜ao do contato broca-rocha no tempo. 3.1 Resposta determin´ıstica do sistema: dom´ınio do tempo e bifurca¸c˜ao A resposta dinˆamica do sistema, na ausˆencia de Stick-slip, deve apresentar um regime inicial com velocidade nula devido ao atrito est´atico presente na intera¸c˜ao broca- rocha, caracterizado pelo fenˆomeno de Stick. Ap´os a energia torcional acumulada na coluna vencer o atrito est´atico, o movimento se inicia dando lugar ao atrito dinˆamico apresentando o fenˆomeno de Slip. Com o in´ıcio do movimento, um regime transit´orio se manifesta devido `a elasticidade e amortecimento do sistema seguido de um regime permanente cujo m´odulo deve ser igual `a rota¸c˜ao da mesa rotativa j´a que esta ´e respons´avel por impor a rota¸c˜ao da coluna de perfura¸c˜ao. No caso com Stick-slip, o regime inicial com velocidade nula tamb´em est´a pre- sente por´em o inicio do movimento se d´a de forma brusca devido ao alto ac´umulo de 14
  28. 28. energia torcional anterior ao movimento, resultando em altas velocidades de rota¸c˜ao na broca. Essas altas rota¸c˜oes fazem com que o ˆangulo da broca se aproxime rapida- mente do ˆangulo da mesa rotativa, reduzindo consideravelmente a energia torcional da coluna, causando assim uma nova parada da broca. Esse ciclo ent˜ao se repete at´e que haja uma interven¸c˜ao. A figura 3.1 exemplifica os dois casos explicitados anteriormente. Os dados utilizados foram apresentados na tabela 2.1, com exce¸c˜ao da velocidade de rota¸c˜ao da mesa no caso com Stick-slip que foi reduzida em 50% com o objetivo de induzir o Stick-slip. ´E poss´ıvel notar que mesmo com uma redu¸c˜ao de 50% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa, a broca ainda atinge velocidades bem pr´oximas do caso sem redu¸c˜ao devido ao Stick-slip. Essa redu¸c˜ao tamb´em causou um delay no come¸co da rota¸c˜ao pois o ac´umulo de energia na coluna demora mais tempo para atingir o n´ıvel cr´ıtico e vencer o atrito est´atico. 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 50 60 70 tempo (s) ˙θb(rad/s) sem Stick−Slip com Stick−Slip (a) 0 10 20 30 40 0 200 400 600 800 1000 tempo (s) θb(rad) sem Stick−Slip com Stick−Slip (b) Figura 3.1: Resposta determin´ıstica do sistema para os regimes com e sem Stick-Slip em (a) velocidade angular da broca e (b) ˆangulo da broca. Linha cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. A figura 3.2 representa o modelo de atrito com os parˆametros descritos na tabela 2.1. Conforme descrito na se¸c˜ao 2.2, quando a velocidade de rota¸c˜ao da broca ´e pr´oxima de zero, o torque de atrito ´e igual ao torque reativo da coluna, at´e um valor m´aximo definido por Tsb. Nesse caso o torque de atrito apresenta um comportamento linear no tempo pois a velocidade de rota¸c˜ao da mesa ´e constante. Para velocidades n˜ao-nulas na broca, o torque de atrito tende exponencialmente para Tcb. 15
  29. 29. −10 −5 0 5 10 −10 −5 0 5 10 ˙θb (rad/s) Tfb(N.m) ← Tsb Tcb Figura 3.2: Modelo de atrito seco. O comportamento supracitado pode ser claramente observado na figura 3.3a no caso sem Stick-slip, pois o torque de atrito sobe linearmente com o tempo at´e o valor m´aximo de 8N.m e decresce exponencialmente para o valor de 5N.m. O decr´escimo exponencial acontece muito rapidamente devido ao aumento r´apido da velocidade. No caso com Stick-slip, percebe o mesmo comportamento linear seguido de um decr´escimo exponencial. Conforme dito anteriormente, no regime Stick-slip existe um ciclo de repeti¸c˜oes de travamento e destravamento da broca. Esse ciclo de repeti¸c˜oes pode ser visto na figura 3.3a. A figura 3.3b apresenta um ciclo de repeti¸c˜ao em detalhe. Percebe-se que h´a um aumento exponencial do torque de atrito devido `a parada da broca, que representa o caminho inverso no gr´afico da figura 3.2 e ´e caracter´ıstico do modelo escolhido. A obten¸c˜ao desse valor m´aximo na parada da broca acontece devido `a parte Slip do modelo de atrito, mais especificamente no in´ıcio da parte exponencial, e n˜ao possui rela¸c˜ao com a parte Stick do modelo. Isso se justifica pois a diferen¸ca angular da mesa rotativa para a broca n˜ao ´e capaz de produzir um torque reativo Teb pr´oximo ao torque m´aximo Tsb logo no in´ıcio da parada da broca, que tamb´em explica o salto do torque de atrito para um valor bem abaixo. Ap´os a broca parar completamente, o ciclo continua com a subida linear do torque de atrito at´e o valor m´aximo Tsb, quando a broca reinicia o movimento e o torque de atrito decresce exponencialmente para Tcb, reiniciando o ciclo. 16
  30. 30. 0 10 20 30 40 0 2 4 6 8 10 tempo (s) Tfb(N.m) sem Stick−Slip com Stick−Slip (a) 21 22 23 24 25 26 27 28 0 2 4 6 8 10 tempo (s) Tfb(N.m) com Stick−Slip (b) Figura 3.3: Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total de simula¸c˜ao e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. Na se¸c˜ao anterior foi apresentada a resposta dinˆamica do sistema com e sem Stick-Slip. No caso com Stick-Slip, foi necess´ario reduzir a velocidade de rota¸c˜ao da mesa em 50% para produzir tal efeito. Isso ilustra a mudan¸ca de comportamento do sistema quando h´a varia¸c˜oes nas vari´aveis de entrada, o que demonstra a importˆancia de estudar a sensibilidade do sistema para as vari´aveis que possuem maior incerteza ou possibilidade de modifica¸c˜ao durante o processo de perfura¸c˜ao. Os gr´aficos presentes nas figuras 3.4 e 3.5 apresentam a resposta do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa rotativa nos casos sem e com Stick-Slip, respectivamente. Ambos os casos foram analisados de forma que n˜ao houvesse mudan¸ca de regime dentro da varia¸c˜ao de 5%. A varia¸c˜ao de 5% no caso com Stick-Slip foi obtida em cima da redu¸c˜ao de 50% realizada para induzir esse regime, ou seja, uma varia¸c˜ao de -5% nesse regime representa 47.5% da velocidade de rota¸c˜ao da tabela 2.1. O gr´afico da figura 3.4 mostra que a varia¸c˜ao da velocidade de rota¸c˜ao da mesa induz uma altera¸c˜ao igual na resposta permanente da velocidade de rota¸c˜ao da broca. Isso acontece pois a velocidade da broca tende para a velocidade de rota¸c˜ao da mesa rotativa no regime sem Stick-Slip. Esse mesmo comportamento pode ser observado no gr´afico do ˆangulo da broca que muda a inclina¸c˜ao da reta quando a velocidade se torna constante. A resposta transit´oria apresenta um pequeno deslocamento no tempo devido `a 17
  31. 31. altera¸c˜ao do tempo necess´ario para a coluna acumular energia suficiente para vencer o atrito est´atico. O pico de velocidade apresentou uma varia¸c˜ao de 1,4% no m´odulo em rela¸c˜ao `a velocidade de referˆencia da mesa. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Ω Ω + 5% Ω − 5% (a) 0 20 40 60 80 0 500 1000 1500 tempo (s) θb(rad) Ω Ω + 5% Ω − 5% (b) Figura 3.4: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. A figura 3.5, referente ao regime com Stick-Slip, mostra uma diferen¸ca temporal da resposta que vai aumentando com o tempo. Isso pode ser explicado pois ve- locidades inferiores da mesa rotativa demandam um ciclo de Stick-Slip com maior dura¸c˜ao. Essa diferen¸ca temporal vai acumulando com o tempo e ficando cada vez maior. O pico apresentou uma varia¸c˜ao de 0,7% no m´odulo em rela¸c˜ao `a rota¸c˜ao de referˆencia utilizada nesse regime. 18
  32. 32. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Ω Ω + 5% Ω − 5% (a) 0 20 40 60 80 0 100 200 300 400 500 600 tempo (s) θb(rad) Ω Ω + 5% Ω − 5% (b) Figura 3.5: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% na velocidade de rota¸c˜ao da mesa. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. O gr´afico de bifurca¸c˜ao apresentado na figura 3.6 tem, por sua vez, o objetivo de avaliar a mudan¸ca de regime mediante a varia¸c˜ao da velocidade de rota¸c˜ao da mesa assim como avaliar a sensibilidade do sistema a esse parˆametro. O eixo das abscissas apresenta a raz˜ao da velocidade real da mesa em rela¸c˜ao `a velocidade de referˆencia, presente na tabela 2.1. O eixo das ordenadas representa os valores m´ınimo e m´aximo para a velocidade da broca no regime permanente. Essa an´alise foi inspirada nos gr´aficos contido no trabalho de CAYRES [10]. O gr´afico no in´ıcio apresenta duas curvas que se encontram quando a velocidade da mesa atinge cerca de 90% da velocidade de referˆencia. A primeira parte do gr´afico, onde h´a duas curvas, representa o regime com Stick-Slip pois a velocidade m´ınima da broca ´e zero, a broca est´a travada (Stick). A segunda parte, onde h´a apenas uma curva, representa o regime sem Stick-Slip pois o m´aximo e m´ınimo s˜ao equivalentes, representando um regime permanente est´avel. A curva de m´aximos sobe com o aumento da velocidade da mesa rotativa. No regime com Stick-Slip, a broca atinge velocidades bem superiores `a da mesa rotativa. Por outro lado, no caso sem Stick-Slip, a broca atinge a mesma velocidade da mesa rotativa e conforme a velocidade da mesa aumenta, a velocidade da broca aumentar igualmente. 19
  33. 33. 0.5 0.75 1 1.25 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Ω Ωref min,max( ˙θb Ωref )(rad/s) Figura 3.6: An´alise por bifurca¸c˜ao da resposta do sistema mediante varia¸c˜ao da velocidade de rota¸c˜ao da mesa. Outro parˆametro muito importante no processo de perfura¸c˜ao que ´e controlado pelo operador, al´em de possuir diversas fontes de incerteza, ´e o peso sobre a broca (Wob). O peso sobre a broca est´a presente no modelo atrav´es dos torques de atrito Tsb e Tcb nas equa¸c˜oes 2.5 e 2.6, respectivamente. Devido `a dependˆencia linear de tais vari´aveis, uma varia¸c˜ao no peso sobre a broca pode ser modelada diretamente nos torques de atrito. O gr´afico da figura 3.7 mostra a sensibilidade do sistema no regime sem Stick-Slip. ´E poss´ıvel notar que, ao contr´ario da velocidade da mesa, a varia¸c˜ao no peso sobre a broca n˜ao provoca uma varia¸c˜ao da velocidade da broca em regime permanente. Isso pode ser confirmado no gr´afico 3.7b pois n˜ao h´a varia¸c˜ao da inclina¸c˜ao da reta no regime permanente. Existe ainda uma leve varia¸c˜ao de 3,5% no m´odulo do primeiro pico do gr´afico 3.7a. Al´em disso a resposta ´e levemente deslocada no tempo pois a varia¸c˜ao no torque de atrito faz com que seja demandada uma energia acumulada maior para vencer o atrito broca-rocha. 20
  34. 34. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Wob Wob + 5% Wob − 5% (a) 0 20 40 60 80 0 500 1000 1500 tempo (s) θb(rad) Wob Wob + 5% Wob − 5% (b) Figura 3.7: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. No caso com Stick-Slip (figura 3.8), os gr´aficos foram gerados considerando tor- ques de atrito iguais ao dobro dos da referˆencia. Isso foi feito com o intuito de induzir o fenˆomeno Stick-Slip. Percebe-se um aumento significativo (72%) no m´odulo do pico de velocidade em rela¸c˜ao `a resposta sem Stick-Slip. Isso mostra a severidade desse fenˆomeno. Al´em disso, existe uma varia¸c˜ao temporal entre as respostas. Essa varia¸c˜ao possui a mesma causa explicada no caso sem Stick-Slip, sendo mais evidente aqui devido aos ciclos de repeti¸c˜ao do Stick-Slip. 21
  35. 35. 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 100 tempo (s) ˙θb(rad/s) Wob Wob + 5% Wob − 5% (a) 0 20 40 60 80 0 500 1000 1500 tempo (s) θb(rad) Wob Wob + 5% Wob − 5% (b) Figura 3.8: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸c˜ao de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸c˜ao da broca e (b) ˆangulo da broca. A figura 3.9 mostra o gr´afico de bifurca¸c˜ao para varia¸c˜oes do peso sobre a broca. A primeira parte do gr´afico, referente ao regime sem Stick-Slip, mostra que a veloci- dade em regime permanente permanece constante n˜ao obstante a varia¸c˜ao do peso sobre a broca. Isso confirma o fato constatado na figura 3.7a. A segunda parte do gr´afico, referente ao regime com Stick-Slip, mostra o agravamento do fenˆomeno de Stick-Slip quanto maior ´e o peso sobre a broca. 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 6 7 Wob Wobref min,max( ˙θb Ωref )(rad/s) Figura 3.9: An´alise por bifurca¸c˜ao da resposta do sistema mediante varia¸c˜ao do peso sobre a broca. O gr´afico da figura 3.10 mostra quando ocorre o fenˆomeno de Stick-Slip para 22
  36. 36. diferentes conbina¸c˜oes de rota¸c˜ao da mesa e peso sobre a broca. A parte vermelha do gr´afico representa situa¸c˜oes com Stick-Slip e a parte azul representa situa¸c˜oes sem Stick-Slip. Nota-se que para valores baixos de velocidade da mesa e valores altos de peso sobre a broca, o fenˆomeno de Stick-Slip se manifesta. Esse gr´afico ´e obtido atrav´es do c´alculo de um parˆametro chamado ”Stick-Slip Severity”que por sua vez ´e calculado da seguinte forma: SSS = ( ˙θbmax − ˙θbmin) 2 · Ω (3.1) onde ˙θbmax e ˙θbmax s˜ao as velocidades m´axima e m´ınima da broca no regime perma- nente, respectivamente. Caso o valor de SSS supere 0.8, foi considerado que ocorreu Stick-Slip; caso contr´ario, n˜ao houve. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Ω Ωref Wob Wobref Figura 3.10: An´alise de estabilidade de acordo com velocidade de rota¸c˜ao da mesa e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip. 3.2 Bifurca¸c˜ao Estoc´astica Na se¸c˜ao 2.3 ficou clara a importˆancia de modelar as incertezas das vari´aveis im- portantes ao problema. Na se¸c˜ao 3.1 foi feito um estudo de sensibilidade dessas vari´aveis. Esse estudo foi realizado de forma determin´ıstica para varia¸c˜oes de 5% nos parˆametros. O estudo apresentado a seguir foi realizado considerando o peso sobre a broca como vari´avel aleat´oria, ou seja, essa vari´avel passa a ter uma fun¸c˜ao de probabili- dade. A fun¸c˜ao de probabilidade escolhida para modelar tal vari´avel foi a Uniforme 23
  37. 37. com limites 10% acima e abaixo do valor de referˆencia mostrado na tabela 2.1. Todas as demais vari´aveis foram considerada determin´ısticas. Esse estudo possui o objetivo de avaliar a probabilidade de haver instabilidade, ou seja, ocorrer Stick-Slip, para diferentes velocidades da mesa rotativa. Tsb ∝ Tsbref · Unif(0.9, 1.1) (3.2) Tcb ∝ Tcbref · Unif(0.9, 1.1) (3.3) Utilizou-se o m´etodo de Monte Carlo para simular a resposta do sistema atrav´es de 1000 simula¸c˜oes para velocidades de rota¸c˜ao da mesa com passo de 0,5% da velocidade de referˆencia. Em cada simula¸c˜ao verificou o SSS a fim de determinar o n´umero de simula¸c˜oes cujo SSS ficou maior que 0,8, caracterizando o n´umero de ”falhas”. A probabilidade de instabilidade para essa determinada velocidade de rota¸c˜ao da mesa foi ent˜ao calculada da seguinte maneira: Pinstabilidade = nº de simula¸c˜oes com SSS > 0, 8 nº total de simula¸c˜oes [103 ] (3.4) O gr´afico da figura 3.11 mostra a probabilidade de instabilidade em fun¸c˜ao da velocidade da mesa rotativa. Como esperado, a probabilidade de instabilidade reduz com o aumento da velocidade da mesa. Esse comportamento ´e compat´ıvel com a an´alise determin´ıstica que evidenciou o fato do Stick-Slip n˜ao acontecer para velo- cidade altas da mesa rotativa. A probabilidade de instabilidade atinge os valores extremos de 0% e 100% devido `a escolha da fun¸c˜ao uniforme de probabilidade que, por sua vez, possui valores limites e agregam essa propriedade ao sistema. O fato do valor de referˆencia de 19 rad/s para a velocidade de rota¸c˜ao da mesa n]ao repre- sentar 50% de probabilidade ´e devido ao fato da referˆencia n˜ao estar no ponto de instabilidade. 24
  38. 38. 12 14 16 18 20 22 0% 20% 40% 60% 80% 100% Ω (rad/s) ProbabilidadedeInstabilidade Figura 3.11: An´alise por bifurca¸c˜ao estoc´astica para determinar a probabilidade de ocorrer o fenˆomeno de Stick-Slip. 3.3 Altera¸c˜ao do contato broca-rocha no tempo Levando em considera¸c˜ao a modelagem escolhida e as simula¸c˜oes mostradas anteri- ormente, fica claro que os parˆametros principais na intera¸c˜ao broca-rocha s˜ao Tsb e Tcb que representam os atritos est´atico e dinˆamico, respectivamente. Anteriormente `a an´alise da altera¸c˜ao de caracter´ısticas da rocha ao longo do processo de perfura¸c˜ao, achou-se oportuna a realiza¸c˜ao de simula¸c˜oes do primeiro contato da broca com a rocha, ap´os o in´ıcio de sua rota¸c˜ao com as superf´ıcies separadas. Isso foi realizado devido a ser o procedimento padr˜ao na opera¸c˜ao de perfura¸c˜ao. Esse primeiro contato depende principalmente da forma de aplica¸c˜ao do peso sobre a broca. Essa aplica¸c˜ao foi simulada atrav´es dos parˆametros Tsb e Tcb, utilizando trˆes fun¸c˜oes diferentes: degrau, linear e tangente hiperb´olica. Antes do in´ıcio do contato, ´e importante que o sistema estivesse em regime permanente para permitir uma an´alise mais criteriosa. Com esse objetivo, utilizou um tempo de 20 segundos de simula¸c˜ao para o in´ıcio do contato. O contato ent˜ao ´e aplicado seguindo cada fun¸c˜ao escolhida at´e um tempo de 60 segundos. Os torques de atrito possuem valor nulo (sem contato) at´e o tempo inicial de 20 segundos e possuem valor igual `a referˆencia acima de 60 segundo de simula¸c˜ao. Esse comportamento est´a representado na figura 3.12. 25
  39. 39. 0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo (s) Tsb(N.m) Degrau Linear Tanh (a) 0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 tempo (s) Tcb(N.m) Degrau Linear Tanh (b) Figura 3.12: Altera¸c˜ao, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de atrito est´atico e (b) torque de atrito dinˆamico. Ap´os essa an´alise inicial, ser´a avaliado o impacto da altera¸c˜ao de caracter´ısticas da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao. Para isso, foram consideradas as mesmas trˆes fun¸c˜oes para descrever esse impacto atrav´es dos parˆametros Tsb e Tcb. Esses parˆametro foram escolhidos pois a altera¸c˜ao da rocha sendo perfurada implica em um novo coeficiente de atrito que possui influˆencia de diversas propriedades da rocha como geometria, dureza, rugosidade, entre outros. Foi utilizado um tempo de 30 segundos de simula¸c˜ao para o in´ıcio da altera¸c˜ao dos parˆametros com o intuito de aguardar o regime permanente se consolidar. Essa altera¸c˜ao acontece seguindo cada fun¸c˜ao especificada at´e o tempo de 70 segundos. Foi escolhido um aumento de 2N.m para cada torque de atrito, mantendo o valor final igual `a referˆencia. A figura 3.13 mostra as fun¸c˜oes utilizadas. 26
  40. 40. 0 20 40 60 80 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 tempo (s) Tsb(N.m) Degrau Linear Tanh (a) 0 20 40 60 80 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 tempo (s) Tcb(N.m) Degrau Linear Tanh (b) Figura 3.13: Altera¸c˜ao, durante o processo de perfura¸c˜ao, do (a) torque de atrito est´atico e (b) torque de atrito dinˆamico. 3.4 Resposta determin´ıstica sem contato inicial A simula¸c˜ao da resposta do sistema com rota¸c˜ao inicial livre ´e mostrada na figura 3.14. O tempo entre as linhas azuis ´e referente ao contato progressivo da broca com a rocha. A resposta do sistema no caso da fun¸c˜ao linear apresentou uma nova velocidade de regime permanente durante a aplica¸c˜ao do contato. Esse novo regime perma- nente foi atingido ap´os uma pequena oscila¸c˜ao. Esse comportamento ´e devido ao modelo escolhido para o sistema j´a que, no caso linear, a solu¸c˜ao particular para o ˆangulo da broca ´e linear (considerando que n˜ao existe Stick-Slip), sendo constante na velocidade da broca e, quando somada `a solu¸c˜ao homogˆenea, provoca uma nova velocidade de regime permanente. ´E importante ressaltar que a mesa rotativa per- manece girando na mesma velocidade enquanto que a broca passa a girar em uma velocidade menor, ou seja, a energia torcional come¸car a ser acumulada progres- sivamente devido `a tor¸c˜ao da coluna. Essa energia torcional sendo acumulada ´e suficiente para vencer o atrito e manter a broca girando e perfurando. Quando o contato ´e aplicado seguindo uma fun¸c˜ao tangente hiperb´olica, a ve- locidade n˜ao atinge um patamar novo como no caso linear. A fun¸c˜ao hiperb´olica possui a caracter´ıstica de ser bem suave e apresentar um aumento progressivo da sua derivada seguido de uma diminui¸c˜ao tamb´em progressiva. Essa caracter´ıstica 27
  41. 41. influencia diretamente a resposta do sistema. ´E poss´ıvel perceber isso na figura 3.14 pois a velocidade da broca reduz gradativamente para compensar o atrito que aumenta devagar no in´ıcio at´e chegar um valor m´ınimo que representa o ponto de inflex˜ao da fun¸c˜ao tangente hiperb´olica ´e m´axima e volta a subir gradativamente quando o atrito se aproxima do valor final. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Degrau Linear Tanh Figura 3.14: Velocidade da broca com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. No caso da fun¸c˜ao degrau, o contato ´e feito instantaneamente. Nesse caso, percebe-se um travamento inicial da broca pois, antes do contato, a energia torcional acumulada na coluna ´e muito pequena j´a que havia uma resistˆencia bem menor. Quando o contato ´e realizado de forma brusca, a energia torcional acumulada n˜ao ´e suficiente para vencer o atrito e continuar girando, causando o travamento da broca. Em outras palavras, a desacelera¸c˜ao da broca acontece mais rapidamente do que a coluna acumula energia torcional para vencer esse atrito. Apesar da fun¸c˜ao de aplica¸c˜ao do atrito ser degrau, a velocidade da broca n˜ao cai de forma degrau. Segundo pode ser observado na figura 3.15, a broca ´e desacelerada pelo atrito entre os tempos de 20 e 20,13 segundos. Apesar disso, o tempo de caimento ´e bem pequeno e pode ser considerado instantˆaneo. 28
  42. 42. 19.9 20 20.1 20.2 20.3 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Degrau Linear Tanh Figura 3.15: Detalhe da velocidade da broca com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. O gr´afico da figura 3.16 mostra o torque de atrito ao longo do tempo. Para as fun¸c˜oes linear e tangente hiperb´olica, percebe-se que o gr´afico possui a mesa forma da fun¸c˜ao e isso acontece pois n˜ao h´a altera¸c˜ao de regime Stick-Slip durante o contato. Portanto, nos casos linear e tangente hiperb´olica, o gr´afico representa o torque de atrito dinˆamico (Tcb). 0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo (s) Tfb(N.m) Degrau Linear Tanh Figura 3.16: Torque de atrito com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. 29
  43. 43. No caso da fun¸c˜ao degrau, a figura 3.17 mostra que o torque de atrito sobe instantaneamente para o torque de atrito dinˆamico final. Por´em, conforme mostrado anteriormente, a velocidade da broca cai at´e o valor nulo e o torque de atrito portanto torna-se est´atico e ent˜ao decai conforme o modelo escolhido. O torque de atrito n˜ao cai para zero pois j´a existe uma energia torcional na coluna, apesar de pequena. A figura 3.16 mostra ent˜ao que a coluna come¸ca a acumular energia at´e vencer o atrito est´atico e sair da in´ercia, dando lugar para o atrito dinˆamico. 19.9 20 20.1 20.2 20.3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo (s) Tfb(N.m) Degrau Linear Tanh Figura 3.17: Detalhe do torque de atrito com rota¸c˜ao inicial livre de atrito e aplica¸c˜oes do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. 3.5 Resposta determin´ıstica com mudan¸ca de ca- racter´ısticas da rocha Esse item abordar´a a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao, ou seja, a altera¸c˜ao da intera¸c˜ao broca-rocha quando a broca j´a est´a em contato com a rocha. A metodologia de an´alise dos gr´aficos ´e semelhante ao item anterior. O gr´afico da figura 3.18 mostra que o efeito da altera¸c˜ao do atrito nas fun¸c˜oes linear e tangente hiperb´olica ´e significantemente menor que o efeito mostrado no item anterior. Isso ´e explicado pois a altera¸c˜ao dos torques de atrito possuem menor amplitude e mesmo tempo de dura¸c˜ao, permitindo uma melhor compensa¸c˜ao da 30
  44. 44. energia torcional. Contudo, o efeito dessa altera¸c˜ao possui a mesma forma e justificativa que foram explicadas no item anterior. Levando em conta que n˜ao h´a manifesta¸c˜ao de Stick- Slip, a minimiza¸c˜ao do efeito pode ser atribu´ıda ao fato da altera¸c˜ao dos parˆametros de atrito possuir menor amplitude. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Degrau Linear Tanh Figura 3.18: Velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. No caso da altera¸c˜ao seguindo uma fun¸c˜ao degrau, o comportamento do sistema ´e bem similar ao observado no estudo com rota¸c˜ao inicial livre. Isso pode ser explicado pois a energia torcional necess´aria para vencer o atrito est´atico nos dois caso ´e a mesma, pois o atrito est´atico final nos dois casos tamb´em ´e igual. Portanto, a libera¸c˜ao dessa energia acumulada gera rota¸c˜oes de mesma amplitude. A broca desacelera com o torque de atrito e possui um comportamento bem similar ao explicado no item anterior, conforme pode ser constatado na figura 3.19. Nesse caso, o travamento da broca leva mais tempo pois a altera¸c˜ao do torque de atrito ´e menor, permitindo uma maior compensa¸c˜ao do atrito por meio da energia torcional acumulada. 31
  45. 45. 29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Degrau Linear Tanh Figura 3.19: Detalhe da velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. O gr´afico da figura 3.20 mostra o torque de atrito para todas as fun¸c˜oes. Nova- mente, para os casos linear e tangente hiperb´olica, o gr´afico demonstra comporta- mento idˆentico `a mudan¸ca modelada j´a que o regime de atrito permanece dinˆamico todo o tempo. 0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo (s) Tfb(N.m) Degrau Linear Tanh Figura 3.20: Torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. No caso da fun¸c˜ao degrau, o comportamento ´e bastante semelhante ao do estudo 32
  46. 46. com rota¸c˜ao inicial livre. A figura 3.21 mostra que o torque aumenta instantanea- mente para o torque de atrito dinˆamico final e permanece assim at´e o travamento da broca, onde o atrito cai rapidamente. Ap´os isso, a energia torcional ´e acumulada at´e superar o atrito est´atico e voltar para o atrito dinˆamico final. 29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo (s) Tfb(N.m) Degrau Linear Tanh Figura 3.21: Detalhe do torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau, linear e tanh. 3.6 Resposta estoc´astica com mudan¸ca de carac- ter´ısticas da rocha Os estudos feitos sobre mudan¸ca de rocha consideraram parˆametros determin´ısticos para descrever essa mudan¸ca. O estudo presente nessa se¸c˜ao visa avaliar a con- sequˆencia da incerteza desses parˆametros na resposta do sistema. Com o intuito de simular a resposta do sistema levando em conta vari´aveis aleat´orias, foi utilizado o m´etodo de Monte Carlo descrito no item 2.3. As vari´aveis aleat´orias foram considerada normais com coeficiente de varia¸c˜ao igual a 2% e mo- 33
  47. 47. deladas da seguinte forma: Tcbi ∝ 3 · Normal(1; 0, 02) (3.5) Tcbf ∝ 5 · Normal(1; 0, 02) (3.6) Tsbi ∝ 6 · Normal(1; 0, 02) (3.7) Tsbf ∝ 8 · Normal(1; 0, 02) (3.8) ti ∝ 30 · Normal(1; 0, 02) (3.9) tf ∝ 70 · Normal(1; 0, 02) (3.10) onde Tcbi e Tcbf s˜ao os torques de atrito dinˆamico inicial e final, respectivamente; Tsbi e Tsbf s˜ao os torques de atrito est´atico inicial e final, respectivamente, e; ti e tf s˜ao os tempos inicial e final da mudan¸ca de rocha, respectivamente. Os gr´aficos apresentados a seguir s˜ao conhecidos por envelopes de confian¸ca. A linha cheia no gr´afico representa a m´edia dos valores obtidos para determinada reposta em cada instante de tempo. Por outro lado, as linhas tracejadas delimitam uma regi˜ao onde 90% dos valores obtidos est˜ao contidos. O valor de 90% de confian¸ca foi escolhido pois n˜ao apresenta casos com Stick-Slip em seu dom´ınio. Como os parˆametros s˜ao modelados como fun¸c˜oes normais e essas por sua vez possuem um dom´ınio de (−∞, ∞), podem surgir valores que induzem o Stick-Slip. Observar a ocorrˆencia desse fenˆomeno foge ao objetivo desse item, j´a sendo abordado em itens anteriores e, devido a isso, considerou-se os 99% para o envelope de confian¸ca. As figuras 3.22 e 3.23 mostram o envelope de confian¸ca para a velocidade da broca quando a mudan¸ca de rocha segue uma fun¸c˜ao linear e tangente hiperb´olica, respectivamente. Percebe-se nesses gr´aficos que as incertezas impostas n˜ao oferecem altera¸c˜oes expressivas na resposta do sistema. A explica¸c˜ao desse comportamento remete `a an´alise feita na figura 3.9 que mostrou que altera¸c˜oes nos fatores de atrito apenas impactam a resposta da velocidade da broca se houver Stick-Slip. Como nos casos linear e tangente hiperb´olica n˜ao h´a Stick-Slip, os m´odulos das velocidades permanecem muito pr´oximos. Existe apenas um deslocamento no tempo devido `as incertezas nos tempos de in´ıcio e fim da mudan¸ca de rocha, mas pode ser consider´avel desprez´ıvel e praticamente impercept´ıvel. 34
  48. 48. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Figura 3.22: Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao linear. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Figura 3.23: Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao tangente hiperb´olica. No caso das fun¸c˜oes linear e tangente hiperb´olica, a figura 3.24 mostra os gr´aficos de envelope de confian¸ca para o torque de atrito. As incertezas embutidas podem ser claramente identificadas. No caso dessas fun¸c˜oes, ap´os vencer o atrito inicial, a 35
  49. 49. broca permanece no regime de atrito dinˆamico e a incerteza nesse parˆametro, antes e depois da mudan¸ca de rocha, pode ser percebida nos gr´aficos. A incerteza nos tempos inicial e final da mudan¸ca de rocha tamb´em ´e percebida atrav´es de um leve deslocamento no tempo, quando comparadas as 3 linhas de cada gr´afico. As incertezas modeladas n˜ao s˜ao grandes o suficiente para perceber a dispers˜ao dos valores de torque est´atico desses gr´aficos. 0 20 40 60 80 0 2 4 6 8 tempo (s) Tfb(N.m) (a) 0 20 40 60 80 0 2 4 6 8 tempo (s) Tfb(N.m) (b) Figura 3.24: Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao (a) linear e (b) tangente hiperb´olica. No caso da fun¸c˜ao degrau, percebe-se uma dispers˜ao muito maior no resultado pois o envelope de confian¸ca fica significativamente mais espesso. Isso acontece devido `a manifesta¸c˜ao do Stick-Slip no in´ıcio da mudan¸ca de rocha. Retornando novamente `a figura 3.9, pode-se atribuir uma maior dispers˜ao no caso degrau pois a amplitude da resposta ´e afetada quando existe Stick-Slip. Al´em disso tamb´em est´a presente um leve deslocamento no tempo devido `as incertezas nos tempos de in´ıcio e fim da mudan¸ca de rocha. 36
  50. 50. 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 60 tempo (s) ˙θb(rad/s) Figura 3.25: Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau. A figura 3.26 mostra o gr´afico de envelope de confian¸ca para o torque no caso da fun¸c˜ao degrau. O envelope de confian¸ca tamb´em demonstra maior dispers˜ao no in´ıcio da altera¸c˜ao da rocha. Essa dispers˜ao ´e atribu´ıda ao Stick-Slip pois esse fenˆomeno engloba todos os regimes de atrito e acaba sofrendo maior influˆencia da incerteza desses parˆametros. 0 20 40 60 80 0 2 4 6 8 tempo (s) Tfb(N.m) Figura 3.26: Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸c˜ao degrau. 37
  51. 51. Cap´ıtulo 4 Conclus˜ao e Trabalhos futuros 4.1 Conclus˜ao O objetivo do presente trabalho foi de introduzir novas an´alises sobre o problema da dinˆamica de colunas de perfura¸c˜ao. Primeiramente foi proposto um modelo simples para descrever a coluna de perfura¸c˜ao de forma a permite as an´alises posteriores. Esse modelo simplificado foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4] com a diferen¸ca de imposi¸c˜ao de velocidade constante na mesa rotativa. Ap´os a defini¸c˜ao do modelo, foram realizadas algumas simula¸c˜oes convencionais de forma a analisar as respostas cl´assicas para esse tipo de estrutura e assim validou- se o modelo utilizado. A seguir foi realizado um estudo que avaliou a sensibilidade dos parˆametros do modelo na resposta do sistema. Esse estudo introduziu uma nova forma de an´alise gr´afica dessa sensibilidade atrav´es do que foi intitulado gr´aficos de bifurca¸c˜ao. Essa an´alise mostrou que a velocidade da mesa rotativa influencia a resposta do sistema independente da presen¸ca de Stick-Slip. Por outro lado, o peso sobre a broca, descrito atrav´es dos torques de atrito, apenas influencia a resposta do sistema no caso com Stick-Slip. Para ambos os parˆametros (velocidade da mesa rotativa e peso sobre a broca), a an´alise mostrou que a broca atinge velocidades bem superiores na presen¸ca de Stick-Slip. Para finalizar essa an´alise, foi introduzida uma nova an´alise do sistema conside- rando incertezas nos torques de atrito. Essa an´alise visou avaliar a probabilidade de ocorrˆencia de Stick-Slip para diversas velocidades da mesa rotativa. Percebeu-se 38
  52. 52. que velocidades baixas da mesa rotativa geram uma probabilidade alta de Stick- Slip, enquanto que altas velocidade da mesa resultam em baixas probabilidades de Stick-Slip. Por fim, conforme objetivo do presente trabalho, foi analisado o impacto da mudan¸ca de rocha no processo de perfura¸c˜ao. Esse impacto foi avaliado atrav´es dos torques de atrito que s˜ao respons´aveis pela modelagem da intera¸c˜ao broca-rocha. A mudan¸ca dos torques de atrito no tempo foi modelado atrav´es de trˆes fun¸c˜oes: linear, tangente hiperb´olica e degrau. Primeiramente foi analisado o caso onde a broca entra em contato com a rocha somente ap´os atingir o regime permanente em rota¸c˜ao. Esse caso foi avaliado pois representa as opera¸c˜oes reais de perfura¸c˜ao de po¸cos. A seguir, foi avaliada o caso onde h´a altera¸c˜ao da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao. Em ambos os casos, os resultados mostraram que a varia¸c˜ao da velocidade da broca foi mais suave com a fun¸c˜ao tangente hiperb´olica. A fun¸c˜ao linear, por sua vez, apresentou uma suavidade menor apesar de sua varia¸c˜ao possuir menor ampli- tude. Por fim, a fun¸c˜ao degrau impˆos uma resposta t˜ao brusca quanto a excita¸c˜ao. Inclusive, a fun¸c˜ao degrau induziu um princ´ıpio de Stick-Slip que n˜ao se manteve at´e o final. No caso da altera¸c˜ao da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao, a resposta do sistema foi mais suave para as fun¸c˜oes linear e tangente hiperb´olica. Isso foi explicado pois a varia¸c˜ao dos parˆametros de atrito foram menores. O mesmo n˜ao aconteceu para a fun¸c˜ao degrau que demonstrou um impacto equivalente em ambos os casos. Esse acontecimento foi explicado pelo fato dos parˆametros de atrito finais serem os mesmos e pela presen¸ca de Stick-Slip. Como an´alise final, foram avaliadas as incertezas dos parˆametros que definem a altera¸c˜ao da rocha durante o processo de perfura¸c˜ao. A principal conclus˜ao a ser tirada dessa ´ultima an´alise ´e que essas incertezas n˜ao afetaram a velocidade da broca nas mudan¸cas linear e tangente hiperb´olica pois essas n˜ao apresentaram Stick- Slip. No caso degrau existe Stick-Slip e as incertezas afetam a resposta de maneira significativa. 39
  53. 53. 4.2 Trabalhos futuros O presente trabalho possuiu o objetivo de introduzir novas metodologias de an´alise para esse problema comum na ind´ustria do petr´oleo. Os pr´oximos passos para tal trabalho seria refinar o modelo e calibr´a-lo para que seja capaz de descrever satisfatoriamente o caso real. Ap´os isso, seria interessante refazer as an´alises aqui desenvolvidas e avaliar qual fun¸c˜ao melhor descreve a mudan¸ca dos parˆametros de atrito na altera¸c˜ao da rocha e como esses parˆametros de atrito s˜ao alterados dependendo do tipo de rochas e condi¸c˜oes que o po¸co est´a submetido. Dessa forma espera-se ser capaz de avaliar os riscos de forma mais precisa a fim de mitigar gastos excessivos e otimizar o processo de perfura¸c˜ao de po¸cos. Outra sugest˜ao seria incluir oscila¸c˜oes dos parˆametros de atrito durante o tempo de simula¸c˜ao. Dentro de uma mesma rocha, os parˆametro de atrito podem variar e seria interessante avaliar a resposta do sistema a essas oscila¸c˜oes. Por fim, sugere-se a utiliza¸c˜ao das an´alises aqui desenvolvidas para otimizar a performance e o controle desse tipo de opera¸c˜ao. 40
  54. 54. Referˆencias Bibliogr´aficas [1] “Petrobras 60 anos”, http://infograficos.oglobo.globo.com/economia/ petrobras-60-anos-1.html, Online. Acessado em: 2016-06-13. [2] FRANC¸A, L., Perfura¸c˜ao Percurssiva-Rotativa Auto-Excitada em Rochas Du- ras, Ph.D. Thesis, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica, Rio de Janeiro, Brasil, 2004. [3] PERCY, J. G., AN ´ALISE DE INCERTEZAS EM VIBRAC¸ ˜OES LATERAIS E DE TORC¸ ˜AO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAC¸ ˜AO, Mas- ter’s Thesis, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil, 2014. [4] NAVARRO-LOPEZ, E. M., SUAREZ, R., “Practical approach to modelling and controlling stick-slip oscillations in oilwell drillstrings”. In: Control Ap- plications, 2004. Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on, v. 2, pp. 1454–1460 Vol.2, Sept 2004. [5] SEUNG-KYUM CHOI, RAMANA V. GRANDHI, R. A. C., Reliability-based Structural Design. Springer-Verlag London. [6] “Geologia - Texto produzido pelos alunos da Primeira Turma do Curso de Engenharia de Petr´oleo da UFC com base nos livros ”O Universo da Ind´ustria Petrol´ıfera- Da Pesquisa `a Refina¸c˜ao”, de Jos´e Salgado Gomes. Funda¸c˜ao Calouste-Gulbenkian, Portugal, 2ª Edi¸c˜ao, 2011 e ”Fundamentos de Engenharia de Petr´oleo”, de Jos´e Eduardo Thomas. Editora Interciˆencia, 2001.” http://www.petroleo.ufc.br/index.php? option=com_content&task=view&id=394&Itemid=56, Online. Acessado em: 2016-06-13. 41
  55. 55. [7] “Petroleum”, http://www.scienceclarified.com/Oi-Ph/Petroleum.html, Online. Acessado em: 2016-06-13. [8] KHULIEF, Y., AL-SULAIMAN, F., BASHMAL, S., “Vibration analysis of drillstrings with self-excited stick–slip oscillations”, Journal of Sound and Vibration, v. 299, n. 3, pp. 540 – 558, 2007. [9] BRETT, J. F., “The Genesis of Bit-Induced Torsional Drillstring Vibrations”, Society of Petroleum Engineers. [10] CAYRES, B. C., Numerical and Experimental Analysis of the Nonlinear Torsi- onal Dynamics of a Drilling System, Master’s Thesis, Pontif´ıcia Univer- sidade Cat´olica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2013. [11] L.C. CUNHA LIMA, R.R. AGUIAR, T. R., HBAIEB, S., “Analysis of the torsional stability of a simplified drillstring”. In: DINAME 2015 - Pro- ceedings of the XVII International Symposium on Dynamic Problems of Mechanics, Feb 2015. [12] RITTO, T., SOIZE, C., SAMPAIO, R., “Non-linear dynamics of a drill-string with uncertain model of the bit–rock interaction”, International Journal of Non-Linear Mechanics, v. 44, n. 8, pp. 865 – 876, 2009. 42
  56. 56. Apˆendice A C´odigos em MATLAB A.1 Programa principal 1 %% Declarando variaveis globais 2 global k Jb c Vrot Gb Dv cb VrotR TsbR TcbR Tsb Tcb Tsb1 Tcb1 Tsb2 ... Tcb2 ti tf 3 4 % Variaveis caracteristicas do sistema 5 Jb=0.0318; % Inercia da coluna 6 c=0.0001; % constante de amortecimento da coluna 7 cb=0.03; % constate do atrito viscoso da broca 8 k=0.073; % rigidez da coluna 9 Dv=10ˆ−6; % Correcao de intervalo do modelo de atrito seco ... (problemas de convergencia) 10 Gb=0.9; % Constante gama do modelo de atrito seco 11 12 % Variaveis controlaveis 13 VrotR = 19; % Velocidade de rotacao da mesa 14 TsbR = 8; % Pico de torque de referencia 15 TcbR = 5; % Torque de atrito referencia 16 17 % Vetor temporal 18 ta = 0:0.001:120; 19 20 %% Analise Dinamica Deterministica do Sistema 43
  57. 57. 21 22 % Propriedades de interacao com a rocha iguais a referencia 23 Tsb = TsbR; 24 Tcb = TcbR; 25 26 % Resposta Estavel 27 % Velocidade de rotacao da mesa igual a referencia 28 Vrot = VrotR; 29 % Solucionando o sistema 30 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 31 32 % Resposta Instavel 33 % Velocidade de rotacao da mesa igual a metade da referencia 34 Vrot = 0.5*VrotR; 35 % Solucionando o sistema 36 [te,ye] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 37 38 % Grafico Angulo da broca 39 figure 40 plot(ts,ys(:,1),'k',te,ye(:,1),'k−−','LineWidth',2) 41 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest') 42 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 43 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 44 ylim([0 2500]) 45 xlim([0 40]) 46 set(gca,'fontsize',20) 47 print −depsc Resposta angulo 48 49 % Grafico Velocidade da broca 50 figure 51 plot(ts,ys(:,2),'k',te,ye(:,2),'k−−','LineWidth',2) 52 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest') 53 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 54 ylabel ('$dot{theta b}$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 55 ylim([0 70]) 56 xlim([0 40]) 57 set(gca,'fontsize',20) 58 print −depsc Resposta velocidade 59 44
  58. 58. 60 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta estavel 61 Vrot = VrotR; 62 Tfbs = zeros(length(ys),1); 63 for i = 1:length(ys) 64 Teb = c*(Vrot−ys(i,1))+k*(Vrot*ts(i)−ys(i,1))−cb*ys(i,2); % ... Toque Stick 65 66 if and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick 67 Tfbs(i)=Teb; 68 elseif and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ... Transition 69 Tfbs(i)=Tsb*sign(Teb); 70 else % Slip 71 Tfbs(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ys(i,2)))*sign(ys(i,2)); 72 end 73 end 74 75 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta instavel 76 Vrot = VrotR*0.5; 77 Tfbe = zeros(length(ye),1); 78 for i = 1:length(ye) 79 Teb = c*(Vrot−ye(i,1))+k*(Vrot*te(i)−ye(i,1))−cb*ye(i,2); % ... Toque Stick 80 81 if and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick 82 Tfbe(i)=Teb; 83 elseif and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ... Transition 84 Tfbe(i)=Tsb*sign(Teb); 85 else % Slip 86 Tfbe(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ye(i,2)))*sign(ye(i,2)); 87 end 88 end 89 90 % Grafico Torque de atrito na broca 91 figure 92 plot(ts,Tfbs,'k',te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2) 93 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest') 94 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 45
  59. 59. 95 ylabel ('$T {fb}$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26) 96 ylim([0 10]) 97 xlim([0 40]) 98 set(gca,'fontsize',20) 99 print −depsc Resposta torque 100 101 % Grafico detalhado do Torque de atrito na broca 102 figure 103 plot(te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2) 104 legend('com Stick−Slip','Location','northwest') 105 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 106 ylabel ('$T {fb}$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26) 107 ylim([0 10]) 108 xlim([21 28]) 109 set(gca,'fontsize',20) 110 print −depsc Resposta torque detalhado 111 112 %% Grafico do modelo de atrito seco 113 y2 = −10:0.01:10; 114 Tfb=TcbR+(TsbR−TcbR)*exp(−Gb*abs(y2)); 115 Tfb=Tfb.*sign(y2); 116 figure 117 plot(y2,Tfb,'k','LineWidth',2) 118 xlabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 119 ylabel ('$T {fb}$ (N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26) 120 ylim([−10 10]) 121 text(0,8,'$leftarrow T {sb}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 122 text(8,4,'$T {cb}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 123 set(gca,'fontsize',20) 124 print −depsc Modelo atrito 125 126 %% Analise de sensibilidade para velocidade de rotacao da mesa 127 128 % Torques de atrito iguais a referencia 129 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico 130 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito 131 132 % Resposta Estavel 133 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa 46
  60. 60. 134 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 135 136 Vrot = VrotR*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5% 137 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 138 139 Vrot = VrotR*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5% 140 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 141 142 % Grafico angulo da broca 143 figure 144 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2) 145 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northwest') 146 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 147 ylabel ('$theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 148 ylim([0 1500]) 149 set(gca,'fontsize',20) 150 print −depsc Sensibilidade multiVrot est angulo 151 152 % Grafico velocidade da broca 153 figure 154 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2) 155 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northeast') 156 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 157 ylabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 158 ylim([0 60]) 159 set(gca,'fontsize',20) 160 print −depsc Sensibilidade multiVrot est velocidade 161 162 % Resposta Instavel 163 Vrot = VrotR*0.5; % Velocidade de rotacao da mesa 164 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 165 166 Vrot = VrotR*0.5*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5% 167 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 168 169 Vrot = VrotR*0.5*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5% 170 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 171 172 % Grafico angulo da broca 47
  61. 61. 173 figure 174 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2) 175 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northwest') 176 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 177 ylabel ('$theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 178 ylim([0 600]) 179 set(gca,'fontsize',20) 180 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst angulo 181 182 % Grafico velocidade da broca 183 figure 184 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2) 185 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northwest') 186 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 187 ylabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 188 ylim([0 60]) 189 set(gca,'fontsize',20) 190 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst velocidade 191 192 %% Analise de sensibilidade para peso sobre a broca 193 194 % Velocidade da mesa igual a referencia 195 Vrot = VrotR; 196 197 % Resposta estavel 198 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico 199 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito 200 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 201 202 Tcb = TcbR*1.05; % Torque de atrito dinamico + 5% 203 Tsb = TsbR*1.05; % Pico de torque de atrito − 5% 204 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 205 206 Tcb = TcbR*0.95; % Torque de atrito dinamico + 5% 207 Tsb = TsbR*0.95; % Pico de torque de atrito − 5% 208 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 209 210 % Grafico angulo da broca 211 figure 48
  62. 62. 212 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2) 213 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest') 214 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 215 ylabel ('$theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 216 ylim([0 1500]) 217 set(gca,'fontsize',20) 218 print −depsc Sensibilidade multiWob est angulo 219 220 % Grafico velocidade da broca 221 figure 222 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2) 223 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northeast') 224 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 225 ylabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 226 ylim([0 60]) 227 set(gca,'fontsize',20) 228 print −depsc Sensibilidade multiWob est velocidade 229 230 % Resposta instavel 231 Tcb = TcbR*2; % Torque de atrito dinamico 232 Tsb = TsbR*2; % Pico de torque de atrito 233 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 234 235 Tcb = TcbR*2*1.05; % Torque de atrito dinamico 236 Tsb = TsbR*2*1.05; % Pico de torque de atrito 237 [t2,y2] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 238 239 Tcb = TcbR*2*0.95; % Torque de atrito dinamico 240 Tsb = TsbR*2*0.95; % Pico de torque de atrito 241 [t3,y3] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 242 243 % Grafico angulo da broca 244 figure 245 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2) 246 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest') 247 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 248 ylabel ('$theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 249 ylim([0 1500]) 250 set(gca,'fontsize',20) 49
  63. 63. 251 print −depsc Sensibilidade multiWob inst angulo 252 253 % Grafico velocidade da broca 254 figure 255 plot(t1,y1(:,2),'k−',t2,y2(:,2),'k−−',t3,y3(:,2),'k:','LineWidth',2) 256 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest') 257 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 258 ylabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 259 ylim([0 110]) 260 set(gca,'fontsize',20) 261 print −depsc Sensibilidade multiWob inst velocidade 262 263 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para peso sobre a broca 264 265 %Velocidade da mesa igual a referencia 266 Vrot = VrotR; 267 268 % Criacao de variaveis de suporte 269 x = 0.5:0.005:2.5; 270 V topo = zeros(length(x),1); 271 V topo2 = zeros(length(x),1); 272 i=1; 273 274 % Calculo dos maximos e minimos 275 for f = x 276 Tcb = TcbR*f; % Torque de atrito dinamico 277 Tsb = TsbR*f; % Pico de torque de atrito 278 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 279 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19; 280 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19; 281 i = i + 1; 282 end 283 284 % Geracao do grafico 285 figure 286 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2) 287 xlabel('$frac{Wob}{Wob {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 288 ylabel('$min,max(frac{dot{theta b}}{Omega {ref}})$ ... (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 50
  64. 64. 289 ylim([−0.50 7]) 290 xlim([min(x) max(x)]) 291 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.5:2.5],'YTick',[0:1:7]) 292 print −depsc Sensibilidade maxWob 293 294 295 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para rotacao da mesa 296 297 % Torques iguais a referencia 298 Tcb = TcbR; 299 Tsb = TsbR; 300 301 % Criacao de varieveis de suporte 302 x = 0.5:0.005:1.5; 303 V topo = zeros(length(x),1); 304 V topo2 = zeros(length(x),1); 305 i=1; 306 307 % Calculo dos maximos e minimos 308 for f = x 309 Vrot=VrotR*f; % Velocidade de rotacao da mesa 310 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 311 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19; 312 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19; 313 i = i + 1; 314 end 315 316 % Geracao do grafico 317 figure 318 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2) 319 xlabel('$frac{Omega}{Omega {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 320 ylabel('$min,max(frac{dot{theta b}}{Omega {ref}})$ ... (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 321 ylim([−0.50 3.5]) 322 xlim([min(x) max(x)]) 323 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.25:1.5],'YTick',[0:0.5:3.5]) 324 print −depsc Sensibilidade maxVrot 325 326 51
  65. 65. 327 %% Analise de Instabilidade por mapeamento do SSS 328 329 % Criacao de varieveis de suporte 330 SSS = zeros(441,1); 331 x chart = zeros(441,1); 332 y chart = zeros(441,1); 333 filled chart = zeros(21,2); 334 i=0; 335 j=1; 336 337 % Calculo do SSS 338 for p2 = 0.5:0.05:1.5 339 filled chart(j,1) = 1.5; 340 flag = 0; 341 for p1 = 0.5:0.05:1.5 342 if flag == 1 343 continue 344 end 345 i = i + 1; 346 Tcb = TcbR*p1; 347 Tsb = TsbR*p1; 348 Vrot = VrotR*p2; 349 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]); 350 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrot); 351 if SSS(i) > 0.8 352 flag=1; 353 filled chart(j,1) = p1; 354 filled chart(j,2) = 1.5 − filled chart(j,1); 355 end 356 end 357 j = j + 1; 358 end 359 360 % Geracao do grafico 361 figure 362 ax=0.5:0.05:1.5; 363 area(ax,filled chart,0.5) 364 xlabel ... ('$frac{Omega}{Omega {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 52
  66. 66. 365 ylabel ('$frac{Wob}{Wob {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26) 366 ylim([0.5 1.5]) 367 set(gca,'fontsize',20,'XTick',0.5:0.1:1.5,'YTick',0.5:0.1:1.5) 368 print −depsc SSS 369 370 %% Bifurcacao Estocastica 371 372 % Criacao de varieveis de suporte 373 Var Tcb = 0.1; 374 Var Tsb = 0.1; 375 n sim = 1000; 376 Vrot array = 0.6:0.005:1.2; 377 378 % Igualar variaveis as referencias 379 VrotRl = VrotR; 380 TcbRl = TcbR; 381 TsbRl = TsbR; 382 383 % Simulacoes utilizando processamento paralelo 384 n = zeros(length(Vrot array),1); 385 matlabpool(4) 386 parfor j=1:length(Vrot array) 387 Tcb sim = (1−Var Tcb)*TcbRl + 2*Var Tcb*TcbRl.*rand(n sim,1); 388 Tsb sim = (1−Var Tsb)*TsbRl + 2*Var Tsb*TsbRl.*rand(n sim,1); 389 Vrotl = VrotRl*Vrot array(j); 390 SSS = zeros(n sim,1); 391 for i=1:n sim 392 Tcbl = Tcb sim(i); 393 Tsbl = Tsb sim(i); 394 disp([i Vrotl Tsbl Tcbl]) 395 [ts,ys] = ode23tb(@(t,y) modelo multiproc(t,y,[Vrotl Tsbl ... Tcbl]),ta,[0 0]); 396 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrotl); 397 end 398 n(j) = sum(SSS>0.8)/n sim; 399 end 400 matlabpool close 401 402 % Criacao do grafico 53
  67. 67. 403 figure 404 plot(Vrot array.*VrotR,n,'k','LineWidth',2) 405 xlabel('$Omega$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 406 ylabel('Probabilidade de Instabilidade','FontSize',26) 407 xlim([min(Vrot array.*VrotR) max(Vrot array.*VrotR)]) 408 set(gca,'fontsize',20) 409 410 % Converte o eixo y em percentagem 411 a=[cellstr(num2str(get(gca,'ytick')'*100))]; 412 pct = char(ones(size(a,1),1)*'%'); 413 new yticks = [char(a),pct]; 414 set(gca,'yticklabel',new yticks) 415 416 print −depsc bifurcacao estocastica 417 418 %% Analise Dinamica do Sistema com mudanca de parametros de atrito seco 419 420 Analise = 'alt Tcb Tsb'; % Tipo de analise a ser realizada (output ... file) 421 Tcb1 = 3; % Torque de atrito dinamico para t < t1 422 TcbR = 5; % Torque de atrito dinamico referencia 423 Tsb1 = 6; % Pico de torque de atrito para t < t1 424 TsbR = 8; % Pico de torque de atrito referencia 425 ti = 30; % Tempo inicial para transicao das ... propriedades de atrito 426 tf = 70; % Tempo final para transicao das ... propriedades de atrito 427 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ... referencia 428 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico 429 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo 430 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal 431 432 % Solucionando o sistema 433 [t degrau,y degrau] = ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]); 434 [t linear,y linear] = ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]); 435 [t tanh,y tanh] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]); 436 437 % Calculo do torque de atrito 54
  68. 68. 438 Tfb = zeros(length(ta),3); 439 y = [y degrau y linear y tanh]; 440 441 for j = 1:3 442 443 for i = 1:length(ta) 444 Teb = ... c*(Vrot−y(i,2*j−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,2*j−1))−cb*y(i,2*j); ... % Toque Stick 445 446 if j == 3 447 Tcb = Tcb1 + ... (Tcb2−Tcb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2; 448 Tsb = Tsb1 + ... (Tsb2−Tsb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2; 449 elseif (ti>ta(i)) 450 Tsb = Tsb1; 451 Tcb = Tcb1; 452 elseif (ti<ta(i)) && (ta(i)≤tf) 453 if j == 1 454 Tsb = Tsb2; 455 Tcb = Tcb2; 456 elseif j == 2 457 Tcb = Tcb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1); 458 Tsb = Tsb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1); 459 end 460 elseif ta(i) > tf 461 Tsb = Tsb2; 462 Tcb = Tcb2; 463 end 464 465 466 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<Tsb2) % Stick 467 Tfb(i,j)=Teb; 468 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>Tsb2) % ... Stick−Slip Transition 469 Tfb(i,j)=Tsb*sign(Teb); 470 else % Slip 471 Tfb(i,j)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,2*j)))*sign(y(i,2*j)); 55
  69. 69. 472 end 473 end 474 end 475 476 % Grafico Angulo da broca 477 figure 478 plot(t degrau,y degrau(:,1),'k',t linear,y linear(:,1),'k−−',t tanh,y tanh(:,1),'k:',' 479 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest') 480 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 481 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 482 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])]) 483 xlim([0 max(ta)]) 484 y1=get(gca,'ylim'); 485 hold on 486 plot([ti ti],y1) 487 plot([tf tf],y1) 488 hold off 489 set(gca,'fontsize',20) 490 print(strcat('Resposta angulo ',Analise),'−depsc') 491 492 % Grafico Velocidade da broca 493 figure 494 plot(t degrau,y degrau(:,2),'k',t linear,y linear(:,2),'k−−',t tanh,y tanh(:,2),'k:',' 495 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest') 496 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 497 ylabel ('$dot{theta b}$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 498 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])]) 499 xlim([0 max(ta)]) 500 y1=get(gca,'ylim'); 501 hold on 502 plot([ti ti],y1) 503 plot([tf tf],y1) 504 hold off 505 set(gca,'fontsize',20) 506 print(strcat('Resposta velocidade ',Analise),'−depsc') 507 508 % Grafico Torque de atrito na broca 56
  70. 70. 509 figure 510 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2) 511 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest') 512 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 513 ylabel ('$T {fb}$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26) 514 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))]) 515 xlim([0 max(ta)]) 516 y1=get(gca,'ylim'); 517 hold on 518 plot([ti ti],y1) 519 plot([tf tf],y1) 520 hold off 521 set(gca,'fontsize',20) 522 print(strcat('Resposta torque ',Analise),'−depsc') 523 524 % Grafico Velocidade da broca (detalhe) 525 figure 526 plot(t degrau,y degrau(:,2),'k',t linear,y linear(:,2),'k−−',t tanh,y tanh(:,2),'k:',' 527 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest') 528 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 529 ylabel ('$dot{theta b}$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 530 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])]) 531 xlim([29.9 30.5]) 532 y1=get(gca,'ylim'); 533 hold on 534 plot([ti ti],y1) 535 plot([tf tf],y1) 536 hold off 537 set(gca,'fontsize',20) 538 print(strcat('Resposta velocidade detalhe ',Analise),'−depsc') 539 540 % Grafico Torque de atrito na broca (detalhe) 541 figure 542 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2) 543 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest') 544 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 545 ylabel ('$T {fb}$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26) 546 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))]) 57
  71. 71. 547 xlim([29.9 30.5]) 548 y1=get(gca,'ylim'); 549 hold on 550 plot([ti ti],y1) 551 plot([tf tf],y1) 552 hold off 553 set(gca,'fontsize',20) 554 print(strcat('Resposta torque detalhe ',Analise),'−depsc') 555 556 %% Analise de sensibilidade da reposta do sistema quando existe ... variacao de propriedades da interacao broca−rocha 557 558 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ... referencia 559 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal 560 561 % Criacao de varieveis de suporte 562 n sim = 1000; 563 a = 0.95; 564 b = 1.05; 565 t degrau = zeros(length(ta),n sim); 566 y degrau = zeros(length(ta),n sim*2); 567 t linear = zeros(length(ta),n sim); 568 y linear = zeros(length(ta),n sim*2); 569 t tanh = zeros(length(ta),n sim); 570 y tanh = zeros(length(ta),n sim*2); 571 Tcb1 l = zeros(length(ta),n sim); 572 Tsb1 l = zeros(length(ta),n sim); 573 TcbR l = zeros(length(ta),n sim); 574 TsbR l = zeros(length(ta),n sim); 575 ti l = zeros(length(ta),n sim); 576 tf l = zeros(length(ta),n sim); 577 578 % Simulacoes 579 h = waitbar(0,'calculating . . .'); 580 % Solucionando o sistema 581 for j = 1:n sim 582 Tcb1 l(j) = 3*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ... para t < t1 58
  72. 72. 583 Tcb1 = Tcb1 l(j); 584 TcbR l(j) = 5*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ... referencia 585 TcbR = TcbR l(j); 586 Tsb1 l(j) = 6*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ... para t < t1 587 Tsb1 = Tsb1 l(j); 588 TsbR l(j) = 8*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ... referencia 589 TsbR = TsbR l(j); 590 ti l(j) = 30*normrnd(1,0.02); % Tempo inicial para ... transicao das propriedades de atrito 591 ti = ti l(j); 592 tf l(j) = 70*normrnd(1,0.02); % Tempo final para transicao ... das propriedades de atrito 593 tf = tf l(j); 594 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico 595 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo 596 597 index = j; 598 599 [t degrau(:,j),y degrau(:,j*2−1:j*2)] = ... ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]); 600 [t linear(:,j),y linear(:,j*2−1:j*2)] = ... ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]); 601 [t tanh(:,j),y tanh(:,j*2−1:j*2)] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]); 602 603 waitbar(j/n sim,h,sprintf('calculating . . . (%d/%d)',j,n sim)); 604 end 605 close(h) 606 607 % Calculo do torque de atrito 608 h = waitbar(0,'calculating . . .'); 609 for j=1:3 610 if j==1 611 y = y degrau; 612 elseif j == 2 613 y = y linear; 614 else 59
  73. 73. 615 y = y tanh; 616 end 617 618 for n = 1:n sim 619 for i = 1:length(ta) 620 Teb = ... c*(Vrot−y(i,n*2−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,n*2−1))−cb*y(i,n*2); ... % Toque Stick 621 622 if j == 3 623 Tcb = Tcb1 l(n) + ... (TcbR l(n)−Tcb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5) 624 Tsb = Tsb1 l(n) + ... (TsbR l(n)−Tsb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5) 625 elseif (ti>ta(i)) 626 Tsb = Tsb1 l(n); 627 Tcb = Tcb1 l(n); 628 elseif (ti l(n)<ta(i)) && (ta(i)≤tf l(n)) 629 if j == 1 630 Tsb = TsbR l(n); 631 Tcb = TcbR l(n); 632 elseif j == 2 633 Tcb = Tcb1 l(n) + ... ((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TcbR l(n)−Tcb1 l(n)); 634 Tsb = Tsb1 l(n) + ... ((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TsbR l(n)−Tsb1 l(n)); 635 end 636 elseif ta(i) > tf l(n) 637 Tsb = TsbR l(n); 638 Tcb = TcbR l(n); 639 end 640 641 642 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<TsbR l(n)) ... % Stick 643 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Teb; 644 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>TsbR l(n)) ... % Stick−Slip Transition 645 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tsb*sign(Teb); 60
  74. 74. 646 else % Slip 647 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,n*2)))*sign(y(i,n*2 648 end 649 650 end 651 waitbar((n)/(n sim),h,sprintf('calculating . . . ... (%d/%d)',((j−1)*n sim+n),(n sim))); 652 end 653 end 654 close(h) 655 656 % Grafico Angulo da broca (Degrau) 657 figure 658 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,1:2:end)),5 659 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 660 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 661 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])]) 662 xlim([0 max(ta)]) 663 y1=get(gca,'ylim'); 664 hold on 665 plot([ti ti],y1) 666 plot([tf tf],y1) 667 hold off 668 set(gca,'fontsize',20) 669 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc') 670 671 % Grafico Angulo da broca (Linear) 672 figure 673 plot(ta,mean(transp(y linear(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,1:2:end)),5 674 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 675 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 676 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])]) 677 xlim([0 max(ta)]) 678 y1=get(gca,'ylim'); 679 hold on 680 plot([ti ti],y1) 681 plot([tf tf],y1) 61
  75. 75. 682 hold off 683 set(gca,'fontsize',20) 684 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc linear','−depsc') 685 686 % Grafico Angulo da broca (Tanh) 687 figure 688 plot(ta,mean(transp(y tanh(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y tanh(:,1:2:end)),5),'k 689 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 690 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26) 691 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])]) 692 xlim([0 max(ta)]) 693 y1=get(gca,'ylim'); 694 hold on 695 plot([ti ti],y1) 696 plot([tf tf],y1) 697 hold off 698 set(gca,'fontsize',20) 699 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc tanh','−depsc') 700 701 % Grafico Velocidade da broca (Degrau) 702 figure 703 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,2:2:end)),5 704 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 705 ylabel ('$dot{theta b}$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26) 706 ylim([0 ... 1.1*max([max(y degrau(:,2)),max(y linear(:,2)),max(y tanh(:,2))])]) 707 xlim([0 max(ta)]) 708 y1=get(gca,'ylim'); 709 hold on 710 plot([ti ti],y1) 711 plot([tf tf],y1) 712 hold off 713 set(gca,'fontsize',20) 714 print('Resposta velocidade alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc') 715 716 % Grafico Velocidade da broca (Linear) 717 figure 718 plot(ta,mean(transp(y linear(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,2:2:end)),5 62

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